8/88/8圓周角和圓心角的關(guān)系【教學(xué)目標(biāo)】一、教學(xué)知識點1.掌握圓周角定理幾個推論的內(nèi)容。2．會熟練運用推論解決問題。二、能力訓(xùn)練要求1．培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及理解問題的能力。2．在學(xué)生自主探索推論的過程中，經(jīng)歷猜想、推理、驗證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學(xué)習(xí)方式三、情感與價值觀要求培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和解決問題的能力?！窘虒W(xué)重點】圓周角定理的幾個推論的應(yīng)用。【教學(xué)難點】理解幾個推論的“題設(shè)”和“結(jié)論”?！窘虒W(xué)方法】指導(dǎo)探索法。【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課［師］請同學(xué)們回憶一下我們前幾節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些和圓有關(guān)系的角？它們之間有什么關(guān)系？［生］學(xué)習(xí)了圓心角和圓周角、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。即圓周角定理。［師］我們在分析、證明上述定理證明過程中，用到了些什么數(shù)學(xué)思想方法？［生］分類討論、化歸、轉(zhuǎn)化思想方法。［師］同學(xué)們請看下面這個問題：已知弦AB和CD交于?O內(nèi)一點P,如下圖。求證：PA?PB=PC?PDPAPC［師生共析］要證PA?PB=PC?PD,可證————。由此考慮證明以PA、PC為邊的三角PDPB形與以PD、PB為邊的三角形相似。由于圖中沒有這兩個三角形，所以考慮作輔助線AC和BD.要證厶PACs^PDB.由已知條件可得ZAPC與ZDPB相等，如能再找到一對角相等。如ZA=ZD或ZC=ZB.便可證得所求結(jié)論。如何尋找ZA=ZD或ZC二ZB.要想解決這個問題。我們需先進(jìn)行下面的學(xué)習(xí)。二、講授新課［師］請同學(xué)們畫一個圓，以A、C為端點的弧所對的圓周角有多少個？（至少畫三個）它們的大小有什么關(guān)系？你是如何得到的？［生］弧AC所對的圓周角有無數(shù)個，它們的大小相等，我是通過度量得到的。［師］大家想一想，我們能否用驗證的方法得到上圖中的ZABC=ZADC=ZAEC?（同學(xué)們互相交流、討論）［生］由圖可以看出，ZABC、ZADC和ZAEC是同?。ɑC）所對的圓周角，根據(jù)上節(jié)課我們所學(xué)的圓周角定理可知，它們都等于圓心角ZAOC的一半，所以這幾個圓周角相等。［師］通過剛才同學(xué)的學(xué)習(xí)，我們上面提出的問題ZA=ZD或ZC=ZB找到答案了嗎？［生］找到了，它們屬于同弧所對的圓周角。由于它們都等于同弧所對圓心角的一半，這樣可知ZA=ZD或ZC=ZB.［師］如果我們把上面的同弧改成等弧，結(jié)論一樣嗎？［生］一樣，等弧所對的圓心角相等，而圓周角等于圓心角的一半，這樣，我們便可得到等弧所對的圓周角相等。［師］通過我們剛才的探討，我們可以得到一個推論。在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。［師］若將上面推論中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，結(jié)論成立嗎？請同學(xué)們互相議一議。［生］如圖，結(jié)論不成立。因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，在弦不是直徑的情況下是不相等的。注意：（1）“同弧”指“同一個圓”。（2）“等弧”指“在同圓或等圓中”。（3）“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”。［師］接下來我們看下面的問題：如圖，BC是?O的直徑，它所對的圓周角是銳角、直角，還是鈍角？你是如何判斷的？（同學(xué)們互相交流，討論）［生］直徑BC所對的圓周角是直角，因為一條直徑將圓分成了兩個半圓，而半圓所對的圓心角是ZBOC=180°，所以ZBAC=Z90°O［師］反過來，在圖中，如果圓周角ZBAC=90。，那么它所對的弦BC經(jīng)過圓心O嗎？為什么？［生］弦BC經(jīng)過圓心O,因為圓周角ZBAC=90°。連結(jié)OB、OC，所以圓心角ZBOC=180°，即BOC是一條線段，也就是BC是?O的一條直徑。［師］通過剛才大家的交流，我們又得到了圓周角定理的又一個推論：直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。注意：這一推論應(yīng)用非常廣泛，一般地，如果題目的已知條件中有直徑時，往往作出直徑上的圓周角——直角：如果需要直角或證明垂直時，往往作出直徑即可解決問題。［師］為了進(jìn)一步熟悉推論，我們看下面的例題。［例］如圖示，AB是?O的直徑，BD是?O的弦，延長BD到C,使AC=AB,BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？［師生共析］由于AB是?O的直徑，故連接AD.由推論直徑所對的圓周角是直角，便可得AD丄BC,又因為△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的二線合一，可證得BD=CD.下面哪位同學(xué)能敘述一下理由？［生］BD=CD.理由是:連結(jié)AD.VAB是?O的直徑，???ZADB=90°。即AD丄BC.又?.?AC=AB,???BD=CD.［師］通過我們學(xué)習(xí)圓周角定理及推論，大家互相交流，討論一下，我們探索上述問題時，用到了哪些方法？試舉例說明。［生］在得出本節(jié)的結(jié)論過程中，我們用到了度量與證明的方法，比如說在研究同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；還學(xué)到了分類與轉(zhuǎn)化的方法。比如說在探索圓周角定理過程中，定理的證明應(yīng)分三種情況，在這三種情況中，第一種情況是特殊情況，是證明的基礎(chǔ)，其他兩種情況都可以轉(zhuǎn)化為第一種情況來解決，再比如說，學(xué)習(xí)圓周角定義時，可由前面學(xué)習(xí)列的圓心角類比得出圓周角的概念。三、隨堂練習(xí)為什么有些電影院的坐位排列（橫排）呈圓弧形？說一說這種設(shè)計的合理性。答：有些電影院的坐位排列呈圓弧形，這樣設(shè)計的理由是盡量保證同排的觀眾視角相等。2?如下圖，哪個角與ZBAC相等？答：ZBDC=ZBAC.3.如下圖，?O的直徑AB=10cm,C為?O上的一點，ZABC=30°，求AC的長。解：TAB為?O的直徑。???ACB=90°。又VZABC=30°，.?.AC二1AB=1X10=5(cm)。224.小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好為半圓形，根據(jù)下圖，你能判斷哪個是半圓形？為什么？答：圖(2)是半圓形、理由是：90°的圓周角所對的弦是直徑。四、下面我們一起來看一個問題：做一做船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁，如下圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個危險臨界點，ZACB就是“危險角”。當(dāng)船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時，就有可能觸礁；當(dāng)船與兩個燈塔的夾角小于“危險角”時，就能避免觸礁。（1）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角Za大于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？（2）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角Za小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？分析：這是一個有實際背景的問題，由題意可知：“危險角”ZACB實際上就是圓周角，船P與兩個燈塔的夾角為Za，P有可能在?O外，P有可能在?O內(nèi)，當(dāng)Za〉ZC時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)；當(dāng)ZaVZC時，船位于暗礁區(qū)域外，我們可采用反證法進(jìn)行論證。解：（1）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角Za大于“危險角”ZC時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)（即?O內(nèi)），理由是：連結(jié)BE，假設(shè)船在（?O上，則有Za=ZC，這與Za〉ZC矛盾，所以船不可能在?O上；假設(shè)船在?O外，則有ZaVZAEB，即ZaVZC,這與Za〉ZC矛盾，所以船不可能在?O外。因此。船只能位于?O內(nèi)。（2）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角Za小于“危險角”ZC時，船位于暗礁區(qū)域外（即?O外）。理由是：假設(shè)船在?O上，則有Za=ZC,這與Za<ZC矛盾，所以船不可能在?O上；假設(shè)船在?O內(nèi)，則有Za>ZAEB，即Za>ZC.這與Za<ZC矛盾，所以船不可能在?O內(nèi)，因此，船只能位于?O外。注意：用反證法證明命題的一般步驟：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾。（3）山矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。五、課時小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的2個推論，結(jié)合我們上節(jié)課學(xué)到的圓周角定理，我們知道，在同圓或等圓中，根據(jù)弦及其所對的圓心角，弧，弦、弦心距之間的關(guān)系，實現(xiàn)了圓中這些量之間相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化，而圓周角定理建立了圓心角與圓周角之間的關(guān)系，因此，最終實現(xiàn)了圓中的角（圓心角和圓周角），線段（弦、弦心距）、弧等量與量之間相等關(guān)系的相等相互轉(zhuǎn)化，從而為研究圓的性質(zhì)提供了有力的工具和方法。六、活動與探究1.如下圖，BC為?O的直徑，AD丄BC于D,P是弧AC上一動點，連結(jié)PB分別交AD、AC于點E、F。當(dāng)弧PA二弧AB時，求證：AE=EB；當(dāng)點P在什么位置時，AF=EF，證明你的結(jié)論。［過程］(1)連結(jié)AB.證AE=EB.需證ZABE=ZBAEO(2)執(zhí)果索因?qū)l件：要AF=EF，即要ZA=ZAEF，而ZAEF二ZBED,而要ZA=ZBED,只需ZB=ZC，從而轉(zhuǎn)化為弧PC=弧AB.［結(jié)果］(1)證明：延長AD交?O于點M,連結(jié)AB、BM。VBC為?O的直徑，AD丄BC于D.???弧AB二弧BM。???ZBAD=ZBMD.又???弧AB二弧AP，AZABP=ZBMD.???ZBAD=ZABP。???AE=BE。(2)當(dāng)弧PC二弧AB時，AF=EFO證明：???弧PC二弧AB，AZPBC=ZACB.而ZAEF=ZBED=90°-ZPBC，ZEAF=90°-ZACB.AZAEF=ZEAFO?AF=EF。【板書設(shè)計】圓周角和圓心角的關(guān)系一、推論一：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。二、推論二：直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對