三角形內(nèi)角和定理的證明第六章證明(一)

三角形內(nèi)角和定理的證明第六章證明(一)1【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：1三角形的內(nèi)角和定理的證明.2掌握三角形內(nèi)角和定理，并初步學(xué)會(huì)利用輔助線證題【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1重點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的證明.2難點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的證明方法.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：2證明命題的一般步驟:與同伴交流你在探索思路的過(guò)程中的具體做法.(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結(jié)論(求證);

回顧與思考?(2)根據(jù)題意,畫(huà)出圖形;(3)結(jié)合圖形,用符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)出“已知”和“求證”;(4)分析題意,探索證明思路;(5)依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言條理清晰地寫(xiě)出證明過(guò)程;(6)檢查表達(dá)過(guò)程是否正確,完善.證明命題的一般步驟:與同伴交流你在探索思路的過(guò)程中的具體做法3自學(xué)提綱自學(xué)內(nèi)容1獨(dú)立完成下列證明題時(shí)間20分鐘

2小組交流，相互完善證明過(guò)程時(shí)間5分鐘自學(xué)提綱4

回顧與思考?我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過(guò)程嗎?112ABD23C(1)如圖,當(dāng)時(shí)我們是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不實(shí)際移動(dòng)∠A和∠B,那么你還有其它方法可以達(dá)到同樣的效果?(2)根據(jù)前面的公理和定理,你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言寫(xiě)出這一證明過(guò)程嗎?與同伴交流.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.回顧與思考?我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于5已知:如圖6-9,△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=1800.證明:作BC的延長(zhǎng)線CD,過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB,則

例題欣賞?你還有其它方法來(lái)證明三角形內(nèi)角和定理嗎?∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定義),∴∠A+∠B+∠ACB=1800(等量代換).分析:延長(zhǎng)BC到D,過(guò)點(diǎn)C作射線CE∥AB,這樣,就相當(dāng)于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.這里的CD,CE稱為輔助線,輔助線通常畫(huà)成虛線.ABCE213D已知:如圖6-9,△ABC.證明:作BC的延長(zhǎng)線CD,過(guò)點(diǎn)C6在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí),小明的想法是把三個(gè)角“湊”到A處,他過(guò)點(diǎn)A作直線PQ∥BC(如圖),他的想法可以嗎?請(qǐng)你幫小明把想法化為實(shí)際行動(dòng).小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),由此你受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎?證明:過(guò)點(diǎn)A作PQ∥BC,則ABC∠1=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定義),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代換).PQ231議一議在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí),小明的想法是把三個(gè)角7根據(jù)下面的圖形,寫(xiě)出相應(yīng)的證明.你還能想出其它證法嗎?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM試一試根據(jù)下面的圖形,寫(xiě)出相應(yīng)的證明.你還能想出其它證法嗎?(1)8三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的幾種變形:∠A=1800

–(∠B+∠C).∠B=1800

–(∠A+∠C).∠C=1800

–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.這里的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.

ABC三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1891.直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度?請(qǐng)證明你的結(jié)論.2.已知:如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700.求證：∠ADE=500.DCBAEABCABC隨堂練習(xí)1.直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多10用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在△ABC中,如果BC不動(dòng),把點(diǎn)A“壓”向BC,那么當(dāng)點(diǎn)A越來(lái)越接近BC時(shí),∠A就越來(lái)越大(越來(lái)越接近1800),而∠B和∠C,越來(lái)越小(越來(lái)越接近00).由此你能想到什么?CBA讀一讀用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在△ABC中,如果BC不動(dòng),把11用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)如果BC不動(dòng),把點(diǎn)A“拉離”BC,那么當(dāng)A越來(lái)越遠(yuǎn)離BC時(shí),∠A就越來(lái)越小(越來(lái)越接近00),而∠B和∠C則越來(lái)越大,它們的和越來(lái)越接近1800,當(dāng)把點(diǎn)A拉到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí),便有AB∥AC,∠B和∠C成為同旁內(nèi)角,它們的和等于1800.由此你能想到什么?CBA讀一讀用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)如果BC不動(dòng),把點(diǎn)A“拉離”B121、如圖，已知AD是△ABD

和△ACD的公共邊.求證：∠BDC=∠BAC+∠B+∠CABCD1234證法一：∵在△ABD中,∠1＝180°－∠B－∠3，在△ADC中,∠2＝180°－∠C－∠4（三角形內(nèi)角和定理），又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定義）∴∠BDC＝360°－（180°－∠B－∠3）－（180°－∠C－∠4）＝∠B+∠C+∠3+∠4.

又∵∠BAC＝∠3+∠4,∴∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC（等量代換）練一練1、如圖，已知AD是△ABDABCD1234證法一：練一練13證法二：ABCD12證法二：ABCD1214思考題：如圖，已知∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°，求證：AB∥CD（用兩種方法證明）DFNMBAC思考題：如圖，已知∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°，D15夢(mèng)想的力量當(dāng)我充滿自信地，朝著夢(mèng)想的方向邁進(jìn)并且毫不畏懼地，過(guò)著我理想中的生活成功，會(huì)在不期然間忽然降臨！夢(mèng)想的力量當(dāng)我充滿自信地，朝著夢(mèng)想的方向邁進(jìn)并且毫不畏懼地，16●

一個(gè)不注意小事情的人，永遠(yuǎn)不會(huì)成功大事業(yè)。──卡耐基●

一個(gè)能思考的人，才真是一個(gè)力量無(wú)邊的人。──巴爾扎克●

一個(gè)人的價(jià)值，應(yīng)當(dāng)看他貢獻(xiàn)了什么，而不應(yīng)當(dāng)看他取得了什么。──愛(ài)因斯坦●

一個(gè)人的價(jià)值在于他的才華，而不在他的衣飾。

──雨果●

一個(gè)人追求的目標(biāo)越高，他的才力就發(fā)展得越快，對(duì)社會(huì)就越有益。──高爾基●

生活就像海洋，只有意志堅(jiān)強(qiáng)的人，才能到達(dá)彼岸。──馬克思●

浪費(fèi)別人的時(shí)間是謀財(cái)害命，浪費(fèi)自己的時(shí)間是慢性自殺。──列寧●

哪里有天才，我是把別人喝咖啡的工夫都用在工作上的。──魯迅●

完成工作的方法，是愛(ài)惜每一分鐘。──達(dá)爾文●

沒(méi)有偉大的愿望，就沒(méi)有偉大的天才。──巴爾扎克●

讀一切好的書(shū)，就是和許多高尚的人說(shuō)話。──笛卡爾●

成功＝艱苦的勞動(dòng)＋正確的方法＋少談空話。

──愛(ài)因斯坦●

一個(gè)不注意小事情的人，永遠(yuǎn)不會(huì)成功大事業(yè)。──卡耐基17三角形內(nèi)角和定理的證明第六章證明(一)

三角形內(nèi)角和定理的證明第六章證明(一)18【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：1三角形的內(nèi)角和定理的證明.2掌握三角形內(nèi)角和定理，并初步學(xué)會(huì)利用輔助線證題【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1重點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的證明.2難點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的證明方法.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：19證明命題的一般步驟:與同伴交流你在探索思路的過(guò)程中的具體做法.(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結(jié)論(求證);

回顧與思考?(2)根據(jù)題意,畫(huà)出圖形;(3)結(jié)合圖形,用符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)出“已知”和“求證”;(4)分析題意,探索證明思路;(5)依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言條理清晰地寫(xiě)出證明過(guò)程;(6)檢查表達(dá)過(guò)程是否正確,完善.證明命題的一般步驟:與同伴交流你在探索思路的過(guò)程中的具體做法20自學(xué)提綱自學(xué)內(nèi)容1獨(dú)立完成下列證明題時(shí)間20分鐘

2小組交流，相互完善證明過(guò)程時(shí)間5分鐘自學(xué)提綱21

回顧與思考?我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過(guò)程嗎?112ABD23C(1)如圖,當(dāng)時(shí)我們是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不實(shí)際移動(dòng)∠A和∠B,那么你還有其它方法可以達(dá)到同樣的效果?(2)根據(jù)前面的公理和定理,你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言寫(xiě)出這一證明過(guò)程嗎?與同伴交流.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.回顧與思考?我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于22已知:如圖6-9,△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=1800.證明:作BC的延長(zhǎng)線CD,過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB,則

例題欣賞?你還有其它方法來(lái)證明三角形內(nèi)角和定理嗎?∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定義),∴∠A+∠B+∠ACB=1800(等量代換).分析:延長(zhǎng)BC到D,過(guò)點(diǎn)C作射線CE∥AB,這樣,就相當(dāng)于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.這里的CD,CE稱為輔助線,輔助線通常畫(huà)成虛線.ABCE213D已知:如圖6-9,△ABC.證明:作BC的延長(zhǎng)線CD,過(guò)點(diǎn)C23在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí),小明的想法是把三個(gè)角“湊”到A處,他過(guò)點(diǎn)A作直線PQ∥BC(如圖),他的想法可以嗎?請(qǐng)你幫小明把想法化為實(shí)際行動(dòng).小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),由此你受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎?證明:過(guò)點(diǎn)A作PQ∥BC,則ABC∠1=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定義),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代換).PQ231議一議在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí),小明的想法是把三個(gè)角24根據(jù)下面的圖形,寫(xiě)出相應(yīng)的證明.你還能想出其它證法嗎?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM試一試根據(jù)下面的圖形,寫(xiě)出相應(yīng)的證明.你還能想出其它證法嗎?(1)25三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的幾種變形:∠A=1800

–(∠B+∠C).∠B=1800

–(∠A+∠C).∠C=1800

–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.這里的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.

ABC三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于18261.直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度?請(qǐng)證明你的結(jié)論.2.已知:如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700.求證：∠ADE=500.DCBAEABCABC隨堂練習(xí)1.直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多27用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在△ABC中,如果BC不動(dòng),把點(diǎn)A“壓”向BC,那么當(dāng)點(diǎn)A越來(lái)越接近BC時(shí),∠A就越來(lái)越大(越來(lái)越接近1800),而∠B和∠C,越來(lái)越小(越來(lái)越接近00).由此你能想到什么?CBA讀一讀用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在△ABC中,如果BC不動(dòng),把28用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)如果BC不動(dòng),把點(diǎn)A“拉離”BC,那么當(dāng)A越來(lái)越遠(yuǎn)離BC時(shí),∠A就越來(lái)越小(越來(lái)越接近00),而∠B和∠C則越來(lái)越大,它們的和越來(lái)越接近1800,當(dāng)把點(diǎn)A拉到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí),便有AB∥AC,∠B和∠C成為同旁內(nèi)角,它們的和等于1800.由此你能想到什么?CBA讀一讀用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)如果BC不動(dòng),把點(diǎn)A“拉離”B291、如圖，已知AD是△ABD

和△ACD的公共邊.求證：∠BDC=∠BAC+∠B+∠CABCD1234證法一：∵在△ABD中,∠1＝180°－∠B－∠3，在△ADC中,∠2＝180°－∠C－∠4（三角形內(nèi)角和定理），又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定義）∴∠BDC＝360°－（180°－∠B－∠3）－（180°－∠C－∠4）＝∠B+∠C+∠3+∠4.

又∵∠BAC＝∠3+∠4,∴∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC（