期權(quán)定價(jià)主要內(nèi)容風(fēng)險(xiǎn)中性理論二叉樹定價(jià)模型Black-Scholes模型三叉樹模型劉宏一、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理例1.某股票當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為100元，根據(jù)該股票的風(fēng)險(xiǎn)特征，其必要收益率為10%，如果市場(chǎng)上的無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，則1年后的股票價(jià)格應(yīng)該是110元還是105元？如果1年后股票的價(jià)格為110元，交易中以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入資金100元，買入該股票，與遠(yuǎn)期買入方約定按110元在1年后賣出。1年后，無論股票價(jià)格漲跌，該交易者均可將持有的股票按110元賣給遠(yuǎn)期買入者，然后將105遠(yuǎn)歸還資金貸出方，此策略可使交易者獲得5元的無風(fēng)險(xiǎn)套利收益。所以，任何資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格應(yīng)該等于該資產(chǎn)的現(xiàn)值按無風(fēng)險(xiǎn)收益進(jìn)行投資的終值，或任何資產(chǎn)的現(xiàn)值等于該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值。所以，用遠(yuǎn)期價(jià)格對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)時(shí)，貼現(xiàn)率為無風(fēng)險(xiǎn)利率，即定價(jià)中使用的貼現(xiàn)率與資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)無關(guān)——風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理是指在對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)時(shí)，資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與其價(jià)格無關(guān)，或定價(jià)過程中不考慮資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。劉宏標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)價(jià)格上漲的概率P和看漲期權(quán)的價(jià)格：SuSdSρ1-ρ圖1pupdpρ1-ρ圖2一、（二）二叉樹模型的基本方法（1）--標(biāo)的資產(chǎn)不支付紅利的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格：pu=max{k-Su,0}pd=max{k-Sd,0}U、d、Su、sd、ρ等指標(biāo)的計(jì)算與看漲期權(quán)相同?？吹跈?quán)的價(jià)格計(jì)算如下：劉宏二、（三）二叉樹模型的基本方法（1）--標(biāo)的資產(chǎn)支付紅利的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)（C≥c）

當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為q的紅利時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，證券價(jià)格的增長(zhǎng)率應(yīng)該為r-q.劉宏三、（一）二叉樹模型的基本方法（2）--標(biāo)的資產(chǎn)不支付紅利的歐式看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)

策略A：購(gòu)買一張價(jià)格等于c的看漲期權(quán)，初始持倉(cāng)頭寸C；策略B：借入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)L，購(gòu)買△股價(jià)格等于S的股票，初始持倉(cāng)頭寸為L(zhǎng)+△S；到期時(shí)，無論價(jià)格漲跌，兩種策略的持倉(cāng)應(yīng)該等價(jià)，否則存在套利機(jī)會(huì)。(T-t)年后期權(quán)到期時(shí)，股票價(jià)格上漲至Su或下跌至Sd，交易者的持倉(cāng)頭寸分別為：L（1+r）（T-t)+△Su=Cu

（1）L（1+r）(T-t)

+△Sd=Cd

（2）或者是構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單位標(biāo)的股票多頭以及金額為L(zhǎng)的無風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債的組合。該組合的初始投資為0，有：L+ΔS-c=0。同樣的，如果不存在套利機(jī)會(huì)的話，期末時(shí)該組合應(yīng)滿足（1）和（2）式。劉宏解（1）、（2）式可得：△Su-△Sd=Cu-Cd

L=(Cu-△Su)/(1+r）（T-t)或L=(Cd-△Sd)/(1+r）(T-t)將△和L值帶入看公式C=L+△S中，即可得到看漲期權(quán)的價(jià)格?？吹跈?quán)的分析和計(jì)算于此相同。劉宏假設(shè)一年期無風(fēng)險(xiǎn)利率為r=3%，某公司股票的當(dāng)前價(jià)格是每股S=80元，一年后其價(jià)格有且僅有兩種可能的走勢(shì)：或者上漲至S×u=120元，或者是下跌至S×d=80元，現(xiàn)有以此股票為標(biāo)的的歐式看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格K為75元，一年后到期。請(qǐng)計(jì)算一年以后該股票價(jià)格上漲至120元和下跌至80元的概率以及該歐式看漲期權(quán)的價(jià)格。例2.使用二叉樹模型對(duì)看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)首先，1年后Cu=120-75=45元；Cd=80-75=5元。112080100ρ-ρ圖1.股票即期與遠(yuǎn)期價(jià)格455Cρ1ρ圖2.期權(quán)即期與遠(yuǎn)期價(jià)格劉宏假設(shè)目前的無風(fēng)險(xiǎn)利率為2%，股票的價(jià)格是30元，一個(gè)時(shí)期（假設(shè)是1年）后(股票不支付紅利)，股票要么上升到45元，要么下跌到20元。概率分別是p和（1-p）。如果標(biāo)的股票的歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格是40元，計(jì)算該期權(quán)的價(jià)格。例3.使用二叉樹模型對(duì)看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)452030ρ1-ρ圖150Cρ1-ρ圖2U=45/30=1.5,d=20/30=2/31年后Cu=45-40=5元；Cd為20-40或0中的最大值，所以Cd

=0使用方法（1）C=S*△+L=30/5-3.9216=2.0784使用方法（2）L=(5-45/5)/(1+2%)=-3.9216劉宏使用方法（2）對(duì)例4中看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格11208090ρ-ρ圖1.標(biāo)的股票價(jià)格200cρ1-ρ圖2.看漲期權(quán)價(jià)格020pρ1-ρ圖3.看跌期權(quán)價(jià)格C=S*△c+Lc=90*0.5-38.835=6.615p=S*△p+Lp)=-90*0.5+58.2524=13.2524劉宏四、證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu)例5，已知樹的各節(jié)點(diǎn)數(shù)值，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，求各支點(diǎn)的概率。P3211590140102751601308570100P11（1-P11）P21P31（1-P22）（1-P33）（1-P21）（1-P32）（1-P31）P22P33劉宏由公式：劉宏例5中各節(jié)點(diǎn)概率如下：U31=1.143d31=0.929U32=1.275d32=0.833U33=1.133d33=0.933u22=1.133d21=0.887U21=1.217d22=0.833P31=56.67%P32=49.11%P33=58.33%P22=72.22%P21=49.34%P1=60%100P1（1-P）111590140102751601308570U11=1.15d11=0.9劉宏證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu)Su1Sd1SP1（1-P）1Su1u21Su1d21Sd1u22Sd1d22Su1u2u31Su1u2d31Su1d2u32Sd1u2d32Sd1d2u33Sd1d2d33劉宏五、證券的收益率E(r）和方差σ2(Er)E(r)={s[pu+(1-p)d]-s}/s=

p(u-d)+(d-1)σ2[E(r)]

=P[u–P(u-d)-(d-1)]2

+(1-P)

[d–P(u-d)-(d-1)]2=P[(1-p)(u-d)+1]2+(1-P)[1-P(u-d)]2=p(1-P)(u–d)2如果按年計(jì)算的方差為σ2，(T-t)時(shí)間段的方差為σ2(T-t)，標(biāo)準(zhǔn)差為σ（

T-t）0.5

。u=1+σ*(T-t)0.5

d=1-σ*(T-t)0.5

連續(xù)復(fù)利表達(dá)式如下：證券價(jià)格未來有兩種可能的情況下，收益率和方差的表達(dá)式如下：劉宏例6，某股票當(dāng)前價(jià)格為100美元，該股票歷史年波動(dòng)率經(jīng)測(cè)算為20%，年無風(fēng)險(xiǎn)利率是5%，該股票無股息，六個(gè)月以后到期，執(zhí)行價(jià)格為102美元的該股票的歐式看跌期權(quán)，請(qǐng)用二叉樹模型對(duì)該期權(quán)進(jìn)行定價(jià)（以復(fù)利計(jì)算）。Su=100*1.1519=115.19Sd=100*0.8681=86.81pu=0pd=102-86.81=15.19使用方法（1）C=△S+L=-100*0.5352+60.1257=6.61使用方法（2）L=(pu-△Su)/et*rf=(0+0.5352*115.19)/1.0253=60.1257劉宏pd1d2=102-81.87=20.13圖1.股票價(jià)格100110.5290.480.5378（0.4622）122.1510010081.871000.912910.250.5378（0.4622）02220.13圖2.看跌期權(quán)價(jià)格各步進(jìn)期權(quán)價(jià)格：pu1d2=pd1u2=102-100=2根據(jù)第一步進(jìn)的期權(quán)價(jià)格和概率，得：P=5.16pu1u2=0劉宏例8，如果例6的期權(quán)為美式期權(quán)，請(qǐng)將按兩步二叉樹模型對(duì)該期權(quán)進(jìn)行定價(jià)（以復(fù)利計(jì)算）。前面的計(jì)算相同，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)期權(quán)價(jià)格后，比較行權(quán)還是繼續(xù)持有期權(quán)哪種策略更為有利，按有利的情形確定期權(quán)價(jià)格。節(jié)點(diǎn)股票價(jià)格如在此節(jié)點(diǎn)上執(zhí)行該看跌期權(quán)獲得利潤(rùn)在此節(jié)點(diǎn)后執(zhí)行該美式看跌期權(quán)獲得的預(yù)期利潤(rùn)貼現(xiàn)到此節(jié)點(diǎn)在此節(jié)點(diǎn)上執(zhí)行該美式看跌期權(quán)是否是好的選擇122.140

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/1002

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/81.8720.13

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/110.520不是90.4811.52是1000不是劉宏例8的另一種解法：為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個(gè)月（等于0.0833年）?？梢运愠觯?-p=0.4924劉宏股票價(jià)格與看漲期權(quán)二叉樹結(jié)構(gòu)圖劉宏Su1=S*u=50*1.1224=56.12Sd1=S*d=50*0.8909=44.55Su1u2=Su1*u=56.12*1.1224=62.99Sd1d2=Sd1*d=44.55*0.8909=39.36Su1d2=Sd1u2=Su1*d=56.12*0.8909==44.55*1.1224=50Su1u2u3=Su1u2*u=62.