SummerGrassFadeArialFontFamilySummerGrassFadeArialFontFa2022/12/1324插值和擬合4.1引言4.2插值4.3分段低次插值4.4三次樣條插值4.5正交多項(xiàng)式4.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/1024插值和擬合4.1引言2022/12/1334.1引言4.1.1函數(shù)的插值4.1.2離散數(shù)據(jù)的擬合插值和擬合都是在給定點(diǎn)列{xi，yi}0n的條件下，按照某些原則，確定一個(gè)近似函數(shù)。二者的區(qū)別在于，插值要求給定點(diǎn)列必須在近似函數(shù)中，擬合則無此要求。

2022/12/1034.1引言4.1.1函數(shù)的插值2022/12/1344.1引言4.1.1函數(shù)的插值區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)的全體記為C[a，b]定義4.1.1設(shè)y=f(x)∈C[a，b]，已知f在C[a，b]上n+1個(gè)互異點(diǎn)a≤x0,

x1

,…

,xn-1,

xn≤b

xi≠xj（i

≠j

）的值yi=f(xi)（i=0，1，2，…，n

）如果有不超過n次的多項(xiàng)式Ln(x)=c0+c1x+c2x2

+…+cnxn2022/12/1044.1引言4.1.1函數(shù)的插值2022/12/1354.1引言滿足

Ln(xi)

=yi（i=0，1，2，…，n

）(4.1)稱Ln(x)為f(x)在區(qū)間[a，b]上通過點(diǎn)列{xi,yi}0n的插值多項(xiàng)式。其中，[a，b]稱為插值區(qū)間，{xi,yi}0n稱為插值節(jié)點(diǎn)，

xi稱為插值點(diǎn)，f(xi)稱為插值函數(shù)，(4.1)稱為插值條件。2022/12/1054.1引言滿足稱Ln(x)2022/12/1364.1引言定理4.1.1由式(4.1)確定的插值多項(xiàng)式Ln(x)存在唯一。插值的工程背景

函數(shù)插值的基本問題：存在性、唯一性、構(gòu)造方法、截?cái)嗾`差、收斂性、數(shù)值穩(wěn)定性2022/12/1064.1引言定理4.1.1由式(42022/12/1374.1引言4.1.2離散數(shù)據(jù)的擬合如果離散數(shù)據(jù)本身有誤差。則不必強(qiáng)調(diào)近似函數(shù)一定通過所給定的序列。為此需要增加條件以確定近似函數(shù)y=(x)⑴選擇(x)由此決定建立的是線性還是非線性數(shù)學(xué)模型。

⑵確定數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)擬合的基本問題：存在性、唯一性、構(gòu)造方法、截?cái)嗾`差、收斂性、數(shù)值穩(wěn)定性。

2022/12/1074.1引言4.1.2離散數(shù)據(jù)的2022/12/1384.2插值

4.2.1拉格朗日插值法

4.2.2插值的余項(xiàng)4.2.3均差和牛頓插值

2022/12/1084.2插值4.2.1拉格朗日插值2022/12/1394.2插值4.2.1拉格朗日插值法

已知點(diǎn)列{xi

，yi}0n，確定插值多項(xiàng)式

n=1時(shí)，點(diǎn)列包含2個(gè)點(diǎn)，{x0，y0}和{x1，y1}，則只能做一條直線。

2022/12/1094.2插值4.2.1拉格朗日插值法2022/12/13104.2插值n=2時(shí)，點(diǎn)列包含3個(gè)點(diǎn)，{x0，y0}、{x1，y1}、{x2，y2}

可做不超過2次的多項(xiàng)式

2022/12/10104.2插值n=2時(shí)，點(diǎn)列包含3個(gè)點(diǎn)2022/12/13114.2插值推廣到一般情況，定義n+1個(gè)n次多項(xiàng)式

稱為拉格朗日插值基函數(shù)。

2022/12/10114.2插值推廣到一般情況，定義n2022/12/13124.2插值n=2時(shí)的基函數(shù)2022/12/10124.2插值n=2時(shí)的基函數(shù)2022/12/13134.2插值n=3時(shí)的基函數(shù)2022/12/10134.2插值n=3時(shí)的基函數(shù)2022/12/13144.2插值插值基函數(shù)滿足

(k，i=0，1，2，…，n)

插值函數(shù)為

如果取函數(shù)為f(x)=1，則yk=1(k=0,1,2,…,n)，有

2022/12/10144.2插值插值基函數(shù)滿足(k，i2022/12/13154.2插值4.2.2插值的余項(xiàng)

令

如果f(x)C2[a，b]，采用線性插值，令

Rn(x)=f(x)Ln(x)則則2022/12/10154.2插值4.2.2插值的余項(xiàng)2022/12/13164.2插值4.2.3均差和牛頓插值

定義一階差商

如果取點(diǎn)斜式，則得到另一種形式的插值公式。如n=1時(shí)

N1(x)=y0+f[x0，x1](xx0)

2022/12/10164.2插值4.2.3均差和牛頓2022/12/13174.2插值當(dāng)n=2時(shí)，再定義一階差商和二階差商

并有

N2(x)=f(x0)+f[x0，x1](xx0)+f[x0，x1，x2](xx0)(xx1)

2022/12/10174.2插值當(dāng)n=2時(shí)，再定義一階差2022/12/13184.2插值對一般情況，定義各階差商

2022/12/10184.2插值對一般情況，定義各階差商2022/12/13194.2插值差商的性質(zhì)：1)線性性如果f(x)=ay(x)+bz(x)2)3)對稱性：2022/12/10194.2插值差商的性質(zhì)：1)線性性2022/12/13204.2插值4)

n次多項(xiàng)式關(guān)于x，xi的一階差商為n-1次多項(xiàng)式則Ln(x)仍為n次多項(xiàng)式，且Ln(xi)=0，所以設(shè)Pn(x)為n次多項(xiàng)式，令Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)=(x-xi)Pn-1(x)其中Pn-1(x)為n-1次多項(xiàng)式，從而有

2022/12/10204.2插值4)n次多項(xiàng)式關(guān)于x，2022/12/13214.2插值差商表2022/12/10214.2插值差商表2022/12/13224.2插值牛頓插值多項(xiàng)式

f

(x)=f(x0)+(xx0)f[x，x0]

f[x，x0]=f[x0，x1]+(xx1)f[x,x0,x1]f[x,x0,x1]=f[x0,x1,x2]+(xx2)f[x,x0,x1,x2]

………

f[x,x0,…,xn-1]=f[x0,x1,…,xn]+(xxn)f[x,x0,…,xn]f

(x)=f(x0)+(xx0)f[x，x0]+(xx0)(xx1)f[x0,x1,x2]+(xx0)(xx1)…(xxn-1)f[x0,x1,…,xn]+(xx0)(xx1)…(xxn)f[x,x0,…,xn]=Nn(x)+Rn(x)2022/12/10224.2插值牛頓插值多項(xiàng)式f(x2022/12/13234.2插值插值函數(shù)為

Nn(x)=f(x0)+f[x0，x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+…+f[x0,x1,…,xn](xx0)(xx1)…(xxn-1)=f(x0)+f[x0，x1]1(x)+f[x0,x1,x2]2(x)+…+f[x0,x1,…,xn]n(x)

均差與插值點(diǎn)次序無關(guān)，因此，如果增加一個(gè)新的插值點(diǎn)，以前的計(jì)算公式不變。2022/12/10234.2插值插值函數(shù)為Nn(x)2022/12/13244.2插值牛頓插值余項(xiàng)為

Rn(x)=(xx0)(xx1)…(xxn)f[x,x0,…,xn]=

n+1

(x)f[x0,x1,…,xn]

拉格朗日插值余項(xiàng)為

顯然Rn(xi)=0

因此

2022/12/10244.2插值牛頓插值余項(xiàng)為Rn(x2022/12/13254.2插值2022/12/10254.2插值2022/12/13264.2插值2022/12/10264.2插值2022/12/13274.2插值2022/12/10274.2插值2022/12/13284.3分段插值

4.3.1龍格現(xiàn)象和分段線性插值

4.3.2分段埃爾米特三次插值

2022/12/10284.3分段插值4.3.1龍格現(xiàn)2022/12/13294.3分段插值

4.3.1龍格現(xiàn)象和分段線性插值高階插值可能出現(xiàn)龍格現(xiàn)象例4.3.1函數(shù)在區(qū)間[-5,5]取等距插值節(jié)點(diǎn)當(dāng)n=10時(shí)，10次插值多項(xiàng)式L10(x)和f

(x)如下圖。出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。當(dāng)n取過高時(shí)常出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，且n繼續(xù)取大，龍格現(xiàn)象依然存在2022/12/10294.3分段插值4.3.1龍格現(xiàn)2022/12/13304.3分段插值

采用分段低次插值是消除龍格現(xiàn)象的有效方法，通常采用線性插值，三次插值等2022/12/10304.3分段插值采用分段低次插值是2022/12/13314.3分段插值

定義4.3.2函數(shù)f(x)C[a,b]，n+1個(gè)有序節(jié)點(diǎn){xi}0n滿足

稱為區(qū)間[a，b]的一個(gè)劃分。：

a=x0<x1<…<xn1<xn=b

x0和xn稱為邊界點(diǎn)，x1，…，xn1稱為內(nèi)點(diǎn)。

中的相鄰兩點(diǎn)xi，xi+1構(gòu)成區(qū)間[a,b]的子區(qū)間[xi,xi+1]

記子區(qū)間的最大長度

2022/12/10314.3分段插值定義4.3.22022/12/13324.3分段插值

則稱分段線性函數(shù)

為f(x)在區(qū)間[a,b]上關(guān)于劃分的分段線性插值多項(xiàng)式

其中插值基函數(shù)

當(dāng)i=0時(shí)沒有第1式，當(dāng)i=n時(shí)沒有第2式

。2022/12/10324.3分段插值則稱分段線性函數(shù)2022/12/13334.3分段插值

在子區(qū)間[xi，xi+1]上，Ih(x)的表達(dá)式為

可以證明，只要h充分小，因而n充分大，就可在插值區(qū)間[a，b]上滿足精度要求。即分段線性插值是一致收斂的。

分段線性插值的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。這點(diǎn)不如高階插值

2022/12/10334.3分段插值在子區(qū)間[xi，x2022/12/13344.3分段插值

4.3.2分段埃爾米特三次插值

為保證導(dǎo)數(shù)連續(xù)，增加對導(dǎo)數(shù)的要求。當(dāng)只有兩個(gè)插值點(diǎn)，x0<x1，且

yk=f(xk)，mk=f(xk)k=0，1

在區(qū)間[x0，x1]上求多項(xiàng)式H(x)，使得滿足插值條件

H(xk)=yk，H(xk)=mk

k=0，1

因?yàn)橛?個(gè)插值條件，因此插值函數(shù)H(x)為次數(shù)不超過3次的多項(xiàng)式，稱為埃爾米特三次插值。

2022/12/10344.3分段插值4.3.2分段埃2022/12/13354.3分段插值

定理4.3.1設(shè)f(x)C1[x0，x1]，則在區(qū)間[x0，x1]上滿足插值條件的不超過3次的多項(xiàng)式H(x)存在唯一。并有H(xk)=yk，H(xk)=mk

k=0，1

H(x)=0(x)y0+1(x)y1+0(x)m0+1(x)m1

2022/12/10354.3分段插值定理4.3.12022/12/13364.3分段插值

其中插值基函數(shù)

2022/12/10364.3分段插值其中插值基函數(shù)2022/12/13374.3分段插值

2022/12/10374.3分段插值2022/12/13384.3分段插值

如果f(x)C4[a，b]，插值余項(xiàng)為

Rn(x)=f(x)Ln(x)=

(xx0)2(xx1)2x[x0，x1]

這里：x=(x)(x0，x1)

2022/12/10384.3分段插值如果f(x)C42022/12/13394.3分段插值

插值基函數(shù)滿足的條件為

0(x0)=1，0(x1)=0，0(x0)=0，0(x1)=01(x0)=0，1(x1)=1，1(x0)=0，1(x1)=00(x0)=0，0(x1)=0，0(x0)=1，0(x1)=0

1(x0)=0，1(x1)=0，1(x0)=0，1(x1)=0

2022/12/10394.3分段插值插值基函數(shù)滿足的條2022/12/13404.3分段插值

定義4.3

設(shè)f(x)C1[a，b]，對于劃分

記子區(qū)間的最大長度

：

a=x0<x1<…<xn1<xn=b

yi=f(xi)，mi=f(xi)i=0，1，2，…

，n

則稱分段三次線性函數(shù)

Hh(x)=i(x)yi+i+1(x)yi+1+i(x)mi+i+1(x)mi+1

x[xi，xi+1]，i=0，1，2，…，n1

為f(x)在區(qū)間[a，b]上關(guān)于劃分的分段埃爾米特三次插值多項(xiàng)式。2022/12/10404.3分段插值定義4.3設(shè)f2022/12/13414.3分段插值

其中插值基函數(shù)為2022/12/10414.3分段插值其中插值基函數(shù)為2022/12/13424.3分段插值

Hh(x)滿足邊界條件

Hh(x0)=y0，Hh(x0)=m0Hh(xn)=yn，Hh(xn)=mn

和內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的銜接條件

Hh(xi0)=Hh(xi+0)=yi，Hh(xi0)=Hh(xi+0)=mi

i=0，1，2，…，n1

2022/12/10424.3分段插值Hh(x)滿足邊2022/12/13434.3分段插值

可以證明，如果f(x)C1[a，b]，則Hh(x)一致收斂到f(x)，且Hh(x)一致收斂到f(x)。

埃爾米特三次插值需要知道函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值

2022/12/10434.3分段插值可以證明，如果f(2022/12/13444.4三次樣條插值4.4.1樣條插值的背景和定義

4.4.2三次樣條插值的定解條件

4.4.3三彎矩方程

2022/12/10444.4三次樣條插值4.4.12022/12/13454.4三次樣條插值4.4.1樣條插值的背景和定義

埃爾米特三次插值需要知道函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，而且二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。

定義4.4

對于區(qū)間[a，b]，給定一個(gè)劃分

：

a=x0<x1<…<xn1<xn=b(n≥2)

如果函數(shù)s(x)在每個(gè)子區(qū)間[xi，xi+1]都是不超過m次的多項(xiàng)式(m≥1)，并且m1導(dǎo)數(shù)s(m1)(x)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)x1，…，xn1處連續(xù)，則稱s(x)為區(qū)間[a，b]上關(guān)于劃分的m次樣條函數(shù)。

2022/12/10454.4三次樣條插值4.4.1樣條2022/12/13464.4三次樣條插值對于函數(shù)f(x)C[a，b]，如果s(x)還滿足插值條件

s(xi)=f(xi)i=0，1，2，…，n

則稱s(x)為f(x)在區(qū)間[a，b]上關(guān)于劃分的m次樣條插值多項(xiàng)式。

2022/12/10464.4三次樣條插值對于函數(shù)f(2022/12/13474.4三次樣條插值4.4.2三次樣條插值的定解條件

三次樣條插值多項(xiàng)式s(x)是在劃分上的分段三次多項(xiàng)式

s(x)=aix3+bix2+cix+di

i=0，1，2，…，n1

其中ai、bi、ci、di為待定系數(shù)，共4

n個(gè)。s(x)應(yīng)該滿足的條件有

⑴

插值和函數(shù)連續(xù)條件2n個(gè)；

⑵

n1個(gè)內(nèi)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件

s(xi0)=s(xi+0)i=0，1，2，…，n1

2022/12/10474.4三次樣條插值4.4.2三2022/12/13484.4三次樣條插值⑶

n1個(gè)內(nèi)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件

s(xi0)=s(xi+0)i=0，1，2，…，n1

一共4

n2個(gè)條件，因此需要附加兩個(gè)條件。

①固支條件

已知兩端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)

s(x0)=f(x0)，s(xn)=f(xn)

②已知兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)

s(x0)=f(x0)，s(xn)=f(xn)

如果兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)f(x0)=f(xn)=0，稱為自然邊界條件

常用的有如下三個(gè)條件

2022/12/10484.4三次樣條插值⑶n1個(gè)2022/12/13494.4三次樣條插值③周期條件

s(x0+0)=s(xn0)s(x0+0)=s(xn0)

其中，顯然有s(x0+0)=s(xn0)。

這種方法需要求解4n階的線性方程組2022/12/10494.4三次樣條插值③周期條件s2022/12/13504.4三次樣條插值4.4.3三彎矩方程

三彎矩方程只需要解一個(gè)不超過n+1階的線性方程組。

hi=xi+1xii=0，1，2，…，n1

把[a，b]看作一段梁，劃分的內(nèi)點(diǎn)上作用剪力，設(shè)子區(qū)間[xi，xi+1]的長度為

在子區(qū)間[xi，xi+1]上，彎矩為線性函數(shù)，設(shè)彎矩

M(x)=s(x)Mi=M(xi)

2022/12/10504.4三次樣條插值4.4.32022/12/13514.4三次樣條插值則

x[xi，xi+1]

i=0，1，2，…，n1

上式保證了在內(nèi)點(diǎn)處s(x)連續(xù)。

經(jīng)過兩次不定積分，有

x[xi，xi+1]

i=0，1，2，…，n1

2022/12/10514.4三次樣條插值則x[x2022/12/13524.4三次樣條插值由插值條件可得

x[xi，xi+1]

i=0，1，2，…，n1

此即三次樣條插值2022/12/10524.4三次樣條插值由插值條件可得2022/12/13534.4三次樣條插值它的一階導(dǎo)數(shù)x[xi，xi+1]

i=0，1，2，…，n1

其中，f[xi，xi+1]是一階差商。因此s(xi+0)=f[xi，xi+1]hi(2Mi+Mi+1)/6

s(xi+10)=f[xi，xi+1]+hi(Mi+2Mi+1)/6

由于在內(nèi)節(jié)點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，有

s(xi0)=s(xi+0)

2022/12/10534.4三次樣條插值它的一階導(dǎo)數(shù)2022/12/13544.4三次樣條插值即

i=1，2，…，n1

令

f[xi1，xi]+hi1(2Mi1+Mi)/6=f[xi，xi+1]hi(2Mi+Mi+1)/6

iMi1+2Mi

+iMi+1=f[xi1，xi，xi+1]

i=1，2，…，n1

這是待定值{

Mi

}n0滿足的線性方程組，稱為三彎矩方程。2022/12/10544.4三次樣條插值即i=1，2022/12/13554.4三次樣條插值現(xiàn)在還缺2個(gè)方程，由邊界條件決定，分別為

②

M0=f(x0)Mn

=f(xn)

①

③

nM1+nMn1+2Mn=M0=Mn

其中

2022/12/10554.4三次樣條插值現(xiàn)在還缺2個(gè)方2022/12/13564.4三次樣條插值與內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程聯(lián)立，得到三種方程組

①

2022/12/10564.4三次樣條插值與內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程聯(lián)2022/12/13574.4三次樣條插值②③2022/12/10574.4三次樣條插值②③2022/12/13584.4三次樣條插值可寫成統(tǒng)一形式

AM=d

把求得的彎矩值代入,

即得到三次樣條插值多項(xiàng)式。而且還可得到它的導(dǎo)數(shù)s(x)和s(x)。

由于

i>0，

i>

0，i+i=1，因此，系數(shù)矩陣A是三對角或僅比三對角多兩個(gè)元素的嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，解存在其數(shù)值穩(wěn)定。

2022/12/10584.4三次樣條插值可寫成統(tǒng)2022/12/13594.4三次樣條插值三彎矩方程算法⑴輸入?yún)?shù)：區(qū)間[a，b]劃分

函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值

：

a=x0<x1<…<xn1<xn=b

yi=f(xi)i=0，1，2，…，n

邊界條件類型①②③2022/12/10594.4三次樣條插值三彎矩方程算法2022/12/13604.4三次樣條插值⑵計(jì)算參數(shù)hi=xi+1xif[xi，xi+1]=(xi+1xi)/hi

i=0，1，2，…，n12022/12/10604.4三次樣條插值⑵計(jì)算參數(shù)h2022/12/13614.4三次樣條插值根據(jù)邊界條件類型計(jì)算①

②M0=f(x0)Mn

=f(xn)

③

2022/12/10614.4三次樣條插值根據(jù)邊界條件類2022/12/13624.4三次樣條插值⑶求解與邊界條件對應(yīng)的三彎矩方程⑷把求得的彎矩值代入，即得到三次樣條插值多項(xiàng)式。而且還可得到它的導(dǎo)數(shù)s(x)和s(x)。2022/12/10624.4三次樣條插值⑶求解與邊界條2022/12/13634.5正交多項(xiàng)式4.5.1連續(xù)函數(shù)空間4.5.2離散點(diǎn)列上的正交多項(xiàng)式4.5.3連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式2022/12/10634.5正交多項(xiàng)式4.5.12022/12/13644.5正交多項(xiàng)式這里討論連續(xù)函數(shù)空間C[a，b]。定義4.5.1設(shè)函數(shù)f1,f2,…,fnC[a，b]，如果當(dāng)且僅當(dāng)1,2,…,n均為零時(shí)才有則稱f1,f2,…,fn線性無關(guān)，否則稱它們線性相關(guān)。連續(xù)函數(shù)空間C[a，b]是無限維的。4.5.1連續(xù)函數(shù)空間2022/12/10644.5正交多項(xiàng)式這里討論連續(xù)函數(shù)2022/12/13654.5正交多項(xiàng)式定義4.5.2設(shè)函數(shù)f1,f2,…,fnC[a，b]線性無關(guān)，它們的線性組合的全體構(gòu)成的集合記作并稱Sn為在C[a，b]中由f1,f2,…,fn張成的子空間，或生成子空間。多項(xiàng)式子空間：2022/12/10654.5正交多項(xiàng)式定義4.5.22022/12/13664.5正交多項(xiàng)式函數(shù)空間中的內(nèi)積與范數(shù)兩種：離散的和連續(xù)的設(shè)有點(diǎn)列，設(shè)離散意義下的內(nèi)積定義為函數(shù)值向量的內(nèi)積記函數(shù)fC[a，b]在點(diǎn)列處的值向量為f=[f(x0),f(x1),…,f(xm)]TRm+1

其中wi>0為給定的權(quán)數(shù)。對應(yīng)的2-范數(shù)為2022/12/10664.5正交多項(xiàng)式函數(shù)空間中的內(nèi)積2022/12/13674.5正交多項(xiàng)式連續(xù)意義下的內(nèi)積定義為其中(x)>0為給定的權(quán)函數(shù)。對應(yīng)的2-范數(shù)為2022/12/10674.5正交多項(xiàng)式連續(xù)意義下的內(nèi)積2022/12/13684.5正交多項(xiàng)式函數(shù)的正交性如果函數(shù)f

，gC[a，b]且(f

，g)=0稱函數(shù)f

，g正交如果函數(shù)序列滿足則稱函數(shù)組為正交函數(shù)序列。正交函數(shù)序列線性無關(guān)。2022/12/10684.5正交多項(xiàng)式函數(shù)的正交性2022/12/13694.5正交多項(xiàng)式定義4.5.3給定m+1個(gè)點(diǎn)C[a，b]和對應(yīng)的權(quán)數(shù)，設(shè)有n+1個(gè)多項(xiàng)式其中，若它們在點(diǎn)列處的值向量滿足正交性4.5.2離散點(diǎn)列上的正交多項(xiàng)式稱為在離散點(diǎn)列上的帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列2022/12/10694.5正交多項(xiàng)式定義4.5.32022/12/13704.5正交多項(xiàng)式成立的條件

nm，

點(diǎn)列至少有n+1個(gè)點(diǎn)互不相等。2022/12/10704.5正交多項(xiàng)式成立的條件2022/12/13714.5正交多項(xiàng)式定理4.5.1對于給定點(diǎn)列,對應(yīng)的權(quán)數(shù)如果n<m，點(diǎn)列至少有n+1個(gè)互異，可由遞推生成多項(xiàng)式序列，它們是在點(diǎn)列上的帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列。遞推過程稱為Gram-schmidt正交化過程。其中和均是離散意義下的內(nèi)積2022/12/10714.5正交多項(xiàng)式定理4.5.12022/12/13724.5正交多項(xiàng)式定理4.5.2設(shè)是由(4.5.12)生成的正交多項(xiàng)式序列，則1)任何k次多項(xiàng)式均可用0(x),

1(x),…,n(x)的線性組合表示；2)k+1(x)與任何不超過k次的多項(xiàng)式正交；3)序列線性無關(guān)，從而是多項(xiàng)式子空間的一組基。2022/12/10724.5正交多項(xiàng)式定理4.5.22022/12/13734.5正交多項(xiàng)式推論4.5.1公式(4.5.12)等價(jià)于下列遞推公式其中2022/12/10734.5正交多項(xiàng)式推論4.5.12022/12/13744.5正交多項(xiàng)式4.5.3連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式定義4.5.4給定區(qū)間[a,b]和對應(yīng)的權(quán)函數(shù)(x)。設(shè)有n+1個(gè)多項(xiàng)式其中，若它們滿足其中(k(x),k(x))是連續(xù)意義下的內(nèi)積，則稱為區(qū)間[a,b]上帶權(quán)(x)的正交多項(xiàng)式序列。2022/12/10744.5正交多項(xiàng)式4.5.3連2022/12/13754.5正交多項(xiàng)式與離散情況類似1)連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式序列可用正交化方法構(gòu)造2)有同樣的三項(xiàng)遞推公式定理4.5.3設(shè)n(x)是在區(qū)間[a,b]上帶權(quán)(x)的首項(xiàng)系數(shù)非零的n次正交多項(xiàng)式(n1)，則n(x)的n個(gè)根都是單實(shí)根，分布在開區(qū)間(a,b)。2022/12/10754.5正交多項(xiàng)式與離散情況類似定2022/12/13764.5正交多項(xiàng)式幾個(gè)常用的正交多項(xiàng)式Tn(x)=cos(narccosx)，n=0,1,2,…定義的多項(xiàng)式，是在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)切比雪夫多項(xiàng)式(第一類Chebyshev多項(xiàng)式)：由的正交多項(xiàng)式。遞推公式為2022/12/10764.5正交多項(xiàng)式幾個(gè)常用的正交多2022/12/13774.5正交多項(xiàng)式令=arccosx則Tn(x)=cosncos(n+1)=2coscosn-cos(n-1)由得2022/12/10774.5正交多項(xiàng)式令2022/12/13784.5正交多項(xiàng)式前幾個(gè)切比雪夫多項(xiàng)式為Tn(x)的n個(gè)根為2022/12/10784.5正交多項(xiàng)式前幾個(gè)切比雪夫多2022/12/13794.5正交多項(xiàng)式2022/12/10794.5正交多項(xiàng)式2022/12/13804.5正交多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式(Legendre)由定義的多項(xiàng)式，是在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)(x)=1的正交多項(xiàng)式。遞推公式為2022/12/10804.5正交多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式(L2022/12/13814.5正交多項(xiàng)式正交關(guān)系為2022/12/10814.5正交多項(xiàng)式正交關(guān)系為2022/12/13824.5正交多項(xiàng)式前幾個(gè)勒讓德多項(xiàng)式為它們的根均是單根，在開區(qū)間(-1,1)上，以原點(diǎn)為對稱點(diǎn)分布2022/12/10824.5正交多項(xiàng)式前幾個(gè)勒讓德多項(xiàng)2022/12/13834.5正交多項(xiàng)式2022/12/10834.5正交多項(xiàng)式2022/12/13844.5正交多項(xiàng)式埃爾米特多項(xiàng)式(Hermite)由定義的多項(xiàng)式，是在區(qū)間(-,)上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。遞推公式為2022/12/10844.5正交多項(xiàng)式埃爾米特多項(xiàng)式(2022/12/13854.5正交多項(xiàng)式正交關(guān)系為2022/12/10854.5正交多項(xiàng)式正交關(guān)系為2022/12/13864.5正交多項(xiàng)式前幾個(gè)埃爾米特多項(xiàng)式為它們的根均是單根，在開區(qū)間(-,)上，以原點(diǎn)為對稱點(diǎn)分布2022/12/10864.5正交多項(xiàng)式前幾個(gè)埃爾米特多2022/12/13874.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合4.6.1線性模型與最小二乘法

4.6.2正規(guī)方程和解的存在唯一性2022/12/10874.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合4.62022/12/13884.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合在生產(chǎn)與科研中，常給出一組離散數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)要確定變量x與y的函數(shù)關(guān)系y=f(x)近似方法一：

構(gòu)造插值多項(xiàng)式Pn(x)，使Pn(xi)=yi(i=0，1，…，n)特點(diǎn)是構(gòu)造的函數(shù)必須滿足給定數(shù)對的關(guān)系。從幾何上看，構(gòu)造的曲線必須通過給定的n+1個(gè)點(diǎn)。2022/12/10884.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合在生產(chǎn)與2022/12/13894.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合近似方法二：曲線擬合。已知n個(gè)觀測數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)求一個(gè)多項(xiàng)式P(x)能最好地反映這些點(diǎn)的總趨勢。

不要求構(gòu)造的曲線必須通過給定的n個(gè)點(diǎn)2022/12/10894.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合近似方法2022/12/13904.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合近似方法二：曲線擬合。已知n個(gè)觀測數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)求一個(gè)多項(xiàng)式P(x)能最好地反映這些點(diǎn)的總趨勢。

不要求構(gòu)造的曲線必須通過給定的n個(gè)點(diǎn)2022/12/10904.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合近似方法2022/12/13914.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合例假設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i=1，2,…，n)大致成一條直線，此時(shí)擬合曲線為一直線，它從這些點(diǎn)附近通過，設(shè)此擬合直線為y*=a+bx

顯然，一般有

y*(xi)=a+bxi≠yi

記

ei=yi

y*(xi)

i=1，2,…，n

e={e1，e2，…，en}T稱為殘差向量。

2022/12/10914.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合例假2022/12/13924.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合欲使擬合效果最好，應(yīng)該使殘差e按照某種標(biāo)準(zhǔn)達(dá)到最小。常用的標(biāo)準(zhǔn)有

常用的標(biāo)準(zhǔn)有①|(zhì)|

e||1=②||

e||2=1范數(shù)

2范數(shù)

③||

e||∞=∞范數(shù)

2022/12/10924.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合欲使擬合2022/12/13934.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合通常用2范數(shù)，作為殘差度量的標(biāo)準(zhǔn)。

稱使||e||2達(dá)到最小的曲線擬合方法為曲線擬合的最小二乘法求一條直線y=a+bx

，即求a、b，使

Q(a，b)=2022/12/10934.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合通常用22022/12/13944.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合最小值時(shí)的a、b滿足得到

2022/12/10944.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合最小值時(shí)2022/12/13954.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合令由于

X={x1，x2，…，xn}T，Y={y1，y2，…，yn}T

2022/12/10954.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合令由于2022/12/13964.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合有解得

a=

y

xb

2022/12/10964.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合有解2022/12/13974.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合定義已知m+1對離散數(shù)據(jù){

xi，yi}0m,和權(quán)數(shù){

wi}0m，記在C[a，b]中選定n+1個(gè)線性無關(guān)的基函數(shù){k(x)}0m，由它們張成的子空間為=span{0(x)，1(x)，…，n(x)}2022/12/10974.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合定義2022/12/13984.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合如果有

使得

則稱*(x)為離散數(shù)據(jù){

xi，yi}0m在子空間中帶權(quán){

wi}0m的最小二乘擬合。由于*(x)是基函數(shù)的線性組合，稱為線性最小二乘問題。

2022/12/10984.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合如果有2022/12/13994.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合令問題轉(zhuǎn)為求多元函數(shù)I(0，1，…，n)的極小點(diǎn)(0*，1*，…，n*)，使得

2022/12/10994.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合令問2022/12/131004.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合4.6.2正規(guī)方程和解的存在唯一性上式有解的必要條件是

l=0，1，2，…，n

即2022/12/101004.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合4.2022/12/131014.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合令m+1維向量

并令

2022/12/101014.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合令m2022/12/131024.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合即

稱為正規(guī)方程(法方程)。記系數(shù)矩陣為G，n+1維向量

d=[(y,0)，(y,1)，…，(y,n)]T，=[0,1，…，n]T

正規(guī)方程可寫為

G

=d。

2022/12/101024.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合即2022/12/131034.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合因此，最小二乘法存在唯一解的必要條件是正規(guī)方程的系數(shù)矩陣G非奇異。

定理4.6.1：格蘭姆(Gram)矩陣非奇異的充分必要條件是向量組{k}0n線性無關(guān)。

注意：{k(x)}0n在C[a，b]上線性無關(guān)，不能保證向量組{k}0n線性無關(guān)。

實(shí)際中總?cè)<<m。因此，向量組{k}0n中的向量個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于向量的維數(shù)

系數(shù)矩陣G稱為格蘭姆(Gram)矩陣，它是對稱矩陣。

一般{k}0n總是線性無關(guān)，格蘭姆矩陣是非奇異的。

2022/12/101034.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131044.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合設(shè){k}0n線性無關(guān)，它的生成空間為

V=span{0，1，…，n}函數(shù)I(0,1,…,n)用向量的2-范數(shù)(歐氏范數(shù))表示為

I(0，1，…，n)=||y

||22，

V

2022/12/101044.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合設(shè){2022/12/131054.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合因此極值問題

使得

等價(jià)于在向量空間V中求

2022/12/101054.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合因此2022/12/131064.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合定理4.6.2設(shè)向量組{k}0n線性無關(guān)，(0*，1*,…,n*)是正規(guī)方程的解，則滿足并有

e2=||y*||22為曲線擬合的平方誤差。

2022/12/101064.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合定理2022/12/131074.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合定理4.6.3：對于已知的離散數(shù)據(jù){xi，yi}0m和權(quán)數(shù){

wi}0m，選定m+1維連續(xù)函數(shù)空間,如果有一組基{k(x)}0n在點(diǎn)列{xi}0m處的值向量組{k}0n線性無關(guān)，那么

存在唯一解

其中,(0*.1*.….n*)是正規(guī)方程的解.并有平方誤差

2022/12/101074.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合定理2022/12/131084.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合注意：⑴最小二乘問題的解與所選的基函數(shù)無關(guān)。⑵離散點(diǎn)列{

xi，yi}0m中，自變量序列{xi}0m不需要有序，也可以重復(fù)。⑶

格蘭姆(Gram)矩陣由子空間的基函數(shù){k(x)}0n、自變量序列{xi}0m，以及權(quán)數(shù){

wi}0m確定。與離散點(diǎn)的函數(shù)值序列{yi}0m無關(guān)。

2022/12/101084.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合注意2022/12/131094.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合4.6.3多項(xiàng)式擬合和例題在離散數(shù)據(jù){xi，yi}0m最小二乘擬合中，最簡單、常用的數(shù)學(xué)模型是多項(xiàng)式，即在多項(xiàng)式空間中作曲線擬合，稱為多項(xiàng)式擬合。2022/12/101094.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合4.2022/12/131104.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合取基函數(shù)(x)=xk

(k=0,1,2,…,n)，在自變量序列的值向量為如果n<m，并且在序列中至少有n+1個(gè)互不相等，則線性無關(guān)，從而格蘭姆矩陣G非奇異，最小二乘擬合問題存在唯一解。有2022/12/101104.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合取基2022/12/131114.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合正規(guī)方程為正規(guī)方程解為*=(0*.1*.….n*)2022/12/101114.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合正規(guī)2022/12/131124.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合最小二乘問題為最小二乘問題解為平方誤差為2022/12/101124.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合最小2022/12/131134.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/101134.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131144.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/101144.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131154.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/101154.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131164.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/101164.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131174.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/101174.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131184.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/101184.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131194.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/101194.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131204.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/101204.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131214.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/101214.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131224.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/101224.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131234.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/101234.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/131244.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合4.6.4正規(guī)方程的病態(tài)和正交多項(xiàng)式擬合當(dāng){xi}0m位于區(qū)間[0,1]且等距分布時(shí)，若用多項(xiàng)式擬合，其格蘭姆矩陣G=mHn+1，Hn為n階希爾伯特矩陣2022/12/101244.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合4.2022/12/131254.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合n階希爾伯特矩陣Hn元素為低階希爾伯特矩陣的條件數(shù)為2022/12/101254.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合n階2022/12/131264.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合解決的方法為采用正交多項(xiàng)式，使向量組具有正交性此時(shí)格蘭姆矩陣為對角矩陣2022/12/101264.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合解決2022/12/131274.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合正規(guī)方程為解為多項(xiàng)式擬合為此即正交多項(xiàng)式擬合。注意，它的穩(wěn)定性好于多項(xiàng)式擬合，但也應(yīng)避免高次多項(xiàng)式擬合。2022/12/101274.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合正規(guī)2022/12/131284.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合作業(yè)4.3(1)、4.5、4.6、4.7、4.11、4.15、4.17、4.192022/12/101284.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合作業(yè)SummerGrassFadeArialFontFamilySummerGrassFadeArialFontFa2022/12/131304插值和擬合4.1引言4.2插值4.3分段低次插值4.4三次樣條插值4.5正交多項(xiàng)式4.6離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/12/1024插值和擬合4.1引言2022/12/131314.1引言4.1.1函數(shù)的插值4.1.2離散數(shù)據(jù)的擬合插值和擬合都是在給定點(diǎn)列{xi，yi}0n的條件下，按照某些原則，確定一個(gè)近似函數(shù)。二者的區(qū)別在于，插值要求給定點(diǎn)列必須在近似函數(shù)中，擬合則無此要求。

2022/12/1034.1引言4.1.1函數(shù)的插值2022/12/131324.1引言4.1.1函數(shù)的插值區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)的全體記為C[a，b]定義4.1.1設(shè)y=f(x)∈C[a，b]，已知f在C[a，b]上n+1個(gè)互異點(diǎn)a≤x0,

x1

,…

,xn-1,

xn≤b

xi≠xj（i

≠j

）的值yi=f(xi)（i=0，1，2，…，n

）如果有不超過n次的多項(xiàng)式Ln(x)=c0+c1x+c2x2

+…+cnxn2022/12/1044.1引言4.1.1函數(shù)的插值2022/12/131334.1引言滿足

Ln(xi)

=yi（i=0，1，2，…，n

）(4.1)稱Ln(x)為f(x)在區(qū)間[a，b]上通過點(diǎn)列{xi,yi}0n的插值多項(xiàng)式。其中，[a，b]稱為插值區(qū)間，{xi,yi}0n稱為插值節(jié)點(diǎn)，

xi稱為插值點(diǎn)，f(xi)稱為插值函數(shù)，(4.1)稱為插值條件。2022/12/1054.1引言滿足稱Ln(x)2022/12/131344.1引言定理4.1.1由式(4.1)確定的插值多項(xiàng)式Ln(x)存在唯一。插值的工程背景

函數(shù)插值的基本問題：存在性、唯一性、構(gòu)造方法、截?cái)嗾`差、收斂性、數(shù)值穩(wěn)定性2022/12/1064.1引言定理4.1.1由式(42022/12/131354.1引言4.1.2離散數(shù)據(jù)的擬合如果離散數(shù)據(jù)本身有誤差。則不必強(qiáng)調(diào)近似函數(shù)一定通過所給定的序列。為此需要增加條件以確定近似函數(shù)y=(x)⑴選擇(x)由此決定建立的是線性還是非線性數(shù)學(xué)模型。

⑵確定數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)擬合的基本問題：存在性、唯一性、構(gòu)造方法、截?cái)嗾`差、收斂性、數(shù)值穩(wěn)定性。

2022/12/1074.1引言4.1.2離散數(shù)據(jù)的2022/12/131364.2插值

4.2.1拉格朗日插值法

4.2.2插值的余項(xiàng)4.2.3均差和牛頓插值

2022/12/1084.2插值4.2.1拉格朗日插值2022/12/131374.2插值4.2.1拉格朗日插值法

已知點(diǎn)列{xi

，yi}0n，確定插值多項(xiàng)式

n=1時(shí)，點(diǎn)列包含2個(gè)點(diǎn)，{x0，y0}和{x1，y1}，則只能做一條直線。

2022/12/1094.2插值4.2.1拉格朗日插值法2022/12/131384.2插值n=2時(shí)，點(diǎn)列包含3個(gè)點(diǎn)，{x0，y0}、{x1，y1}、{x2，y2}

可做不超過2次的多項(xiàng)式

2022/12/10104.2插值n=2時(shí)，點(diǎn)列包含3個(gè)點(diǎn)2022/12/131394.2插值推廣到一般情況，定義n+1個(gè)n次多項(xiàng)式

稱為拉格朗日插值基函數(shù)。

2022/12/10114.2插值推廣到一般情況，定義n2022/12/131404.2插值n=2時(shí)的基函數(shù)2022/12/10124.2插值n=2時(shí)的基函數(shù)2022/12/131414.2插值n=3時(shí)的基函數(shù)2022/12/10134.2插值n=3時(shí)的基函數(shù)2022/12/131424.2插值插值基函數(shù)滿足

(k，i=0，1，2，…，n)

插值函數(shù)為

如果取函數(shù)為f(x)=1，則yk=1(k=0,1,2,…,n)，有

2022/12/10144.2插值插值基函數(shù)滿足(k，i2022/12/131434.2插值4.2.2插值的余項(xiàng)

令

如果f(x)C2[a，b]，采用線性插值，令

Rn(x)=f(x)Ln(x)則則2022/12/10154.2插值4.2.2插值的余項(xiàng)2022/12/131444.2插值4.2.3均差和牛頓插值

定義一階差商

如果取點(diǎn)斜式，則得到另一種形式的插值公式。如n=1時(shí)

N1(x)=y0+f[x0，x1](xx0)

2022/12/10164.2插值4.2.3均差和牛頓2022/12/131454.2插值當(dāng)n=2時(shí)，再定義一階差商和二階差商

并有

N2(x)=f(x0)+f[x0，x1](xx0)+f[x0，x1，x2](xx0)(xx1)

2022/12/10174.2插值當(dāng)n=2時(shí)，再定義一階差2022/12/131464.2插值對一般情況，定義各階差商

2022/12/10184.2插值對一般情況，定義各階差商2022/12/131474.2插值差商的性質(zhì)：1)線性性如果f(x)=ay(x)+bz(x)2)3)對稱性：2022/12/10194.2插值差商的性質(zhì)：1)線性性2022/12/131484.2插值4)

n次多項(xiàng)式關(guān)于x，xi的一階差商為n-1次多項(xiàng)式則Ln(x)仍為n次多項(xiàng)式，且Ln(xi)=0，所以設(shè)Pn(x)為n次多項(xiàng)式，令Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)=(x-xi)Pn-1(x)其中Pn-1(x)為n-1次多項(xiàng)式，從而有

2022/12/10204.2插值4)n次多項(xiàng)式關(guān)于x，2022/12/131494.2插值差商表2022/12/10214.2插值差商表2022/12/131504.2插值牛頓插值多項(xiàng)式

f

(x)=f(x0)+(xx0)f[x，x0]

f[x，x0]=f[x0，x1]+(xx1)f[x,x0,x1]f[x,x0,x1]=f[x0,x1,x2]+(xx2)f[x,x0,x1,x2]

………

f[x,x0,…,xn-1]=f[x0,x1,…,xn]+(xxn)f[x,x0,…,xn]f

(x)=f(x0)+(xx0)f[x，x0]+(xx0)(xx1)f[x0,x1,x2]+(xx0)(xx1)…(xxn-1)f[x0,x1,…,xn]+(xx0)(xx1)…(xxn)f[x,x0,…,xn]=Nn(x)+Rn(x)2022/12/10224.2插值牛頓插值多項(xiàng)式f(x2022/12/131514.2插值插值函數(shù)為

Nn(x)=f(x0)+f[x0，x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+…+f[x0,x1,…,xn](xx0)(xx1)…(xxn-1)=f(x0)+f[x0，x1]1(x)+f[x0,x1,x2]2(x)+…+f[x0,x1,…,xn]n(x)

均差與插值點(diǎn)次序無關(guān)，因此，如果增加一個(gè)新的插值點(diǎn)，以前的計(jì)算公式不變。2022/12/10234.2插值插值函數(shù)為