信號分析方法概述通信的基礎(chǔ)理論是信號分析的兩種方法：1是將信號描述成時(shí)間的函數(shù)，2是將信號描述成頻率的函數(shù)。也有用時(shí)域和頻率聯(lián)合起來表示信號的方法。時(shí)域、頻域兩種分析方法提供了不同的角度，它們提供的信息都是一樣，只是在不同的時(shí)候分析起來哪個(gè)方便就用哪個(gè)。思考：原則上時(shí)域中只有一個(gè)信號波（時(shí)域的頻率實(shí)際上是開關(guān)器件轉(zhuǎn)動速度或時(shí)鐘循環(huán)次數(shù)，時(shí)域中只有周期的概念），而對應(yīng)頻域（純數(shù)學(xué)概念）則有多個(gè)頻率分量。人們很容易認(rèn)識到自己生活在時(shí)域與空間域之中（加起來構(gòu)成了三維空間），所以比較好理解時(shí)域的波形（其參數(shù)有：符號周期、時(shí)鐘頻率、幅值、相位）、空間域的多徑信號也比較好理解。但數(shù)學(xué)告訴我們，自己生活在N維空間之中，頻域就是其中一維。時(shí)域的信號在頻域中會被對應(yīng)到多個(gè)頻率中，頻域的每個(gè)信號有自己的頻率、幅值、相位、周期（它們?nèi)≈挡煌梢员硎静煌姆?，所以頻域中每個(gè)信號的頻率范圍就構(gòu)成了一個(gè)傳輸信道。時(shí)域中波形變換速度越快（上升時(shí)間越短），對應(yīng)頻域的頻率點(diǎn)越豐富。所以：OFDM中，IFFT把頻域轉(zhuǎn)時(shí)域的原因是：IFFT的輸入是多個(gè)頻率抽樣點(diǎn)（即各子信道的符號），而IFFT之后只有一個(gè)波形，其中即OFDM符號，只有一個(gè)周期。時(shí)域時(shí)域是真實(shí)世界，是惟一實(shí)際存在的域。因?yàn)槲覀兊慕?jīng)歷都是在時(shí)域中發(fā)展和驗(yàn)證的，已經(jīng)習(xí)慣于事件按時(shí)間的先后順序地發(fā)生。而評估數(shù)字產(chǎn)品的性能時(shí)，通常在時(shí)域中進(jìn)行分析，因?yàn)楫a(chǎn)品的性能最終就是在時(shí)域中測量的。時(shí)鐘波形的兩個(gè)重要參數(shù)是時(shí)鐘周期和上升時(shí)間。時(shí)鐘周期就是時(shí)鐘循環(huán)重復(fù)一次的時(shí)間間隔，通產(chǎn)用ns度量。時(shí)鐘頻率Fclock,即1秒鐘內(nèi)時(shí)鐘循環(huán)的次數(shù)，是時(shí)鐘周期Tclock的倒數(shù)。Fclock=1/Tclock上升時(shí)間與信號從低電平跳變到高電平所經(jīng)歷的時(shí)間有關(guān)，通常有兩種定義。一種是10-90上升時(shí)間，指信號從終值的10%跳變到90%所經(jīng)歷的時(shí)間。這通常是一種默認(rèn)的表達(dá)方式，可以從波形的時(shí)域圖上直接讀出。第二種定義方式是20-80上升時(shí)間，這是指從終值的20%跳變到80%所經(jīng)歷的時(shí)間。時(shí)域波形的下降時(shí)間也有一個(gè)相應(yīng)的值。根據(jù)邏輯系列可知，下降時(shí)間通常要比上升時(shí)間短一些，這是由典型CMOS輸出驅(qū)動器的設(shè)計(jì)造成的。在典型的輸出驅(qū)動器中，p管和n管在電源軌道Vcc和Vss間是串聯(lián)的，輸出連在這個(gè)兩個(gè)管子的中間。在任一時(shí)間，只有一個(gè)晶體管導(dǎo)通，至于是哪一個(gè)管子導(dǎo)通取決于輸出的高或低狀態(tài)。假設(shè)周期矩形脈沖信號f(t)的脈沖寬度為q脈沖巾I度為E,重復(fù)周期為T,頻域頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實(shí)的，而是一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造。時(shí)域是惟一客觀存在的域，而頻域是一個(gè)遵循特定規(guī)則的數(shù)學(xué)范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對頻域的描述，因?yàn)闀r(shí)域中的任何波形都可用正弦波合成。這是正弦波的一個(gè)非常重要的性質(zhì)。然而，它并不是正弦波的獨(dú)有特性，還有許多其他的波形也有這樣的性質(zhì)。正弦波有四個(gè)性質(zhì)使它可以有效地描述其他任一波形：(1)時(shí)域中的任何波形都可以由正弦波的組合完全且惟一地描述。(2)任何兩個(gè)頻率不同的正弦波都是正交的。如果將兩個(gè)正弦波相乘并在整個(gè)時(shí)間軸上求積分，則積分值為零。這說明可以將不同的頻率分量相互分離開。(3)正弦波有精確的數(shù)學(xué)定義。(4)正弦波及其微分值處處存在，沒有上下邊界。使用正弦波作為頻域中的函數(shù)形式有它特別的地方。若使用正弦波，則與互連線的電氣效應(yīng)相關(guān)的一些問題將變得更容易理解和解決。如果變換到頻域并使用正弦波描述，有時(shí)會比僅僅在時(shí)域中能更快地得到答案。而在實(shí)際中，首先建立包含電阻，電感和電容的電路，并輸入任意波形。一般情況下,就會得到一個(gè)類似正弦波的波形。而且，用幾個(gè)正弦波的組合就能很容易地描述這些波形，如下圖2.2所示:圖2.2理想RLC電路相互作用的時(shí)域行為頻域的圖如下?\\時(shí)域與頻域的互相轉(zhuǎn)換時(shí)域分析與頻域分析是對模擬信號的兩個(gè)觀察面。時(shí)域分析是以時(shí)間軸為坐標(biāo)表示動態(tài)信號的關(guān)系；頻域分析是把信號變?yōu)橐灶l率軸為坐標(biāo)表示出來。一般來說，時(shí)域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。時(shí)域與頻域的對應(yīng)關(guān)系是：時(shí)域里一條正弦波曲線的簡諧信號，在頻域中對應(yīng)一條譜線即正弦信號的頻率是單一的，其頻譜僅僅是頻域中相應(yīng)f0頻點(diǎn)上的一個(gè)尖峰信號。按照傅里葉變換理論：任何時(shí)域信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的疊加。1、正弦波時(shí)域信號是單一頻率信號；2、正弦波以外的任何波型的時(shí)域信號都不是單一頻率信號；3、任何波型都可以通過不同頻率正弦波疊加得到；解釋1:初學(xué)者一個(gè)經(jīng)常的困惑是：無法理解信號為何會有多個(gè)頻率，加上許多書中的描述不夠嚴(yán)謹(jǐn)，比如：語音信號的頻率是在4k以下，是3~4千赫正弦波。正確的解釋是：一個(gè)信號有兩種表示方法，時(shí)域和頻域。在時(shí)域，信號只有周期，正是因?yàn)橛辛烁盗⑷~變換，人們才能理解到信號頻域的概念。（先有傅立葉變換的結(jié)果才讓你認(rèn)識到聲音信號里包含了某種頻域的正弦波，它僅僅是聲音信號里的一個(gè)分量用你的眼睛你可能永遠(yuǎn)看不出這些幅度變動里包含了你所熟悉的3~4KHZ的正弦波?。┳ⅲ捍蠹覒?yīng)牢記：頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實(shí)的，而是一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造。頻域?qū)嶋H上是時(shí)域信號進(jìn)行傅立葉變換的數(shù)學(xué)結(jié)果。通過數(shù)學(xué)方法，可以更方便的觀察到信號內(nèi)含的信息、可以分解合成信號。無線通信中傳輸資源包括了時(shí)間、頻域、空間等。時(shí)間比較好理解，就是：時(shí)間周期1發(fā)送符號1,時(shí)間周期2發(fā)送符號2.o,時(shí)域的波形可以用三角函數(shù)多項(xiàng)式表示，函數(shù)參數(shù)有：時(shí)間、幅度、相位。在載波傳輸中，載波信號由振蕩器產(chǎn)生，它的時(shí)鐘頻率是固定的，倒數(shù)就是時(shí)間周期。頻域比較難理解，按傅立葉分析理論，任何時(shí)域信號都對應(yīng)了頻域的若干頻率分量（稱為諧波）的疊加，頻域的頻率與時(shí)域的時(shí)鐘頻率不同。可以認(rèn)為：時(shí)域不存在頻率，只存在時(shí)間周期。信號處理與通信中所指的頻率一般都是指頻域的頻率分量。而每個(gè)頻率分量都可從數(shù)學(xué)意義上對應(yīng)時(shí)域的一個(gè)波形（稱為諧波，基波是一種特殊的諧波，它的頻率與時(shí)域波形的時(shí)鐘頻率相同）。因?yàn)檩d波一般都是正弦波，所以定義信號在1秒內(nèi)完成一個(gè)完整正弦波的次數(shù)就是信號的頻率（以Hz為單位），即1Hz。時(shí)間周期T=1/f。載波的功能參見調(diào)制解調(diào)部分內(nèi)容。這里可以先不理解何為載波，關(guān)鍵是時(shí)域與頻域的對應(yīng)關(guān)系。以這個(gè)時(shí)域波形為例設(shè)時(shí)域波形（圖中的合成波）的時(shí)間周期=T'（如2秒），其時(shí)鐘頻率則為f0=1/2Hz。那么基波的頻率、周期與合成波一樣。每個(gè)諧波之間頻率間隔=基波頻率。而諧波1的頻率f1=1/2+1/2=1Hz,周期T1=1。諧波2的頻率f2=1+1/2=3/2Hz,周期T2=2/3諧波8的頻率f8=1/2+（1/2）*8=4.5Hz,周期T8=0.2222在頻域中，每個(gè)頻率分量都有自己的幅度與相位。按諧波的頻率、幅度、相位信息可以得到諧波所對應(yīng)時(shí)域的波形。將各諧波的時(shí)域波形疊加起來，即得到時(shí)域中合成波。解釋2：時(shí)域信號的數(shù)據(jù)傳輸速率，常用bps,如100Kbps,指1s內(nèi)傳輸了100Kbits的二進(jìn)制數(shù)據(jù)。即：時(shí)域的傳輸效率。引入頻域后，帶來一個(gè)新的數(shù)據(jù)：頻譜效率，作為頻域的傳輸效率。如80bps/Hz指1Hz頻率上能傳輸80bps數(shù)據(jù)。按信息論，帶寬越大，數(shù)據(jù)速率越高。解釋3:為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘査痪哂械男再|(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。注：此處仍要牢記：頻域是數(shù)學(xué)構(gòu)造，只要有助于我們分析信號，對應(yīng)的數(shù)學(xué)方法就是有用的。傅立葉變換原理傅立葉變換分類根據(jù)原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：周期性連續(xù)信號傅立葉級數(shù)(FourierSeries)非周期性連續(xù)信號傅立葉變換(FourierTransform)非周期性離散信號離散時(shí)域傅立葉變換(DiscreteTimeFourierTransform)周期性離散信號離散傅立葉變換(DiscreteFourierTransform)-DFT卜圖是四種原信號圖例:這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負(fù)無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計(jì)算機(jī)處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無窮小到正無窮大，我們無法把一個(gè)長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個(gè)信號就可以被看成是非周期性離解信號，我們就可以用到離散時(shí)域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號就變成了周期性離解信號，這時(shí)我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來處理信號的。但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計(jì)算機(jī)來說是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對于計(jì)算機(jī)來說只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對于實(shí)數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識，不過，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變換（realDFT）,再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來理解實(shí)數(shù)傅立葉變換，在后面我們會先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。還有，這里我們所要說的變換（transform）雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合映射準(zhǔn)則的，對于離散數(shù)字信號處理（DSP）,有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時(shí)序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計(jì)算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時(shí)域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號。傅立葉級數(shù)的五個(gè)公式（周期性函數(shù)）

傅立葉（19世紀(jì)的法國人）認(rèn)為：任何周期函數(shù)f（t）總是可以變成下面的傅立葉級數(shù)*于-十亍乙（q.csG#十Zj.sttiG/）,5=~系一?*1（傅立葉公式i）它等價(jià)于下面的公式f＜，＞=Agf＜，＞=Ag+（傅立葉公式2）公式中a0,an、bn都是常數(shù)。AkCosWkt+BkSinWkt即時(shí)域信號的第k個(gè)頻率分量對應(yīng)的正弦波（即諧波）表示。an,bn也稱為傅立葉系數(shù)。時(shí)域的信號用f⑴表示，下面介紹這個(gè)信號如何轉(zhuǎn)換到頻域的表示方法。因?yàn)槿呛瘮?shù)間有正交關(guān)系，如下1,兩個(gè)不同三角函數(shù)的乘積在［-pi,+pi］上的定積分為0。即正交。1*cos(附工)cLr=0杜=1,2,…Jf胃1?sin(rtT)dj-=0月=1.2.…cos(wx)?cos51)d1=0悄手舁J-I**sin(wtx)?sinCwr)dj=0m盧程J-Kr*sin(mT)?cos(nr)djr—0m,?=1*2.**?J■腰2,兩個(gè)相同函數(shù)的乘積在［-pi,+pi］上的定積分為2Pi或pi.:l2djr=2元sirt2〈KH》d#—n打=1,2,…

cos35M解釋：上圖中的x對應(yīng)傅立葉公式中的時(shí)間參數(shù)t。pi可對應(yīng)時(shí)間周期To首先：我們考慮如何對于時(shí)域信號f（t）分解出其中的各個(gè)子信號（子諧波）:AkCosWkt+BkSinWkt。然后可以得到各個(gè)諧波在頻域的表示方法：頻率W,幅度Cn、相位。這三項(xiàng)就是傅立葉變換的結(jié)果：頻域信號表示按上述的三角函數(shù)關(guān)系，要得到ak,就把f⑴乘以coswkt,并在整個(gè)周期內(nèi)取積分。得圖中的an圖中的an就是ak.得到（下圖中的an就是ak.）同樣有51n3.dr?=0,1,2,3…J-r將根據(jù)AkCosWkt+BkSinWkt這個(gè)波形的表示方法可以推導(dǎo)出:■/-就是這個(gè)正弦波的最大幅值（最大振幅）（也即幅值頻譜圖的y軸）。、■/就是這個(gè)正弦波的相位。經(jīng)過簡單的三角函數(shù)運(yùn)算，可以得到傅立葉級數(shù)f⑴的另一個(gè)