盜夢空間中數(shù)學(xué)牽連與現(xiàn)實(shí)演繹盜夢空間中數(shù)學(xué)牽連與現(xiàn)實(shí)演繹1備受關(guān)注的《盜夢空間》有著令人驚嘆的復(fù)雜情節(jié)，而其中許多情節(jié)和場景，與部分?jǐn)?shù)學(xué)理論和思想非常相符，故事中的一些問題在數(shù)學(xué)中也有過類似的討論。在欣賞影片之余，從數(shù)學(xué)角度來探討一下電影，同樣也是一件非常有趣且有挑戰(zhàn)性的事情。同時(shí)，它在現(xiàn)實(shí)生活中的各種演繹也值得我們關(guān)注，也許，下一個(gè)進(jìn)入夢境的人，就是你自己！備受關(guān)注的《盜夢空間》有著令人驚嘆的復(fù)雜情節(jié)，而其中許多情節(jié)2三個(gè)盜夢空間中涉及的數(shù)學(xué)思想非歐幾何和分形幾何公理體系不可知論三個(gè)盜夢空間中涉及的數(shù)學(xué)思想非歐幾何和分形幾何3關(guān)于影片中非歐幾何迷宮在第二段故事中，最令觀眾驚嘆和稱奇的部分就是Cobb向Ariadne演示迷宮的部分。在這里一共出現(xiàn)了3個(gè)迷宮。關(guān)于影片中非歐幾何迷宮在第二段故事中，最令觀眾驚嘆和稱奇的部4NO.1

Cobb的助手Arthur向Ariadne演示了一個(gè)無限的樓梯。Ariadne走了4段，一直感覺向上，實(shí)際上走了一個(gè)死圈，NO.1

Cobb的助手Arthur向Ariadne演示了一5盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件6盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件7盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件8盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件9這其實(shí)便是畫家埃舍爾

（Escher）著名的旋轉(zhuǎn)

樓梯，它指出了夢中悖

論（Paradox）的存在。

在面試的時(shí)候，Cobb

讓Ariadne畫迷宮以測

其智商，她畫的第3個(gè)

迷宮困住了Cobb，這

個(gè)迷宮是圓圈套來套

去，也類似于一條著

名的環(huán)形蛇迷宮。

這其實(shí)便是畫家埃舍爾

（Escher）著名的旋轉(zhuǎn)

樓梯，它指10NO .2

在面試的時(shí)候，Cobb讓

Ariadne畫迷宮以測其智

商，她畫的第3個(gè)迷宮困

住了Cobb，這個(gè)迷宮是

圓圈套來套去，也類似

于一條著名的環(huán)形蛇迷宮。NO .2

在面試的時(shí)候，Cobb讓

Ariadne畫迷宮以11盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件12盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件13Arthur的樓梯和Ariadne畫的迷宮，并不復(fù)雜，但它們卻并不存在于現(xiàn)實(shí)世界。用數(shù)學(xué)上的語言來說，真實(shí)的世界是歐式空間（EuclideanSpace，歐幾里得空間），而夢中的迷宮則是建立在非歐式空間（Non-EuclideanSpace，非歐幾里得空間）之中的。

Arthur的樓梯和Ariadne畫的迷宮，并不復(fù)雜，但它們14NO.3

而后Cobb教授Ariadne時(shí)，把世界折成了一個(gè)盒子狀的結(jié)構(gòu)。大地變成了盒子的內(nèi)表面，天空位于盒子的中心，世界變得像萬花筒一樣顛來倒去，同樣是一種非歐氏空間。

NO.3

而后Cobb教授Ariadne時(shí)，把世界折成了一個(gè)15盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件16盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件17盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件18什么是非歐式空間？如果我們?yōu)槊恳粋€(gè)空間都設(shè)置坐標(biāo)系的話，歐氏空間的坐標(biāo)系是直線，而非歐空間的坐標(biāo)系會彎曲成一個(gè)圓圈。在一維上，歐式空間是直線，非歐空間可以是圓圈。在二維度上，歐式空間是平面，非歐式空間則可以有多種。Cobb所展示的盒子世界，其實(shí)就是球形的非歐空間。如果我們要構(gòu)造一個(gè)Ariadne所走的埃舍爾樓梯，在那個(gè)空間的高度方向一定是彎曲成了一個(gè)圓。這樣樓梯的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)具同一高度，所以才能聯(lián)接上。在這個(gè)空間中，依然有向上和向下的方向，但意義已不同。向上和向下不代表高度的增減，而是指從兩個(gè)不同的方向畫圈。好比從一個(gè)方向上看，向上走是順時(shí)針，向下走是逆時(shí)針。所以當(dāng)你向上走和向下走時(shí)，一直都在不斷重復(fù)。生活中這樣的樓梯是沒有的，但時(shí)鐘等許多事物的工作方式卻具有這樣的性質(zhì)。什么是非歐式空間？如果我們?yōu)槊恳粋€(gè)空間都設(shè)置坐標(biāo)系的話，歐氏19怎樣把敵人永遠(yuǎn)困在夢中

非歐式空間中的異常，為何會讓人很難覺察呢？怎樣把敵人永遠(yuǎn)困在夢中

非歐式空間中的異常，為何會讓人很難覺20這些非歐空間被稱為流形（manifold），流形同歐氏空間相比是局部相似，全局不同。如果從歐氏空間中取出一部分，再從非歐氏流形中取出一部分來，這兩者會非常相似。例如一維的歐氏空間是直線，非歐氏空間是圓。如果線段比較短，或是圓的半徑比較大的話，這兩者沒有本質(zhì)的區(qū)別。所以如果只走一段樓梯，或是只是生活在盒子世界中的一個(gè)小部分，沒人能發(fā)現(xiàn)問題。這些非歐空間被稱為流形（manifold），21

全局性質(zhì)有時(shí)被說成“拓?fù)洹毙再|(zhì)?？梢园淹?fù)淅斫獬梢环N聯(lián)接。比如兩個(gè)人從直線上的一點(diǎn)出發(fā)，各自朝一個(gè)方向走，永遠(yuǎn)不會碰頭，但如果他們來到一個(gè)圓上，這樣走肯定最終會碰面的。

全局性質(zhì)有時(shí)被說成“拓?fù)洹?2在電影的迷宮設(shè)計(jì)中，造夢師如果想把一個(gè)人困住，就要給他一種無限的錯(cuò)覺。把被騙的人想成是一只小蟲子，在二維世界里，如果是歐式空間，就是一個(gè)平面，你只能設(shè)計(jì)一個(gè)很大的圓，但小蟲總有一天會還是跑出去。但如果這是一個(gè)非歐式空間，如球面，小蟲怎么都跑不出去，這樣，造夢者就可以將敵人永遠(yuǎn)困在自己設(shè)計(jì)的夢中。在電影的迷宮設(shè)計(jì)中，造夢師如果想把一個(gè)人困住23非歐式空間的歷史最開始思考非歐式空間的是德國數(shù)學(xué)家高斯（CarlFriedrichGauss，1777~1855）。當(dāng)他發(fā)現(xiàn)在地面看的直線在塔樓上看不是直的，便開始追問究竟何為彎，何為直？由此，他給出了幾何概念的解析定義，創(chuàng)立了微分幾何。非歐式空間的歷史最開始思考非歐式空間的是德國24而《盜夢空間》故事中迷宮的思想，則更多來源于高斯的學(xué)生黎曼（GeorgFriedrichRiemann，1826~1866）。黎曼問了一系列更大膽的問題：空間如果是彎曲的會怎樣？（讀者可以想象一個(gè)坐標(biāo)系是彎的。）如果坐標(biāo)系是彎的，那長度、角度還有什么意義嗎？在黎曼的時(shí)代，許多人認(rèn)為這已不是數(shù)學(xué)，而是哲學(xué)。

黎曼為角度和弧度給出了一個(gè)新的定義，今天稱黎曼度量，并給出了黎曼度量在不同空間中換算的規(guī)則。黎曼流形（manifold）便用來指稱這種彎曲的空間。而且黎曼也思考過真實(shí)的宇宙是否是一個(gè)歐氏空間。他的觀點(diǎn)我們不知道，因?yàn)槲覀冎荒芸吹接钪娴囊徊糠帧?/p>

在此后的100多年中，幾乎無人正確理解黎曼的貢獻(xiàn)。但這一思想深刻地影響了包括廣義相對論在內(nèi)的一系列偉大理論的誕生。而《盜夢空間》故事中迷宮的思想，則更多來源于25分形幾何Cobb設(shè)計(jì)的迷宮，核心思想就是將敵人困在一個(gè)圈中。但故事的復(fù)雜性還遠(yuǎn)超于此。Ariadne展示了一種不同于Cobb設(shè)想的迷宮結(jié)構(gòu)，那就是鏡子中產(chǎn)生無窮多的人像。Ariadne把Cobb帶到一個(gè)地方，關(guān)上門，弄出兩面鏡子，兩面鏡子之中出現(xiàn)了數(shù)不清的人像。因?yàn)殓R子可以在鏡子中成像，于是就有了鏡中鏡中鏡中鏡??隨著鏡子層數(shù)的加深，鏡中像會越來越小。但即使是極小的一個(gè)像，經(jīng)過放大，里面還是有鏡中鏡中鏡中鏡??這便是幾何上被稱為分形（fractal）的結(jié)構(gòu)。我們可以將鏡中鏡看成《盜夢空間》故事結(jié)構(gòu)的一種比喻。因?yàn)殓R中可以有鏡，所以就有鏡中鏡中鏡中鏡??同樣，因?yàn)閴糁袝a(chǎn)生夢，所以有夢中夢中夢中夢??最早的分形結(jié)構(gòu)卻不是來源于幾何，而是來源于對遞推規(guī)則的研究，具體說是微分方程的研究。分形結(jié)構(gòu)是微分方程中chaos現(xiàn)象的一種，最早認(rèn)識到chaos的人是法國數(shù)學(xué)家龐加萊（JulesHenriPoincaré，1854~1912）。分形幾何Cobb設(shè)計(jì)的迷宮，核心思想就是將敵人26分形幾何圖片分形幾何圖片27盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件28盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件29盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件30盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件31普通幾何學(xué)研究的對象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比如，零維的點(diǎn)、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時(shí)空。在20世紀(jì)70年代末80年代初，產(chǎn)生了新興的分形幾何學(xué)（fractalgeometry），空間具有不一定是整數(shù)的維，而存在一個(gè)分?jǐn)?shù)維數(shù)。

普通幾何學(xué)研究的對象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比32分形幾何學(xué)的應(yīng)用

分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了應(yīng)用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一?；ǚ郏瑫匆娝婚g斷地作無規(guī)則運(yùn)動(布朗運(yùn)動)，這是花粉在大量液體分子的無規(guī)則碰撞(每秒鐘多達(dá)十億億次)下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分，其實(shí)由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續(xù)，但又處處無導(dǎo)數(shù)的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是2，大大高于它的拓?fù)渚S數(shù)1.在某些電化學(xué)反應(yīng)中，電極附近沉積的固態(tài)物質(zhì)，以不規(guī)則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。分形幾何學(xué)的應(yīng)用分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中33

自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗干可以分出不規(guī)則的枝杈，每個(gè)枝杈繼續(xù)分為細(xì)杈……，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學(xué)去測量。有人研究了某些云彩邊界的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)存在從1公里到1000公里的無標(biāo)度區(qū)。小于1公里的云朵，更受地形概貌影響，大于1000公里時(shí)，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特征尺度的限制，中間有三個(gè)數(shù)量級的無標(biāo)度區(qū)，這已經(jīng)足夠了。分形存在于這中間區(qū)域。近幾年在流體力學(xué)不穩(wěn)定性、光學(xué)雙穩(wěn)定器件、化學(xué)震蕩反映等試驗(yàn)中，都實(shí)際測得了混沌吸引子，并從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中計(jì)算出它們的分維。學(xué)會從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測算分維是最近的一大進(jìn)展。分形幾何學(xué)在物理學(xué)、生物學(xué)上的應(yīng)用也正在成為有充實(shí)內(nèi)容的研究領(lǐng)域。自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗干可34公理體系在《盜夢空間》中，Cobb一直在問：究竟什么是真實(shí)？標(biāo)準(zhǔn)是什么？公理體系35何為真實(shí)？何為公理？在數(shù)學(xué)上，人們考慮過類似的問題，即一個(gè)命題是否是正確的。并產(chǎn)生了一個(gè)很有啟發(fā)的觀點(diǎn)，即公理體系的觀點(diǎn)。一套邏輯系統(tǒng)建立在幾條公理之上，其他的規(guī)律可通過公理的推導(dǎo)得出。這便是我們所說的公理體系。當(dāng)我們說一個(gè)定理是正確的時(shí)候，實(shí)際上是不嚴(yán)格的說法。更準(zhǔn)確的說法應(yīng)是一個(gè)定理可由公理推導(dǎo)出來。只有當(dāng)你接受公理的假設(shè)時(shí)，定理才是真的。何為真實(shí)？何為公理？在數(shù)學(xué)上，人們考慮過類似的36問題在于公理本身常常也只是假設(shè)，真假是不可證明的。例如，非歐式空間與歐式空間之間一個(gè)最大的區(qū)別，在于平行公理：經(jīng)過一條直線之外的點(diǎn)，有幾條直線和已知的直線平行？如果假設(shè)只有一條的話，那就是平面幾何，這時(shí)三角形內(nèi)角之和是180度。如果一條也沒有，便是球面幾何，這時(shí)三角形內(nèi)角合大于180度。在不同的假設(shè)中，幾何規(guī)則完全不同。

通常我們對空間的邏輯認(rèn)知和思考都基于歐氏空間，這些邏輯都是在假定空間沒有彎曲的情況下才是正確的。而在一個(gè)彎曲的空間中，如果還是用歐氏空間的邏輯進(jìn)行思考，必定會推出不同的結(jié)果，產(chǎn)生悖論。問題在于公理本身常常也只是假設(shè)，真假是不可證37

建立在“陀螺公理”之上

我們再回到電影，Cobb判斷是夢是醒從來不用邏輯思考，只用陀螺驗(yàn)證。因?yàn)橐恍┦驴梢詮摹霸趬糁小边@一假設(shè)推導(dǎo)，也可以從“在現(xiàn)實(shí)中”這一假設(shè)推導(dǎo)。在兩種假設(shè)前提下，用不同的邏輯可能推導(dǎo)出同樣的結(jié)果。

“陀螺倒就是現(xiàn)實(shí)中，否則就是在夢中”是作為驗(yàn)夢的陀螺公理。Cobb只靠這一條分辨現(xiàn)實(shí)和夢境，不用邏輯推理?？梢哉fCobb對一切對夢和現(xiàn)實(shí)的分判，都是建立在陀螺公理之上的。

許多人會奇怪“陀螺公理”中，為何夢中的陀螺會轉(zhuǎn)個(gè)不停。已有許多解答，非歐式空間可以給出一種可能的解答，彎曲的空間會產(chǎn)生幾何上的邏輯悖論，同樣會產(chǎn)生物理上的邏輯悖論。比如我們可以想象在埃舍爾設(shè)計(jì)的樓梯上，當(dāng)一個(gè)人向下走時(shí)，實(shí)際上就是在跑圈。同樣的道理，如果你拋出一個(gè)物體，它會向下運(yùn)動，實(shí)際上它也是在跑圈。建立在“陀螺公理”之上

我們再回到電影，Co38盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件39盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件40盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件41打開不可知論的魔盒其實(shí)，我們也可以把人的思想描述成一種幾何結(jié)構(gòu)。迷宮般的邏輯結(jié)構(gòu)是存在的，它會導(dǎo)致“不可知性”。埃舍爾樓梯對應(yīng)著邏輯上的循環(huán)悖論，最典型的便是“雞生蛋，蛋生雞”的例子，它們分開來看都是正確的，但是放在一起，便出現(xiàn)了一個(gè)先有雞還是先有蛋的問題。打開不可知論的魔盒其實(shí)，我們也可以把人的思想描42分形結(jié)構(gòu)對應(yīng)著無窮的遞歸的邏輯。物理學(xué)上的觀點(diǎn)“基本粒子可以再分”正是如此，分子分解成原子，原子分解成電子、質(zhì)子和中子，現(xiàn)代物理學(xué)在進(jìn)一步分解電子、質(zhì)子和中子。但每得到一種基本的粒子，就要將其分解成更基本的粒子，這種邏輯就決定了世界的最基本的粒子是找不到的。夢中夢也是這樣一種分形似的邏輯，而電影的開篇和片尾，Cobb和Saito出現(xiàn)在同樣的場景中，構(gòu)成了一個(gè)循環(huán)，到這里，《盜夢空間》己經(jīng)打開了不可知論的魔盒。分形結(jié)構(gòu)對應(yīng)著無窮的遞歸的邏輯。物理學(xué)上的觀點(diǎn)“基本粒子可以43在哲學(xué)上“不可知論”是非常久遠(yuǎn)的。人類歷史上許多科學(xué)巨匠們都有“不可知”的想法，這或許是為何一些絕頂聰明的家伙最后神經(jīng)不正常的原因。例如牛頓在提出三大運(yùn)動定律之后，跑去研究上帝。個(gè)中原因在于在牛頓的體系中有兩個(gè)不可知的問題，一是第一推動力，二是如果萬有引力存在，星星為什么沒有掉下來。這是牛頓無法用他的三定律解答的。

愛因斯坦完全超越了牛頓詮釋的經(jīng)典力學(xué)世界，但正如他自己所說，“我知道的很多，我不知道的更多。”而一個(gè)愛因斯坦的體系中“不可知”的問題，便是為什么宇宙沒有整個(gè)被黑洞吸進(jìn)去。在哲學(xué)上“不可知論”是非常久遠(yuǎn)的。人類歷史上44

在我們身邊，無數(shù)的媒體、廣告、電影、文學(xué)都是在編寫故事，改變受眾的想法。Inception直譯為“開端”，也可理解為導(dǎo)演啟發(fā)觀眾，質(zhì)疑所有想法的緣由。這樣的思考是極有意義的，最偉大的創(chuàng)造都來源于對公理的質(zhì)疑和挑戰(zhàn)?！侗I夢空間》在電影史上是一部具有突破性質(zhì)的作品，它重新定義了電影表達(dá)能力的疆界，展現(xiàn)了復(fù)雜邏輯的魅力。英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家羅素曾這樣贊美數(shù)學(xué)：“數(shù)學(xué)不僅擁有真，而且擁有非凡的美，一種像雕像那樣冷峻而嚴(yán)厲的美，一種不為我們軟弱天性所動的美，一種不具備繪畫或是音樂那種富麗堂皇的裝飾的美。然而又是極其純凈的美，是唯有最偉大的藝術(shù)才具有的嚴(yán)格的完美?！痹谖覀兩磉?，無數(shù)的媒體、廣告、電影、文學(xué)都是45盜夢空間中數(shù)學(xué)牽連與現(xiàn)實(shí)演繹盜夢空間中數(shù)學(xué)牽連與現(xiàn)實(shí)演繹46備受關(guān)注的《盜夢空間》有著令人驚嘆的復(fù)雜情節(jié)，而其中許多情節(jié)和場景，與部分?jǐn)?shù)學(xué)理論和思想非常相符，故事中的一些問題在數(shù)學(xué)中也有過類似的討論。在欣賞影片之余，從數(shù)學(xué)角度來探討一下電影，同樣也是一件非常有趣且有挑戰(zhàn)性的事情。同時(shí)，它在現(xiàn)實(shí)生活中的各種演繹也值得我們關(guān)注，也許，下一個(gè)進(jìn)入夢境的人，就是你自己！備受關(guān)注的《盜夢空間》有著令人驚嘆的復(fù)雜情節(jié)，而其中許多情節(jié)47三個(gè)盜夢空間中涉及的數(shù)學(xué)思想非歐幾何和分形幾何公理體系不可知論三個(gè)盜夢空間中涉及的數(shù)學(xué)思想非歐幾何和分形幾何48關(guān)于影片中非歐幾何迷宮在第二段故事中，最令觀眾驚嘆和稱奇的部分就是Cobb向Ariadne演示迷宮的部分。在這里一共出現(xiàn)了3個(gè)迷宮。關(guān)于影片中非歐幾何迷宮在第二段故事中，最令觀眾驚嘆和稱奇的部49NO.1

Cobb的助手Arthur向Ariadne演示了一個(gè)無限的樓梯。Ariadne走了4段，一直感覺向上，實(shí)際上走了一個(gè)死圈，NO.1

Cobb的助手Arthur向Ariadne演示了一50盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件51盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件52盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件53盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件54這其實(shí)便是畫家埃舍爾

（Escher）著名的旋轉(zhuǎn)

樓梯，它指出了夢中悖

論（Paradox）的存在。

在面試的時(shí)候，Cobb

讓Ariadne畫迷宮以測

其智商，她畫的第3個(gè)

迷宮困住了Cobb，這

個(gè)迷宮是圓圈套來套

去，也類似于一條著

名的環(huán)形蛇迷宮。

這其實(shí)便是畫家埃舍爾

（Escher）著名的旋轉(zhuǎn)

樓梯，它指55NO .2

在面試的時(shí)候，Cobb讓

Ariadne畫迷宮以測其智

商，她畫的第3個(gè)迷宮困

住了Cobb，這個(gè)迷宮是

圓圈套來套去，也類似

于一條著名的環(huán)形蛇迷宮。NO .2

在面試的時(shí)候，Cobb讓

Ariadne畫迷宮以56盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件57盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件58Arthur的樓梯和Ariadne畫的迷宮，并不復(fù)雜，但它們卻并不存在于現(xiàn)實(shí)世界。用數(shù)學(xué)上的語言來說，真實(shí)的世界是歐式空間（EuclideanSpace，歐幾里得空間），而夢中的迷宮則是建立在非歐式空間（Non-EuclideanSpace，非歐幾里得空間）之中的。

Arthur的樓梯和Ariadne畫的迷宮，并不復(fù)雜，但它們59NO.3

而后Cobb教授Ariadne時(shí)，把世界折成了一個(gè)盒子狀的結(jié)構(gòu)。大地變成了盒子的內(nèi)表面，天空位于盒子的中心，世界變得像萬花筒一樣顛來倒去，同樣是一種非歐氏空間。

NO.3

而后Cobb教授Ariadne時(shí)，把世界折成了一個(gè)60盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件61盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件62盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件63什么是非歐式空間？如果我們?yōu)槊恳粋€(gè)空間都設(shè)置坐標(biāo)系的話，歐氏空間的坐標(biāo)系是直線，而非歐空間的坐標(biāo)系會彎曲成一個(gè)圓圈。在一維上，歐式空間是直線，非歐空間可以是圓圈。在二維度上，歐式空間是平面，非歐式空間則可以有多種。Cobb所展示的盒子世界，其實(shí)就是球形的非歐空間。如果我們要構(gòu)造一個(gè)Ariadne所走的埃舍爾樓梯，在那個(gè)空間的高度方向一定是彎曲成了一個(gè)圓。這樣樓梯的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)具同一高度，所以才能聯(lián)接上。在這個(gè)空間中，依然有向上和向下的方向，但意義已不同。向上和向下不代表高度的增減，而是指從兩個(gè)不同的方向畫圈。好比從一個(gè)方向上看，向上走是順時(shí)針，向下走是逆時(shí)針。所以當(dāng)你向上走和向下走時(shí)，一直都在不斷重復(fù)。生活中這樣的樓梯是沒有的，但時(shí)鐘等許多事物的工作方式卻具有這樣的性質(zhì)。什么是非歐式空間？如果我們?yōu)槊恳粋€(gè)空間都設(shè)置坐標(biāo)系的話，歐氏64怎樣把敵人永遠(yuǎn)困在夢中

非歐式空間中的異常，為何會讓人很難覺察呢？怎樣把敵人永遠(yuǎn)困在夢中

非歐式空間中的異常，為何會讓人很難覺65這些非歐空間被稱為流形（manifold），流形同歐氏空間相比是局部相似，全局不同。如果從歐氏空間中取出一部分，再從非歐氏流形中取出一部分來，這兩者會非常相似。例如一維的歐氏空間是直線，非歐氏空間是圓。如果線段比較短，或是圓的半徑比較大的話，這兩者沒有本質(zhì)的區(qū)別。所以如果只走一段樓梯，或是只是生活在盒子世界中的一個(gè)小部分，沒人能發(fā)現(xiàn)問題。這些非歐空間被稱為流形（manifold），66

全局性質(zhì)有時(shí)被說成“拓?fù)洹毙再|(zhì)?？梢园淹?fù)淅斫獬梢环N聯(lián)接。比如兩個(gè)人從直線上的一點(diǎn)出發(fā)，各自朝一個(gè)方向走，永遠(yuǎn)不會碰頭，但如果他們來到一個(gè)圓上，這樣走肯定最終會碰面的。

全局性質(zhì)有時(shí)被說成“拓?fù)洹?7在電影的迷宮設(shè)計(jì)中，造夢師如果想把一個(gè)人困住，就要給他一種無限的錯(cuò)覺。把被騙的人想成是一只小蟲子，在二維世界里，如果是歐式空間，就是一個(gè)平面，你只能設(shè)計(jì)一個(gè)很大的圓，但小蟲總有一天會還是跑出去。但如果這是一個(gè)非歐式空間，如球面，小蟲怎么都跑不出去，這樣，造夢者就可以將敵人永遠(yuǎn)困在自己設(shè)計(jì)的夢中。在電影的迷宮設(shè)計(jì)中，造夢師如果想把一個(gè)人困住68非歐式空間的歷史最開始思考非歐式空間的是德國數(shù)學(xué)家高斯（CarlFriedrichGauss，1777~1855）。當(dāng)他發(fā)現(xiàn)在地面看的直線在塔樓上看不是直的，便開始追問究竟何為彎，何為直？由此，他給出了幾何概念的解析定義，創(chuàng)立了微分幾何。非歐式空間的歷史最開始思考非歐式空間的是德國69而《盜夢空間》故事中迷宮的思想，則更多來源于高斯的學(xué)生黎曼（GeorgFriedrichRiemann，1826~1866）。黎曼問了一系列更大膽的問題：空間如果是彎曲的會怎樣？（讀者可以想象一個(gè)坐標(biāo)系是彎的。）如果坐標(biāo)系是彎的，那長度、角度還有什么意義嗎？在黎曼的時(shí)代，許多人認(rèn)為這已不是數(shù)學(xué)，而是哲學(xué)。

黎曼為角度和弧度給出了一個(gè)新的定義，今天稱黎曼度量，并給出了黎曼度量在不同空間中換算的規(guī)則。黎曼流形（manifold）便用來指稱這種彎曲的空間。而且黎曼也思考過真實(shí)的宇宙是否是一個(gè)歐氏空間。他的觀點(diǎn)我們不知道，因?yàn)槲覀冎荒芸吹接钪娴囊徊糠帧?/p>

在此后的100多年中，幾乎無人正確理解黎曼的貢獻(xiàn)。但這一思想深刻地影響了包括廣義相對論在內(nèi)的一系列偉大理論的誕生。而《盜夢空間》故事中迷宮的思想，則更多來源于70分形幾何Cobb設(shè)計(jì)的迷宮，核心思想就是將敵人困在一個(gè)圈中。但故事的復(fù)雜性還遠(yuǎn)超于此。Ariadne展示了一種不同于Cobb設(shè)想的迷宮結(jié)構(gòu)，那就是鏡子中產(chǎn)生無窮多的人像。Ariadne把Cobb帶到一個(gè)地方，關(guān)上門，弄出兩面鏡子，兩面鏡子之中出現(xiàn)了數(shù)不清的人像。因?yàn)殓R子可以在鏡子中成像，于是就有了鏡中鏡中鏡中鏡??隨著鏡子層數(shù)的加深，鏡中像會越來越小。但即使是極小的一個(gè)像，經(jīng)過放大，里面還是有鏡中鏡中鏡中鏡??這便是幾何上被稱為分形（fractal）的結(jié)構(gòu)。我們可以將鏡中鏡看成《盜夢空間》故事結(jié)構(gòu)的一種比喻。因?yàn)殓R中可以有鏡，所以就有鏡中鏡中鏡中鏡??同樣，因?yàn)閴糁袝a(chǎn)生夢，所以有夢中夢中夢中夢??最早的分形結(jié)構(gòu)卻不是來源于幾何，而是來源于對遞推規(guī)則的研究，具體說是微分方程的研究。分形結(jié)構(gòu)是微分方程中chaos現(xiàn)象的一種，最早認(rèn)識到chaos的人是法國數(shù)學(xué)家龐加萊（JulesHenriPoincaré，1854~1912）。分形幾何Cobb設(shè)計(jì)的迷宮，核心思想就是將敵人71分形幾何圖片分形幾何圖片72盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件73盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件74盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件75盜夢空間里的數(shù)學(xué)牽連概要課件76普通幾何學(xué)研究的對象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比如，零維的點(diǎn)、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時(shí)空。在20世紀(jì)70年代末80年代初，產(chǎn)生了新興的分形幾何學(xué)（fractalgeometry），空間具有不一定是整數(shù)的維，而存在一個(gè)分?jǐn)?shù)維數(shù)。

普通幾何學(xué)研究的對象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比77分形幾何學(xué)的應(yīng)用

分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了應(yīng)用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一?；ǚ郏瑫匆娝婚g斷地作無規(guī)則運(yùn)動(布朗運(yùn)動)，這是花粉在大量液體分子的無規(guī)則碰撞(每秒鐘多達(dá)十億億次)下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分，其實(shí)由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續(xù)，但又處處無導(dǎo)數(shù)的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是2，大大高于它的拓?fù)渚S數(shù)1.在某些電化學(xué)反應(yīng)中，電極附近沉積的固態(tài)物質(zhì)，以不規(guī)則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。分形幾何學(xué)的應(yīng)用分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中78

自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗干可以分出不規(guī)則的枝杈，每個(gè)枝杈繼續(xù)分為細(xì)杈……，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學(xué)去測量。有人研究了某些云彩邊界的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)存在從1公里到1000公里的無標(biāo)度區(qū)。小于1公里的云朵，更受地形概貌影響，大于1000公里時(shí)，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特征尺度的限制，中間有三個(gè)數(shù)量級的無標(biāo)度區(qū)，這已經(jīng)足夠了。分形存在于這中間區(qū)域。近幾年在流體力學(xué)不穩(wěn)定性、光學(xué)雙穩(wěn)定器件、化學(xué)震蕩反映等試驗(yàn)中，都實(shí)際測得了混沌吸引子，并從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中計(jì)算出它們的分維。學(xué)會從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測算分維是最近的一大進(jìn)展。分形幾何學(xué)在物理學(xué)、生物學(xué)上的應(yīng)用也正在成為有充實(shí)內(nèi)容的研究領(lǐng)域。自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗干可79公理體系在《盜夢空間》中，Cobb一直在問：究竟什么是真實(shí)？標(biāo)準(zhǔn)是什么？公理體系80何為真實(shí)？何為公理？在數(shù)學(xué)上，人們考慮過類似的問題，即一個(gè)命題是否是正確的。并產(chǎn)生了一個(gè)很有啟發(fā)的觀點(diǎn)，即公理體系的觀點(diǎn)。一套邏輯系統(tǒng)建立在幾條公理之上，其他的規(guī)律可通過公理的推導(dǎo)得出。這便是我們所說的公理體系。當(dāng)我們說一個(gè)定理是正確的時(shí)候，實(shí)際上是不嚴(yán)格的說法。更準(zhǔn)確的說法應(yīng)是一個(gè)定理可由公理推導(dǎo)出來。只有當(dāng)你接受公理的假設(shè)時(shí)，定理才是真的。何為真實(shí)？何為公理？在數(shù)學(xué)上，人們考慮過類似的81問題在于公理本身常常也只是假設(shè)，真假是不可證明的。例如，非歐式空間與歐式空間之間一個(gè)最大的區(qū)別，在于平行公理：經(jīng)過一條直線之外的點(diǎn)，有幾條直線和已知的直線平行？如果假設(shè)只有一條的話，那就是平面幾何，這時(shí)三角形內(nèi)角之和是180度。如果一條也沒有，便是球面幾何，這時(shí)三角形內(nèi)角合大于180度。在不同的假設(shè)中，幾何規(guī)則完全不同。

通常我們對空間的邏輯認(rèn)知和思考都基于歐氏空間，這些邏輯都是在假定空間沒有彎曲的情況下才是正確的。而在一個(gè)彎曲的空間中，如果還是用歐氏空間的邏輯進(jìn)行思考，必定會推出不同的結(jié)果，產(chǎn)生悖論。問題在于公理本身常常也只是假設(shè)，真假是不可證82

建立在“陀螺公理”之上

我們再回到電影，Cobb判斷是夢是醒從來不用邏輯思考，只用陀螺驗(yàn)證。因?yàn)橐恍┦驴梢詮摹霸趬糁小边@一假設(shè)推導(dǎo)，也可以從“在現(xiàn)實(shí)中”這一假設(shè)推導(dǎo)。在兩種假設(shè)前提下，用不同的邏輯可能推導(dǎo)出同樣的結(jié)果。

“陀螺倒就是現(xiàn)實(shí)中，否則就是在夢中”是作為驗(yàn)夢的陀螺公理。Cobb只靠這一條分辨現(xiàn)實(shí)和夢境，不用邏輯推理?？梢哉fCobb對一切對夢和現(xiàn)實(shí)的分判，都是建立在陀螺公理之上的。

許多人會奇怪“陀螺公理”中