專題13幾何圖形初步相交線與平行線幾何圖形初步、相交線與平行線是中學數學重要的基礎知識，中考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能以及基本的數學思想方法，難度系數較易。主要體現(xiàn)的思想方法：轉化的思想、數形結合的思想等。1．運用兩點確定一條直線解決實際問題．2．會比較角的大小，掌握角的表示法，能進行角的有關計算．3．明確線段、直線、射線的概念及區(qū)別與聯(lián)系，線段的表示方法，會進行有關線段的計算．4．掌握角平分線的定義及性質．5．掌握兩角互余、互補的概念，并能進行有關計算．6．掌握對頂角、同位角、內錯角、同旁內角等概念．7．掌握平行線的性質與判定，并能運用這些知識進行有關計算或推理．8．掌握兩條直線垂直的概念．9．掌握角平分線的定義及性質．10．掌握兩角互余、互補的概念，并能進行有關計算．11．掌握對頂角、同位角、內錯角、同旁內角等概念．12．掌握平行線的性質與判定，并能運用這些知識進行有關計算或推理． 三種基本圖形——直線、射線、線段直線公理經過兩點有且只有________條直線線段公理兩點之間，________最短兩點間的距離連接兩點間的線段的________，叫做這兩點間的距離角角的概念定義1有公共端點的兩條____組成的圖形叫做角．這個公共端點叫做角的____，這兩條射線叫做角的____定義2一條射線繞著它的____從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形叫做角角的分類角按照大小可以分為平角、周角、____、____、鈍角角的大小比較(1)疊合法(2)度量法角平分線定義從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線性質角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等幾何計數1數直線的條數過任意三個不在同一直線上的n個點中的兩個點可以畫________條2數線段的條數線段上共有n個點(包括兩個端點)時，共有線段________條3數角的個數從一點出發(fā)的n條直線可組成______個角4數交點的個數n條直線最多有________個交點5數直線分平面的份數平面內有n條直線，最多可以把平面分成________個部分互為余角、互為補角互為余角定義如果兩個角的和等于90°，則這兩個角互余性質同角(或等角)的余角________互為補角定義如果兩個角的和等于180°，則這兩個角互補性質同角(或等角)的補角________拓展一個角的補角比這個角的余角大90°鄰補角、對頂角鄰補角定義若兩角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角對頂角定義若兩角有一個公共頂點，且兩角的兩邊互為反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角性質對頂角相等一、單選題1．（2021·四川巴中·中考真題）某立體圖形的表面展開圖如圖所示，這個立體圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用立體圖形及其表面展開圖的特點解題．【解析】解：四個三角形和一個四邊形，是四棱錐的組成，所以該立體圖形的名稱為四棱錐．故選：A．【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，熟練掌握常見立體圖形的平面展開圖的特征，是解決此類問題的關鍵．2．（2021·廣西百色·中考真題）下列展開圖中，不是正方體展開圖的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據正方體的展開圖特征解題．【解析】解：A.是正方體的展開圖，故A不符合題意；B.是正方體的展開圖，故B不符合題意；C.是正方體的展開圖，故C不符合題意；D.不是正方體的展開圖，故D符合題意，故選：D．【點睛】本題考查正方體的展開圖，熟知正方體的11種展開圖是解題關鍵．3．（2021·江蘇泰州·中考真題）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，這三點的位置關系是（）A．點A在B、C兩點之間 B．點B在A、C兩點之間C．點C在A、B兩點之間 D．無法確定【答案】A【分析】分別對每種情況進行討論，看a的值是否滿足條件再進行判斷．【解析】解：①當點A在B、C兩點之間，則滿足，即，解得：，符合題意，故選項A正確；②點B在A、C兩點之間，則滿足，即，解得：，不符合題意，故選項B錯誤；③點C在A、B兩點之間，則滿足，即，解得：a無解，不符合題意，故選項C錯誤；故選項D錯誤；故選：A．【點睛】本題主要考查了線段的和與差及一元一次方程的解法，分類討論并列出對應的式子是解本題的關鍵．4．（2021·內蒙古·中考真題）已知線段，在直線AB上作線段BC，使得．若D是線段AC的中點，則線段AD的長為（）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3【答案】C【分析】先分C在AB上和C在AB的延長線上兩種情況，分別畫出圖形，然后運用中點的定義和線段的和差進行計算即可．【解析】解：如圖：當C在AB上時，AC=AB-BC=2,∴AD=AC=1如圖：當C在AB的延長線上時，AC=AB+BC=6,∴AD=AC=3故選C．【點睛】本題主要考查了線段的和差、中點的定義以及分類討論思想，靈活運用分類討論思想成為解答本題的關鍵．5．（2017·湖北隨州·中考真題）某同學用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數學知識是（）A．兩點之間線段最短B．兩點確定一條直線C．垂線段最短D．經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行【答案】A【分析】根據兩點之間，線段最短進行解答．【解析】解：某同學用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數學知識是兩點之間線段最短．故選：A．【點睛】本題主要考查了兩點之間線段最短，準確分析判斷是解題的關鍵．6．（2020·四川涼山·中考真題）點C是線段AB的中點，點D是線段AC的三等分點．若線段，則線段BD的長為（）A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm【答案】C【分析】根據題意作圖，由線段之間的關系即可求解．【解析】如圖，∵點C是線段AB的中點，∴AC=BC=AB=6cm當AD=AC=4cm時，CD=AC-AD=2cm∴BD=BC+CD=6+2=8cm；當AD=AC=2cm時，CD=AC-AD=4cm∴BD=BC+CD=6+4=10cm；故選C．【點睛】此題主要考查線段之間的關系，解題的關鍵是熟知線段的和差關系．7．（2021·廣西百色·中考真題）已知∠α＝25°30′，則它的余角為（）A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′【答案】B【分析】根據互為余角相加等于以及度分秒的進率計算即可．【解析】解：∵∠α＝25°30′，∴它的余角為，故選：B．【點睛】本題主要考查余角的性質以及度分秒的計算，熟知度分秒的進率為60是解題的關鍵．8．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）把直尺與一塊三角板如圖放置，若，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據直角三角形兩銳角互余求出∠3，再根據鄰補角定義求出∠4，然后根據兩直線平行，同位角相等解答即可．【解析】解：∵∠1＝47°，∴∠3＝90°?∠1＝90°?47°＝43°，∴∠4＝180°?43°＝137°，∵直尺的兩邊互相平行，∴∠2＝∠4＝137°．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，鄰補角的定義，是基礎題，準確識圖是解題的關鍵．9．（2020·四川眉山·中考真題）一副三角板如圖所示擺放，則與的數量關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據對頂角相等得出，，再根據四邊形的內角和即可得出結論【解析】解：∵；∴；∵，；∴故選：B【點睛】本題考查了四邊形的內角和定理，和對頂角的性質，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵10．（2020·山東東營·中考真題）如圖，直線相交于點射線平分若，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根據角平分線平分角即可求解．【解析】解：由題意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，又OM是∠BOD的角平分線，∴∠DOM=∠BOD=21°，∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質及平角的定義，熟練掌握角平分線的性質和平角的定義是解決此類題的關鍵．二、填空題11．（2018·河南·中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB于點O，∠EOD=50°，則∠BOC的度數為_____．【答案】140°【解析】分析：直接利用垂直的定義結合互余以及互補的定義分析得出答案．詳解：∵直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB于點O，∴∠EOB=90°，∵∠EOD=50°，∴∠BOD=40°，則∠BOC的度數為：180°-40°=140°．故答案為140°．點睛：此題主要考查了垂直的定義、互余以及互補的定義，正確把握相關定義是解題關鍵．12．（2015·黑龍江大慶·中考真題）用一個平面去截一個幾何體，截面形狀為三角形，則這個幾何體可能為：①正方體；②圓柱；③圓錐；④正三棱柱_____（寫出所有正確結果的序號）．【答案】①③④【解析】試題分析：正方體、圓錐和正三棱柱的截面形狀可以為三角形.考點：截面圖形13．（2011·山東日照·中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點O，∠EOC=70°，OA平分∠EOC，則∠BOD=________．【答案】35°【解析】試題分析：∵∠EOC＝70°，OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°．故答案為35°．點睛：本題考查了角平分線的定義，對頂角相等的性質，熟記定義并準確識圖是解題的關鍵．14．（2017·廣西桂林·中考真題）如圖，點D是線段AB的中點，點C是線段AD的中點，若CD=1，則AB=________________．【答案】4【解析】∵點C是線段AD的中點，若CD=1，∴AD=1×2=2，∵點D是線段AB的中點，∴AB=2×2=4，故答案為4.15．（2014·四川達州·中考真題）《莊子．天下篇》中寫道：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永遠也取不完，如圖．由圖易得：=_____．【答案】【解析】一根木棍，第一次取其一半，得=1－；第二次取其一半，得=1－（）；第三次取其一半，得=1－（）；……第n次取其一半，得=1－（），所以=1－.故答案為1－.二、相交線與平行線“三線八角“的概念同位角如果兩個角在截線l的同側，且在被截直線a、b的同一方向叫做同位角(位置相同)．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角內錯角如果兩個角在截線l的兩旁(交錯)，在被截線a、b之間(內)叫做內錯角(位置在內且交錯)．∠2和∠8，∠3和∠5是內錯角同旁內角如果兩個角在截線l的同側，在被截直線a、b之間(內)叫做同旁內角．∠5和∠2，∠3和∠8是同旁內角平行平行線的定義在同一平面內，________的兩條直線叫做平行線平行公理經過直線外一點，有且只有____條直線與這條直線______平行公理的推論如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相________平行線的判定同位角相等，兩直線平行內錯角相等，兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行平行線的性質兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內錯角相等兩直線平行，同旁內角互補垂直垂直定義如果兩條直線相交成______，那么這兩條直線互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線，互相垂直的兩條直線的交點叫做______特別說明(1)兩條直線垂直是兩條直線相交的特殊情況，特殊在它們所交的角是直角；(3)線段與線段、射線與線段、射線與射線的垂直，都是指它們所在直線垂直垂直的性質在同一平面內，過一點有且只有______條直線與已知直線垂直垂線段定義從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做______性質直線外各點與直線上各點所連的線段中，______最短點到直線的距離直線外一點到這條直線的________的長度，叫做點到直線的距離題型、技巧歸納考點1線與角的概念和基本性質技巧歸納：根據對頂角相等求出度數，再根據角平分線的定義求出相關角的度數，然后根據平角等于180°考點2直線的位置關系技巧歸納：計算角度問題時，要注意挖掘圖形中的隱含條件(三角形內角和、互為余角或補角、平行性質、垂直)及角平分線知識的應用．考點3度、分、秒的計算技巧歸納：注意角的度數之間的進率是60而不是10，這是容易出錯的地方．考點4平行線的性質和判定的應用技巧歸納：（1）平行線的判定:同位角相等，兩直線平行內錯角相等，兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行（2）平行線的性質:兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內錯角相等兩直線平行，同旁內角互補一、單選題1．（2021·遼寧沈陽·中考真題）如圖，直線a，b被直線c所截，若，，則的度數是（）A．70° B．100° C．110° D．120°【答案】C【分析】由已知條件，可得，由平角的性質可得代入計算即可得出答案．【解析】解：如圖，，，，．故選：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質進行求解是解決本題的關鍵．2．（2021·山東濟南·中考真題）如圖，，，平分，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意易得，然后根據角平分線的定義可得，進而根據平行線的性質可求解．【解析】解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴；故選B．【點睛】本題主要考查平行線的性質及角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質及角平分線的定義是解題的關鍵．3．（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，直線，將一個含角的三角尺按如圖所示的位置放置，若，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平行線的性質求解，找出圖中，進而求出∠3，再根據平行線性質求出∠2即可．【解析】解：如圖，作，三角尺是含角的三角尺，，，，，，，，，故選：C．【點睛】此題考查平行線的性質，利用平行線性質求角，涉及到直角三角形兩個余角的關系．4．（2021·西藏·中考真題）把一塊等腰直角三角板和一把直尺按如圖所示的位置構成，若∠1＝25°，則∠2的度數為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】利用平行線的性質求出∠3可得結論．【解析】解：如圖，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝25°，∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是利用平行線的性質求出∠3．5．（2021·遼寧朝陽·中考真題）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數為（）A．45° B．65° C．75° D．85°【答案】C【分析】由平角等于180°結合三角板各角的度數，可求出∠2的度數，由直尺的上下兩邊平行，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出∠1的度數．【解析】解：∵∠2＋60°＋45°＝180°，∴∠2＝75°．∵直尺的上下兩邊平行，∴∠1＝∠2＝75°．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，牢記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關鍵．6．（2021·四川德陽·中考真題）如圖，直線AB∥CD，∠M＝90°，∠CEF＝120°，則∠MPB＝（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】根據平行線的性質和三角形外角性質解答即可．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠EFP=∠CEF=120°，∴∠MPF=∠EFP-∠M=120°-90°=30°，∴∠MPB=180°-∠MPF=180°-30°=150°，故選：D．【點睛】此題考查平行線的性質，關鍵是根據兩直線平行，內錯角相等解答．7．（2018·四川內江·中考真題）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在F處，BF交AD于點E．若∠BDC＝62°，則∠DEF的度數為（）A．31° B．28° C．62° D．56°【答案】D【分析】先利用互余計算出∠BDE＝28°，再根據平行線的性質得∠CBD＝∠BDE＝28°，接著根據折疊的性質得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性質計算∠DEF的度數，于是得到結論．【解析】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝90°，∵，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠BDE＝28°，∵矩形ABCD沿對角線BD折疊，∴∠FBD＝∠CBD＝28°，∴∠DEF＝∠FBD+∠BDE＝28°+28°＝56°．故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質，平行線和折疊的性質，綜合運用以上性質是解題的關鍵．8．（2021·廣西百色·中考真題）如圖，與∠1是內錯角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】C【分析】根據內錯角的定義，即兩條直線被第三條直線所截，位于截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間的兩個角，解答即可．【解析】根據內錯角的定義，得：∠1是內錯角的是．故選：C【點睛】本題主要考查了內錯角的定義，解題的關鍵是熟練掌握并理解內錯角的定義．9．（2021·貴州畢節(jié)·中考真題）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則的度數為（）A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】B【分析】利用三角形外角性質或者三角形內角和以及平行線的性質解題即可．【解析】解：如圖，，直尺上下兩邊互相平行，，故選：B．【點睛】本題主要考查一副三角板多對應的角度以及平行線的性質，本題難度小，解法比較靈活．10．（2021·山東濰坊·中考真題）如圖，一束水平光線照在有一定傾斜角度的平面鏡上，若入射光線與出射光線的夾角為60°，則平面鏡的垂線與水平地面的夾角α的度數是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】作CD⊥平面鏡，垂足為G，根據EF⊥平面鏡，可得CD//EF，根據水平線與底面所在直線平行，進而可得夾角α的度數．【解析】解：如圖，作CD⊥平面鏡，垂足為G，∵EF⊥平面鏡，∴CD//EF，∴∠CDH＝∠EFH＝α，根據題意可知：AG∥DF，∴∠AGC＝∠CDH＝α，∴∠AGC＝α，∵∠AGCAGB60°＝30°，∴α＝30°．故選：B．【點睛】本題考查了入射角等于反射角問題，解決本題的關鍵是法線CG平分∠AGB．11．（2021·貴州銅仁·中考真題）直線、、、如圖所示，，，則下列結論錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行線的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角對等邊的性質依次判斷．【解析】解：∵，∴，故A選項正確；∵，∴,∵,∴,故B選項正確；，故C選項正確；∵，∴EF=BE，故D選項錯誤，故選：D．【點睛】此題考查平行線的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角對等邊的性質，熟記各定理是解題的關鍵．12．（2021·湖北宜昌·中考真題）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點在上，其中，，，，，則的度數是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設AB與EF交于點M，根據，得到，再根據三角形的內角和定理求出結果．【解析】解：設AB與EF交于點M，∵，∴，∵，，∴，∴,∵,∴=，故選：A．．【點睛】此題考查平行線的性質，三角形的內角和定理，熟記平行線的性質并應用是解題的關鍵．二、填空題13．（2021·甘肅蘭州·中考真題）將一副三角板如圖擺放，則______∥______，理由是______．【答案】內錯角相等，兩直線平行【分析】根據三角板的角度可知，根據內錯角相等，兩直線平行判斷即可．【解析】解：一副三角板如圖擺放，∴，∴（內錯角相等，兩直線平行），故答案為：；；內錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查了平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解本題的關鍵．14．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉的螺絲鉚住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，將木棒AB繞點G逆時針旋轉到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉___°．【答案】20【分析】根據同位角相等兩直線平行，得出當∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋轉角∠