小波變換

小波變換既有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間，有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象，傅立葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)。小波變換的多分辨率的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D像壓縮、邊緣抽取、噪聲過濾）。小波變換一個(gè)信號(hào)為一個(gè)小波級(jí)數(shù)，這樣一個(gè)信號(hào)可由小波系數(shù)來刻畫。小波變換速度比傅立葉快一個(gè)數(shù)量級(jí)，長(zhǎng)度為M的信號(hào)，計(jì)算復(fù)雜度：傅立葉變換：小波變換：小波變換小波變換既有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間，有1設(shè)有信號(hào)f(t):其傅里葉變換為F(jΩ):即：設(shè)有信號(hào)f(t):其傅里葉變換為F(jΩ):即：2小波變換基本方法教學(xué)文案課件3像Ψ(t)這樣，有限長(zhǎng)且均值為0的函數(shù)稱為小波函數(shù)。常用的小波函數(shù)如下圖：像Ψ(t)這樣，有限長(zhǎng)且均值為0的函數(shù)稱為小波函數(shù)。4小波函數(shù)必須滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)：小波必須是振蕩的；小波的振幅只能在一個(gè)很短的一段區(qū)間上非零，即是局部化的。如：圖1小波例1圖2小波例2小波函數(shù)必須滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)：圖1小波例1圖2小波5不是小波的例子圖4圖3不是小波的例子圖4圖36平均與細(xì)節(jié)設(shè)一維信號(hào){x1，x2}平均細(xì)節(jié)則一維信號(hào)可以表示成{a，d},且原信號(hào)可以恢復(fù)如下：

當(dāng)x1與x2非常接近時(shí)，一維信號(hào){x1，x2}可近似的用{a}表示，可實(shí)現(xiàn)信號(hào)壓縮。a可以看成信號(hào)的整體信息d可看成原信號(hào)用a表示時(shí)丟失的細(xì)節(jié)信息平均與細(xì)節(jié)設(shè)一維信號(hào){x1，x2}7平均與細(xì)節(jié)對(duì)多元素信號(hào){x1，x2，x3，x4}

信號(hào)可以表示為：{a1,0,a1,1,d1,0,d1,1}丟失細(xì)節(jié)信號(hào)壓縮為：{a1,0,a1,1}信號(hào)可進(jìn)一步表示為：{a0,0,d0,0}丟失細(xì)節(jié)信號(hào)壓縮為：{a0,0}平均與細(xì)節(jié)對(duì)多元素信號(hào){x1，x2，x3，x4}8平均與細(xì)節(jié){x1，x2，x3，x4}－最高分辨率信息{a1,0,a1,1}－次高分辨率低頻信息{d1,0,d1,1}－次高分辨率細(xì)節(jié)信息{a0,0}－最低分辨率低頻信息{d0,0}－最低分辨率細(xì)節(jié)信息{x1，x2，x3，x4}的小波變換{a0,0,d0,0,d1,0,d1,1}由整體平均和兩個(gè)不同分辨率的細(xì)節(jié)信息構(gòu)成平均與細(xì)節(jié){x1，x2，x3，x4}－最高分辨率信息{x1，9金字塔算法一維信號(hào){3,1,-2,4}的小波變換為{1.5,0.5,1,-3}{1.5}：最低分辨率低頻信息{0.5}：最低分辨率細(xì)節(jié)信息{2,1}：次高分辨率低頻信息{1,-3}：次高分辨率細(xì)節(jié)信息{3,1,-2,4}：最高分辨率信息金字塔算法一維信號(hào){3,1,-2,4}的小波變換為{1.5,10尺度函數(shù)與小波函數(shù)信號(hào)序列{x1，x2，x3，x4}看成單位區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)平移伸縮尺度函數(shù)與小波函數(shù)信號(hào)序列{x1，x2，x3，x4}看成單位11引入記號(hào)：定義：可得：引入記號(hào)：定義：可得：12其它其它函數(shù)可以由一個(gè)尺度函數(shù)的伸縮與平移的線性組合表示其它其它函數(shù)可以由一個(gè)尺度函數(shù)的伸縮與平移的線性組合表示13同理，對(duì)小波變換其它伸縮和平移同理，對(duì)小波變換其它伸縮和平移14序列的多分辨率表示：序列的多分辨率表示：151.1一維小波變換（一維多尺度分析）設(shè)有L2(R)空間的子空間序列：Vj的正交基函數(shù)是由一個(gè)稱為尺度函數(shù)的函數(shù)(x)經(jīng)伸縮平移得到的設(shè)Wj是Vj相對(duì)于Vj+1的正交補(bǔ)空間，

Wj的正交基函數(shù)是由一個(gè)稱為小波函數(shù)的函數(shù)(x)經(jīng)伸縮平移得到的1.1一維小波變換（一維多尺度分析）Vj的正交基函數(shù)是由16構(gòu)成Vj+1的正交基。滿足下列關(guān)系式(二尺度方程)：構(gòu)成Vj+1的正交基。滿足下列關(guān)系式(二尺度方程)：17信號(hào)的多尺度分解：信號(hào)的多尺度分解：181.2二維小波變換（二維多尺度分析）二維小波變換是由一維小波變換擴(kuò)展而來的，二維尺度函數(shù)和二維小波函數(shù)可由一維尺度函數(shù)和小波函數(shù)張量積得到，即：圖像的二維小波變換包括沿行向(水平方向)和列向(垂直方向)濾波和2-下采樣，如圖所示：1.2二維小波變換（二維多尺度分析）圖像的二維小波變換包19圖5圖像濾波采樣圖5圖像濾波采樣20說明：如圖所示，首先對(duì)原圖像I(x,y)沿行向(水平方向)進(jìn)行濾波和2->1下采樣，得到系數(shù)矩陣IL(x,y)和IH(x,y)，然后再對(duì)IL(x,y)和IH(x,y)分別沿列向(垂直方向)濾波和2->1下采樣，最后得到一層小波分解的4個(gè)子圖：

ILL(x,y)—I(x,y)的（粗）逼近子圖

IHL(x,y)—

I(x,y)的水平方向細(xì)節(jié)子圖

ILH(x,y)—

I(x,y)的垂直方向細(xì)節(jié)子圖

IHH(x,y)—

I(x,y)的對(duì)角線方向細(xì)節(jié)子圖說明：如圖所示，首先對(duì)原圖像I(x,y)沿行向(水平方向)進(jìn)21二維金字塔分解算法令I(lǐng)(x,y)表示大小為MN的原始圖像，l(i)表示相對(duì)于分析小波的低通濾波器系數(shù)，i=0,1,2,…,Nl-1，Nl表示濾波器L的支撐長(zhǎng)度；h(i)表示相對(duì)于分析小波的高通濾波器系數(shù)，i=0,1,2,…,Nh-1，Nh表示濾波器H的支撐長(zhǎng)度，則二維金字塔分解算法22小波變換基本方法教學(xué)文案課件23對(duì)逼近子圖重復(fù)此過程，直到確定的分解水平，下圖是二層小波分解的示意圖。圖6圖像多尺度分解，(a)一層分解，(b)二層分解對(duì)逼近子圖重復(fù)此過程，直到確定的分解水平，下圖是二層小波分解24圖像的小波特征提取首先對(duì)輸入圖像做J層二維小波分解；因?yàn)樾〔ㄗ儞Q具有很好的時(shí)頻局部化特性，所以可以將圖像的不同底層特征變換為不同的小波系數(shù)；輸入圖像經(jīng)過經(jīng)一層小波分解后，被分成4個(gè)子圖：LL1—逼近子圖，它代表輸入圖像水平和垂直兩個(gè)方向的低頻成分；

HL1—細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平方向的高頻成分和垂直方向的低頻成分；圖像的小波特征提取首先對(duì)輸入圖像做J層二維小波分解；25LH1—細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平方向的低頻成分和垂直方向的高頻成分；

HH1—細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平和垂直方向高頻成分。在逼近子圖LL1上重復(fù)二維小波分解過程，進(jìn)行二層小波分解，如此繼續(xù)分解，得到子圖序列{LLJ，[HLk，LHk，HHk](k=1,2,…,J)}。小波基與分解層次的選取是非常重要的，目前還沒有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。LH1—細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平方向的低頻成分和垂直方26I(x,y)[128128]I1(x,y)[6464]I1H(x,y)[6464]I1V(x,y)[6464]I1D(x,y)[6464]I2(x,y)[3232]I2H(x,y)[3232]I2V(x,y)[3232]I2D(x,y)[3232]I3(x,y)[1616]I3H(x,y)[1616]I3V(x,y)[1616]I3D(x,y)[1616]I4(x,y)[88]I4H(x,y)[88]I4V(x,y)[88]I4D(x,y)[88]圖7圖像I(x,y)的多尺度分解I(x,y)[128128]I1(x,y)[6427小波基的選取一般考慮下列因素：線性相位：如果小波具有線性相位或至少具有廣義線性相位，則可以避免小波分解和重構(gòu)時(shí)的圖像失真，尤其是圖像在邊緣處的失真；緊支性和衰減性：緊支性和衰減性是小波的重要性質(zhì)，緊支寬度越窄或衰減越快，小波的局部化特性越好。計(jì)算復(fù)雜度越低，便于快速實(shí)現(xiàn)；

正交性：用正交小波基對(duì)圖像做多尺度分解，可得一正交的鏡像濾波器。低通子帶數(shù)據(jù)和高通子帶數(shù)據(jù)分別落在相互正交的L2(R2)的子空間中，使個(gè)子帶數(shù)據(jù)相關(guān)性減少；其他

小波基的選取一般考慮下列因素：28謝謝！謝謝！29小波變換

小波變換既有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間，有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象，傅立葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)。小波變換的多分辨率的變換，有利于各分辨度不同特征的提取（圖像壓縮、邊緣抽取、噪聲過濾）。小波變換一個(gè)信號(hào)為一個(gè)小波級(jí)數(shù)，這樣一個(gè)信號(hào)可由小波系數(shù)來刻畫。小波變換速度比傅立葉快一個(gè)數(shù)量級(jí)，長(zhǎng)度為M的信號(hào)，計(jì)算復(fù)雜度：傅立葉變換：小波變換：小波變換小波變換既有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間，有30設(shè)有信號(hào)f(t):其傅里葉變換為F(jΩ):即：設(shè)有信號(hào)f(t):其傅里葉變換為F(jΩ):即：31小波變換基本方法教學(xué)文案課件32像Ψ(t)這樣，有限長(zhǎng)且均值為0的函數(shù)稱為小波函數(shù)。常用的小波函數(shù)如下圖：像Ψ(t)這樣，有限長(zhǎng)且均值為0的函數(shù)稱為小波函數(shù)。33小波函數(shù)必須滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)：小波必須是振蕩的；小波的振幅只能在一個(gè)很短的一段區(qū)間上非零，即是局部化的。如：圖1小波例1圖2小波例2小波函數(shù)必須滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)：圖1小波例1圖2小波34不是小波的例子圖4圖3不是小波的例子圖4圖335平均與細(xì)節(jié)設(shè)一維信號(hào){x1，x2}平均細(xì)節(jié)則一維信號(hào)可以表示成{a，d},且原信號(hào)可以恢復(fù)如下：

當(dāng)x1與x2非常接近時(shí)，一維信號(hào){x1，x2}可近似的用{a}表示，可實(shí)現(xiàn)信號(hào)壓縮。a可以看成信號(hào)的整體信息d可看成原信號(hào)用a表示時(shí)丟失的細(xì)節(jié)信息平均與細(xì)節(jié)設(shè)一維信號(hào){x1，x2}36平均與細(xì)節(jié)對(duì)多元素信號(hào){x1，x2，x3，x4}

信號(hào)可以表示為：{a1,0,a1,1,d1,0,d1,1}丟失細(xì)節(jié)信號(hào)壓縮為：{a1,0,a1,1}信號(hào)可進(jìn)一步表示為：{a0,0,d0,0}丟失細(xì)節(jié)信號(hào)壓縮為：{a0,0}平均與細(xì)節(jié)對(duì)多元素信號(hào){x1，x2，x3，x4}37平均與細(xì)節(jié){x1，x2，x3，x4}－最高分辨率信息{a1,0,a1,1}－次高分辨率低頻信息{d1,0,d1,1}－次高分辨率細(xì)節(jié)信息{a0,0}－最低分辨率低頻信息{d0,0}－最低分辨率細(xì)節(jié)信息{x1，x2，x3，x4}的小波變換{a0,0,d0,0,d1,0,d1,1}由整體平均和兩個(gè)不同分辨率的細(xì)節(jié)信息構(gòu)成平均與細(xì)節(jié){x1，x2，x3，x4}－最高分辨率信息{x1，38金字塔算法一維信號(hào){3,1,-2,4}的小波變換為{1.5,0.5,1,-3}{1.5}：最低分辨率低頻信息{0.5}：最低分辨率細(xì)節(jié)信息{2,1}：次高分辨率低頻信息{1,-3}：次高分辨率細(xì)節(jié)信息{3,1,-2,4}：最高分辨率信息金字塔算法一維信號(hào){3,1,-2,4}的小波變換為{1.5,39尺度函數(shù)與小波函數(shù)信號(hào)序列{x1，x2，x3，x4}看成單位區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)平移伸縮尺度函數(shù)與小波函數(shù)信號(hào)序列{x1，x2，x3，x4}看成單位40引入記號(hào)：定義：可得：引入記號(hào)：定義：可得：41其它其它函數(shù)可以由一個(gè)尺度函數(shù)的伸縮與平移的線性組合表示其它其它函數(shù)可以由一個(gè)尺度函數(shù)的伸縮與平移的線性組合表示42同理，對(duì)小波變換其它伸縮和平移同理，對(duì)小波變換其它伸縮和平移43序列的多分辨率表示：序列的多分辨率表示：441.1一維小波變換（一維多尺度分析）設(shè)有L2(R)空間的子空間序列：Vj的正交基函數(shù)是由一個(gè)稱為尺度函數(shù)的函數(shù)(x)經(jīng)伸縮平移得到的設(shè)Wj是Vj相對(duì)于Vj+1的正交補(bǔ)空間，

Wj的正交基函數(shù)是由一個(gè)稱為小波函數(shù)的函數(shù)(x)經(jīng)伸縮平移得到的1.1一維小波變換（一維多尺度分析）Vj的正交基函數(shù)是由45構(gòu)成Vj+1的正交基。滿足下列關(guān)系式(二尺度方程)：構(gòu)成Vj+1的正交基。滿足下列關(guān)系式(二尺度方程)：46信號(hào)的多尺度分解：信號(hào)的多尺度分解：471.2二維小波變換（二維多尺度分析）二維小波變換是由一維小波變換擴(kuò)展而來的，二維尺度函數(shù)和二維小波函數(shù)可由一維尺度函數(shù)和小波函數(shù)張量積得到，即：圖像的二維小波變換包括沿行向(水平方向)和列向(垂直方向)濾波和2-下采樣，如圖所示：1.2二維小波變換（二維多尺度分析）圖像的二維小波變換包48圖5圖像濾波采樣圖5圖像濾波采樣49說明：如圖所示，首先對(duì)原圖像I(x,y)沿行向(水平方向)進(jìn)行濾波和2->1下采樣，得到系數(shù)矩陣IL(x,y)和IH(x,y)，然后再對(duì)IL(x,y)和IH(x,y)分別沿列向(垂直方向)濾波和2->1下采樣，最后得到一層小波分解的4個(gè)子圖：

ILL(x,y)—I(x,y)的（粗）逼近子圖

IHL(x,y)—

I(x,y)的水平方向細(xì)節(jié)子圖

ILH(x,y)—

I(x,y)的垂直方向細(xì)節(jié)子圖

IHH(x,y)—

I(x,y)的對(duì)角線方向細(xì)節(jié)子圖說明：如圖所示，首先對(duì)原圖像I(x,y)沿行向(水平方向)進(jìn)50二維金字塔分解算法令I(lǐng)(x,y)表示大小為MN的原始圖像，l(i)表示相對(duì)于分析小波的低通濾波器系數(shù)，i=0,1,2,…,Nl-1，Nl表示濾波器L的支撐長(zhǎng)度；h(i)表示相對(duì)于分析小波的高通濾波器系數(shù)，i=0,1,2,…,Nh-1，Nh表示濾波器H的支撐長(zhǎng)度，則二維金字塔分解算法51小波變換基本方法教學(xué)文案課件52對(duì)逼近子圖重復(fù)此過程，直到確定的分解水平，下圖是二層小波分解的示意圖。圖6圖像多尺度分解，(a)一層分解，(b)二層分解對(duì)逼近子圖重復(fù)此過程，直到確定的分解水平，下圖是二層小波分解53圖像的小波特征提取首先對(duì)輸入圖像做J層二維小波分解；因?yàn)樾〔ㄗ儞Q具有很好的時(shí)頻局部化特性，所以可以將圖像的不同底層特征變換為不同的小波系數(shù)；輸入圖像經(jīng)過經(jīng)一層小波分解后，被分成4個(gè)子圖：LL1—逼近子圖，它代表輸入圖像水平和垂直兩個(gè)方向的低頻成分；

HL1—細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平方向的高頻成分和垂直方向的低頻成分；圖像的小波特征提取首先對(duì)輸入圖像做J層二維小波分解；54LH1—細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平方向的低頻成分和垂直方向的高頻成分；

HH1—細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平和垂直方向高頻成分。在逼近子圖LL1上重復(fù)二維小波分解過程，進(jìn)行二層小波分解，如此繼續(xù)分解，得到子圖序列{LLJ，[HLk，LHk，HHk](