PAGEPAGE6/6偏微分方程數(shù)值解一（10、AJx)

1(Ax,x)(b,x)(xRn)，證明下2x0

RnJx0

minJx;(2bxRn解:設x Rn是J(x)的最小值點,對于任意的xRn,令0()J(x0

x)J(x0

)(Ax0

b,x)22

Axx, (3因此0是()的極小值點,'(0)0,即對于任意的xRn,(Ax b,x)0,特0別取xAx b,則有(Ax b,Ax b)Ax b||20,得到Ax b. (3)0 0 0 0 0反 之 , 若 x Rn 滿 足 Ax b , 則 對 于 任 意 的 x ,0 0J(x0

x)(0)1(Ax,x)J(x2

),因此x0

是J(x)的最小值點. (4分)評分標準:()的表示式3分,每問3分,推理邏輯性1分二0Lu

d(pdu)quf x(a,b) dx dxu(a),ub)0其中pC1([a,b]),p(x)minp(x)px[a,b]

min0,qC([a,b]),q0,fH0([a,b])建立與上述兩點邊值問題等價的變分問題的兩種形式：求泛函極小的Ritz形式和Galerkin形式的變分方程。解:設H10

{u|uH1(a,b),u(a)u(b)0}為求解函數(shù)空間,檢驗函數(shù)空間.取vH1(a,b),乘方程兩端,積分應用分部積分得到 (3分)0a(u,v)b(pdu.dvquv)dxbfvdxf(v),vH1(a,b)a dx dx a 0即變分問題的Galerkin形式. (3分)J(u

a(u,u)(f,u)

1b[p(du)2qu2fu]dx,則變分問題的Ritz 形式為12 2a dx1求u*H1(a,b),使J(u*)minJ(u) (4分)0 uH10評分標準:空間描述與積分步驟3分,變分方程3分,極小函數(shù)及其變分問題4分,三（20、對于邊值問題2ux2u|

2uy20

1 ,(x,y)GG（五點棱形格式又稱正五點格式取h1/3（）h1/N的一般情況寫出對應方程組的系數(shù)矩陣（用分塊矩陣表示。解:(1)區(qū)域離散xj

jh,yk

kh,差分格式為u uj1,k jk h2

u uj,kjk j,kh2

1 (5應用Tayloy 展開得到,截斷誤差為h2[4u4u]

O(h4

O(h2)

(3分)12 4

y4 jk未知量為U(u ,u ,u ,u )T,矩陣形式為AUF,其中11 12 21 224 1 1 0 11 4 0 11111A F

(4分)1 0 4 1

910 1 1 4 1解為u1(3分)18B I 4 1 I B I 1 4 1 矩陣為

,B

(5分) I B

1 4 評分標準:第1問8分,格式4分,截斷誤差4.(2)7分,方程4分,解3分.(3)5分,形式3分,B的形式2分u四（20、對于初邊值問題

a2u,0xtT2 u(x,0)(x),0x1 u(0,t)u(1,t)tT建立向前差分格式（最簡顯格式，推導截斷誤差的主項，指出誤差階;（AUk1BUkF的形式格式的穩(wěn)定性Fourier方法（分離變量法）格式的穩(wěn)定性。解:(1)區(qū)域離散,格式為uk1

uk 1

, (5j j a

2uk h2 x j應用Taylor展開得到,誤差主項為

1 2u( )k

ah2

(4u)

2h4),階為k2 t2 j 12 x4 jkh2) (3(2AE,Bdiag{r,12r,r, (4穩(wěn)定條件為r1/2 (3分)(3)格式為uk1

uk a (

)

, (3j j

uk1

uk h2 x j j當1格式恒穩(wěn)定,當1,穩(wěn)定條件為r 1

(2分)2 2 1五（10uau

0un1un1

una

unj10j t x 2hj 分析格式的穩(wěn)定性解:計算形式為un1

ar(un

un

)un1

(2分)j j此為三層格式,化為兩層格式.令vn1un,則有j jun1

ar(un

un

)vn

(4分) j

j1 jvn1j

unj令un

wneijh,vn

wneijh,代入格式,消去公因子,得到j 1 j 2 sinh 1wn

(2分) 1

122 1 0wn22放大矩陣為

2arsinhi 1,特征方程為

2arsinhi 1G

1 0

| EG

1 2arsinh 44a2r2sin22arsinh 44a2r2sin21,2 21,max{||,|

|}1的充要條件為方程有相同的復根或一對共扼復根,即12 1 244a2r2sin2h0.考慮到的變化,穩(wěn)定條件為|ar1 (2分)六（102t2

a

2ux2

的初值問題的顯格式，推導截斷誤差.un12un

un1

1 , (5j j

a2

2un2 h2 x j截斷誤差為

14un

4un ( )12t

j

a2x

h2j

O

h

,階為O(2

h2) (5（10

a(2u

2u)（隱格式，t x2指出截斷誤差階，分析格式的穩(wěn)定性。

y2jk解: 差分格式為un1jk

unjk

a(2un1

2un1

) (4誤差階為h2) (3分)

h2 x jk y jk h 放大因子為G(,,) 1 ,恒穩(wěn)定. (3 h 14rsin2 4rsin22 2八（10、分析差分格式uk1

uk

uk 2uk

uk

uk uk的穩(wěn)定性

j j a

jj jh2

j2hcukj

(a0)解:寫出計算形式,忽略低階項2分,寫出放大因子3分|Gsin2kh1coskh)42coskh)2coscoskh)1coskh)42coskh)21coskh)[442coskhcoskh)] (2vonNeumann條件|