02013自學(xué)考試初等數(shù)論模擬試題（含答案）一、（1分題×20題=20分）xxx()Ａ．xxx1；Ｂ．xxx1；Ｃ．xxx1；Ｄ．xxx1．()Ａ．整數(shù)aa,

,a的公因數(shù)中最大的稱為最大公因數(shù)；1 2 nＢ．整數(shù)aa,

,a的公倍數(shù)中最小的稱為最小公倍數(shù)1 2 nＣ．整數(shù)a與它的絕對值有相同的倍數(shù)Ｄ．整數(shù)a與它的絕對值有相同的約數(shù)axbyc（abcab不全為零）有一整數(shù)解x,y0

,da,b，則此方程的一切解可表( )Ａ．xx0

at,yyd

bt,t0,1,2, ;dＢ．xx0Ｃ．xx0Ｄ．xx

at,yyd bt,yyd bt,yy

bt,t0,1,2, ;dat,t0,1,2, ;dat,t0,1,2, ;0 d 0 d４．下列各組數(shù)中不構(gòu)成勾股數(shù)的( )Ａ．５，１２，１３； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７５．下列推導(dǎo)中不正確的( )Ａ．a(chǎn)1

bmodm,a1

bmodmaa2 1

b1

modm;2Ｂ．

bmodm,

bmodmaa

bb

modm;1 1 2 2

12 1 2Ｃ．

bmodmaa

ba

modm;1 1 12 1 2Ｄ．a(chǎn)2b2modma1

bmodm.11 1６．模１０的一個簡化剩余系( )Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3, ,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4; Ｄ．1,3,7,9.７．a(chǎn)bmodm的充分必要條件( )Ａ．mab; Ｂ．a(chǎn)bm;Ｃ．mab; Ｄ．a(chǎn)bm.８．設(shè)fxx42x38x9，同余式fx0mod5的所有解( )Ａ．x1或Ｂ．x1或Ｃ．x1或Ｄ．無解．9f(x)=

xn

ax

其中a,x

p為f(x)0modp的n 1 0 i 0一個解，:( )Amodp一定為f(x)0p的一個解 B．0

modp 1,一定為f(x)0modp的一個解C ．當(dāng)不整除f(x),f(x0p一定有解xx0

p其中x

xmodp0D若xx0

p為f(x)0p的一個解則有x

xmodp0f(x)axn axa,其a為奇,a

0modp,np,則同余式n 1 0 i nf(x)0modp的解數(shù)（ ）有時大于p但不大于n; B．可超過pC．等于p D．等于n若2為模p的平方剩余，則p只能為下列質(zhì)數(shù)中的:( )A．3 B．11 C．13 D．23 若雅可比符號a1，則 m x2amodm,當(dāng)mx2ap有解;mp(x2ap有解;ap(x2ap有解．13．若同余式x2a3,2,a有,則解數(shù)等于( )A．4 B．3 C．2 D．1模12的所有可能的指數(shù);( )A．1，2，4 B．1，2，4，6，12 C．1，2，3，4，6，12 D．無法確定若模m的單根存在，下列數(shù)中可能等: ( A．2 B．3 C．4 D．12對于模5，下列式子成立的:( )A．ind22 B．ind233 3C．ind50 D．ind10ind2ind53 3 3 3下列函數(shù)中不是可乘函數(shù)的: ( A．茂陛鳥(mobius)函數(shù)w(a) ;歐拉函數(shù)a；x的質(zhì)數(shù)的個數(shù)x；除數(shù)函數(shù)a；若x對模m的指數(shù)是ab，a>0，ab>0，則x對模m的指數(shù)( )Aa Bb ab fa，ga均為可乘函數(shù)，( )A．faga為可乘函數(shù)；

faga為可乘函數(shù)C．faga為可乘函數(shù)； D．faga為可乘函數(shù)設(shè)a為茂陛烏斯函數(shù)，則( 不成立A．1 B．11 C．2D．90（每小題1分，共10分）3在45!中的最高次n＝ ；ax11

ax22

axnn

N，其中a ，a1

，…，an

，N均為整數(shù)，n2，有整數(shù)解的充分必要條件；23a0aba,b1，能表成純循環(huán)小數(shù)的充分必要條件是b ；xx0

modmaxbmodma0modm的一個解，則它的所有解；威爾生（wilson）定理； 26．勒讓德符號503= 1013 若a,p1，則a是模p的平方剩余的充分必要條件是 (歐拉判別條件)；在模m的簡化剩余系中，原根的個數(shù)；設(shè)1，g為模p的一個原根，則模2p的一個原根；30．48 （54題20分）“18”對嗎？說明理由?！叭鬭m1x通過模m的簡化剩余系，則ax也通過模m”這命題是否正確？正確請證明，不正確請舉反例。17的簡化剩余系中平方剩余與平方非剩余。1設(shè)a11

p22

pkk

為aSa為aa為a的正因數(shù)的個數(shù)，則Sa＝？a＝？（7×4題＝28分）6x+93y=75的一切整數(shù)解。x1mod5解同余方程組y3mod6z2mod737．解同余式x2≡11(mod125)38．求模13的所有原根。（7分題×2題=14分）3、試證：x22y2z2（，）=1y是偶數(shù)的整數(shù)解可寫成：x(a22b2) y2ab za22b2這里ab0a,b1，并且40、設(shè)a為正整數(shù)，試證：

一為奇數(shù)，一為偶數(shù)。((d)(d|a d|a

a)ad其中d|a

表示展布在a的一切正因數(shù)上的和式。（8分）41、求30！中末尾0的個數(shù)。參考答案：一．單項選擇：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。二．填空題：21．21；22．

,a, ,

|N ；23．b,101；1 2 n24．

t

,t0,1,2,

；25p1！+10modp,p為素數(shù)；26．1；m0mp127．a(chǎn)2

a,m1modp；28．

與gp中的單數(shù)；30．16三．簡答題：31．答：命題正確。

2m212m2m2m2m24mm1而mm12的倍數(shù)。86頁32．正確．證明見教材P 。47

p1233．在摸p的簡化剩余系中與12,22,

, 同余的數(shù)是數(shù)p的平方剩余， 2 p17,1p18，121,224,329,4216，528,622,7215,821321，2，4，8，9，13，15，16173，5，6，7，10，11，12，1417的平方非剩余。34．

ak

1pp2

k

p11iii i1

ii p1i1 ia1

12

1 k

1證明：若fa為可乘函數(shù)，則

f

fpi

fp．ii．i|a i1fafa1四．計算題35．解：因為6,933|75，故原不定方程有解。又原方程即2x31y25，而易見方程2x31y1有解x'16,y'0

1。所以原方程的一個解是x0

400,y0

25所以，原方程的一切整數(shù)解是（ ）x40031tr25

t是整數(shù)5，6，7兩兩互質(zhì)，由孫子定理得所給同余方程組關(guān)于模5×6×7＝210有唯一解，分別解同余方程：42x1mod535x30x，得x3mod5，xmo，x4mod7因此所給同余方程組的解是：x423135133042mod210x261 x211mod5x1mod5 再從1t1

11mod52

10mod52 ，因此t1

1mod51t

6mod52 ，是211mod52又從652t

mod53得300t2

25mod53 ,12t2

1mod5即t2mod5,所x652256 是所給方程的一個解，于是所解為：2xmod5 解畢。38．解：12223, g1

2,g2

3 為其質(zhì)因數(shù) 6 g13的原根的主要條件是：2 3g6mod3g4mod1用g=1，2，……1213因為4134個，即為所求。五、證明題：證明：易驗證所給的解為原方程的解，因y為偶數(shù)，原方程可化為：z 2 2 但 z

x z

xz22 22

2 2 zx x z x 2 , 2 | 2 , 2 x ，所以

zx zx， ）=12 2由書中引理，我們可假設(shè)zx zx= a2， =b22 2顯然a>b，(a，b)=1，于是X=a2－b2，z=a2+b2 ，y=2ab因子為奇數(shù)，所以a，b一定是一為奇，一為偶，證畢證明：假定d1

，---，dk

為a的所有正約數(shù)，那末ad 1

a也是a的所有正約數(shù)，于是dk(d)=