關(guān)于函數(shù)極值與最值1第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日定義極大值(或極小值),

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極值點.極小值(minimalvalue)極大值(maximalvalue)一、函數(shù)的極值及其求法1.函數(shù)極值的定義使函數(shù)取得極值的點x0(自變量)稱為2第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日函數(shù)的極大值、極小值是局部性的.在一個區(qū)間內(nèi),函數(shù)可能存在許多個極值,最大值與最小值,有的極小值可能大于某個極大值.只是一點附近的3第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日定理1(必要條件)注如,(1)駐點.可導(dǎo)函數(shù)的極值點駐點卻不一定是極值點.但函數(shù)的2.極值的必要條件必是駐點,費馬引理如果函數(shù)可導(dǎo),處取得極值,那么回憶極值,4第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日極值點也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點.如,但怎樣從駐點中與導(dǎo)數(shù)不存在的點判斷一點單減的分界點,(2)不可導(dǎo).是極小值點.是不是極值點若x0是連續(xù)函數(shù)f(x)單增、則x0必為極值點.幾何上,5第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日定理2(第一充分條件)則為極大值則不是極值.(極小值);極值的一階充分條件3.極值的充分條件6第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日一般求極值的步驟求導(dǎo)數(shù);

求駐點與不可導(dǎo)點;求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號,判別增減性;求極值.(1)(2)(3)(4)不是極值點7第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日例解(1)(2)駐點:導(dǎo)數(shù)不存在的點:(3)列表.求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號,判別增減性,確定極值點和極值.8第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日非極值極小值不存在極大值駐點:導(dǎo)數(shù)不存在的點:單調(diào)增加區(qū)間:單調(diào)減少區(qū)間:9第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日定理3(第二充分條件)極大值(極小值).極值的二階充分條件對于駐點,有時還可以利用函數(shù)在該點處的二階導(dǎo)數(shù)的正負號來判斷極值點.10第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日例解因為,11第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日注仍用第一充分條件定理3(第二充分條件)不能應(yīng)用.事實上,可能有極大值,也可能有極小值,也可能沒有極值.如,分別屬于上述三種情況.12第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日例解所以,第一充分條件13第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日充分條件來判定有無極值;對于只有駐點而沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點,可用第二充分條件判斷有無極值.

運用第一、第二充分條件需要注意:若函數(shù)有導(dǎo)數(shù)不存在的點時,則可用第一(1)(2)則14第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、最大值最小值問題1.最值的求法15第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日(1)其中最大(小)者求連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大(小)值的方法:將閉區(qū)間[a,b]內(nèi)所有駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的區(qū)間端點的就是f(x)最值必在端(2)點處達到.點(即為極值嫌疑點)處的函數(shù)值和函數(shù)值

f(a),f(b)比較,在閉區(qū)間[a,b]上的最大(小)值.當f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)時,16第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日例解因駐點:導(dǎo)數(shù)不存在的點:17第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日僅需計算:比較得:因是偶函數(shù),最大值為最小值為駐點:導(dǎo)數(shù)不存在的點:18第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日練習(xí)解駐點:導(dǎo)數(shù)不存在的點:最大值最小值最大值與最小值.19第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日(3)對實際問題常常可事先斷定最大(小)值必在區(qū)間內(nèi)部取得,如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又僅有一個極值嫌疑點,那末這點處的函數(shù)值就是最大(小)值.實際問題求最值應(yīng)注意(1)

建立目標函數(shù);(2)求最值;若目標函數(shù)只有唯一駐點,則該點的函數(shù)值即為所求的最大(小)值.20第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日例解

目標函數(shù)得2.應(yīng)用舉例(1)(2)求最大值點半徑為R.求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的設(shè)圓柱體的高為2h,底半徑為r,體積為V,21第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

圓柱體的最大體積一定存在,故唯一駐點就是最大值點,最大體積為令得(舍去負值)唯一駐點22第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日例敵人乘汽車從河的北岸A處以1公里/分的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2公里/分．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？北南西東解建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)(1)23第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日得唯一駐點北南西東24第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日例某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當租金定為每月720元時,公寓會全部租出去.當租金每月增加40元時,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費80元的整修維護費.試問房租定為多少可獲得最大收入?解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有