第十章動量矩定理1華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!§10–1質(zhì)點的動量矩定理§10–2質(zhì)點系的動量矩定理§10–3定軸轉(zhuǎn)動剛體的動力學(xué)§10–4質(zhì)點系的相對運動動量矩定理§10–5剛體平面運動動力學(xué)習(xí)題課第十章動量矩定理2華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!動力學(xué)動量定理或質(zhì)心運動定理：質(zhì)點系隨質(zhì)心平動的問題。如繞質(zhì)心軸定軸轉(zhuǎn)動剛體，vC=0，則其動量恒等于零，質(zhì)心無運動，可是剛體確受外力的作用而運動。

動量矩定理建立了質(zhì)點和質(zhì)點系相對于某固定點（固定軸）的動量矩的改變與外力對同一點（軸）之矩兩者之間的關(guān)系?！?0-1質(zhì)點的動量矩定理一．質(zhì)點的動量矩質(zhì)點對點O的動量矩：矢量質(zhì)點對軸z

的動量矩：代數(shù)量3華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!二．質(zhì)點的動量矩定理兩邊叉乘矢徑,有左邊可寫成質(zhì)點對任一固定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一點之矩。這就是質(zhì)點對固定點的動量矩定理。

動力學(xué)故：4華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!運動分析：。由動量矩定理即微幅擺動時，并令，則解微分方程,并代入初始條件則運動方程，擺動周期解：將小球視為質(zhì)點。受力分析；受力圖如圖示。[例1]單擺已知m，l，t=0時=0，從靜止開始釋放。求單擺的運動規(guī)律。注：計算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向為正）5華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!將上式在通過固定點O的三個直角坐標(biāo)軸上投影，得———質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理。質(zhì)點系的動量矩守恒

當(dāng)時，常矢量。當(dāng)時，常量。定理說明內(nèi)力不會改變質(zhì)點系的動量矩，只有外力才能改變質(zhì)點系的動量矩。6華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!求：剪斷繩后，角時的。例3：兩小球質(zhì)量皆為，初始角速度。7華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!3．平面運動剛體平面運動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸的動量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動時質(zhì)心的動量對該軸的動量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。剛體動量矩計算：1．平動剛體平動剛體對固定點（軸）的動量矩等于剛體質(zhì)心的動量對該點（軸）的動量矩。2．定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。8華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!例5已知：小車，不計摩擦。求小車的加速度。解：由，，得9華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!設(shè)葉片數(shù)為，水密度為，有經(jīng)dt時間，水由ABCD流到abcd。動量矩改變?yōu)榻猓?0華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!

由，得解：（1）11華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!一、動力學(xué)方程

對于一個定軸轉(zhuǎn)動剛體代入質(zhì)點系動量矩定理，有—剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程解決兩類問題：已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運動定理求解。動力學(xué)§10-3定軸轉(zhuǎn)動剛體的動力學(xué)12華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!二、剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量的計算一．定義：若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。轉(zhuǎn)動慣量恒為正值，國際單位制中單位kg·m2。動力學(xué)13華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量（3）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量式中：或14華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!3.平行移軸定理同一個剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量一般是不相同的。

剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。

動力學(xué)15華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!當(dāng)物體由幾個規(guī)則幾何形狀的物體組成時，可先計算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動慣量,然后再加起來就是整個物體的轉(zhuǎn)動慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動慣量視為負值來處理。動力學(xué)4．計算轉(zhuǎn)動慣量的組合法解：[例8]鐘擺：均質(zhì)直桿m1,l；均質(zhì)圓盤：m2,R。求JO

。16華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!1．對質(zhì)心的動量矩由于（因）有得其中§10-3質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運動微分方程17華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!2相對質(zhì)心的動量矩定理由于即18華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!

三．剛體平面運動微分方程

動力學(xué)取質(zhì)心C為動系原點，則此平面運動可分解為隨質(zhì)心C的平動(xC,yC)繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動（）可通過質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理來確定。19華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!例10半徑為r，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動，如圖所示。設(shè)輪的慣性半徑為，作用于輪的力偶矩為M。求輪心的加速度。如果圓輪對地面的滑動摩擦因數(shù)為f，問力偶M必須符合什么條件不致使圓輪滑動?20華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!例11均質(zhì)圓輪半徑為r質(zhì)量為m，

受到輕微擾動后，在半徑為Ｒ的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求：質(zhì)心Ｃ的運動規(guī)律。21華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!其解為式中運動方程為得得由時22華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!5．剛體動量矩計算平動：定軸轉(zhuǎn)動：平面運動：二．質(zhì)點的動量矩定理及守恒

1．質(zhì)點的動量矩定理2．質(zhì)點的動量矩守恒若，則常矢量。若，則常量。動力學(xué)23華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!五．剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程和剛體平面運動微分方程

1．剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程2．剛體平面運動微分方程或動力學(xué)24華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!七．應(yīng)用舉例[例1]

均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數(shù)均為f

'，滾阻不計，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動所需要的時間。解：選取圓柱為研究對象。(注意只是一個剛體)受力分析如圖示。運動分析：質(zhì)心C不動，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。動力學(xué)根據(jù)剛體平面運動微分方程補充方程：25華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁![例2]兩根質(zhì)量各為8kg的均質(zhì)細桿固連成T字型，可繞通過O點的水平軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)OA處于水平位置時,T

形桿具有角速度=4rad/s。求該瞬時軸承O的反力。解：選T字型桿為研究對象。受力分析如圖示。動力學(xué)由定軸轉(zhuǎn)動微分方程26華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁![例3]均質(zhì)圓柱體A和B的重量均為P，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重不計且不可伸長，不計軸O處摩擦。求：圓柱B下落時質(zhì)心的加速度。

若在圓柱體A上作用一逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問在什么條件下圓柱B的質(zhì)心將上升。動力學(xué)27華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!由動量矩定理：補充運動學(xué)關(guān)系式：代入式，得當(dāng)M>2Pr時，，圓柱B的質(zhì)心將上升。動力學(xué)再取系統(tǒng)為研究對象28華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!質(zhì)點對點O的動量矩與對軸z的動量矩之間的關(guān)系：正負號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同對著軸看：順時針為負逆時針為正動力學(xué)kg·ｍ2/s。動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點(軸)轉(zhuǎn)動的強弱。29華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!將上式在通過固定點O的三個直角坐標(biāo)軸上投影，得上式稱質(zhì)點對固定軸的動量矩定理，也稱為質(zhì)點動量矩定理的投影形式。即質(zhì)點對任一固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一軸之矩。動力學(xué)稱為質(zhì)點的動量矩守恒。若則常矢量30華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!動力學(xué)一．質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系對點O動量矩：質(zhì)點系對軸z動量矩：§10-2質(zhì)點系的動量矩定理二．質(zhì)點系的動量矩定理左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運算的順序，而一質(zhì)點系對固定點的動量矩定理對質(zhì)點系，有對質(zhì)點Mi：31華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!解：系統(tǒng)的動量矩守恒。猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的,均為。動力學(xué)[例2]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對繩速度上爬，猴A不動，問當(dāng)猴B向上爬時，猴A將如何動？動的速度多大？（輪重不計）32華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!時，

時，由，得解：33華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!動力學(xué)解：[例4]滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1

滑輪B：m2，R2，J2；物體C：m3

求系統(tǒng)對O軸的動量矩。34華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!例6水輪機轉(zhuǎn)輪，進口水速度，出口水速度，它們與切線夾角分別為，，總體積流量。求水流對轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)動力矩。35華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!例7：已知

，

，

，

，

，

，不計摩擦。求（1）（2）O處約束力

（3）繩索張力，36華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!（2）由質(zhì)心運動定理

（3）

研究（4）研究37華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!

特殊情況：若,則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動或保持靜止。若常量，則=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。將與比較，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。動力學(xué)38華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!

１．積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）[例5]（1）勻質(zhì)細直桿長為l,質(zhì)量為m。

求：對z軸的轉(zhuǎn)動慣量；對z'軸的轉(zhuǎn)動慣量。動力學(xué)二．轉(zhuǎn)動慣量的計算解：39華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!2.回轉(zhuǎn)半徑由所定義的長度稱為剛體對z軸的回轉(zhuǎn)半徑。對于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。在機械工程設(shè)計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。動力學(xué)40華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!

證明：設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，動力學(xué)例如，對于例1中均質(zhì)細桿z'軸的轉(zhuǎn)動慣量為剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量具有最小值。41華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁![例9]提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,半徑分別為r1、r2,可視為均質(zhì)圓盤;物體C的重量為P3;

輪A上作用常力矩M1。求物體C上升的加速度。取輪B連同物體C為研究對象補充運動學(xué)條件化簡(1)得：化簡(2)得：動力學(xué)解:取輪A為研究對象42華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!即：質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩，無論是以相對速度或以絕對速度計算質(zhì)點系對于質(zhì)心的動量矩其結(jié)果相同。對任一點O的動量矩：43華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。

質(zhì)點系相對于質(zhì)心和固定點的動量矩定理，具有完全相似的數(shù)學(xué)形式，而對于質(zhì)心以外的其它動點，一般并不存在這種簡單的關(guān)系。44華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。應(yīng)用時一般用投影式：45華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!解：其中得純滾動的條件：即46華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!解:由于47華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!一．基本概念1．動量矩：物體某瞬時機械運動強弱的一種度量。2．質(zhì)點的動量矩：3．質(zhì)點系的動量矩：4．轉(zhuǎn)動慣量：物體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。對于均勻直桿，細圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對過