放射性氣體擴散濃度預估模型【摘要】本文是以日本地震引起的福島核電站的核泄漏為背景，并以給出的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，研究某一假設核電站的核泄漏問題。我們通過收集相關(guān)的資料，并結(jié)合題目給出的數(shù)據(jù)，建立了高斯模型、連續(xù)點源高斯擴散模型解決了題目提出的四個問題。針對問題一：考慮到泄漏源是連續(xù)、均勻和穩(wěn)定的，我們運用散度、梯度、流量等數(shù)學概念，通過“泄漏放射性物質(zhì)質(zhì)量守恒”、“氣體泄漏連續(xù)性定理”、Guass公式及積分中值定理得到了無界區(qū)域的拋物線型偏微分方程，然后再通過電源函數(shù)解出空間任意一點的放射性物質(zhì)濃度的表達式，把此表達式定為模型一的前身。鑒于放射性物質(zhì)的擴散受到諸多因素的影響，如：泄漏源的實際高度、地面反射等。我們以泄漏口為坐標原點建立三維坐標系，通過“像源法”處理地面反射對放射性物質(zhì)濃度的影響，并由此對模型一的前身進行修正完善，得到模型一：高斯模型，即放射性物質(zhì)濃度的預測模型。最后我們模擬了放射性物質(zhì)無風擴散仿真圖。針對問題二：當風速為km/s時，我們根據(jù)放射性核素云團在大氣中遷移和擴散的數(shù)值計算的基本方法和步驟，并以泄漏點源在地面的投影點為坐標原點，以風向方向為x軸，鉛直方向為 z軸，與x軸水平面垂直方向為 y軸建立三維坐標系，地面的反射作用同樣利用“像源法”進行處理，得到連續(xù)點源高斯擴散模型?？紤]到地面反射、煙云抬升、放射性物質(zhì)自身的沉降及雨水的吸附等對濃度的影響，我們對連續(xù)點源高斯擴散模型進行了修正，建立了修正的連續(xù)點源高斯擴散模型。最后利用大氣穩(wěn)定度確定了擴散參數(shù)，進而求解了模型。針對問題三：經(jīng)分析，問題三的提出是以問題二為基礎(chǔ)的，模型三的建立只需要將模型二加以調(diào)整即可。我們以風速方向為 x軸正方向，將風速與放射性物質(zhì)的擴散速度進行矢量運算，此問題則轉(zhuǎn)化為求 (L,0,z)和( L,0,z)兩點處的放射性物質(zhì)濃度，由此建立模型三，即上風和下風L公里處放射性物質(zhì)濃度濃度的預測模型。針對問題四：首先，我們通過網(wǎng)絡收集了相關(guān)數(shù)據(jù)，然后，我們結(jié)合模型二、模型三對數(shù)據(jù)進行整理代入，算出了日本福島核電站泄漏的放射性物質(zhì)擴散到中國東海岸和美國西海岸的濃度分別為 4.2429 103g/m3、2.3854 104g/m3。關(guān)鍵詞：高斯模型 連續(xù)點源高斯擴散模型 核泄漏一問題的重述1.1問題背景目前，核電站的發(fā)展能帶來巨大的經(jīng)濟效益和社會效益，但核電站一旦發(fā)生核泄漏，將會給人們的生命健康和周邊環(huán)境帶來巨大的危害性影響。2011年3月日本的福島核電站的放射性氣體的核泄漏事件更讓我們關(guān)注放射性氣體泄漏時的濃度問題。因此，正確的測出大氣中放射性物質(zhì)的濃度在環(huán)境監(jiān)測和安全評估中具有重要意義1.2問題提出有一座核電站遇自然災害發(fā)生泄漏，濃度為p0的放射性氣體以速度mkg/s勻速排出，在無風的情況下，以速度 sm/s勻速在大氣中向四周擴散 .1）在無風的情況下，建立一個描述核電站周邊不同距離地區(qū)、不同時段放射性物質(zhì)濃度的預測模型。2）當風速為km/s時，給出核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的變化情況。3）當風速為km/s時，分別給出上風和下風L公里處，放射性物質(zhì)濃度的預測模型。二符號說明i(ix,y,z)空間任意一點的放射性物質(zhì)的擴散系數(shù)C(x,y,z,t)空間任意一點的放射性物質(zhì)濃度s放射性氣體的擴散速度,m/sQ0泄漏源泄漏的放射性物質(zhì)總量空間域V空間域其體積S一規(guī)則的球面面積Q1在(t,tt)內(nèi)通過的流量Q2內(nèi)放射性物質(zhì)的增量t任意擴散時刻H泄漏源距地面的實際高度H煙云抬升高度h泄漏源有效高度u泄漏源高度處的平均風速，m/sQ源強，kg/sx,y,z用濃度標準差表示的x,y,z軸上的擴散參數(shù)vs放射性氣體出口流速,m/sD泄漏源出口的有效內(nèi)徑QH泄漏源的熱排放率，kwTs泄漏源出口處溫度，KTa環(huán)境大氣平均溫度，KVs沉降速度，m/s空氣的動力粘性系數(shù)雨水吸附系數(shù)h0太陽高度角三模型假設1、擴散過程中濃度在 y、z軸上的變化分布是高斯分布。2、放射性物質(zhì)的擴散看作是空間某一連續(xù)點源向四周等強度地瞬時釋放放射性物質(zhì)，放射性物質(zhì)在無窮空間擴散過程中不發(fā)生性質(zhì)變化，且不計地形影響。3、放射性物質(zhì)擴散服從擴散定律，即單位時間通過單位法向面積的流量與它的濃度梯度成正比。4、放射性物質(zhì)在穿過降雨區(qū)域時，其強度由于雨水的吸收而減少，減少比率為常數(shù)。5、假設地面對放射性氣體起全反射作用，地面和海面對放射性氣體沒有吸附，將海面視為平原地區(qū)6、假設風向為水平風向，且風向風速不隨時間變化。7、擴散過程中不考慮泄漏點內(nèi)部溫度的變化對氣體擴散的影響。四問題的分析問題（1）的分析一座核電站遇自然災害發(fā)生核泄漏，濃度為p0放射性氣體以速度mkg/s勻速排除，這近似于放射性物質(zhì)源是連續(xù)均勻穩(wěn)定的。在無風情況下，放射性氣體以速度sm/s勻速在大氣中向四周擴散，放射性氣體的擴散服從擴散定律，即單位時間通過單位法向面積的流量與它的濃度梯度成正比。在這些條件下，我們明確了要研究的問題是點源連續(xù)泄漏的擴散問題，為了使建立的模型更加貼近實際，需考慮地面反射、核泄漏源的實際高度、降雨等因素對濃度分布的影響。由“擴散定律”“放射性物質(zhì)質(zhì)量守恒定律”“氣體泄漏連續(xù)性定理”可得出無界區(qū)域的拋物線型偏微分方程。再通過假設條件建立未考慮地面反射、核泄漏源的實際高度、降雨等濃度影響因素的初步模型，然后從這些影響因素對模型進行完善，最終得出核電站周邊不同距離地區(qū)、不同時段放射性物質(zhì)濃度的預測模型。4.2問題（2）的分析本問是探究風速為km/s時，核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的變化情況。當環(huán)境中空氣流動產(chǎn)生風力時，在均勻湍流場中，擴散參數(shù)與下風向距離的關(guān)系是明確的，核泄漏時間較長時，可認為擴散是穩(wěn)定的。在下風向的湍流擴散相對于風力引起的移流相可忽略不計，在流動方向建立x軸，不考慮橫向速度和垂直速度。根據(jù)假設，空間中放射性物質(zhì)的濃度服從高斯分布，可利用連續(xù)點源放射性物質(zhì)的高斯擴散模型。放射性物質(zhì)在大氣中擴散受諸多因素影響，考慮泄漏源有效高度、放射性物質(zhì)自身重力產(chǎn)生的重力沉降、雨水的吸附等因素對放射性物質(zhì)濃度的影響是必要的，通過這些影響因素對高斯模型進行修正，然后利用修正后的高斯模型探究核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的變化情況。4.3問題（3）的分析本問是要求當風速為km/s時，建立上風和下風L公里處的放射性物質(zhì)濃度的預測模型。經(jīng)分析，此問是問題（2）的延伸，我們只需建立合適的坐標系，將此問題轉(zhuǎn)化為求具體兩處的放射性物質(zhì)的濃度，便能得出上風和下風L公里處的放射性物質(zhì)濃度預測模型。五模型的建立與求解5.1模型一的建立與求解5.1.1模型一的初步建立以核泄漏點正下方的地面為坐標原點 (0,0,0)，平均風向為 X軸、指向下風方向，鉛直方向為Z軸，水平垂直于風向軸（X軸）為Y向，建立空間坐標系，則核電站泄漏點O距有效地面的高度為H，則泄漏點位置坐標為O(0,0,H)。圖一：空間坐標系示意圖將氣體從泄漏源泄漏時刻記作t=0，時刻t無窮空間中任意一點坐標為（x,y,z）的濃度記為C（x,y,z,t）,根據(jù)假設2，單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比，則：rq

igradC（1）i(i x,y,z)是擴散系數(shù)，grad表示梯度，負號表示由濃度高向濃度低的地方擴散?？疾炜臻g域 ，其體積為V，包圍 的曲面為S，S為一規(guī)則的球面，S外法線向量為nr (-x,-y,1)。則在(t,t t)內(nèi)通過 的流量為：z zQ1

t tts

rr（2）qnddt內(nèi)放射性物質(zhì)的增量為：Q2[C(x,y,z,tt)C(x,y,z,t)]dV（3）V從泄漏源泄漏的放射性物質(zhì)的總量為：ttp0dVdt（4）Q0t根據(jù)“質(zhì)量守恒定律”和“氣體泄漏連續(xù)性原理”，單位時間內(nèi)通過所選曲面S的向外擴散的放射性物質(zhì)的量與S曲面內(nèi)放射性物質(zhì)增量之和，等于泄漏源在單位時間內(nèi)向外泄漏的放射性物質(zhì)。則：Q0 Q1 Q2即：[C(x,y,z,tttrt)C(x,y,z,t)]dVqnddtVts

（5）ttp0dVdt（6）t又根據(jù)曲面積分的Gauss公式：rrr（7）qnddivqdV(其中div是散度記號)s V[C(x,y,z,tt)C(x,y,z,t)t]dVttttVV

rdivqdVdt

ttp0dVdttttClimC(x,y,z,tt)C(x,y,z,t)limkdiv(gradC)dt0ttt0ttt由以上兩式得：[Crp0dVt]dVtdivqdVtVtV即為：C]dVrp0dV（8）[divqdVVtVV由以上公式并利用積分中值定理得：C2C2C2C),t0,x,y,z（9）idiv(gradC)i(2y2z2txyz這是無界區(qū)域的拋物線型偏微分方程，根據(jù)假設 1，初始條件為作用在坐標原點的電源函數(shù)，記作C(x,y,z,0)Q0(x,y,z)（10）Q0表示泄漏源漏泄釋放的放射性物質(zhì)總量，(x,y,z)是單位強度的電源函數(shù)。方程（9）滿足方程（10）的解為：Q0x2y2z23/2e4it,i(x,y,z)C(x,y,z,t)(4it)此模型只是在不考慮風速的情況下建立的，但為了使模型具有更加的實用性，下面我們將考慮泄漏源的實際高度、地面反射、降雨等因素對濃度的影響，完善模型。5.1.2模型一的最終建立1.地面反射對模型的完善泄漏源有一定的高度，且泄漏點源是連續(xù)點源，則泄漏點源可視為高架連續(xù)點源，考慮到地面對擴散來的放射性氣體有反射作用，根據(jù)假設4，地面對到達地面的擴散氣體完全反射。這兒可認為地面就像鏡子一樣，對放射性氣體起全放射作用，可用“像源法”處理，如圖3，建立三個坐標系，一是以泄漏源（實源）為坐標原點；二是以泄漏源在地面的投影點為原點， p點是空間的任意一點，坐標為(x,y,z)；三是以泄漏源關(guān)于地面的像對稱源（像源）為原點。把 p點放射性氣體濃度看成兩部分（實源與像源）作用之和。圖二： 高架連續(xù)點源擴散示意圖從以上分析知，p點放射性氣體的濃度為實源和像源的放射性氣體擴散至此(zH)2點濃度的疊加。則實際泄漏源（實源）對p點的濃度貢獻部分可用e2z來表示；因為地面對擴散物質(zhì)完全反射，則像對稱源（像源）對p點的濃度貢獻部分可用(z H)e 2 z2 來表示。于是對（11）式所修正完善的模型為：(x2y2(zH)2(zH)2mp0)4zt（12）C(x,y,z,t)e4xt4yt,i(x,y,z)(4i)3/2t1/2我們自己模擬一組數(shù)據(jù)，利用matlab進行仿真模擬，可實現(xiàn)該模型的模擬圖像。假設擴散系數(shù) =0.00001，放射性物質(zhì)的初始濃度 C=100，擴散時間it=1000000，放射源總量Q=1000000。（程序見附錄一）圖三：核泄漏無風擴散5.2模型二的建立與求解5.2.1模型二的建立放射性核素云團在大氣中遷移和擴散的數(shù)值計算基本上可分為二步。 第一步根據(jù)大氣動力學理論進行所關(guān)心區(qū)域中風場的計算，其理論基礎(chǔ)是大氣運動方程、連續(xù)性方程、狀態(tài)方程、熱力學方程和水汽方程構(gòu)成的基本方程組。在大氣科學研究領(lǐng)域中，已有多個實用的大氣環(huán)流模式。第二步進行已知風場中放射性核素云團遷移和擴散的計算，可采用類似于處理大氣污染的方法，假設放射性核素云團不影響大氣流體速度和溫度，求解放射性核素的連續(xù)性方程。當風速為km/s時，利用連續(xù)點源高斯擴散模型分析核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的變化情況。此泄漏點源是有邊界點源，泄漏點源的實際高度為H。以泄漏點源在地面的投影點為坐標原點，以風向方向為x軸，鉛直方向為z軸，與x軸水平面垂直方向為y軸建立三維坐標系，由于擴散過程中濃度在y、z軸上的變化分布符合高斯分布，所以下風向的任意一點C(x,y,z)的濃度函數(shù)為：C(x,y,z)A(x)eay2ebz2（13）根據(jù)概率統(tǒng)計我們可以得出方差的表達式為：2y2C(x,y,z)dyz2C(x,y,z)dz020yzC(x,y,z)dyC(x,y,z)dz00進而源強的積分公式可以根據(jù)假設得出：Q uC(x,y,z)dydz把（13）式代入（14）積分可以得出：1a2 y

（14）（15）（16）b

122 z將(13)式和（16）式代入（15）式可以得出：QA(x)2u y z最后再將把（16）、（17）式代入（13）式可以得出：Qy2z2C(x,y,z)exp2z2uyz2y

（17）（18）上式為無界空間連續(xù)點源擴散的高斯模型，然而在實際中，由于地面的影響，煙羽是有界的。根據(jù)假設可以把地面看做一鏡面，對泄漏的氣體起反射作用，同樣我們可以利用“像源法”進行處理，原理和示意圖在模型一的修正中提到，因此我們得出：實源的貢獻為：C1(x,y,z)Q1y21(zH)2（19）uexp(2)exp(22)2yz2yz像源的貢獻為：C2(x,y,z)Q1y21(zH)2（20）uexp(2)exp(22)2yz2yz則該處的實際濃度為：C(x,y,z)C1(x,y,z)C2(x,y,z)（21）綜合上面的公式得到連續(xù)點源高斯煙羽擴散模型：C(x,y,z,t,H)Qexp(y2){exp[(zH)2]exp[(zH)2]}（22）2uyz2y22y22z25.2.2模型二的修正連續(xù)點源高斯擴散模型雖然能分析風力對濃度的影響情況，但為了能更準確的探究風力對核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的影響情況，我們將考慮泄漏源有效高度、放射性物質(zhì)自身的沉降作用和雨水吸附作用對放射性物質(zhì)濃度的影響，進而對連續(xù)點源高斯擴散模型進行修正。5.2.2.1泄漏源有效高度對模型的修正如圖2所示，泄漏源的有效高度h是由兩部分組成，一是核泄漏口距有效地面的高度H；二是在實際核擴散中核泄漏氣團從泄漏口排出時，由于受到熱力抬升和本身動力抬升，進而產(chǎn)生的一個附加高度H。因而hHH。圖四： 煙云抬升示意圖附加高度 H，主要由核泄漏處泄漏氣體的氣流具有一初始動量（使他們繼續(xù)垂直上升）和氣流溫度高于環(huán)境溫度產(chǎn)生的靜浮力決定， 這兩種動力引起的煙云浮力運動稱煙云抬升，附加高度 H即煙云抬升高度，煙云抬升有利于降低地面的污染物濃度。而且 H還受到風速、地形地貌等多種因素的影響。A：當大氣穩(wěn)定度為中性時，計算煙氣抬升高度利用 Holland公式HvsDTsTaD)19.6103QH)（23）(1.52.7Ts(1.5vsDuu式中： u：泄漏源出口處的平均風速， m/s；vs：放射性氣體出口流速，已知為 mm/s；D：泄漏源出口的有效內(nèi)徑；QH：泄漏源的熱排放率， kw；Ts：泄漏源出口處溫度， K；Ta：環(huán)境大氣平均溫度， K，取當?shù)亟迥甑钠骄?；B：當大氣條件為不穩(wěn)定時，利用 Briggs公式計算煙氣抬升高度當QH21000kw時x10HH0.362QH1/3x2/3(u)1x10HH1.55QH1/3H2/3(u)1當QH21000kw時x3x*H0.362QH1/3x1/3(u)1x3x*H0.332QH3/5H2/5x*0.33QH3/5H3/5(u)6/5綜上所述，泄漏源的有效高度為：hHH（24）5.2.2.2考慮放射性物質(zhì)自身的沉降作用對模型的修正放射性物質(zhì)的沉降速度取決于空氣阻力和自身重力，利用斯托克斯公式表示沉降速度：gd2Vs（25）18：放射性物質(zhì)粒子密度， kg/m3；g：重力加速度，9.8065m/s；d：放射性物質(zhì)粒子直徑， m；：空氣的動力粘性系數(shù)，可取 1.8105kg/(ms)；Vs：沉降速度，m/s，含碘放射性核素的沉降速度為 Vs=1.1cm/s；在擴散過程中重力沉降的位移疊加在羽流中心線上，使中心線向下傾斜，放射性物質(zhì)粒子則相當于在下傾的中心線上擴散，放射性物質(zhì)的擴散與沉降的疊加可認為是放射源以Vs的速度向下移動。在x處向下移動的垂直距離為VtVsx，即泄s漏源的有效高度h下降了VstVsx，泄漏源的有效高度成為hVsthVsx，考慮到地面的全反射作用，反射項的有效高度也變成了hVsthVsx。則修正后的連續(xù)點源高斯擴散模型為：C(x,y,z,h)Qy2(zhVsx)2]exp[(zhVsx)2exp(2){exp[2222]}2uyz2yyz5.2.2.3考慮雨水的吸附作用對模型的修正降雨對放射性物質(zhì)的濃度有一定影響， 即雨水對放射性物質(zhì)有一定的吸附作用。以吸附系數(shù) 來表示雨水對放射性物質(zhì)吸附作用的大小， 與降雨強度的關(guān)系為： aIb，式中I為降雨強度，a,b為經(jīng)驗系數(shù)。如果放射性物質(zhì)含碘，則a 8 105,b 0.6；反之，a 1.2 105,b 0.5。雨水的吸附作用導致的放射性物質(zhì)濃度的減小，可對源強進行修正：()Qexp(x)（27）Qx則進一步修正的連續(xù)點源高斯擴散模型為：Q(x)y2(zhVsx)2]exp[(zhVsx)2C(x,y,z,h)exp(2){exp[2222]}2uyz2yyz（28）綜上所述：修正的連續(xù)點源高斯擴散模型為：Q(x)y2(zhVsx)2(zhVsx)2C(x,y,z,h)2uyzexp(2){exp[22]exp[22]}2yyzQ(x)Qexp(x),aIbgd2Vs18（29）5.2.3模型二的求解模型所需參數(shù)的選取對模型的求解至關(guān)重要， 通常情況下氣象參數(shù)的選取是h0，利用天氣條件確定利用該地區(qū)多年氣象資料，采取工業(yè)安全與環(huán)保統(tǒng)計的方法進行有關(guān)參數(shù)的確定，而其他擴散參數(shù)則以實際測定為準。A：大氣穩(wěn)定度的計算根據(jù)我國標準(GB/T13201—91))制訂地方大氣污染物排放標準的技術(shù)方法的規(guī)定，大氣穩(wěn)定度分為6級，分別為A—極不穩(wěn)定、B—不穩(wěn)定、C—弱不穩(wěn)定、D—中性、E—弱穩(wěn)定、F—穩(wěn)定。該方法的技術(shù)路線是：根據(jù)核泄漏源所在地的經(jīng)度和緯度以及泄漏的日期和時間計算當時的太陽高度角輻射等級，然后利用輻射等級和風速確定大氣穩(wěn)定度，最后查擴散參數(shù)冪函數(shù)表，確定擴散參數(shù)。首先，然后，由太陽高度角h0和云量查出太陽輻射等級；最后，再根據(jù)地面風速確定當時的大氣穩(wěn)定度。總云量/夜間太陽高度角h0低云量h01515h03535h065h0f65p4/4-2-1+1+2+35~7/4-10+1+2+38/4-100+1+17/5~70000+18/800000表一：太陽輻射等級地面風太陽輻射等級速+3+2+10-1-2(m/s)1.9AA-BBDEE2~2.9A-BBCDEF3~4.9BB-CCDDE5~5.9CC-DDDDD6CDDDDD注：地面風速系指距地面10m高度處10min平均風速表二：大氣穩(wěn)定度的等級B：擴散參數(shù)的確定擴散參數(shù)y,z的確定，采用Br