最新高考數(shù)學(xué)解題技巧大揭秘專題19概率、隨機變量及其分布列最新高考數(shù)學(xué)解題技巧大揭秘專題19概率、隨機變量及其分布列最新高考數(shù)學(xué)解題技巧大揭秘專題19概率、隨機變量及其分布列新高考數(shù)學(xué)解題技巧大揭秘專題19概率、隨機變量及其分布列編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:專題十九概率、隨機變量及其分布列1.某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)123已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過分鐘的概率．(注：將頻率視為概率)答案：解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，將頻率視為概率得P(X＝1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(X＝＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4)，P(X＝＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).X的分布列為X123Peq\f(3,20)eq\f(3,10)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,10)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝1×eq\f(3,20)＋×eq\f(3,10)＋2×eq\f(1,4)＋×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,10)＝.(2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過分鐘”，Xi(i＝1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時間，則P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝＋P(X1＝且X2＝1)．由于各顧客的結(jié)算相互獨立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝＋P(X1＝×P(X2＝1)＝eq\f(3,20)×eq\f(3,20)＋eq\f(3,20)×eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(3,20)＝eq\f(9,80).故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過分鐘的概率為eq\f(9,80).結(jié)合事件的互斥性、對立性、獨立性以及古典概型，主要以解答題的方式考查離散型隨機變量分布列、期望和方差的求解及其實際應(yīng)用．本部分復(fù)習(xí)要從整體上，知識的相關(guān)關(guān)系上進行．離散型隨機變量問題的核心是概率計算，而概率計算又以事件的獨立性、互斥性、對立性為核心，在解題中要充分分析事件之間的關(guān)系.必備知識互斥事件有一個發(fā)生的概率若A、B是互斥事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＋P(Aeq\x\to( ))＝1.相互獨立事件與n次獨立重復(fù)試驗(1)若A1，A2，…，An是相互獨立事件，則P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．(2)如果在一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，事件A不發(fā)生的概率為1－p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生k次的概率為：Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.離散型隨機變量的分布列、期望與方差(1)主干知識：隨機變量的可能取值，分布列，期望，方差，二項分布，超幾何分布，正態(tài)分布．(2)基本公式：①E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…；②D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn＋…；③E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；④二項分布：ξ～B(n，p)，則P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．正態(tài)分布(1)若X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布，則可表示為X～N(μ，σ2)．(2)N(μ，σ2)的分布密度曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，該曲線與x軸所圍成的圖形的面積為1.(3)當X～N(μ，σ2)時，＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)．以上三個概率值具有重要的應(yīng)用，要熟記，不可混用．必備方法1．在解含有相互獨立事件的概率題時，首先把所求的隨機事件分拆成若干個互斥事件的和，其次將分拆后的每個事件分拆為若干個相互獨立事件的乘積，這兩個事情做好了，問題的思路就清晰了，接下來就是按照相關(guān)的概率值進行計算的問題了，如果某些相互獨立事件符合獨立重復(fù)試驗概型，就把這部分歸結(jié)為用獨立重復(fù)試驗概型，用獨立重復(fù)試驗概型的概率計算公式解答．2．相當一類概率應(yīng)用題都是由擲硬幣、擲骰子、摸球等概率模型賦予實際背景后得出來的，我們在解題時就要把實際問題再還原為我們常見的一些概率模型，這就要根據(jù)問題的具體情況去分析，對照常見的概率模型，把不影響問題本質(zhì)的因素去除，抓住問題的本質(zhì)．3．求解一般的隨機變量的期望和方差的基本方法是：先根據(jù)隨機變量的意義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的公式計算．

eq\a\vs4\al\co1(互斥事件與相互獨立事件的概率)互斥事件、相互獨立事件的概率在求隨機變量的分布列、期望、方差往往起工具性作用，試題多來源于生活，考查閱讀理解能力及對概率知識的應(yīng)用能力．【例1】某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時間/分12345頻率從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計時．(1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．[審題視點][聽課記錄][審題視點](1)第三個顧客恰好等待4分鐘的情況有三種可能：第一個顧客需1分鐘，第二個顧客需3分鐘；第一個顧客需3分鐘，第二個顧客需1分鐘；兩個顧客都需要2分鐘．(2)①找出第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)X的所有可能取值，其取值分別為0,1,2；②求出分布列，得出期望，本問最難的是分布列的求解．解設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下：Y12345P(1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝×＋×＋×＝.(2)法一X所有可能的取值為0,1,2.X＝0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝1對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝×＋＝；X＝2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；所以X的分布列為X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.法二X的所有可能取值為0,1,2.X＝0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝；所以X的分布列為X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.在概率的計算中，一般是根據(jù)隨機事件的含義，把隨機事件分成幾個互斥事件的和，每個小的事件再分為幾個相互獨立事件的乘積，然后根據(jù)相應(yīng)的概率公式進行計算．【突破訓(xùn)練1】甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．(1)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率．解記Ai表示事件：第i局甲獲勝，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙獲勝，j＝3,4.(1)記A表示事件：再賽2局結(jié)束比賽．A＝A3·A4＋B3·B4.由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝×＋×＝.(2)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利．因前2局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝×＋××＋××＝.eq\a\vs4\al\co1(獨立重復(fù)試驗與二項分布)以實際生活或生產(chǎn)為背景來考查二項分布是高考的“永久”熱點，難點是透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)n次獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ图岸椃植?，準確把握獨立重復(fù)試驗的特點是解答二項分布問題的關(guān)鍵．【例2】現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲．(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|.求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)．[審題視點][聽課記錄][審題視點](1)利用二項分布的概率公式求解；(2)利用二項分布和互斥事件的概率公式求解；(3)建立概率分布表，利用期望的定義式求解數(shù)學(xué)期望．解依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為eq\f(1,3)，去參加乙游戲的概率為eq\f(2,3).設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，則P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4－i.(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,27).(2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4.由于A3與A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,9).所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為eq\f(1,9).(3)ξ的所有可能取值為0,2,4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq\f(17,81).所以ξ的分布列是ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)∴ξ的期望E(ξ)＝0×eq\f(8,27)＋2×eq\f(40,81)＋4×eq\f(17,81)＝eq\f(148,81).(1)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：①是否為n次獨立重復(fù)試驗；②隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)．(2)在n次獨立重復(fù)試驗中，恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.【突破訓(xùn)練2】某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請兩位專家，獨立地對每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進行評審．假設(shè)評審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是eq\f(1,2).若某人獲得兩個“支持”，則給予10萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個“支持”給予5萬元的資助；若未能獲得“支持”，則不予資助，求：(1)該公司的資助總額為零的概率；(2)該公司的資助總額超過15萬元的概率．解(1)設(shè)A表示“資助總額為零”這個事件，則P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＝eq\f(1,64).(2)設(shè)B表示“資助總額超過15萬元”這個事件，則P(B)＝15×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＋6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＝eq\f(11,32).

eq\a\vs4\al\co1(離散型隨機變量的分布列、期望)與方差以考生比較熟悉的實際應(yīng)用問題為背景，綜合排列組合、概率公式、互斥事件、獨立事件及獨立重復(fù)事件等基礎(chǔ)知識，考查對隨機變量的識別及概率計算的能力．【例3】某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售．如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關(guān)于當天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．(ⅰ)若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；(ⅱ)若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應(yīng)購進16枝還是17枝請說明理由．[審題視點][聽課記錄][審題視點](1)根據(jù)日需求量分類求出函數(shù)解析式；(2)(ⅰ)根據(jù)當天的需求量，寫出相應(yīng)的利潤，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望和方差．(ⅱ)比較兩種情況的方差或數(shù)學(xué)期望即可．解(1)當日需求量n≥16時，利潤y＝80.當日需求量n＜16時，利潤y＝10n－80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－80，n＜16，,80，n≥16))(n∈N)．(2)(ⅰ)X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝，P(X＝70)＝，P(X＝80)＝.X的分布列為X607080PX的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝60×＋70×＋80×＝76.X的方差為D(X)＝(60－76)2×＋(70－76)2×＋(80－76)2×＝44.(ⅱ)答案一：花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585PY的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝55×＋65×＋75×＋85×＝.Y的方差為D(Y)＝(55－2×＋(65－2×＋(75－2×＋(85－2×＝.由以上的計算結(jié)果可以看出，D(X)＜D(Y)，即購進16枝玫瑰花時利潤波動相對較小．另外，雖然E(X)＜E(Y)，但兩者相差不大．故花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花．答案二：花店一天應(yīng)購進17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585PY的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝55×＋65×＋75×＋85×＝.由以上的計算結(jié)果可以看出，E(X)＜E(Y)，即購進17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進16枝時的平均利潤．故花店一天應(yīng)購進17枝玫瑰花．(1)求離散型隨機變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率公式求概率．(2)求隨機變量期望與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列．若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式法求解．【突破訓(xùn)練3】根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為.設(shè)各車主購買保險相互獨立．(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)．求X的期望．解記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險；B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買．(1)P(A)＝，P(B)＝，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.(2)D＝eq\x\to(C)，P(D)＝1－P(C)＝1－＝，X～B(100,，即X服從二項分布，所以期望E(X)＝100×＝20.二項展開式的通項與二項分布的概率公式的“巧合”一般地，由n次試驗構(gòu)成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結(jié)果僅有兩種對立的狀態(tài)，即A與eq\x\to(A)，每次試驗中P(A)＝p＞0.我們將這樣的試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，也稱為伯努利試驗．在n次獨立重復(fù)試驗中，每次試驗事件A發(fā)生的概率均為p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P(eq\x\to(A))＝1－p＝q.由于試驗的獨立性，n次試驗中，事件A在某指定的k次發(fā)生，而在其余n－k次不發(fā)生的概率為pkqn－k.而在n次試驗中，事件A恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率為Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，k＝0,1,2，…，n.它恰好是(q＋p)n的二項展開式中的第k＋1項．【示例】某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為eq\f(1,10)和p.(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為eq\f(49,50)，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)．[滿分解答](1)設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1－P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,10)·p＝eq\f(49,50)，解得p＝eq\f(1,5).(4分)(2)由題意，P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＝eq\f(1,1000)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\