直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系相交相切相離圖形

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

公共點(diǎn)名稱(chēng)

直線(xiàn)名稱(chēng)圓心到直線(xiàn)距離d與半徑r的關(guān)系2個(gè)交點(diǎn)割線(xiàn)1個(gè)切點(diǎn)切線(xiàn)d<rd=rd>r沒(méi)有回顧：

圖中直線(xiàn)l滿(mǎn)足什么條件時(shí)是⊙O的切線(xiàn)？探究：Ol方法1：直線(xiàn)與圓有唯一公共點(diǎn)方法2：直線(xiàn)到圓心的距離等于半徑注意：實(shí)際證明過(guò)程中，通常不采用第一種方法;下面我們從方法2進(jìn)一步研究圓的切線(xiàn)的判定方法。

O

在⊙O上任意取一點(diǎn)A，連接OA，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l⊥OA。思考：lA操作與觀(guān)察：d=r相切（1）圓心O到直線(xiàn)l的距離d和圓的半徑r有什么數(shù)量關(guān)系?（2）⊙O與直線(xiàn)l位置有什么關(guān)系？（3）由上述操作,發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：①直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)半徑OA的外端點(diǎn)A，②直線(xiàn)l與半徑OA垂直.直線(xiàn)l與⊙O相切(1)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)半徑OA的外端點(diǎn)A；(2)直線(xiàn)l垂直于半徑0A．

則:直線(xiàn)l與⊙O相切這樣我們就得到了從“位置”的角度得到圓的切線(xiàn)的判定方法——切線(xiàn)的判定定理．AOl發(fā)現(xiàn)：直線(xiàn)與半徑的位置切線(xiàn)的判定定理：

經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。

注意：必須同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件①經(jīng)過(guò)半徑外端；②垂直于這條半徑．AOlOrl

A∵OA是⊙O的半徑,直線(xiàn)l

⊥OA于點(diǎn)A∴直線(xiàn)l是⊙O的切線(xiàn)定理的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)：切線(xiàn)的判定定理應(yīng)用（一）1、判斷：(1)過(guò)半徑的外端的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)（）(2)與半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)（）(3)過(guò)半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)（）×××OrlAOrlAOrlA試一試分析：①直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)半徑OA的外端點(diǎn)A，②直線(xiàn)AB與半徑OA垂直.直線(xiàn)AB與⊙O相切試一試證明：∵AB是⊙O的直徑∴∠BDA=90°則∠B+∠BAD=90°

∵∠B=∠CAD∴∠CAD+∠BAD=90°即AC⊥AB∴AC是⊙O的切線(xiàn)解：BD是⊙O的切線(xiàn)證明：∵∠BAD=∠B=30°∴∠BDA=120°∵OA=OD∠A=∠ADO=30°∴∠BDO=∠BDA—∠ADO=90°

即BD⊥DO∴BD是⊙O的切線(xiàn)切線(xiàn)的判定定理應(yīng)用（二）

例1如圖，已知：直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)。OBAC例題：切線(xiàn)必須同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①經(jīng)過(guò)半徑外端；②垂直于這條半徑．分析：AB是⊙O的切線(xiàn)：①AB經(jīng)過(guò)⊙O半徑外端；②AB垂直于這條半徑．題中“直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C”連結(jié)OC為半徑，證OC⊥AB即可？

例1如圖，已知：直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)。OBAC例題：？證明：∴l(xiāng)是⊙O的切線(xiàn)，連結(jié)OC，∵點(diǎn)C在⊙O上∴OC是⊙O的半徑∵CA=CB，即C為AB的中點(diǎn)

OA=OB∴OC⊥AB例2如圖，已知：O為∠BAC平分線(xiàn)上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。OABCEDAC是⊙O的切線(xiàn)：①AC經(jīng)過(guò)⊙O半徑外端；②AC垂直于這條半徑．分析：例2如圖，已知：O為∠BAC平分線(xiàn)上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。COABED證明：過(guò)O作OE⊥AC，垂足為E；

∵O為∠BAC平分線(xiàn)上一點(diǎn)，OD⊥AB于D，

∴OE=OD=R，

∴⊙O與AC相切OBACOABCED歸納：例1與例2的證法有何不同?(1)如果已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn),則連結(jié)這點(diǎn)和圓心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這條直線(xiàn)垂直.簡(jiǎn)記為：有交點(diǎn)，連半徑,證垂直.(2)如果已知條件中不知直線(xiàn)與圓是否有公共點(diǎn),則過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)段,再證垂線(xiàn)段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng).簡(jiǎn)記為：無(wú)交點(diǎn),作垂直,證半徑.例1已知：直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)。例2已知：O為∠BAC平分線(xiàn)上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。O●ABCD1.如圖,線(xiàn)段AB經(jīng)過(guò)圓心O,交⊙O于點(diǎn)A,C,∠A＝∠B＝30°,邊BD交圓于點(diǎn)D。求證：BD是⊙O的切線(xiàn)30°30°證明：連結(jié)OD∵OA＝OD,∠A＝30°即

OD⊥BD又∵直線(xiàn)BD經(jīng)過(guò)⊙O上的D點(diǎn)∴直線(xiàn)BD是⊙O的切線(xiàn)∴∠ODA＝∠A＝30°∴∠BDO＝∠ADB－

∠ODA

=

90°∴∠ADB=120°∵∠A＝∠B＝30°鞏固：有交點(diǎn)，連半徑，證垂直

2.如圖,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O(shè)為圓心,OE為半徑作⊙O.求證：AB是⊙O的切線(xiàn).FECOBA鞏固：無(wú)交點(diǎn)，作垂直，證半徑證明：作OF⊥AB于點(diǎn)F∵AB=AC,AO⊥BC∴AO平分∠BAC

∵OE⊥AC，OF⊥AB∴OE=OF=R∴AB是⊙O的切線(xiàn)3.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,BD=OB,點(diǎn)C在⊙O上,∠A=30°.求證:DC是⊙O的切線(xiàn).ABCDO有交點(diǎn)，連半徑，證垂直鞏固：證明：連接OC、BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

∵∠A=30°，

∴∠ABC=60°．

∵OB=OC，

∴△OBC為等邊三角形，

∴BC=OB=BD，△BCD為等腰三角形，∠CBD=120°．

∴∠D=∠BCD=30°，

∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°,即OC⊥CD∴DC是⊙O的切線(xiàn)．30°60°120°60°30°1.切線(xiàn)的判定方法有三種：（1）直線(xiàn)與圓有唯