2021年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析

+2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

甲、乙卷數(shù)學(xué)試題及參考答案FMGT整理2Q21年7月TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2021年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析 3\o"CurrentDocument"2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）理科數(shù)學(xué)試題 72021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）理科數(shù)學(xué)試題參考答案13\o"CurrentDocument"2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）文科數(shù)學(xué)試題 192021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）文科數(shù)學(xué)試題參考答案25\o"CurrentDocument"2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）理科數(shù)學(xué)試題 292021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）理科數(shù)學(xué)試題參考答案36\o"CurrentDocument"2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）文科數(shù)學(xué)試題 382021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）文科數(shù)學(xué)試題參考答案44注：2021年全國甲卷使用地區(qū)：四川、廣西、云南、貴州、西藏2021年全國甲卷使用地區(qū)：安徽、河南、陜西、山西、江西、甘肅、黑龍江、吉林、寧夏、青海、新疆、內(nèi)蒙古2021年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析教育部考試中心2021年高考數(shù)學(xué)全國卷共6套，由教育部考試中心命制,包括全國甲卷2套（文、理科）、全國乙卷2套（文、理科）、新高考I卷1套（不分文理科）、新高考H卷1套（不分文理科）。2021年高考數(shù)學(xué)全國卷命題，落實高考內(nèi)容改革總體要求，貫徹德智體美勞全面發(fā)展教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔功能和育人導(dǎo)向。試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視理性思維，堅持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則；倡導(dǎo)理論聯(lián)系實際、學(xué)以致用，關(guān)注我國社會主義建設(shè)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要成果，通過設(shè)計真實問題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；穩(wěn)步推進改革，科學(xué)把握必備知識與關(guān)鍵能力的關(guān)系，科學(xué)把握數(shù)學(xué)題型的開放性與數(shù)學(xué)思維的開放性,穩(wěn)中求新，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求。.發(fā)揮學(xué)科特色，彰顯教育功能2021年高考數(shù)學(xué)全國卷命題，堅持思想性與科學(xué)性的高度統(tǒng)一，發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛、聯(lián)系實際的學(xué)科特點，命制具有教育意義的試題，以增強考生社會責(zé)任感，引導(dǎo)考生形成正確的人生觀、價值觀、世界觀。試題運用我國社會主義建設(shè)和科技發(fā)展的重大成就作為情境，深入挖掘我國社會經(jīng)濟建設(shè)和科技發(fā)展等方面的學(xué)科素材，引導(dǎo)考生關(guān)注我國社會現(xiàn)實與經(jīng)濟、科技進步與發(fā)展，增強民族自豪感與自信心，增強國家認(rèn)同，增強理想信念與愛國情懷。一是關(guān)注科技發(fā)展與進步。新高考II卷第4題以我國航天事業(yè)的重要成果北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為試題情境設(shè)計立體幾何問題，考查考生的空間想象能力和閱讀理解、數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。二是關(guān)注社會與經(jīng)濟發(fā)展。乙卷理科第6題以北京冬奧會志愿者的培訓(xùn)為試題背景，考查邏輯推理能力和運算求解能力。新高考I卷第18題以“一帶一路”知識競賽為背景，考查考生對概率統(tǒng)計基本知識的理解與應(yīng)用。甲卷文、理科第2題以我國在脫貧攻堅工作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景，通過圖表給出某地農(nóng)戶家庭收入情況的抽樣調(diào)查結(jié)果，以此設(shè)計問題，考查考生分析問題和數(shù)據(jù)處理的能力。三是關(guān)注優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。乙卷理科第9題以魏晉時期我國數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》中的測量方法為背景，考查考生綜合運用知識解決問題的能力，讓考生充分感悟到我國古代數(shù)學(xué)家的聰明才智。新高考I卷第16題以我國傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景，讓考生體驗探索數(shù)學(xué)問題的過程，重點考查考生靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題的能力。.堅持開放創(chuàng)新，考查關(guān)鍵能力《深化新時代教育評價改革總體方案》提出，構(gòu)建引導(dǎo)考生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和“機械刷題”現(xiàn)象。2021年高考數(shù)學(xué)全國卷命題積極貫徹《總體方案》要求，加大開放題的創(chuàng)新力度，利用開放題考查考生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)科的選拔功能。一是“舉例問題”靈活開放。新高考II卷第14題的答案是開放的，給不同水平的考生提供充分發(fā)揮數(shù)學(xué)能力的空間，在考查思維的靈活性方面起到了很好的作用。乙卷文、理科第16題考查考生的空間想象能力，有多組正確答案，有多種解題方案可供選擇。二是“結(jié)構(gòu)不良問題”適度開放。甲卷理科第18題，試題給出部分已知條件,要求考生根據(jù)試題要求構(gòu)建一個命題，充分考查考生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的教學(xué)中，重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，克服“機械刷題”現(xiàn)象。新高考n卷第22題第（2）問是一道“結(jié)構(gòu)不良問題”，對考生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象能力等有很深入的考查，體現(xiàn)了素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則。三是''存在問題”有序開放。新高考n卷第18題基于課程標(biāo)準(zhǔn)，重點考查考生的邏輯推理能力和運算求解題能力，在體現(xiàn)開放性的同時，也考查了考生思維的準(zhǔn)確性與有序性。新高考I卷第21題第（2）問要求考生運用解析幾何的基本思想方法分析問題和解決問題，考查考生在開放的情境中發(fā)現(xiàn)主要矛盾的能力。.倡導(dǎo)理論聯(lián)系實際，學(xué)以致用2021年高考數(shù)學(xué)全國卷命題注重理論聯(lián)系實際，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，并讓考生感悟到數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美。理論聯(lián)系實際的試題，體現(xiàn)現(xiàn)代科技發(fā)展和現(xiàn)代社會生產(chǎn)等方面的特點，有機滲透數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，對選拔與育人具有積極的意義。一是取材真實情境，解決實踐問題。新高考II卷第21題取材于生命科學(xué)中的真實問題，考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求。甲卷理科第8題以測量珠穆朗瑪峰高程的方法之 三角高程測量法為背景設(shè)計，要求考生能正確應(yīng)用線線關(guān)系、線面關(guān)系、點面關(guān)系等幾何知識構(gòu)建計算模型，情境真實，突出理論聯(lián)系實際，二是關(guān)注青少年身心健康。身心健康是素質(zhì)教育的核心內(nèi)容，在高考評價體系的核心價值指標(biāo)體系中，包含有健康情感的指標(biāo)，要求考生具有健康意識，注重增強體質(zhì)，健全人格，鍛煉意志。2021年高考數(shù)學(xué)試題對此也有所體現(xiàn)，如甲卷理科第4題（文科第6題），以社會普遍關(guān)注的青少年視力問題為背景，重點考查考生的數(shù)學(xué)理解能力和運算求解能力。三是關(guān)注現(xiàn)實生產(chǎn)生活。乙卷文、理科第17題，以芯片生產(chǎn)中的刻蝕速率為原型，設(shè)計了概率統(tǒng)計的應(yīng)用問題，考查考生對平均數(shù)、方差等知識的理解和應(yīng)用，引導(dǎo)考生樹立正確的人生觀、價值觀。新高考n卷第6題，以某物理量的測量為背景，考查正態(tài)分布基本知識的理解與應(yīng)用，引導(dǎo)考生重視數(shù)學(xué)實驗，重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用?？傊?，2021年高考數(shù)學(xué)全國卷試題很好地落實了立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的高考核心功能，同時突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)科的選拔功能，對深化中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用。2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）

理科數(shù)學(xué)試題（使用地區(qū)：四川、廣西、云南、貴州、西藏）1.設(shè)集合M={x[0<x<4},N=< >,則A/nN=（ ）A.C.|x|4<x<5|B.x-<x<4>3DA.C.|x|4<x<5|B.x-<x<4>3D.{x|0<x<5|為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入調(diào)2.根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（ ）A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間.已知（l-i）2z=3+2i,則2=（ ）.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)上和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)，的滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ ）（啊?1.259）A.1.5 B,1.2 C.0.8 D.0.65.已知月，工是雙曲線C的兩個焦點，夕為。上一點，且/百產(chǎn)6=60。,歸用=3|尸身，則。的離心率為（ ）A.a B.叵 C.y/l D.V132 26.在一個正方體中，過頂點力的三條棱的中點分別為其F,G.該正方體截去三棱錐4-ERG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）7.等比數(shù)列7.等比數(shù)列｛4｝的公比為g,前〃項和為5.，設(shè)甲：q>0,乙：｛S.｝是遞增數(shù)列，則（ ）A.甲是乙充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有4B,C三點，且4B,。在同一水平面上的投影A', 滿足NAC?=45。，NAEC'=60。.由。點測得6點的仰角為15。，88,與CU的差為100；由6點測得力點的仰角為45。，則力，，兩點到水平面AB'C的高度差A(yù)4'-CC約為（6x1.732）（ ）A346B.A346B.373C.446D.4739.若9.若a￡[O,yj,tan2a=cosa--:—,則tana=(2-sinaA岳Z1. B.—5「邪 n715153310.將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）12△2 r4A.B.-C.- D.353I11.已如4B,。是半徑為1球。的球面上的三個點，且AC_LBC,AC=BC=1,則三棱錐TOC\o"1-5"\h\z。-ABC的體積為（ ）A.正 B?立 C?立 D.B12 12 4 4.設(shè)函數(shù)/（力定義域為R,/（x+1）為奇函數(shù)，/（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］時，f（x）=ax2+b.若/（0）+/（3）=6,則/《卜（ ）, 9 c 3 八 7 八5A. 一一 B. 一一 C. - D.-4 2 4 2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分..曲線曠=、7在點（-1，-3）處的切線方程為 .x+2.已知向量a=（3,l）,B=（l,O）,c=a+%B.若￡_|_￡,貝!］上=..已知￡,工為橢圓G二+二=1的兩個焦點，P,0為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且164|PQ|=|耳段，則四邊形「耳。巴的面積為..已知函數(shù)〃x）=2cos（0x+°）的部分圖像如圖所示，則滿足條件八*）一/（一個））（/（幻一/（普力＞0的最小正整數(shù)x為-三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出交字說明、證明過程或演算步驟，第17?21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(―)必考題：共60分..甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一■級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一■級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?出犬= 〃(加―⑹ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2>k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.已知數(shù)列｛《,｝的各項均為正數(shù)，記S”為｛《,｝的前〃項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列｛。,,｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛底｝是等差數(shù)列；③。2=3%.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分..已知直三棱柱A8C—4月0中，側(cè)面A4/R為正方形，AB=BC=2,￡,b分別為AC和CG的中點，〃為棱A耳上的點.(1)證明：BF±DE；(2)當(dāng)耳。為何值時，面與面。尸E所成的二面角的正弦值最小?.拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點。.焦點在x軸上，直線/：x=l交C于只0兩點，且OP，OQ.已知點M(2,0),且。/與/相切.(1)求C,0M的方程；(2)設(shè)A，4,4是C上的三個點，直線AA2,4人3均與。M相切.判斷直線4A3與。加的位置關(guān)系，并說明理由..已知。>0且函數(shù)/(x)=±~(x>0).ax(1)當(dāng)”=2時，求/(力的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線y=/(x)與直線y=i有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分).在直角坐標(biāo)系xQv中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為p=2&cose.(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點力的直角坐標(biāo)為(1,0)為。上的動點，點一滿足所=0而，寫出尸的軌跡G的參數(shù)方程，并判斷。與G是否有公共點.［選修4-5：不等式選講］(10分).已知函數(shù)/。)=卜-2|送(幻=|2*+3|-|21-1］.17)(1)畫出y=/(x)和y=g(x)的圖像；(2)若/a+a)Ng(x),求a的取值范圍.2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國甲卷)

理科數(shù)學(xué)試題參考答案1——12BCBCADBBACAD13.5x-y+2=O14T.315.816.217(1)75%；60%； (2)能.選①②作條件證明③時，可設(shè)出底，結(jié)合的關(guān)系求出勺，利用｛勺｝是等差數(shù)列可證生=3q；選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出￡,結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時，設(shè)出后=曲+〃，結(jié)合4，S”的關(guān)系求出應(yīng)，根據(jù)4=3“可求b,然后可證｛4｝是等差數(shù)列.【詳解】選①②作條件證明③：設(shè)=an+b(a>0),則S“=(a〃+b)2,當(dāng)〃=1時，q=S[=(a+61；當(dāng)〃N2時，an=Sn-Sn_,=(a〃+b1-(an-a+b)2=a(2an-a+2b)；因為｛4｝也是等差數(shù)列，所以(a+0)2=a(2a-a+2b),解得人=0；所以="(2〃-1),所以4=3q.選①③作條件證明②：因為生=3囚，｛《,｝是等差數(shù)列，所以公差4=生-％=2%,所以S“=W]+〃"；"d="Z，即4^=日〃，因為yJSn+i— (〃+1)— ，所以｛后｝是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：設(shè)y[^=an+b(a>0),則S“=(〃〃+力)2,當(dāng)〃=1時，a]=Sj=(〃+〃)“；當(dāng)〃22時，an-Sn_5〃_]=(〃〃+/?)'—(〃〃一=a(2n〃-a+2Z?)；) 4/7因為4=3%,所以a(3a+2》)=3(a+b)-,解得力=0或6=--—；當(dāng)人=0時，4=/,4=。2(2〃_1),當(dāng)〃N2時，4-4」=2/滿足等差數(shù)列的定義，此時｛4｝為等差數(shù)列；當(dāng)6=-■■時,>/\=an+b=an-^a,7^"=-1<0不合題意，舍去.綜上可知｛4｝為等差數(shù)列.(1)見解析；(2)與。=；【解析】【分析】通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案.【詳解】因為三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC,所以網(wǎng)_LAB因為A81//A6,BFlA^,所以BE_LAB,又BB】cBF=B,所以43，平面8。￡耳.所以BA,BC,8B1兩兩垂直.以8為坐標(biāo)原點，分別以BA8C8與所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.所以6（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,耳（0,0,2）,A（2,0,2）,C,（0,2,2）,磯1,1,0）,尸（0,2,1）.由題設(shè)Q（a,0,2）（0<a<2）.(1)因為旃=(0,2,1),詼=(1一/1,一2),所以旃.詼=0x(l-a)+2xl+lx(_2)=0,所以8尸(2)設(shè)平面。尸￡的法向量為藍=(x,y,z),因為訪=(一1,1,1),詼=(1一?！?一2),fin-EF-0 1―x+y+z=0[fn-DE=Q[(l-a)x+y-2z=0令z=2—a,貝ij所=(3,l+a,2-a)因為平面BCG用的法向量為麗=(2,0,0),設(shè)平面BCC^與平面DEF的二面角的平面角為。，.Im-BAl 6 3則cos^=J??_= , ——=] :.網(wǎng)網(wǎng)2xy/2a ?7當(dāng)。=—時，2a2一2。+4取最小值為二， ?7當(dāng)。=—時，2a2一2。+4取最小值為二， 2二瓜此時cos。取最大值為『7一日".此時4o=g.(1)拋物線C:y2=x,0M方程為(x-2>+y2=i；(2)相切，理由見解析【分析】(1)根據(jù)已知拋物線與x=l相交，可得出拋物線開口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對稱性設(shè)出P，Q坐標(biāo)，由OP_LQ2,即可求出P；由圓M與直線x=l相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；(2)先考慮44斜率不存在，根據(jù)對稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由4,4,&三點在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由44小&與圓M相切，得出%+%，%,%與%的關(guān)系，最后求出M點到直線44的距離，即可得出結(jié)論.(1)上單調(diào)遞增；W，+8]上單調(diào)遞減；(2)。,6)口(4”).(1)(x-V2)2+y2=2；(2).的軌跡G的參數(shù)方程為卜=：二：+2c°s,為參數(shù))，c\ 7 [y=2sin夕與C1沒有公共點.(1)圖像見解析；(2)a>^-2【解析】【分析】(1)分段去絕對值即可畫出圖像；(2)根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將y=/(x)向左平移可滿足同角，求得y=/(x+a)過時a的值可求.【詳解】(1)可得f(x)=|x—2|=F-：'「：，畫出圖像如下:[x-2,x22y-4,一』23畫出函數(shù)圖像如下:g(x)—|2x+-12x-1|—<4x+2,—-<x<—畫出函數(shù)圖像如下:4,x>-2如圖，在同一個坐標(biāo)系里畫出〃x),g(x)圖像，y=〃x+a)是y=/⑺平移了個單位得到，則要使/(x+a)2g(x),需將y=/(x)向左平移，即。＞0,當(dāng)y當(dāng)y=/(x+a)過拈，4)時,《+”2|=4,解得叫日或-《(舍去),則數(shù)形結(jié)合可得需至少將y=/(x)向左平移3個單位，,a2日.絕密★啟用前2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）

文科數(shù)學(xué)試題（使用地區(qū)：四川、廣西、云南、貴州、西藏）注意事項：.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上..回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效..考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的..設(shè)集合M={l,3,5,7,9},N={x|2x>7},則MQN=（ ）A.{7,9} B.{5,7,9} C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9}.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（ ）A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間TOC\o"1-5"\h\z.已知（l—i>z=3+2i,則2=（ ）3 3 3A.-l--z B.-l+-z C.--+i2 2 2.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（ ）.點（3,0）到雙曲線三-5=1一條漸近線的距離為（ ）1699 8 6 4A.— B.- C.— D.一5 5 5 5.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)/和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)/的滿足L=5+lgV.己知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ ）（而a1.259）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6.在一個正方體中，過頂點力的三條棱的中點分別為其F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）在aABC中，已知3=120°,AC=?AB=2,則8C=(C.y/59.記5“為等比數(shù)列｛a.｝前〃項和.若s?=4,S4=6,則56=（

10.將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）A.0.3B.0.5, cosaC.0.6D.0.811.若aw0, ,tan2a- .12J 2-sina，則tana=()A.V15TTR石D. 5C.此3D.叵3A.7B.8C.9D.1012.設(shè)/（x）是定義域為12.設(shè)/（x）是定義域為A的奇函數(shù)，且〃1+力=/（一%）.若/二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分..若向量￡出滿足同=3,卜一目=5,〃?石=1,則，|=..己知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30%則該圓錐的側(cè)面積為.15.已知函數(shù)/（x）=2cos（5+°）的部分圖像如圖所示，則/15.16.已知0K為橢圓G； =1的兩個焦點，P,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且|PQ|=|耳段,則四邊形P-Q瑪?shù)拿娣e為.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出交字說明、證明過程程或演算步驟，第17?21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.

.甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？n(ad-bc)2(2)能否有99%n(ad-bc)2P(K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：K2=(a+與(c+d)(a+c)(h+d).記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，己知。“>0,%=3弓，且數(shù)列｛后｝是等差數(shù)列，證明：｛勺｝是等差數(shù)列..已知直三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面A445為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC和CC；的中點，BF1(1)求三棱錐(1)求三棱錐R-EBC的體積;(2)已知〃為棱A#上的點，證明：BF上DE..設(shè)函數(shù)/(x)= +以一3山》+1,其中a>0.(1)討論/(X)的單調(diào)性；(2)若y=/(x)的圖象與x軸沒有公共點，求a的取值范圍..拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點"焦點在x軸上，直線/：x=l交C于只。兩點，且OPLOQ.已知點M(2,0),且OM與/相切.(1)求C,QM方程；(2)設(shè)4，4，43是c上的三個點，直線A4，4A均與OM相切.判斷直線&&與0M的位置關(guān)系，并說明理由.(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］.在直角坐標(biāo)系X0V中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為P=2yf2cos0.(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點4的直角坐標(biāo)為(1,0),M為C上的動點，點夕滿足Q=&麗7,寫出尸的軌跡￡的參數(shù)方程,并判斷C與G是否有公共點.［選修4-5：不等式選講］.已知函數(shù)/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-l|.

(2)若/(x+a)2g(x),求a的取值范圍.2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國甲卷)

文科數(shù)學(xué)試題參考答案1——12BCBDACDDACAC3亞39%16.8(1)75%；60%；(2)能.證明見解析.【分析】先根據(jù)病-廓求出數(shù)歹U｛底｝的公差d,進一步寫出｛底｝的通項，從而求出｛叫的通項公式，最終得證.【詳解】?.?數(shù)歹U｛底｝等差數(shù)列，設(shè)公差為4=6-6=斤1-幾=石，= + = ,(nGN,)S?=a,n2,(〃eN*).?.當(dāng)〃N2時，an=Sn-S“_]=a1/一4-1)~=24〃—q當(dāng)〃=1時，24x1-4=4,滿足a“=2的一4,.,?｛?！保耐椆綖?=24〃-4，(〃62)an—a”” -O])一]2"("-1)—｛叫是等差數(shù)列.(l)p(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得力。的長度，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；(2)將所給的幾何體進行補形，從而把線線垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結(jié)論.【詳解】(1)如圖所示，連結(jié)力E

由題意可得：BF=\lBC2+CF2=>/4+T=V5>由于16,即，BCLAB,BBQBC=B,故AB_L平面BCC",而BFu平面BCC畫,故AB上BF,從而有AF=〃^+臺尸=14+5=3,AC=\lAF2-CF2=>/9^i=2V2>則AB2+BC2=AC2,：.ABIBC,^ABC為等腰直角三角形，S4bce=5s/\abc=xfx2x2I=1,V^._￡BC=—xS^BCEXCF=_xlxl=—.(2)由(1)結(jié)論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體A8CM-A瓦如圖所示，取棱正方形8CG與中，G,P為中點，則5b，與G,又 旦，4用ngG=g,故平面AgG”,而。Eu平面44G”,從而BFA.DE.(1)/(x)的減區(qū)間為,增區(qū)間為+8)；(2)a>：.2L(1)拋物線C：V=x,0M方程為(x-2)2+/=1；(2)相切，理由見解析⑴(x-0丫+/=2；(2)P的軌跡G的參數(shù)方程為卜=3-&+2cos'(。為參數(shù))，。\ 1 [y=2sin8與G沒有公共點.(1)圖像見解析；(2)a>^2【解析】【分析】(1)分段去絕對值即可畫出圖像；(2)根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將y=/(x)向左平移可滿足同角，求得y=/(x+a)過4卜寸a的值可求.【詳解】(1)可得f(x)=|x-2]=12-："<:，畫出圖像如下：%—2,x>2^(x)=|2^+3|-|2x-l|=*4x+2,-1<x<-1,畫出函數(shù)圖像如下:(2)/(工+。)=|尤+。一2|,如圖，同一個坐標(biāo)系里畫出/(x),g(x)圖像，y=/(x+a)是y=平移了同個單位得到，則要使/(x+a)Ng(x)，需將y=/(x)向左平移，即。＞0,當(dāng)y當(dāng)y=〃x+a)過梏時,f八21，解得。*或一|(舍去),則數(shù)形結(jié)合可得需至少將＞=/(x)向左平移3■個單位，，a2日.絕密★啟用前2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）

理科數(shù)學(xué)試題（使用地區(qū)：安徽、河南、陜西、山西、江西、甘肅、黑龍江、吉林、寧夏、青海、新疆、內(nèi)蒙古）注意事項：.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上..回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效..考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.TOC\o"1-5"\h\z1,設(shè)2（z+z）+3（z-z）=4+6i,則2=（ ）A.l-2z B.1+2/ C.1+z D.1-/.已知集合5=卜卜=2〃+1,〃€2},T={小=4〃+l,〃wZ},則S?T（ ）A.0 B.S C.T D.Z.已知命題p:3xeR,sinx<l；命題,e|A,>1,則下列命題中為真命題的是（ ）A.pzq B.nP八4 C.pzf D.」（pvq）1—Y4.設(shè)函數(shù)/（幻:;—,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）+xA. 7（x—1）—1 B. /（x-1）+1 C. f（x+1）—1 D. /（x+l）+l5.在正方體ABC。-ABCQ中，夕為4R的中點，則直線總與A"所成的角為（ ）71 c 兀 c 兀 c 兀A. - B. - C. - D.一2 3 4 6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種.把函數(shù)y=/（x）圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移?個單位長度，得至！J函數(shù)y=sin[t71的圖像，則y（x）=（ ）A.sinXlx2~~12B.sin7112sin(2x—普sin2xH l12右平移?個單位長度，得至！J函數(shù)y=sin[t71的圖像，則y（x）=（ ）A.sinXlx2~~12B.sin7112sin(2x—普sin2xH l127&在區(qū)間。。與a,2）中各隨機取i個數(shù)，則兩數(shù)之和大于押概率為（）D-I9.魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高.如圖,點E,H,G在水平線AC上,OE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”,GC和E”都稱為“表目距”，GC與E”的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（ ）A.表高X表距表目距的差+表局B.表高x表距表目距的差-表高C.表高X表距表目距的差+表距D.表高X表距表目距的差一表距10.A.a<bB.a>bah<a1ab>a2設(shè)a*0,若x=a為函數(shù)= 的極大值點，則（ ）2 211.設(shè)3是橢圓C:鼻+==1（。〉人＞0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足IP8區(qū)2b,則c

11.的離心率的取值范圍是（二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.A.12.設(shè)a=21nl.01,B.r1A.12.設(shè)a=21nl.01,B.r1￡>=In1.02,C.c=VkO4-l.則(D.A.a<b<cB.b<c<aA.a<b<cB.b<c<aC.h<a<cD.c<a<b2.已知雙曲線C:工-丁=1(〃?>0)的一條漸近線為6工+叫=0,則。的焦距為.m.已知向量a=(1,3),B=(3,4),若(4一刀)_1_坂，貝!!4=..記aABC內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,面積為6，3=60。，a2^c2=3ac,則b=..以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為(寫出符合要求的一組答案即可).圖①圖②圖③圖①圖②圖③三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(-)必考題：共60分..某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.11029.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為［和亍，樣本方差分別記為s：和(1)x>y9$，$2；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果y— 2、塵+,vio則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)..如圖，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，P￡>J_底面ABC。，PD=DC=T,M為BC的中點，且(1)求BC；(2)求二面角A— —8的正弦值.2 1.記S〃為數(shù)列｛叫的前〃項和，2為數(shù)列｛S,,｝的前〃項積，已知不+7=2.13U(1)證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列;(2)求｛4｝通項公式..設(shè)函數(shù)/(x)=ln(a-x),已知x=O是函數(shù)y=4(x)的極值點.(1)求a；⑵設(shè)函數(shù)g(x)=^k.證明：g(x)<l..已知拋物線C：f=2〃y(p>0)焦點為尸，且尸與圓M：V+(y+4)2=l上點的距離的最小值為4.(1)求P；(2)若點P在M上，PAP8是C的兩條切線，A3是切點，求△PAB面積的最大值.（-）選考題，共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）.在直角坐標(biāo)系中，OC的圓心為C（2,l）,半徑為1.（1）寫出OC的一個參數(shù)方程；（2）過點尸（4,1）作。。的兩條切線.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求這兩條切線的極坐標(biāo)方程.［選修4-5：不等式選講］（10分）.已知函數(shù)/（同=?-&+卜+3］.（1）當(dāng)。=1時，求不等式的解集;(2)若/(x)>-a,求a取值范圍.2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）

理科數(shù)學(xué)試題參考答案.C 2.C3.A4.B5.D6.C7.B8.B9.A10.D11.C12.B13.414T52&③④(答案不唯一)(1)龍=l°$=l03s；=0?036國=03；⑵新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.(1)6;(2)畫14TOC\o"1-5"\h\z2 1 2b 3(1)由已知三+二=2得，且2H0,取〃=1,得由題意得九 2編-1 2券…要7="，消積得到項的遞推關(guān)系產(chǎn)七二導(dǎo)，進而證明數(shù)列也｝是等差2瓦-124-12bn-l 2bn+l-1bn數(shù)列；f3 ，3，〃=i⑵%=1—7 t\,n~27i(n+l)(1)a=i；(2)由(1)得/(x)=ln(l-x),g⑶='+?(：)「：)?。?，工<1且xwO,— ' / xln(l-x)/ 、 x+ln(l— 、當(dāng)xw(O,l)時，要證g(x)=――7； -<1,vx>0,ln(i-x)<0, /.xln(l-x)<0,即證\ / V1iI—V-1x4-ln(l-x)>xln(l-x)，化簡得x+(l-x)ln(l-x)>。；同理，當(dāng)x?YO,0)時，要證g(x)=—~，<1,.-x<0,ln(l-x)>0,.-.xln(l-x)<0,即證xIn(1—xIx+In(1-x)>xln(1-x),化簡得工+(17)111(17)〉0；令〃(x)=x+(l-x)ln(l-x),再令f=lr,則/￡(O,l)U(l,y)，x=l-t,令g(r)=l-r+/lnf,g'(r)=-l+lnf+l=lnr,當(dāng)r?O,l)時,g'(r)<0,g⑺單減,假設(shè)g(l)能取到，則g⑴=。，故g?)>g⑴=0；當(dāng)r?LE)時,g'(f)>0,g⑺單增,假設(shè)g⑴能取到，則g⑴=0,故g?)>g⑴=0；綜上所述，g(x)=大].)<1在x€(F,0)U(0,1)恒成立(1)p=2；(2)20x/5.(1)]-2+cosa,(&為參數(shù))；(2)2pcos(g+%)=4-6或2qcos(8-工)=4+6.[y=1+sina 3 3(1)(-oo,-4]U[2,+oo).(2)f—|,+ooj.2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）

文科數(shù)學(xué)試題（使用地區(qū)：安徽、河南、陜西、山西、江西、甘肅、黑龍江、吉林、寧夏、青海、新疆、內(nèi)蒙古）注意事項：.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上..回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效..考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的..已知全集〃={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則加（MuN）=（）A. {5} B. {1,2} C.{3,4} D. {1,2,3,4}.設(shè)iz=4+3i,則z=（）A. —3—4i B. -3+4i C.3—4i D. 3+4i.已知命題〃:HxwR,sinx<l；命題/VrwR,*21，則下列命題中為真命題的是（ ）A.B. 八夕c.。八rD.4.Y函數(shù)f(x)=sinq+COS方的最小正周期和最大值分別是（)A.5.3瓦和拉 B若蒼y滿足約束條件<.3兀和2x+y>4,x-y<2,則2.”3,C.6兀和y/2：=3x+y的最小值為（)I).6兀和2A.6.182 257rcos cos——12 12B.10=()C.6D.4A.J_2t出9. 3「\/2k_x. 2D.27.在區(qū)間（0,；隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于g的概率為（)3n211A.-B.—C.-D.-43368.下列函數(shù)中最小值為4是（)A.—?+2x+4 B.Ex|+|4C.y=2x+22~x D.y=lnx+ Inx1—Y9.設(shè)函數(shù)/(力二^—,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()a.y(x—1)—1 b.y(x—1)+1c.y(x+i)-1 d.y(x+i)+iTOC\o"1-5"\h\z10.在正方體ABC。-A/CQ中，P為BQ的中點，則直線PB與AR所成的角為（ ）兀 c兀 c兀 c兀A.— B.— C.- D.一2 3 4 6211.設(shè)8是橢圓C:?+y2=i的上頂點，點p在。上，則歸目的最大值為（）A.- B.y/b C.5/5 D.22.設(shè)owO,若工=。為函數(shù)〃%）=。（4-。）2（工一6）的極大值點，則（）A.a<b B.a>b C.ah<a2 D.ab>a2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分..已知向量。=（2,5）1=（44）,若a//b，貝！.2 2.雙曲線土-匕=1的右焦