目錄TOC\o"1-5"\h\z摘要:1Abstract:1\o"CurrentDocument"1緒論3\o"CurrentDocument"2光學(xué)與力學(xué)間的類比32.1力學(xué)和光學(xué)中基本概念物理規(guī)律及過渡關(guān)系中的對應(yīng)32.1.1基本概念的對應(yīng)關(guān)系32.1.2物理理規(guī)律的對應(yīng)關(guān)系52.1.3過渡關(guān)系的對應(yīng)672.2原理性的類比2.2.1原理形式的類比82.2.2斯涅耳（Snell）定律與勢能突變面處的粒子行為92.2.3光與粒子路線102.2.4波前傳播與相空間內(nèi)的“波前面函數(shù)”的傳輸122.2.5電子光學(xué)情況152.2.6程函方程與哈密頓——雅可比方程的類比162.2.7從經(jīng)典力學(xué)導(dǎo)波動力學(xué)17\o"CurrentDocument"結(jié)論2021參考文獻(xiàn)：\o"CurrentDocument"致謝23光學(xué)與力學(xué)之間的類比郭杰物理與電子信息學(xué)院物理學(xué)專業(yè)05級指導(dǎo)教師：宋婷婷摘要：力學(xué)的發(fā)展史可以簡單地概括為：力——經(jīng)典力學(xué)——量子力學(xué)。光學(xué)的發(fā)展史也可以簡單的概括為：光——幾何光學(xué)——波動光學(xué)。同時力學(xué)與光學(xué)，是兩門古老而又極具生命力的科學(xué)，兩者在許多方面即存在形式上的對應(yīng)關(guān)系，又有著物理學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。力學(xué)與光學(xué)對應(yīng)關(guān)系的研究，對整個物理學(xué)的發(fā)展有著重要的意義。光學(xué)與力學(xué)的基本概念、物理規(guī)律及過渡關(guān)系中都存在著對應(yīng)關(guān)系。光學(xué)與力學(xué)對應(yīng)關(guān)系的研究，對整個物理學(xué)的發(fā)展有著重要的意義，在二十世紀(jì)初，邁克爾孫實(shí)驗(yàn)的記過，使愛因斯坦據(jù)此提出了相對論，更新了人們的時空觀念。德不羅意把光的波粒二象性推廣到所有的物質(zhì)粒子，得出物質(zhì)波的概念，為量子力學(xué)的創(chuàng)立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。量子力學(xué)的創(chuàng)始人薛定諤就根據(jù)幾何光學(xué)和波動光學(xué)的關(guān)系進(jìn)行類比，創(chuàng)立了量子力學(xué)的一種形式——波動力學(xué)。這些可以說是近代物理學(xué)史上，利用光學(xué)與力學(xué)的對應(yīng)關(guān)系取得的最杰出的成果。同樣地，如果我們在學(xué)習(xí)中找出力學(xué)與光學(xué)的對應(yīng)關(guān)系，將有助于我們學(xué)習(xí)物理的興趣，培養(yǎng)我們思考習(xí)慣和類比思維的能力。在光學(xué)與力學(xué)類比的研究中，前人的研究注重單一方面的研究，并取得可喜的成績。而本文將從多個方面采用對比的方式論述光學(xué)與力學(xué)間的一些對應(yīng)的關(guān)系。關(guān)鍵詞：力學(xué)；光學(xué)；類比TheanalogybetweenOpticsandmechanicsGuojieInstituteofPhysicsandElectronicInformationGrade05Instructor:SongTingTingAbstract：Historyofthedevelopmentofmechanicscanbesimplysummarizedasfollows:Power-classicalmechanics-quantummechanics.Andhistoryofthedevelopmentofopticscanalsobesimplysummarizedasfollows:Light-GeometricalOptics-WaveOptics.Atthesametime,mechanicsandoptics,aretwoscienceofgreathistoryandvitality,bothofwhichexistinmanyrespectstherelationshipofform,butalsointrinsicallylinkedwithphysics.Correlationbetweenmechanicalandopticalresearch,castsgreatsignificancetothedevelopmentoftheentirephysics.Thebasicconcepts,physicallawsandtransitionalrelationsofpoticsandmechanicsareconnectingwitheachotherItismeaningfultotheentirephysicsbycorrelationstudyingofopticalandmechanicalatthebeginningofthetwentiethcentury,thedemeritsofMichelsonexperiment,gavebasidtoEinstein'stheorcs,updatedtheconceptofpeople'stimeandspace.DeBrogkieextendegwave-particledualityoflighttoallthematerialparticles,derivingtheconceptofmatterwaveslaidasolidfoundationwhichforthecreationofquantummechanics.ThefounderofSchrodingerquantummechanicsanalogyonthebasisofgeometricalopticsandwaveoptics,createdaformofquantummechanics-wavedynamics.Thesecanbesaidthatinthehistoryofmodernphysics,inuseofthecorrespondingrelationgofopticsandmechanicsthemostoutstandingresults.Similarly,thecorrespondingrelationshipsbetweenmechanicsandopticsifwefindinourstudyofwillhelpustoimprovethephysicalinterest,andnurtureourhabitsandcapacityofanaloguethinking.Analogyinopticsandmechanicsstudying,Thepreviousresearchfocusedonasinglestudy,andachieved.Howeverthisarticlewillcontrastthewayuseofopticsandmechanicsdiscussingsomeofthecorrespondinginter-relationshipinvariousaspeets.Keyword：mechanics；optics；analogy1緒論力學(xué)的發(fā)展史可以簡單地概括為：力一一經(jīng)典力學(xué)一一量子力學(xué)。從公元前四世紀(jì)古羅馬時代，亞里士多德和阿基米德分別在動力學(xué)和流體靜力學(xué)方面取得了許多的成果，到十六、十七世紀(jì)，經(jīng)過斯臺文、伽利略、笛卡爾等一大批物理學(xué)家的不斷努力，最后由牛頓概括總結(jié)出了牛頓力學(xué)體系，即經(jīng)典力學(xué)趨于完善。二十世紀(jì)初愛因斯坦創(chuàng)立了狹義相對論，使人們在時空觀念上發(fā)生了根本性轉(zhuǎn)變，在這個時期，由德不羅意提出了物質(zhì)波的理論，據(jù)此分別由薛定諤和海森堡創(chuàng)立了波動力學(xué)和矩陣力學(xué)，即量子力學(xué)體系。光學(xué)也是古希臘發(fā)展得較早的一門科學(xué)，歐幾米德研究了光的反射，提出了反射定律。同理學(xué)一樣，在古希臘以后很長一段時間里，光學(xué)并沒有什么重大的進(jìn)展。到十六、十七世紀(jì)，科學(xué)家主要集中研究了光的直線傳播、反射和折射現(xiàn)象，直至惠涅爾發(fā)現(xiàn)了折射定律，幾何光學(xué)臻于完善。在十九世紀(jì)初，托馬斯?楊的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，確立了波動光學(xué)的基礎(chǔ)，而后由麥克斯韋提出了光的電磁理論，從而使人們認(rèn)識到了光學(xué)具有波粒二象性。因此跟力學(xué)的發(fā)證類似，光學(xué)的發(fā)展史也可以簡單的概括為：光一一幾何光學(xué)一一波動光學(xué)。力學(xué)與光學(xué)，是兩門古老而又極具生命力的科學(xué)，兩者在許多方面即存在形式上的對應(yīng)關(guān)系，又有著物理學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。力學(xué)與光學(xué)對應(yīng)關(guān)系的研究，對整個物理學(xué)的發(fā)展有著重要的意義。對于這兩門科學(xué)，國內(nèi)外科研工作人員單一方面的研究，比如光學(xué)和力學(xué)中基本概念的對應(yīng)關(guān)系，斯涅耳定律與勢能突變面處的粒子行為，雖然在各個方面都取得了可喜的成就，為后人的研究鋪墊了黃金般的道路，但終究沒有人能從多方面的科學(xué)立場分析研究。鑒于現(xiàn)在研究方面狹窄、不全面，本文將從多方面論述光學(xué)與力學(xué)間的一些對應(yīng)關(guān)系。如力學(xué)和光學(xué)中基本概念物理規(guī)律及過渡關(guān)系中的對應(yīng)，原理性類比。在上訴提到的兩方面中我又分別從多方面進(jìn)行研究分析。最終從全方面對光學(xué)與力學(xué)進(jìn)行類比。2光學(xué)與力學(xué)間的類比2.1力學(xué)和光學(xué)中基本概念物理規(guī)律及過渡關(guān)系中的對應(yīng)2.1.1基本概念的對應(yīng)關(guān)系光學(xué)與力學(xué)的基本概念存在著對應(yīng)關(guān)系，其物理量的具體對應(yīng)如表1.1

所示。從表1.1中可以看出，力學(xué)與光學(xué)的最基本的對應(yīng)就是力學(xué)中的時間t與光學(xué)中的長度z對應(yīng)。從這個基本的物理量的對應(yīng)可導(dǎo)出其他物理量的對應(yīng)。表1.1光學(xué)與力學(xué)中物理基本概念的對應(yīng)[16]光學(xué)力學(xué)x、y%、q…qnx、y、z%、q2…qnL（x、y、x、y、z）L(qqt)ndr方向余弦p=——dsdLqd~dqd波包質(zhì)點(diǎn)光線軌跡群速速度點(diǎn)光源的光強(qiáng)引力折射率勢能頻率能量標(biāo)量波函數(shù)中幾率波函數(shù)中光學(xué)哈密頓量哈密頓量傳播系數(shù)6角速度3

2.1.2物理理規(guī)律的對應(yīng)關(guān)系不僅力學(xué)和光學(xué)中的物理兩存在著對應(yīng)關(guān)系，而且力學(xué)和光學(xué)中的物理規(guī)律也存在著對應(yīng)關(guān)系，如表1.2所示。從這些物理規(guī)律的對應(yīng)，能夠幫助我們理解和掌握物理規(guī)律。表1.2光學(xué)與力學(xué)中物理規(guī)律的對應(yīng)[16]光學(xué)力學(xué)布給公式（Bonger）rxns=恒量角動量守恒rxmv=恒量廣義動力守恒u=空ds,…dr動量守恒v——dt費(fèi)馬原理補(bǔ)nds=0哈密頓最小作用原理?Ldt=0拉格朗日方程拉格朗日方程光學(xué)哈密頓正則方程哈密頓正則方程光學(xué)哈—雅方程哈——雅方程光學(xué)薛定諤方程非相對論薛定諤方程布萊恩——戈登方程相對論波動方程能量本征值方程能量本征值方程測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系

2.1.3過渡關(guān)系的對應(yīng)在力學(xué)與光學(xué)體系的內(nèi)部，理論的發(fā)展層次之間的過渡關(guān)系，也具有某種對應(yīng)關(guān)系。在力學(xué)體系中，當(dāng)?shù)虏徊剂_意波的波長入一0時，波動力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)相符合。而由經(jīng)典力學(xué)導(dǎo)播動力學(xué)的過渡，只要將經(jīng)典力學(xué)的能量和動量用算符來代替，即p—p=p—p=—lV,E—H=iddth(1)代入能量與動量的關(guān)系試(2)E=已

2m(2)就得得到薛定諤方程.犯I——.犯I——2-V2^

dt2mh方由此實(shí)現(xiàn)了由經(jīng)典力學(xué)到波動力學(xué)的過渡。在光學(xué)體系中，由波動光學(xué)在入一0的情況下，光學(xué)也可以得到波動光學(xué)，只要把幾何光學(xué)的方向余弦用人ddp=—ik——q=—ik——

dx、dy(3)可導(dǎo)出幾何光學(xué)。而由幾何(5)(6)(5)(6)代替，并采用光學(xué)哈密頓薛定諤方程d2d2—q2dx2dy2可寫出類似的光學(xué)薛定諤方程形式ik竺

dz由此實(shí)現(xiàn)了由經(jīng)典光學(xué)到波動光學(xué)的過渡。上述關(guān)系可用圖1.1表示。

圖1.1力學(xué)與光學(xué)的對應(yīng)與過渡關(guān)系2.2原理性的類比為了解決光在連續(xù)變化的非均勻介質(zhì)中從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)所遵循的普遍規(guī)律，1679年費(fèi)馬（Fermat）將此規(guī)律表述為：光線從一點(diǎn)P傳播到另一點(diǎn)Q的實(shí)際路線上，光程取極值（可以使極小值、極大值、定值）即AjQnds=0(7)(8)AjQds=0(n=-?uu(i)p(8)式（7）、（8）即為幾何光學(xué)中著名的費(fèi)馬原理的兩種基本形式，式中△為全變微分算符，n為媒質(zhì)的折射率，L為幾分路徑，ds為路徑積分元，u為光波速度。由費(fèi)馬原理能推出幾何光學(xué)的全部定律［7。為把力學(xué)包含在一個極值化的原理中，莫陪丟（Maupertuis）于1744年，首先提出，拉格朗日（Lagrange）于1760年嚴(yán)格論證并加以推廣的適用于保守系統(tǒng)的力學(xué)原理一一最小作用原理，表述為：對理想、完整的保守系統(tǒng)，通過相同起終位置的一切運(yùn)動，其可能實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動是在其附近考慮到的相同能量的各種路徑中，使拉格朗日作用量取極值的運(yùn)動，即—2Tdt=0（9）式（9）中T為系統(tǒng)動能，dt為時間元，‘1、七為粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的時刻。最小作用原理是力學(xué)及各種場論的基本原理。曾被雅克比（Jacobi）稱作“分析力學(xué)之母”長長被奉為物理學(xué)的最高原理。由費(fèi)馬確定的光傳播規(guī)律和由最小作用原理確立的粒子運(yùn)動，兩者類比如下：2.2.1原理形式的類比對于單粒子保守系統(tǒng)，設(shè)粒子質(zhì)量為m，速度為力勢能為□注意到能量E積分T+U=E,有2Tdt=mv2dt=mvds=\：2mTds=<2m（E-U）ds代入式（9）得aJ,22Tdt=△、2m（E-U）ds=0（的）式（10）為最小作用原理的雅可比形式，它是確定真實(shí)運(yùn)動軌線的變分原理。比較式（7）、（10）可知，若使n（r）x（2m[e-U（r）]則單粒子力學(xué)問題可以當(dāng)作一條光線的幾何光學(xué)問題來求解，反之，幾何光學(xué)的路線問題，也可以當(dāng)做質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問題來求解。即按最小作用原理運(yùn)動的粒子軌線和按費(fèi)馬原理決定的光線是完全一致的。對自由粒子，U=常量，因而T=E-U也是常量，則式（9）可以寫成AJ2dt=0或AJQ（ds=0（）式（11）表明：自由粒子由P到Q將沿花時七一'1最少的路徑運(yùn)動，由于自由粒子的速度v為常量，所花時最少的運(yùn)動就是所需路徑最短的運(yùn)動，故此跟短程線運(yùn)動的結(jié)論一致。

顯然，式(11)與幾何光學(xué)中光線沿短時線傳播的原理式(8)是相似的。2.2.2斯涅耳(Snell)定律與勢能突變面處的粒子行為光線從一折射率的媒介進(jìn)入到另一種折射率的媒介，遵從斯涅耳定律，該定律表明：nsin0=nsin01122其中n1、n2是兩媒介折射率，。1、。2是光線與兩媒介界面法線所成的角，如圖2.1所示。應(yīng)用該定律，可通過幾何圖確定光線經(jīng)過媒介的路線。圖2.1光的折射圖圖2.1光的折射圖2.2粒子越過勢能突變面的速度變化粒子在保守力場中的運(yùn)動，也存在著和斯涅耳定律相似的規(guī)律?？疾煲涣Ｗ佑梢粋€區(qū)域進(jìn)入另另一個區(qū)域的界面時，設(shè)勢能由U1變?yōu)閁2(U1>U2)，粒子勢能的變化，必然引起粒子動能T的改變AT=UU1-2根據(jù)保守力場性質(zhì)：力F處處和等勢面垂直，并從勢能較高處指向勢能較低處。設(shè)京為粒子位移，由A'U=-F?A'r可得U1-U2=F曷=F-vAft=\T可見，粒子勢能的改變僅僅導(dǎo)致速度的法向分量變化而引起速度變化，從而改變了粒子動能，但速度的切向分量是連續(xù)的如圖2.2所示。即vsin0=vsin01122(13)其中。1和。2是兩個區(qū)域內(nèi)的速度矢量與界面法線間的夾角。將式（13）中兩區(qū)域的速度用能量守恒原理表示為J2m(E-U「sin々=』2m(E-氣)sin02比較式（12）、（14）,顯然，在那些折射率與函數(shù)寸2m（E—U）(14)對位置有相同的函數(shù)關(guān)系的問題中，當(dāng)光線與總能量為E的粒子具有相同的初位置和傳播方向時，光的傳播路線與粒子的運(yùn)動軌線遵從相似的規(guī)律，折射率以〃與函數(shù)v2m[e-U（r）]的地位相當(dāng)。這種形式上的相似，可以合理的設(shè)想為n(r)此v'2m[E-U(r)]2.3光與粒子路線光在媒介中傳播的路線，由矢量形式的光微分方程[12]d(n也)=vndsds(15)所確定。時（15）中▽為哈密頓算符，r表示某一光線上任一點(diǎn)的位置矢量，s表示r矢端離光線上某固定點(diǎn)的光線孤長。對于光的路線，選用自然坐標(biāo)法是方便的。設(shè)光線上某點(diǎn)的主法向單位矢量為v，切向單位矢量為s曲率半徑為p，則單位矢有如下關(guān)系：drs=—ds(16)dsv=p—ds由式（15）、(16)得(18)((18)(19)sds寸dn—=Vn一——sdsds用v標(biāo)乘式（18）兩邊，利用式（17）,整理可得—=—Vn-v=v?V(logn)Pn因＞0，式（17），表明光線彎向折射率大的一邊，如圖2.3所示圖2.3非均勻媒質(zhì)中光線的彎曲對一個質(zhì)量為m的粒子在保守場中的運(yùn)動，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律TOC\o"1-5"\h\z蟲=-VU（20）dt式（20）中P=mv是粒子動量，考慮粒子的運(yùn)動軌線，對式（20）做如下處理：因P=ps，V=vs故有dPdpdsdpdsdspv=s+p=s+pv=s+—V（21）dtdtdtdtdsdtp將F=-VU在s、v方向上分解，有也+四V=-[（sVU）s+（V?VU）V]（22）dtP

考察V方向上的運(yùn)動方程有:p=-V-VUp-=-—V-VUppv利用U=E-p,v二匕代入上式，有2mm-=-V-VU=V-V（logp）（23）pps可見，式（23）與關(guān)于折射率n與p成正比的媒介中光線曲率方程式（19）完全一致，它表示粒子路線彎向勢能小的一邊（如圖2.4所示），因此保守力場中的運(yùn)動粒子具有會聚特性，順便指出，設(shè)計(jì)會聚帶電粒子的靜電透鏡正是基于這一原理。sU2<U1圖2.4粒子軌線向勢能小的區(qū)域彎由此看出，保守場中的粒子的運(yùn)動軌線與光線在折射率隨位置緩慢變化的空間中所經(jīng)過的路線，有著十分重要的相似性。2.2.4波前傳播與相空間內(nèi)的“波前面函數(shù)”的傳輸惠更斯（Huygens）原理是幾何光學(xué)中的另一著名原理。該原理通過一個“波前曲面”函數(shù)刻劃光的傳播，光線被定義為定相波面的正交軌線，把光的傳播看成是“波前曲面”的運(yùn)動，“波前曲面”的每個面元產(chǎn)生球面子波，“波前曲面”的未來位置是所有子波面的包絡(luò)面。因此，“波前曲面”函數(shù)能完全決定光線的傳播。哈密頓（Hamilton）建立了力學(xué)系統(tǒng)的“波前面函數(shù)”一一哈密頓主函數(shù)S（q,p,t），S能完全決定系統(tǒng)的運(yùn)動。如果哈密頓函數(shù)不是時間t的顯函數(shù)，則S的形式解為9S（q,p,t）=W（q,p）-Et（24）其中W（q,p）為哈密頓特征函數(shù)，不顯含時間，所以各定值的W的曲面在位形空間有確定位置。在位形空間內(nèi)，考察S為定值的曲面運(yùn)動，由式（24）可知，定值S曲面在運(yùn)動過程中，勢必依次與有著確定位置的W曲面族重合，如圖2.5所示。定值S隨時間的傳輸類似于波前的傳輸，因此，定值S曲面可視為在位形空間內(nèi)傳輸?shù)牟ㄇ啊D2.5位形空間內(nèi)定值S曲面的運(yùn)動確定垂直曲面的粒子軌線對保守場中的單粒子情況，S曲面上某確定點(diǎn)的速度"（曲面的運(yùn)動速度一般是不均勻的）定義dt時間內(nèi)定值S曲面移動的垂重距離di即u=d（25）dt

又出時間內(nèi)定值S曲面將從W曲面處運(yùn)動到W+dW的新曲面處。對式（24）取微分得dW=Edt（26）另一方面，單粒子位形空間可為尋常三維空間。故dW=VW-dl=|VW|d/（27）聯(lián)立上列3式得u=dtu=dtdlEVW（28）W滿足哈密頓一一雅可比方程，對保守場中運(yùn)動的單粒子有9（29）（VW）2=2m（E-U）=2mT=p2式（29）給出粒子的動量p垂直于等值面W，因而位形空間中“波前”的速度為（30）Eu=—pmv式（30）表明，等值S曲面上一點(diǎn)的速度與用S描述的粒子在空間內(nèi)的運(yùn)動速度保持著互為倒數(shù)的關(guān)系，粒子的軌線始終與等值S曲面正交。所以，與等值（29）（30）u與v互為倒數(shù)關(guān)系，還反映在基本原理的形式上，因?yàn)樵趩瘟Ｗ拥那闆r下，式（9）可以寫成2mv2dt=Aj2m11籍2mv2dt=Aj2m11籍dt=aJQmvds=0pp比較式（8）和式（31），若把光子視為粒子，則vx上。通過這一反比關(guān)系。u式（8）和式（31）成為同一原則。1924年法國物理學(xué)家德布羅意（deBroglie）按照這一光子和粒子的平行關(guān)系，提出了物質(zhì)波理論。該理論是1926年薛定

W(Schrodinger)進(jìn)一步建立了波動力學(xué)的先導(dǎo)。2.2.5電子光學(xué)情況273L—-mc2rv\VVL—-mc2273L—-mc2rv\VVL—-mc2373(32)mxe+一ASLmx\c7rv\=+-Amxe+一ASLmx\c7rv\=+-A2CxP——xdxSL'———xSxcVc7VVc7(33)上三式中，x為是速度v的分量，Px、Ax分別是p和A的x分量。將最小作用原理與成VVc7aJ2(L+EM=aJ2Zxpdt—aJqZpdx—aJqP-dr=0iixpxp(34)其中dr為位移元矢量。式(34)給出，除任意常數(shù)因子外，一般的電子光學(xué)的折射率可表為:

_mv_e^序C（35）式中，A?s是矢勢在運(yùn)動方向上的分量。它不是一個物理量，而是一個函數(shù)，其旋度等于磁感應(yīng)強(qiáng)度。由此可見，一般的電子光學(xué)折射率本身不是一個物理量，而是一個拉格朗日函數(shù)［1。］，加上一個任意位置函數(shù)的梯度在運(yùn)動方向上的分量，不會改變?nèi)魏挝锢斫Y(jié)果。因此，式（35）是具有給定能量的電子位置函數(shù)。如果把電子光學(xué)的折射率定義動量在軌線方向上的分量，那么，式（34）表明，對電子運(yùn)動的研究就化為一個光學(xué)問題?？梢娫陔娮庸鈱W(xué)情況下，再次揭示了最小作用原理與費(fèi)馬原理是完全相似的。2.2.6程函方程與哈密頓——雅可比方程的類比程函方程是幾何光學(xué)的基本方程，導(dǎo)出方法頗多⑹，為簡明起見，這里采用德拜（Debye）的建議，由入一。極限情況的標(biāo)量波動方程導(dǎo)出。設(shè)f表示電磁場的某一分量，3為波的角頻率，扁為自由空間的波長，7①2兀k_—_—oC人0表示自由空間的波數(shù)，光（電磁波）在各向同性媒質(zhì)中的波動方程為(36)對單色波f_O(r)exp(一疝t)代入式（36）的①（r）滿足▽2①(r)+kn2①(r)=0(37)n為常數(shù)時，式（37）中中（r）為平面波解，討論n在空間平緩變化情況，設(shè)

式（37）的解接近平面波，取下面形式中（尸）=氣exp\ik0L（r）］（33）上式中①。和L（r）是待定的空間位置實(shí)函數(shù)，并且假定與k0無關(guān)。將式（38）代入式（37）得-(V-(VL)2①+ik2VL-VQ+①V2L00（39）由于①。和L是實(shí)數(shù)，要方程（39）成立，其實(shí)部和虛部必同時為零?？紤]實(shí)部有(VL)(VL)=n2+?V2中0（40）因?yàn)橐阎俣↙和k0與無關(guān)，所以在七一°，即k0一0的極限條件下，有（41）(VL)2=n2上式中L（r）程函，方程（41）稱為程函方程，由它決定常數(shù)L（r）曲面是（41）可見，程函方程（41）在形式上與力學(xué)中的W的哈密頓——雅可比方程（29）是一致的。特征函數(shù)W起了與程函L相同的作用，而、河（E—"）則可看成折射率。若把光線看作是某種微粒的軌線。則這種微粒的動量正比于網(wǎng)，即:P叫四=n。由此看出，幾何光學(xué)是波動光學(xué)在波長A一0的極限情況，因而幾何光學(xué)的基本方程也就是波動方程在X0一0條件的近似，所以，哈密頓一一雅可比方程揭示：經(jīng)典力學(xué)相當(dāng)于波動光學(xué)的幾何光學(xué)極限。2.2.7從經(jīng)典力學(xué)導(dǎo)波動力學(xué)幾何光學(xué)已被證明是波動光學(xué)規(guī)律在短波波長的極限。由上述相似討論。很自然的設(shè)想經(jīng)典力學(xué)是不是更一般波動力學(xué)的短波極限呢？而且能推測出波動方程在某種極限下應(yīng)該蛻化為哈密頓一一雅可比方程。德不羅意根據(jù)這

個啟示，在1924年提出了物質(zhì)波動性假說，并把波動光學(xué)中的重要關(guān)系類推到粒子波，預(yù)測了動量p和能量E的粒子，其波長入與頻率v有下列關(guān)系：h人一(42)p(43)h為反映波動性的物理量入、v和反映粒子性的物理量p、E之間的共同比例常數(shù)，量子力學(xué)中稱普朗克（(42)像幾何光學(xué)基本方程（41）是波動光學(xué)的波動方程（37）的近似那樣，可以設(shè)想哈密頓一一雅可比方程（29）是下列波動方程的近似n2d2①八(44)V2中一=0c2dt2(44)把空間坐標(biāo)r與時間坐標(biāo)t分離，令中G,t）=中（尸）exp（―Et）（45）式（45）代入式（48）的中（r）滿足的方程為（n（?￥V2W+一w=0TOC\o"1-5"\h\zIc>（46）根據(jù)波動理論：12兀n①k=^—=—人c(47)由德不羅意關(guān)系：k2=4K2P2=竺-2m(E—U)=區(qū)-m(E—U)\o"CurrentDocument"h2h2h2(48)將（47）、（48）代入式（46）的h2—V2W（r）+UW（r）=EW（r）\o"CurrentDocument"8兀2m（49）這就是量子力學(xué)中著名的定態(tài)薛定諤方程。對式（45）球t的偏微商:8①

dt=—zSW(r)exp(—iw8①

dt=—zSW(r)exp(—iwt)(50)8①E心=-i^—W(r)exp(—i^t)=--8thvhv一布V理（r）+宵（r）河頃'）即得到含時的薛定諤方程為:?、ih8中中(r,t)(51)2兀8t(51)這正是量子力學(xué)中的波動方程?？梢宰C明，經(jīng)典力學(xué)是波動力學(xué)在入一0的短波極限，微觀意義下的波函數(shù)和薛定諤方程就蛻化為經(jīng)典力學(xué)的哈密頓主函數(shù)和哈密頓一一雅可比方程。德不羅意和薛定諤在建立波動力學(xué)過程中，對力學(xué)和光學(xué)的相似性的深刻理解起了重要作用［14.1。］正是基于這一類比和原子物理學(xué)的大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)所揭示的經(jīng)典力學(xué)的局限性，德不羅意提出了物質(zhì)波理論，薛定諤建立了波動力學(xué)一一薛定諤方程，逐漸發(fā)展成為近日的量子力學(xué)。結(jié)論上述類比分析了力學(xué)和光學(xué)在基本概念、物理規(guī)律、過渡過程、原理等方面的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其中有諸多相似之處。在原理類比中我得到了這樣的結(jié)論：式（11）與幾何光學(xué)中光線沿短時線傳播的原理式（8）是相似的；光的傳播路線與粒子的運(yùn)動軌線遵從相似的規(guī)律；保守場中的粒子的運(yùn)動軌線與光線在折射率隨位置緩慢變化的空間中所經(jīng)過的路線，有著十