自選數(shù)學問題：

已知：如圖，AD垂直平分BC，D為垂足，DMAC，DNAB，M、N分別為垂足，求證：DM=DN。

解法：

1、先證明得?B=?C,再證明，得到DM=DN；2、先證明得?CAD=?BAD,再證明，得到DM=DN；3、先證明得AD是角平分線，再利用角平分線的性質(zhì)，得到DM=DN；4、先由中垂線的性質(zhì)證明AB=AC，再由三角形的中線將三角形面積二等分，得到S?ADB=S?ADC,得到DM=DN。

┴┴NMDCBAS=ADCADBS=DCMDBNS=ADCADBS=DAMDANS=ADCADB拓展1：

已知在Rt?ABD中，AD=4，BD=3，DNAB，N為垂足，則DN=______。解題思路：

1、S?ADB=AD?BD=×3×4=6，

2、利用勾股定理求得AB=5，3、S?ADB=AB?DN=×5?DN=6，求得DN=2.4。

設(shè)計意圖：在原題的基礎(chǔ)上拓展，滲透等積法。NMDCBA┴拓展2：

已知：如圖，在?ABC中，AB=AC=5，BC=6，D為邊BC上一點，DMAC，DNAB，M、N分別為垂足,隨著點D在線段BC上運動，DM+DN的值是否發(fā)生改變；若改變，說出變化的情況，若不改變，求出它的值。

解題思路：

1、引導學生S?ABC=S?ADB+S?ADC=AB?DN+AC?DM

2、作AEBC，因為AB=AC=5，BC=6，所以BE=CE=3，再利用勾股定理求得AE=4；S?ABC=BC?AE=12。

3、S?ABC=AB?DN+AC?DM=?5DN+?5DM=12,得出DN+DM=4.8。

設(shè)計意圖：改變條件，使原來的點變成動點，此時學生很難想到通過三角形全等來解決問題，而利用等積法來解決，從而發(fā)展學生解決問題的能力。NMDCBAE┴┴┴拓展3：

組織學生以“等積變形”為主題，展開討論：已知：如圖，在矩形ABCD中，點O是BD上任意一點（不與B、D重合），過點O作PQMN，圖中有面積相等的矩形嗎？如果有，是哪些矩形面積相等？并說明理由。

解題思路：

1、在矩形ABCD中，S?ABD=S?BCD，

2、在矩形DMOQ中，S?DMO=S?OQD，

3、在矩形BNOP中，S?BNO=S?OPB，

4、S?ABD-S?DMO-S?BNO=S?BCD-S?OQD-S?OPB，得出S矩形APOM=S矩形ONCQ。

設(shè)計意圖：改變圖形，擴展思維，培養(yǎng)觀察能力，進一步滲透等積法，體驗等積法的巧妙。AONMQPCBD┴備選數(shù)學問題：（2018?資陽）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于點E，連結(jié)AD、CD．（1）求證：△MED∽△BCA；（2）求證：△AMD≌△CMD；（3）設(shè)△MDE的面積為S1，四邊形BCMD的面積為S2，當S2=S1時，求cos∠ABC的值．解：（1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，∵∠ACB=∠MED=90°，∴△MED∽△BCA，（2）∵∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，∴MB=MC=AM，∴∠MCB=∠MBC，∵∠DMB=∠MBC，∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，∵∠AMD=180°﹣∠DMB，∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC∴∠AMD=∠CMD，在△AMD與△CMD中，∴△AMD≌△CMD（SAS）

小結(jié)：本題涉及到了相似三角形的綜合問題，涉及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的面積比，銳角三角函數(shù)的定義等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所學知識．AB=2MDMD=7x∴cos?ABC=cos?DMB=