曲線擬合

Curvefitting鄭大公衛(wèi)統(tǒng)計(jì)教研室平智廣曲線擬合

Curvefitting鄭大公衛(wèi)統(tǒng)計(jì)教研室1 醫(yī)學(xué)研究中X和Y的數(shù)量關(guān)系常常不是線性的，如毒物劑量與動(dòng)物死亡率，人的生長曲線，藥物動(dòng)力學(xué)等，都不是線性的。如果用線性描述將丟失大量信息，甚至得出錯(cuò)誤結(jié)論。 醫(yī)學(xué)研究中X和Y的數(shù)量關(guān)系常常不是線性的，如毒物劑2一、非線性關(guān)系的類型與特點(diǎn)根據(jù)非線性關(guān)系的性質(zhì)和特點(diǎn)可大致分為6類：1.指數(shù)形式關(guān)系 2.對(duì)數(shù)形式關(guān)系3.冪形式關(guān)系 4.雙曲形式關(guān)系5.S型形式關(guān)系 6.多項(xiàng)式形式關(guān)系一、非線性關(guān)系的類型與特點(diǎn)根據(jù)非線性關(guān)系的性質(zhì)和特點(diǎn)可大致分3兩種形式：a>0,b>0a>0,b<0(一)指數(shù)關(guān)系曲線當(dāng)a>0，b>0時(shí)，Y隨x的↑而↑，曲線凹向上；當(dāng)a>0，b<0時(shí)，Y隨x的↑而↓，曲線也是凹向上。兩種形式：a>0,b>0a>0,b<0(一)指數(shù)關(guān)系曲4b>0b<0方程為:(二)對(duì)數(shù)關(guān)系曲線當(dāng)b>0時(shí)，Y隨x的↑而↑，曲線凸向上；當(dāng)b<0時(shí)，Y隨x的↑而↓，曲線凹向上。根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，x為大于0的正數(shù)。b>0b<0方程為:(二)對(duì)數(shù)關(guān)系曲線當(dāng)b>0時(shí)，Y隨5a>0,0<b<1a>0,b>1a>0,b<0方程為:(三)冪關(guān)系曲線當(dāng)a>0，b>1時(shí)，Y隨x的↑而↑，曲線凹向上；當(dāng)a>0，0<b<1時(shí)，Y隨x的↑而↑，曲線凸向上；當(dāng)a>0，b<0時(shí)，Y隨x的↑而↓，曲線凹向上，且以x軸和y軸為漸近線。a>0,0<b<1a>0,b>1a>0,b<0方程為:(三6(四)雙曲關(guān)系曲線a>0,b>0a>0,b<0 當(dāng)a>0，b>0時(shí)，Y隨x的↑而↑，速率趨小，曲線凸向上，并向y=1/b漸進(jìn)； 當(dāng)a>0，b<0時(shí)，Y隨x的↑而↓，速率趨大，曲線凹向上，并向y=-a/b漸近。(四)雙曲關(guān)系曲線a>0,b>0a>0,b<0 當(dāng)a>0，7(五)S型曲線S型曲線由于其曲線形狀與動(dòng)、植物的生長過程的基本特點(diǎn)類似，故又稱生長曲線，曲線一開始時(shí)增長較慢，而在以后的某一范圍內(nèi)迅速增長，達(dá)到一定的限度后增長又緩慢下來，曲線呈拉長的”S”，故稱S曲線最著名的曲線是Logistic生長曲線，它最早由比利時(shí)數(shù)學(xué)家P.F.Vehulst于1838年導(dǎo)出，但直至20世紀(jì)20年代才被生物學(xué)家及統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.Pearl和L.J.Reed重新發(fā)現(xiàn)，并逐漸被人們所發(fā)現(xiàn)。目前它已廣泛應(yīng)用于多領(lǐng)域的模擬研究。(五)S型曲線S型曲線由于其曲線形狀與動(dòng)、植物的生長過程的8曲線擬合-課件9(6)多項(xiàng)式回歸 當(dāng)兩個(gè)變數(shù)間的曲線關(guān)系很難確定時(shí)，可以適應(yīng)多項(xiàng)式去逼近，稱為多項(xiàng)式回歸（polynomialregression)。 最簡(jiǎn)單的是二次多項(xiàng)式，其方程為：(6)多項(xiàng)式回歸 當(dāng)兩個(gè)變數(shù)間的曲線關(guān)系很難確定時(shí)，可以適10它的圖象是拋物線。當(dāng)b2＞0時(shí)，曲線凹向上，有一個(gè)極小值；b2＜

0時(shí)，曲線凸向上，有一個(gè)極大值。它的圖象是拋物線。11曲線直線化估計(jì)(Curveestimation)非線性/曲線回歸(Nonlinear/curvilinearregression)解決辦法曲線直線化估計(jì)(Curveestimation)解決辦法12二、曲線直線化擬合曲線回歸方程的步驟：根據(jù)變數(shù)X與Y之間的確切關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)那€類型。對(duì)選定的曲線類型，在線性化后按最小二乘法原理配置直線回歸方程。將直線回歸方程轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的曲線回歸方程，并對(duì)有關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)作出推斷。比較決定系數(shù)選取“最佳”曲線方程二、曲線直線化擬合曲線回歸方程的步驟：13(一)對(duì)數(shù)關(guān)系曲線的擬合例1：上海醫(yī)科大學(xué)微生物學(xué)教研室以已知濃度X的免疫球蛋白A(IgA,μg/ml)作火箭電泳,測(cè)得火箭高度Y(mm)如表1所示。試擬合Y關(guān)于X的非線性回歸方程。(一)對(duì)數(shù)關(guān)系曲線的擬合例1：上海醫(yī)科大學(xué)微生物學(xué)教研室以14XY0.27.60.412.30.615.70.818.21.018.71.221.41.422.61.623.8合計(jì)140.3表1免疫球蛋白與火箭高度的關(guān)系XY0.27.60.412.30.615.70151.繪制散點(diǎn)圖，決定曲線類型

2.曲線直線化變換1.繪制散點(diǎn)圖，決定曲線類型

2.曲線直線化變換16XYX'＝lnX(lnX')2Y2(lnX')Y

殘差平方0.27.6-1.60942.590257.76-12.23147.230.13800.412.3-0.91630.8396151.29-11.270512.620.10170.615.7-0.51080.2609246.49-8.019615.770.00530.818.2-0.22310.0498331.24-4.060418.010.03611.018.700.0000349.690.000019.751.09211.221.40.18230.0332457.963.901221.160.05631.422.60.33650.1132510.767.604922.360.05661.623.80.47000.2209566.4411.186023.40

0.1597合計(jì)140.3-2.27084.1078

2671.63

-12.8898

1.6458表2免疫球蛋白與火箭高度的關(guān)系XYX'＝lnX(lnX')2173.建立線性回歸方程

回歸方程為：=19.7451+7.7771lnX方差分析有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，P＝0.0000，F(xiàn)＝763.50，表明回歸方程有貢獻(xiàn)。確定系數(shù)為0.992，表明回歸擬合原資料很好。3.建立線性回歸方程回歸方程為：=19.7451+7.18(二)指數(shù)函數(shù)擬合例2：表2為15名重傷病人的住院天數(shù)X與預(yù)后指數(shù)Y的數(shù)據(jù)，根據(jù)兩者的關(guān)系擬合曲線。表2重傷病人的住院天數(shù)X與預(yù)后指數(shù)Y編號(hào)123456789101112131415X257101419263134384552536065Y54504537352520161813811846(二)指數(shù)函數(shù)擬合例2：表2為15名重傷病人的住院天數(shù)X與191.繪制散點(diǎn)圖，決定曲線類型2.曲線直線化變換1.繪制散點(diǎn)圖，決定曲線類型2.曲線直線化變換203.建立線性回歸方程回歸方程為：4.037-0.038X方差分析有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，P<0.0001，F(xiàn)＝276.38，表明回歸方程有貢獻(xiàn)。R2為0.9551，表明回歸擬合原資料較好。轉(zhuǎn)換為原方程的另一種形式：3.建立線性回歸方程回歸方程為：4.021曲線直線化Analyze→Regression→CurveEstimation…可選Power、Logarithmic、Exponential、Quadratic、Cubic等非線性回歸Analyze→Regression→Nonlinear… 設(shè)置模型：ModelExpression 參數(shù)賦初值：Parameters…三、采用SPSS進(jìn)行曲線擬合曲線直線化三、采用SPSS進(jìn)行曲線擬合22當(dāng)僅分析兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可以通過curveestimation進(jìn)行估計(jì)，此過程即為進(jìn)行曲線直線化的過程。(一)CurveEstimation當(dāng)僅分析兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可以通過curveest23LinearQuadraticCompoundGrowthLogarithmicCubicSExponentialInversePowerLogisticLinear24曲線擬合-課件25曲線擬合-課件26(二)非線性回歸變量變化可以解決一部分曲線擬合的問題，直線回歸采用的是最小二乘法，它保證的是變換后的殘差平方和最小，如果變換回原始數(shù)據(jù)，不一定是最優(yōu)方程；曲線關(guān)系極為復(fù)雜時(shí)，簡(jiǎn)單的變量變化往往不能轉(zhuǎn)換為直線方程；CurveEstimation僅能進(jìn)行簡(jiǎn)單的曲線擬合，而且其原理也是曲線直線化。(二)非線性回歸變量變化可以解決一部分曲線擬合的問題，直線回27曲線擬合-課件28-0.03958645282527-0.0395864528252729曲線擬合-課件30曲線擬合-課件31曲線直線化非線性最小二乘法比較兩個(gè)回歸方程可見，對(duì)同一份樣本采用不同估計(jì)方法得到的結(jié)果并不相同。主要因?yàn)榍€直線化以后的回歸只對(duì)變換后的Y*(＝lnY)負(fù)責(zé),得到的線性方程可使Y*與其估計(jì)值之間的殘差平方和最小，并不保證原變量Y與其估計(jì)值之間的殘差平方和也是最小。曲線直線化非線性最小二乘法比較兩個(gè)回32 對(duì)于例2，幾個(gè)常見曲線擬合得到的決定系數(shù)R2如下（曲線直線化）：線性R2：0.8856(y=46.4604-0.7525x)冪曲線R2：0.8293(y=159.9297x-0.7191)對(duì)數(shù)曲線R2：0.9654(y=72.2829-15.9662ln(x))指數(shù)曲線R2：0.9551(y=56.6651e-0.0380x)二項(xiàng)式R2：0.9812(y=55.8221-1.7103x+0.0148x2) 對(duì)于例2，幾個(gè)常見曲線擬合得到的決定系數(shù)R2如下（曲線直線33 對(duì)于例2，幾個(gè)常見曲線擬合得到的決定系數(shù)R2如下（非線性回歸——迭代法）：線性R2：0.8856(y=46.4604-0.7525x)冪曲線R2：0.8413(y=88.7890x-0.4662)對(duì)數(shù)曲線R2：0.9654(y=72.2829-15.9662ln(x))指數(shù)曲線R2：0.9875(y=58.6066e-0.0396x)二項(xiàng)式R2：0.9812(y=55.8221-1.7103x+0.0148x2) 對(duì)于例2，幾個(gè)常見曲線擬合得到的決定系數(shù)R2如下（非線性回34 原變量Y與（直線或曲線方程得到）間相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值＝相關(guān)指數(shù)R線性R：＝X與Y間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值冪曲線R：＝lnX與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值對(duì)數(shù)曲線R：＝lnX與Y間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值指數(shù)曲線R：＝X與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值二項(xiàng)式R：＝√(1－SS殘差/SS總)R的計(jì)算（曲線直線化） 原變量Y與（直線或曲線方程得到）間相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值＝相35R的計(jì)算（非線性回歸） 原變量Y與（直線或曲線方程得到）間相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值＝相關(guān)指數(shù)R線性R：＝X與Y間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值冪曲線R：≠lnX與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值對(duì)數(shù)曲線R：＝lnX與Y間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值指數(shù)曲線R：≠

X與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值二項(xiàng)式R：＝√(1－SS殘差/SS總)R的計(jì)算（非線性回歸） 原變量Y與（直線或曲線方程得到）36散點(diǎn)圖辨析

散點(diǎn)圖辨析37如果條件允許最好采用非線性回歸（NonlinearRegression）擬合冪函數(shù)曲線與指數(shù)函數(shù)曲線注意繪制散點(diǎn)圖，并結(jié)合專業(yè)知識(shí)解釋如果條件允許最好采用非線性回歸（NonlinearRegr38曲線擬合-課件39曲線擬合-課件4013<06.9580.108-6-113<06.9580.108-6-141曲線擬合-課件42曲線擬合-課件43曲線擬合-課件44四、曲線回歸的注意事項(xiàng)(一)初始值設(shè)定一般來說，當(dāng)擬合模型較為簡(jiǎn)單，數(shù)據(jù)也不多時(shí)，無論初始值如何，通過迭代都可以最終達(dá)到正確結(jié)果。但在擬合復(fù)雜模型時(shí)，如果初始值設(shè)定不合理，常常造成迭代不收斂或者得到模型的局部最優(yōu)解，而不是全局最優(yōu)解。多選幾個(gè)初始值進(jìn)行擬合，觀察最終分析結(jié)果是否相同，若不同，則篩選出最有結(jié)果；從圖形上取幾個(gè)點(diǎn)，解出各參數(shù)的近似值，將其作為初始值代入；迭代時(shí)首先簡(jiǎn)化模型，擬合不太復(fù)雜的雛形，然后逐漸添加內(nèi)容，最終擬合目標(biāo)函數(shù)。四、曲線回歸的注意事項(xiàng)(一)初始值設(shè)定45(二)模型的分段擬合許多情況下變量間的非線性關(guān)系不太好用一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)關(guān)系來定義，但如果分為幾段，則非常容易表達(dá)。(二)模型的分段擬合許多情況下變量間的非線性關(guān)系不太好用一個(gè)46五、非線性回歸軟件介紹目前世界上在該領(lǐng)域有名的軟件工具包很多，如：OriginPro、Matlab、SAS、SPSS、DataFit、GraphPad、TableCurve2D、TableCurve3D等。進(jìn)行非線性回歸時(shí)，均需用戶提供適當(dāng)?shù)膮?shù)初始值以便計(jì)算能夠收斂并找到最優(yōu)解。如果設(shè)定的參數(shù)初始值不當(dāng)則計(jì)算難以收斂，其結(jié)果是無法求得正確結(jié)果。而在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，對(duì)大多數(shù)用戶來說，給出(猜出)恰當(dāng)?shù)某跏贾凳羌喈?dāng)困難的事，特別是在參數(shù)量較多的情況下，更無異于是場(chǎng)噩夢(mèng)。五、非線性回歸軟件介紹目前世界上在該領(lǐng)域有名的軟件工具包很多47(一)采用SAS進(jìn)行曲線擬合(一)采用SAS進(jìn)行曲線擬合48(二)利用Origin進(jìn)行曲線擬合(二)利用Origin進(jìn)行曲線擬合491stOpt(FirstOptimization)1stOpt是世界領(lǐng)先的非線性曲線擬合，是七維高科有限公司獨(dú)立開發(fā)的一套數(shù)學(xué)優(yōu)化分析綜合工具軟件包。在非線性回歸、曲線擬合、非線性復(fù)雜工程模型參數(shù)估算求解等領(lǐng)域，居世界領(lǐng)先地位。界面簡(jiǎn)單易用，采用通用全局優(yōu)化算法求解，該算法之最大特點(diǎn)是克服了當(dāng)今世界上在優(yōu)化計(jì)算領(lǐng)域中使用迭代法必須給出合適初始值的難題，即用戶勿需給出參數(shù)初始值，而由1stOpt隨機(jī)給出，通過其獨(dú)特的全局優(yōu)化算法，最終找出最優(yōu)解。1stOpt憑借其超強(qiáng)的尋優(yōu)，容錯(cuò)能力，在大多數(shù)情況下（大于90%)，從任一隨機(jī)初始值開始，都能求得正確結(jié)果。1stOpt(FirstOptimization)1stO50曲線擬合-課件51LINGOLingo是LinearInteractiveandGeneralOptimizer的縮寫，即“交互式的線性和通用優(yōu)化求解器”，由美國LINDO系統(tǒng)公司推出的，可以用于求解非線性規(guī)劃，也可以用于一些線性和非線性方程組的求解等，功能十分強(qiáng)大，是求解優(yōu)化模型的最佳選擇。其特色在于內(nèi)置建模語言，提供十幾個(gè)內(nèi)部函數(shù)，可以允許決策變量是整數(shù)(即整數(shù)規(guī)劃，包括0-1整數(shù)規(guī)劃)，方便靈活，而且執(zhí)行速度非常快。能方便與EXCEL，數(shù)據(jù)庫等其他軟件交換數(shù)據(jù)。LINGOLingo是LinearInteractive52Thankyou！Thankyou！53曲線擬合

Curvefitting鄭大公衛(wèi)統(tǒng)計(jì)教研室平智廣曲線擬合

Curvefitting鄭大公衛(wèi)統(tǒng)計(jì)教研室54 醫(yī)學(xué)研究中X和Y的數(shù)量關(guān)系常常不是線性的，如毒物劑量與動(dòng)物死亡率，人的生長曲線，藥物動(dòng)力學(xué)等，都不是線性的。如果用線性描述將丟失大量信息，甚至得出錯(cuò)誤結(jié)論。 醫(yī)學(xué)研究中X和Y的數(shù)量關(guān)系常常不是線性的，如毒物劑55一、非線性關(guān)系的類型與特點(diǎn)根據(jù)非線性關(guān)系的性質(zhì)和特點(diǎn)可大致分為6類：1.指數(shù)形式關(guān)系 2.對(duì)數(shù)形式關(guān)系3.冪形式關(guān)系 4.雙曲形式關(guān)系5.S型形式關(guān)系 6.多項(xiàng)式形式關(guān)系一、非線性關(guān)系的類型與特點(diǎn)根據(jù)非線性關(guān)系的性質(zhì)和特點(diǎn)可大致分56兩種形式：a>0,b>0a>0,b<0(一)指數(shù)關(guān)系曲線當(dāng)a>0，b>0時(shí)，Y隨x的↑而↑，曲線凹向上；當(dāng)a>0，b<0時(shí)，Y隨x的↑而↓，曲線也是凹向上。兩種形式：a>0,b>0a>0,b<0(一)指數(shù)關(guān)系曲57b>0b<0方程為:(二)對(duì)數(shù)關(guān)系曲線當(dāng)b>0時(shí)，Y隨x的↑而↑，曲線凸向上；當(dāng)b<0時(shí)，Y隨x的↑而↓，曲線凹向上。根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，x為大于0的正數(shù)。b>0b<0方程為:(二)對(duì)數(shù)關(guān)系曲線當(dāng)b>0時(shí)，Y隨58a>0,0<b<1a>0,b>1a>0,b<0方程為:(三)冪關(guān)系曲線當(dāng)a>0，b>1時(shí)，Y隨x的↑而↑，曲線凹向上；當(dāng)a>0，0<b<1時(shí)，Y隨x的↑而↑，曲線凸向上；當(dāng)a>0，b<0時(shí)，Y隨x的↑而↓，曲線凹向上，且以x軸和y軸為漸近線。a>0,0<b<1a>0,b>1a>0,b<0方程為:(三59(四)雙曲關(guān)系曲線a>0,b>0a>0,b<0 當(dāng)a>0，b>0時(shí)，Y隨x的↑而↑，速率趨小，曲線凸向上，并向y=1/b漸進(jìn)； 當(dāng)a>0，b<0時(shí)，Y隨x的↑而↓，速率趨大，曲線凹向上，并向y=-a/b漸近。(四)雙曲關(guān)系曲線a>0,b>0a>0,b<0 當(dāng)a>0，60(五)S型曲線S型曲線由于其曲線形狀與動(dòng)、植物的生長過程的基本特點(diǎn)類似，故又稱生長曲線，曲線一開始時(shí)增長較慢，而在以后的某一范圍內(nèi)迅速增長，達(dá)到一定的限度后增長又緩慢下來，曲線呈拉長的”S”，故稱S曲線最著名的曲線是Logistic生長曲線，它最早由比利時(shí)數(shù)學(xué)家P.F.Vehulst于1838年導(dǎo)出，但直至20世紀(jì)20年代才被生物學(xué)家及統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.Pearl和L.J.Reed重新發(fā)現(xiàn)，并逐漸被人們所發(fā)現(xiàn)。目前它已廣泛應(yīng)用于多領(lǐng)域的模擬研究。(五)S型曲線S型曲線由于其曲線形狀與動(dòng)、植物的生長過程的61曲線擬合-課件62(6)多項(xiàng)式回歸 當(dāng)兩個(gè)變數(shù)間的曲線關(guān)系很難確定時(shí)，可以適應(yīng)多項(xiàng)式去逼近，稱為多項(xiàng)式回歸（polynomialregression)。 最簡(jiǎn)單的是二次多項(xiàng)式，其方程為：(6)多項(xiàng)式回歸 當(dāng)兩個(gè)變數(shù)間的曲線關(guān)系很難確定時(shí)，可以適63它的圖象是拋物線。當(dāng)b2＞0時(shí)，曲線凹向上，有一個(gè)極小值；b2＜

0時(shí)，曲線凸向上，有一個(gè)極大值。它的圖象是拋物線。64曲線直線化估計(jì)(Curveestimation)非線性/曲線回歸(Nonlinear/curvilinearregression)解決辦法曲線直線化估計(jì)(Curveestimation)解決辦法65二、曲線直線化擬合曲線回歸方程的步驟：根據(jù)變數(shù)X與Y之間的確切關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)那€類型。對(duì)選定的曲線類型，在線性化后按最小二乘法原理配置直線回歸方程。將直線回歸方程轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的曲線回歸方程，并對(duì)有關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)作出推斷。比較決定系數(shù)選取“最佳”曲線方程二、曲線直線化擬合曲線回歸方程的步驟：66(一)對(duì)數(shù)關(guān)系曲線的擬合例1：上海醫(yī)科大學(xué)微生物學(xué)教研室以已知濃度X的免疫球蛋白A(IgA,μg/ml)作火箭電泳,測(cè)得火箭高度Y(mm)如表1所示。試擬合Y關(guān)于X的非線性回歸方程。(一)對(duì)數(shù)關(guān)系曲線的擬合例1：上海醫(yī)科大學(xué)微生物學(xué)教研室以67XY0.27.60.412.30.615.70.818.21.018.71.221.41.422.61.623.8合計(jì)140.3表1免疫球蛋白與火箭高度的關(guān)系XY0.27.60.412.30.615.70681.繪制散點(diǎn)圖，決定曲線類型

2.曲線直線化變換1.繪制散點(diǎn)圖，決定曲線類型

2.曲線直線化變換69XYX'＝lnX(lnX')2Y2(lnX')Y

殘差平方0.27.6-1.60942.590257.76-12.23147.230.13800.412.3-0.91630.8396151.29-11.270512.620.10170.615.7-0.51080.2609246.49-8.019615.770.00530.818.2-0.22310.0498331.24-4.060418.010.03611.018.700.0000349.690.000019.751.09211.221.40.18230.0332457.963.901221.160.05631.422.60.33650.1132510.767.604922.360.05661.623.80.47000.2209566.4411.186023.40

0.1597合計(jì)140.3-2.27084.1078

2671.63

-12.8898

1.6458表2免疫球蛋白與火箭高度的關(guān)系XYX'＝lnX(lnX')2703.建立線性回歸方程

回歸方程為：=19.7451+7.7771lnX方差分析有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，P＝0.0000，F(xiàn)＝763.50，表明回歸方程有貢獻(xiàn)。確定系數(shù)為0.992，表明回歸擬合原資料很好。3.建立線性回歸方程回歸方程為：=19.7451+7.71(二)指數(shù)函數(shù)擬合例2：表2為15名重傷病人的住院天數(shù)X與預(yù)后指數(shù)Y的數(shù)據(jù)，根據(jù)兩者的關(guān)系擬合曲線。表2重傷病人的住院天數(shù)X與預(yù)后指數(shù)Y編號(hào)123456789101112131415X257101419263134384552536065Y54504537352520161813811846(二)指數(shù)函數(shù)擬合例2：表2為15名重傷病人的住院天數(shù)X與721.繪制散點(diǎn)圖，決定曲線類型2.曲線直線化變換1.繪制散點(diǎn)圖，決定曲線類型2.曲線直線化變換733.建立線性回歸方程回歸方程為：4.037-0.038X方差分析有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，P<0.0001，F(xiàn)＝276.38，表明回歸方程有貢獻(xiàn)。R2為0.9551，表明回歸擬合原資料較好。轉(zhuǎn)換為原方程的另一種形式：3.建立線性回歸方程回歸方程為：4.074曲線直線化Analyze→Regression→CurveEstimation…可選Power、Logarithmic、Exponential、Quadratic、Cubic等非線性回歸Analyze→Regression→Nonlinear… 設(shè)置模型：ModelExpression 參數(shù)賦初值：Parameters…三、采用SPSS進(jìn)行曲線擬合曲線直線化三、采用SPSS進(jìn)行曲線擬合75當(dāng)僅分析兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可以通過curveestimation進(jìn)行估計(jì)，此過程即為進(jìn)行曲線直線化的過程。(一)CurveEstimation當(dāng)僅分析兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可以通過curveest76LinearQuadraticCompoundGrowthLogarithmicCubicSExponentialInversePowerLogisticLinear77曲線擬合-課件78曲線擬合-課件79(二)非線性回歸變量變化可以解決一部分曲線擬合的問題，直線回歸采用的是最小二乘法，它保證的是變換后的殘差平方和最小，如果變換回原始數(shù)據(jù)，不一定是最優(yōu)方程；曲線關(guān)系極為復(fù)雜時(shí)，簡(jiǎn)單的變量變化往往不能轉(zhuǎn)換為直線方程；CurveEstimation僅能進(jìn)行簡(jiǎn)單的曲線擬合，而且其原理也是曲線直線化。(二)非線性回歸變量變化可以解決一部分曲線擬合的問題，直線回80曲線擬合-課件81-0.03958645282527-0.0395864528252782曲線擬合-課件83曲線擬合-課件84曲線直線化非線性最小二乘法比較兩個(gè)回歸方程可見，對(duì)同一份樣本采用不同估計(jì)方法得到的結(jié)果并不相同。主要因?yàn)榍€直線化以后的回歸只對(duì)變換后的Y*(＝lnY)負(fù)責(zé),得到的線性方程可使Y*與其估計(jì)值之間的殘差平方和最小，并不保證原變量Y與其估計(jì)值之間的殘差平方和也是最小。曲線直線化非線性最小二乘法比較兩個(gè)回85 對(duì)于例2，幾個(gè)常見曲線擬合得到的決定系數(shù)R2如下（曲線直線化）：線性R2：0.8856(y=46.4604-0.7525x)冪曲線R2：0.8293(y=159.9297x-0.7191)對(duì)數(shù)曲線R2：0.9654(y=72.2829-15.9662ln(x))指數(shù)曲線R2：0.9551(y=56.6651e-0.0380x)二項(xiàng)式R2：0.9812(y=55.8221-1.7103x+0.0148x2) 對(duì)于例2，幾個(gè)常見曲線擬合得到的決定系數(shù)R2如下（曲線直線86 對(duì)于例2，幾個(gè)常見曲線擬合得到的決定系數(shù)R2如下（非線性回歸——迭代法）：線性R2：0.8856(y=46.4604-0.7525x)冪曲線R2：0.8413(y=88.7890x-0.4662)對(duì)數(shù)曲線R2：0.9654(y=72.2829-15.9662ln(x))指數(shù)曲線R2：0.9875(y=58.6066e-0.0396x)二項(xiàng)式R2：0.9812(y=55.8221-1.7103x+0.0148x2) 對(duì)于例2，幾個(gè)常見曲線擬合得到的決定系數(shù)R2如下（非線性回87 原變量Y與（直線或曲線方程得到）間相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值＝相關(guān)指數(shù)R線性R：＝X與Y間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值冪曲線R：＝lnX與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值對(duì)數(shù)曲線R：＝lnX與Y間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值指數(shù)曲線R：＝X與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值二項(xiàng)式R：＝√(1－SS殘差/SS總)R的計(jì)算（曲線直線化） 原變量Y與（直線或曲線方程得到）間相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值＝相88R的計(jì)算（非線性回歸） 原變量Y與（直線或曲線方程得到）間相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值＝相關(guān)指數(shù)R線性R：＝X與Y間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值冪曲線R：≠lnX與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值對(duì)數(shù)曲線R：＝lnX與Y間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值指數(shù)曲線R：≠

X與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值二項(xiàng)式R：＝√(1－SS殘差/SS總)R的計(jì)算（非線性回歸） 原變量Y與（直線或曲線方程得到）89散點(diǎn)圖辨析

散點(diǎn)圖辨析90如果條件允許最好采用非線性回歸（NonlinearRegression）擬合冪函數(shù)曲線與指數(shù)函數(shù)曲線注意繪制散點(diǎn)圖，并結(jié)合專業(yè)知識(shí)解釋如果條件允許最好采用非線性回歸（NonlinearRegr91曲線擬合-課件92曲線擬合-課件9313<06.9580.108-6-113<06.9580.108-6-194曲線擬合-課件95