1第2章牛頓運(yùn)動(dòng)定律

-動(dòng)能、勢(shì)能和功能原理吳慶文1第2章牛頓運(yùn)動(dòng)定律吳慶文2第9節(jié)動(dòng)能動(dòng)能定理動(dòng)能功動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功等于其動(dòng)能的增加。單位:焦耳符號(hào)J1J＝1N·m一維勻加速運(yùn)動(dòng)：2第9節(jié)動(dòng)能動(dòng)能定理動(dòng)能功動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做3abott+dt一般情況：元功功動(dòng)能定理3abott+dt一般情況：元功功動(dòng)能定理4功率——做功的快慢平均功率：瞬時(shí)功率(功率)：?jiǎn)挝?瓦特符號(hào)W1W＝1J·s－1

合力做的功：若有多個(gè)力同時(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)上，則分力做功的代數(shù)和4功率——做功的快慢平均功率：瞬時(shí)功率(功率)：?jiǎn)挝?瓦5例1.速度大小為v0=20m/s的風(fēng)作用于面積為S=25m2

的船帆上,作用力,其中a為無(wú)量綱的常數(shù),ρ為空氣密度，v為船速。

(1)求風(fēng)的功率最大時(shí)的條件；

(2)a=l,v=15m/s,=1.2kg/m,

求t=60s內(nèi)風(fēng)力所做的功。解:(1)令即則時(shí),P最大。5例1.速度大小為v0=20m/s的風(fēng)作用于面積為S=256(2)當(dāng)a=l,v=15m/s,=1.2kg/m時(shí),

求t=60s內(nèi)風(fēng)力所做的功。解:6(2)當(dāng)a=l,v=15m/s,=1.2kg/7x正功負(fù)功注意：(1)功是標(biāo)量，但有正負(fù),且與參考系有關(guān)。(2)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功,不僅與始、末位置有關(guān)，

而且往往與路徑有關(guān)。x7x正功負(fù)功注意：(1)功是標(biāo)量，但有正負(fù),且與參考系有8保守力：對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功的大小只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)。非保守力：對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功的大小不但與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而且還與路徑有關(guān)。第10節(jié)保守力勢(shì)能如：摩擦力,物體間相互作非彈性碰撞時(shí)的沖擊力都屬于非保守力等。

如：重力、彈力、萬(wàn)有引力等。簡(jiǎn)單判據(jù)（充分條件）：（1）對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)，力是位置x的單值函數(shù)則為保 守力，如彈性力；（2）一維以上的運(yùn)動(dòng)，大小與方向都與位置無(wú)關(guān)的 力，如重力；（3）有心力

8保守力：對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功的大小只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與路徑無(wú)9選取某處(b)的勢(shì)能為0勢(shì)能保守力做的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值。即：質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中任一位置的勢(shì)能等于把質(zhì)點(diǎn)由該位置移到勢(shì)能零點(diǎn)過(guò)程中保守力所做的功。9選取某處(b)的勢(shì)能為0勢(shì)能保守力做的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值10彈力：xb

=0為勢(shì)能零點(diǎn)重力：yb

=0為勢(shì)能零點(diǎn)萬(wàn)有引力：幾種常見保守力：有心力10彈力：xb=0為勢(shì)能零點(diǎn)重力：yb=0為勢(shì)能零點(diǎn)11rb

=為勢(shì)能零點(diǎn)Mm引力勢(shì)能，負(fù)值。它表示一質(zhì)點(diǎn)從引力場(chǎng)中某處移到無(wú)限遠(yuǎn)過(guò)程中，萬(wàn)有引力總是做負(fù)功。11rb=為勢(shì)能零點(diǎn)Mm引力勢(shì)能，負(fù)值。它表示一質(zhì)點(diǎn)從12（1）保守力(如:重力,彈力,萬(wàn)有引力)的功與路徑無(wú)關(guān),由此可以引入的勢(shì)能概念。（2）質(zhì)點(diǎn)在任一位置的勢(shì)能,等于把質(zhì)點(diǎn)由該位置移到勢(shì)能為零的點(diǎn)的過(guò)程中,保守力所做的功:注：原則上,勢(shì)能零點(diǎn)可任選。（3）保守力將質(zhì)點(diǎn)由a

沿任意路徑移動(dòng)到b

再由

b

沿任意路徑移回到a

點(diǎn)，那么保守力的環(huán)流為零ab12（1）保守力(如:重力,彈力,萬(wàn)有引力)的功與路（2）質(zhì)13由勢(shì)能求保守力保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值又比較以上式子可得13由勢(shì)能求保守力保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值又比較以上式14要求上式對(duì)任意的dx,dy,dz成立,則必有：若已知系統(tǒng)勢(shì)能,利用上式,可由勢(shì)能求保守力.14要求上式對(duì)任意的dx,dy,dz成立,則必有：若已15第11節(jié)功能原理機(jī)械能守恒=+系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于非保守力的做功。

—功能原理

稱為：機(jī)械能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：15第11節(jié)功能原理機(jī)械能守恒=+系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于16系統(tǒng)機(jī)械能守恒:

只有保守力作功,系統(tǒng)的總機(jī)械能保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：外力的總功與內(nèi)力的總功之代數(shù)和等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量——質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

注意：系統(tǒng)動(dòng)量的改變僅取決于系統(tǒng)所受到的外力，但系統(tǒng)動(dòng)能的改變則和內(nèi)力、外力做功均有關(guān)！16系統(tǒng)機(jī)械能守恒:質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：外力的17系統(tǒng)的機(jī)械能質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于外力的功和非保守內(nèi)力的功的總和?！δ茉?/p>

質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：17系統(tǒng)的機(jī)械能質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于外力的功和非保守內(nèi)力的18質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：如果：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力做功，非保守內(nèi)力和一切外力都不做功，或者非保守內(nèi)力和一切外力的總功為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能保持恒定。

——質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒定律18質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：如果：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力做功，非19例4.質(zhì)量為m

的小球系在線的一端，線的另一端固定，線長(zhǎng)L，先拉動(dòng)小球，使線水平張直，然后松手讓小球落下求線擺下角時(shí)，小球的速率和線的張力。aLb解：用牛頓第二定律建立自然坐標(biāo)受力分析：用dS乘(1)的兩邊：將上述結(jié)果代入(2):19例4.質(zhì)量為m的小球系在線的一端，線的另一端固定，aL20解法二：用動(dòng)能定理aLb020解法二：用動(dòng)能定理aLb021解法三：用機(jī)械能守恒定律研究對(duì)象：小球、線、地球組成的系統(tǒng)。只有重力作功，Ea=Eb，機(jī)械能守恒。令

b

處勢(shì)能為零21解法三：用機(jī)械能守恒定律研究對(duì)象：小球、線、地球組成的系22動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒動(dòng)能定理機(jī)械能守恒

解決問題的思路可按此順序倒過(guò)來(lái)，首先考慮用守恒定律解決問題。若要求力的細(xì)節(jié)或求加速度則必須用牛頓第二定律。

幾點(diǎn)說(shuō)明：

以上所討論的動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理、動(dòng)能定理都是來(lái)自牛頓定律，所以只適用慣性系，在非慣性系必須加慣性力的作用，才可用這些定理。22動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒動(dòng)能定理機(jī)械能守23例、如圖所示,一質(zhì)量為M的光滑圓環(huán),半徑為R,

用細(xì)線懸掛在支點(diǎn)上,環(huán)上串有質(zhì)量都是m的兩個(gè)珠子,讓兩珠從環(huán)頂同時(shí)靜止釋放向兩邊下滑,問滑到何處(用表示)時(shí)環(huán)將開始上升？mm解：

由于環(huán)對(duì)珠的支承力不做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。當(dāng)滑到圖中位置時(shí)有珠子受的法向分力為故，環(huán)開始上升時(shí)速度足夠大時(shí)將反向．由以上三式解得23例、如圖所示,一質(zhì)量為M的光滑圓環(huán),半徑為R,24作業(yè)：第2章—做完24作業(yè)：第2章—做完252526Laplace算符：26Laplace算符：272728注意：范圍：慣性系、宏觀低速運(yùn)動(dòng)（只有動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒、能量守恒對(duì)宏觀、微觀都適用）。

10各定理、定律的表達(dá)式，適用條件，適用范圍。

20由牛頓第二定律推出：動(dòng)量定理動(dòng)能定理機(jī)械能守恒定律動(dòng)量守恒定律功能原理角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

解決問題的思路按此順序倒過(guò)來(lái)，首先考慮用守恒定律解決問題。若要求力的細(xì)節(jié)則必須用牛頓第二定律。

30有些綜合問題，既有重力勢(shì)能，又有彈性勢(shì)能，注意各勢(shì)能零點(diǎn)的位置，不同勢(shì)能零點(diǎn)位置可以同，也可以不同。（問：一般選哪里為勢(shì)能零點(diǎn)？）28注意：范圍：慣性系、宏觀低速運(yùn)動(dòng)（只有動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守2940

有些問題涉及臨界現(xiàn)象（如彈簧下面的板剛好提離地面、小球剛好脫離圓形軌道、木塊剛好不下滑等）。解題時(shí)先建立運(yùn)動(dòng)滿足的方程，再加上臨界條件（往往是某些力為零或

v、a

為零等）。50

特別注意用高等數(shù)學(xué)來(lái)解的問題。凡有極值問題要用求導(dǎo)的方法。2940有些問題涉及臨界現(xiàn)象（如彈簧下面的板剛好30例3.

力作用在質(zhì)量為m＝2kg的質(zhì)點(diǎn)上，使質(zhì)點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng),試求最初2s內(nèi)這個(gè)力所做的功。解:30例3.力作用在質(zhì)31例3.一人從H＝10m深的水井中提水,開始時(shí),桶中裝有M＝10kg的水(忽略桶的質(zhì)量).由于水桶漏水,每升高1m要漏出0.2kg的水,求將水桶勻速地從井中提到井口的過(guò)程中,人所做的功。解:因水勻速上升oyy31例3.一人從H＝10m深的水井中提水,開始時(shí),桶中解:32例、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m,沿x軸運(yùn)動(dòng),其加速度與速度成正比(比例系數(shù)為k),方向相反.設(shè)該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初速度為v0。(1)試寫出該質(zhì)點(diǎn)在x軸方向運(yùn)動(dòng)的受力表示式。(2)該質(zhì)點(diǎn)在x軸方向運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中所受的力做了多少功?解:(1)(2)32例、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m,沿x軸運(yùn)動(dòng),其加速度與解:(33如果不是恒力：如果是勻速圓周運(yùn)動(dòng)：33如果不是恒力：如果是勻速圓周運(yùn)動(dòng)：34abott+dt——元功動(dòng)能定理合力34abott+dt——元功動(dòng)能定理合力35方向與運(yùn)動(dòng)方向相反xa

xb:xa

-A’xb:彈力與摩擦力做功x-A’35方向與運(yùn)動(dòng)方向相反xaxb:xa-A’36第2章牛頓運(yùn)動(dòng)定律

-動(dòng)能、勢(shì)能和功能原理吳慶文1第2章牛頓運(yùn)動(dòng)定律吳慶文37第9節(jié)動(dòng)能動(dòng)能定理動(dòng)能功動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功等于其動(dòng)能的增加。單位:焦耳符號(hào)J1J＝1N·m一維勻加速運(yùn)動(dòng)：2第9節(jié)動(dòng)能動(dòng)能定理動(dòng)能功動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做38abott+dt一般情況：元功功動(dòng)能定理3abott+dt一般情況：元功功動(dòng)能定理39功率——做功的快慢平均功率：瞬時(shí)功率(功率)：?jiǎn)挝?瓦特符號(hào)W1W＝1J·s－1

合力做的功：若有多個(gè)力同時(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)上，則分力做功的代數(shù)和4功率——做功的快慢平均功率：瞬時(shí)功率(功率)：?jiǎn)挝?瓦40例1.速度大小為v0=20m/s的風(fēng)作用于面積為S=25m2

的船帆上,作用力,其中a為無(wú)量綱的常數(shù),ρ為空氣密度，v為船速。

(1)求風(fēng)的功率最大時(shí)的條件；

(2)a=l,v=15m/s,=1.2kg/m,

求t=60s內(nèi)風(fēng)力所做的功。解:(1)令即則時(shí),P最大。5例1.速度大小為v0=20m/s的風(fēng)作用于面積為S=2541(2)當(dāng)a=l,v=15m/s,=1.2kg/m時(shí),

求t=60s內(nèi)風(fēng)力所做的功。解:6(2)當(dāng)a=l,v=15m/s,=1.2kg/42x正功負(fù)功注意：(1)功是標(biāo)量，但有正負(fù),且與參考系有關(guān)。(2)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功,不僅與始、末位置有關(guān)，

而且往往與路徑有關(guān)。x7x正功負(fù)功注意：(1)功是標(biāo)量，但有正負(fù),且與參考系有43保守力：對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功的大小只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)。非保守力：對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功的大小不但與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而且還與路徑有關(guān)。第10節(jié)保守力勢(shì)能如：摩擦力,物體間相互作非彈性碰撞時(shí)的沖擊力都屬于非保守力等。

如：重力、彈力、萬(wàn)有引力等。簡(jiǎn)單判據(jù)（充分條件）：（1）對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)，力是位置x的單值函數(shù)則為保 守力，如彈性力；（2）一維以上的運(yùn)動(dòng)，大小與方向都與位置無(wú)關(guān)的 力，如重力；（3）有心力

8保守力：對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功的大小只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與路徑無(wú)44選取某處(b)的勢(shì)能為0勢(shì)能保守力做的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值。即：質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中任一位置的勢(shì)能等于把質(zhì)點(diǎn)由該位置移到勢(shì)能零點(diǎn)過(guò)程中保守力所做的功。9選取某處(b)的勢(shì)能為0勢(shì)能保守力做的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值45彈力：xb

=0為勢(shì)能零點(diǎn)重力：yb

=0為勢(shì)能零點(diǎn)萬(wàn)有引力：幾種常見保守力：有心力10彈力：xb=0為勢(shì)能零點(diǎn)重力：yb=0為勢(shì)能零點(diǎn)46rb

=為勢(shì)能零點(diǎn)Mm引力勢(shì)能，負(fù)值。它表示一質(zhì)點(diǎn)從引力場(chǎng)中某處移到無(wú)限遠(yuǎn)過(guò)程中，萬(wàn)有引力總是做負(fù)功。11rb=為勢(shì)能零點(diǎn)Mm引力勢(shì)能，負(fù)值。它表示一質(zhì)點(diǎn)從47（1）保守力(如:重力,彈力,萬(wàn)有引力)的功與路徑無(wú)關(guān),由此可以引入的勢(shì)能概念。（2）質(zhì)點(diǎn)在任一位置的勢(shì)能,等于把質(zhì)點(diǎn)由該位置移到勢(shì)能為零的點(diǎn)的過(guò)程中,保守力所做的功:注：原則上,勢(shì)能零點(diǎn)可任選。（3）保守力將質(zhì)點(diǎn)由a

沿任意路徑移動(dòng)到b

再由

b

沿任意路徑移回到a

點(diǎn)，那么保守力的環(huán)流為零ab12（1）保守力(如:重力,彈力,萬(wàn)有引力)的功與路（2）質(zhì)48由勢(shì)能求保守力保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值又比較以上式子可得13由勢(shì)能求保守力保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值又比較以上式49要求上式對(duì)任意的dx,dy,dz成立,則必有：若已知系統(tǒng)勢(shì)能,利用上式,可由勢(shì)能求保守力.14要求上式對(duì)任意的dx,dy,dz成立,則必有：若已50第11節(jié)功能原理機(jī)械能守恒=+系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于非保守力的做功。

—功能原理

稱為：機(jī)械能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：15第11節(jié)功能原理機(jī)械能守恒=+系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于51系統(tǒng)機(jī)械能守恒:

只有保守力作功,系統(tǒng)的總機(jī)械能保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：外力的總功與內(nèi)力的總功之代數(shù)和等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量——質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

注意：系統(tǒng)動(dòng)量的改變僅取決于系統(tǒng)所受到的外力，但系統(tǒng)動(dòng)能的改變則和內(nèi)力、外力做功均有關(guān)！16系統(tǒng)機(jī)械能守恒:質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：外力的52系統(tǒng)的機(jī)械能質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于外力的功和非保守內(nèi)力的功的總和。——功能原理

質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：17系統(tǒng)的機(jī)械能質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于外力的功和非保守內(nèi)力的53質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：如果：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力做功，非保守內(nèi)力和一切外力都不做功，或者非保守內(nèi)力和一切外力的總功為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能保持恒定。

——質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒定律18質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：如果：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力做功，非54例4.質(zhì)量為m

的小球系在線的一端，線的另一端固定，線長(zhǎng)L，先拉動(dòng)小球，使線水平張直，然后松手讓小球落下求線擺下角時(shí)，小球的速率和線的張力。aLb解：用牛頓第二定律建立自然坐標(biāo)受力分析：用dS乘(1)的兩邊：將上述結(jié)果代入(2):19例4.質(zhì)量為m的小球系在線的一端，線的另一端固定，aL55解法二：用動(dòng)能定理aLb020解法二：用動(dòng)能定理aLb056解法三：用機(jī)械能守恒定律研究對(duì)象：小球、線、地球組成的系統(tǒng)。只有重力作功，Ea=Eb，機(jī)械能守恒。令

b

處勢(shì)能為零21解法三：用機(jī)械能守恒定律研究對(duì)象：小球、線、地球組成的系57動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒動(dòng)能定理機(jī)械能守恒

解決問題的思路可按此順序倒過(guò)來(lái)，首先考慮用守恒定律解決問題。若要求力的細(xì)節(jié)或求加速度則必須用牛頓第二定律。

幾點(diǎn)說(shuō)明：

以上所討論的動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理、動(dòng)能定理都是來(lái)自牛頓定律，所以只適用慣性系，在非慣性系必須加慣性力的作用，才可用這些定理。22動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒動(dòng)能定理機(jī)械能守58例、如圖所示,一質(zhì)量為M的光滑圓環(huán),半徑為R,

用細(xì)線懸掛在支點(diǎn)上,環(huán)上串有質(zhì)量都是m的兩個(gè)珠子,讓兩珠從環(huán)頂同時(shí)靜止釋放向兩邊下滑,問滑到何處(用表示)時(shí)環(huán)將開始上升？mm解：

由于環(huán)對(duì)珠的支承力不做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。當(dāng)滑到圖中位置時(shí)有珠子受的法向分力為故，環(huán)開始上升時(shí)速度足夠大時(shí)將反向．由以上三式解得23例、如圖所示,一質(zhì)量為M的光滑圓環(huán),半徑為R,59作業(yè)：第2章—做完24作業(yè)：第2章—做完602561Laplace算符：26Laplace算符：622763注意：范圍：慣性系、宏觀低速運(yùn)動(dòng)（只有動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒、能量守恒對(duì)宏觀、微觀都適用）。

10各定理、定律的表達(dá)式，適用條件，適用范圍。

20由牛頓第二定律推出：動(dòng)量定理動(dòng)能定理機(jī)械能守恒定律動(dòng)量守恒定律功能原理角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

解決問題的思路按此順序倒過(guò)來(lái)，首先考慮用守恒定律解決問題。若要求力的細(xì)節(jié)則必須用牛頓第二定律。

30有些綜合問題，既有重力勢(shì)能，又有彈性勢(shì)能，注意各勢(shì)能零點(diǎn)的位置，不同勢(shì)能零點(diǎn)位置可以同，也可以不同。（問：一般選哪里為勢(shì)能零點(diǎn)？）28注意：范圍：慣性系、宏觀低速運(yùn)動(dòng)（只有動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守64