§3方向?qū)?shù)與梯—、問(wèn)題的提出梯提 p(x,y) 0

p(xyx

y方向?qū)?shù)圖討論函數(shù)z

f(

y)在一點(diǎn)Ptantan|BC|f(x|AC|x A||(xx)x||f(xx)f(x)f(x)Cf(x)xxxR3zf(X

.P..l

f(P)f(P0 x

ffxl0二、方向?qū)?shù)的設(shè)函數(shù)u

f(X

在U(X0)若點(diǎn)XU(X0)l趨于X0時(shí),

f(X)f(X0XX

||XX0

fXX0l

f(X)f(X0 XX或

XX

||XX0u

t

f(X

te)t

f(X0射線l的方程 xx0

y

z

txx y zcos

X0t

e(cos,cos

,cos比較方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的概||

X0

||0；在偏導(dǎo)數(shù)中，分母

想l

，為什么,yX0(x0,y0,z0 X(x,y,z) l X

cos

x||X 0 yy0||XX0看看 的情

cos

||

X0f(X)

f(X0)

ux

y

zo(||

X

定理(方向?qū)?shù)計(jì)算若函數(shù)u

f(x

y,

在點(diǎn)(x0

y0

z0

fX)

(x0

y0

z0

l

,cos

cos)u

u

cos

ucos其中,各導(dǎo)數(shù)均為在點(diǎn)(x0

y0

z0

證設(shè)

yz)

x

x

cos,y

y

cos

z

z

cos.f(P)

fx(P0)x

fy(P0)y

fz(P0)zo()f(P)

f(0)

(P)x

(P)y

(P)

o()

fx

(0

)cos

fy(0

)cos

fz(0

)cos

o()

0時(shí),上式右邊末項(xiàng)o()

(0

f(P)

(0

fx(0

)cos

fy(

)cos

fz(

)cos證畢

(x,

y)來(lái)說(shuō),fl(0)fx(x0,y0)cos

fy(x0

y0)cos其中,是平面向l的方向u

ucos

ucos

ucosgradugrad

,

e

cos

cos在

中u

ucos

ucosu

Rn

((

,,

,,

))e

,

,,cosnu

cosn

(n2P(4)1(2)2223333例解uucosucosucos)。PP4P 2PPP2cos13cos23cos23

P(x

y想向?qū)?shù)值都等于想梯一個(gè)問(wèn)題可微函數(shù)可微函數(shù)ufXf(x,y,z)在給定點(diǎn)X0沿什么方向增加得最

u,

,

由此可得出什由此可得出什么結(jié)論

u現(xiàn)在正式給出現(xiàn)在正式給出gradu設(shè)R3,u

f(X

)C1()X0

if(X0)i

f(X0)jj

f(X0)

fXX

f(X0)

fX0在幾何z

f(x,

表示一個(gè)曲曲面被平

z

zzz

f(x,y),c所得曲線在xoy面上投影如 f(

y)

grad

(x,y)c2o

f(

y)x

f(f(x,y)梯度的概念可以推廣到三元函三元函數(shù)u

f(

yz)G內(nèi)具連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)P(

yzG，都grad

(

y,z)

f

f

fk類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.

f(

y,z)

c為函數(shù)u

f(

y,z)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)P(x,y,z)的梯度的方向P

f(

y,z)

c例

uxyz

z25

gradu

并求點(diǎn)M

處方向?qū)?shù)的最大(小)值 ∵gradugradu(0,1,1)(yz,xz,xy2z)

yz

u

xz

u

xy2zuMuM||gradu||5M5從

2u

x2

2

3z2

3

2y

解由梯度計(jì)算公式gradu(

y,z)

u

u

u(2x

(4y

2)

6zk

2

12k0在P(02