導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1◆導(dǎo)數(shù)Derivative的概念函數(shù)自變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)其它形式◆導(dǎo)數(shù)Derivative的概念函數(shù)自變量函2例題設(shè)，求解所以如果將式中的定點x=2改為任意點x,則有如下結(jié)果其結(jié)果表示是x的函數(shù)，稱之為導(dǎo)函數(shù)。例題設(shè)，求3◆基本導(dǎo)數(shù)公式記熟、記牢、記準(zhǔn)◆基本導(dǎo)數(shù)公式記熟、記牢、記準(zhǔn)4◆函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則你記住了嗎？特別◆函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則你記住了嗎？特別5例1設(shè)解例2解例1設(shè)解例2解6

例3設(shè)解練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3設(shè)解練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)7◆復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣鏈?zhǔn)椒▌tChainRule◆復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣鏈?zhǔn)椒▌t8

也可以不寫出中間變量例6設(shè)例7設(shè)解解因為所以可分解為所以代入也可以不寫出中間變量例6設(shè)例7設(shè)解解因為所以9由外及里，環(huán)環(huán)相扣例8設(shè)解由外及里，環(huán)環(huán)相扣例8設(shè)解10練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)11例9例10解解例9例10解解12練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)13◆高階導(dǎo)數(shù)

——導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)n階導(dǎo)數(shù)◆高階導(dǎo)數(shù)——導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)14練一練求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解練一練求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解15◆隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法——將方程兩邊同時對自變量x求導(dǎo)。將方程兩邊同時對x

求導(dǎo)，得：解所以注意：y是x的函數(shù)，則y的函數(shù)f(y)視為x的復(fù)合函數(shù)。例12求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)◆隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法——將方程兩邊同時對自變量x求16解將方程兩邊同時對

x求導(dǎo)，得：因為當(dāng)x=0時，從原方程可以解得y=0所以例求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解將方程兩邊同時對x求導(dǎo)，得：因為當(dāng)x=017解將方程兩邊同時對x

求導(dǎo)，得：注意：y是x的函數(shù)，siny則是x的復(fù)合函數(shù)。例求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解將方程兩邊同時對x求導(dǎo)，得：注意：y是x的函數(shù)，s18◆冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊取對數(shù)，得將方程兩邊同時對

x

求導(dǎo)（注意y

是x的函數(shù)）得：解法2解法1轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)，直接求導(dǎo)法轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)，對數(shù)求導(dǎo)法例14◆冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊取對數(shù)，得將方程兩邊同時對x求導(dǎo)（注19一般地，冪指函數(shù)的求導(dǎo)，可有兩種方法，都可得到一般公式：如練習(xí)設(shè)解答一般地，冪指函數(shù)20◆對數(shù)求導(dǎo)法兩邊取對數(shù)，得兩邊對x

求導(dǎo)（注意y是x的函數(shù)）得：對數(shù)求導(dǎo)法常用于冪指函數(shù)和以乘、除、乘方、開方運算為主的函數(shù)的求導(dǎo)。例15解◆對數(shù)求導(dǎo)法兩邊取對數(shù)，得兩邊對x求導(dǎo)（注意y是x21練一練解練一練解22◆由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意一階導(dǎo)數(shù)也是t的函數(shù)◆由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意一階導(dǎo)數(shù)也是t的函數(shù)23求由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。解例16求由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。24練習(xí)解練習(xí)解25練一練解練一練解26◆單側(cè)導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)

右導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點x0處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，并且相等。◆單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點27例5已知解因為所以，從而例5已知解因為所以，從而28◆導(dǎo)數(shù)的幾何意義MxyoT法線是過切點且與切線垂直的直線的切線方程為法線方程為◆導(dǎo)數(shù)的幾何意義MxyoT法線是過切點且與切線垂直的直線的切29解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線的斜率為所以，所求切線方程為所求法線的斜率為所求法線方程為例6求雙曲線在點處的切線方程和法線方程。即即解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線的斜率為所以，所求切線方程30例曲線在點

處的切線平行于直線例曲線在點

處的切線垂直于直線例曲線在點

處的法線垂直于直線例曲線在點31◆函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)是可導(dǎo)的必要非充分條件◆函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)是32故函數(shù)在點x=0處連續(xù)故函數(shù)f(x)=|x|在點x=0不可導(dǎo)解函數(shù)f(x)在某點連續(xù)，卻不一定在該點可導(dǎo)。例7討論函數(shù)在點

的連續(xù)性和可導(dǎo)性。不存在故函數(shù)在點x=0處連續(xù)故函數(shù)f(x)=|x|在點33例8設(shè)在點可導(dǎo)，求常數(shù)的值。

解因為函數(shù)在x=2點可導(dǎo)，所以函數(shù)在該點連續(xù)。所以有又即有（1）例8設(shè)在點可導(dǎo)，求常數(shù)34所以代入（1）式得所以即為所求。又所以代入（1）式得所以即為35◆函數(shù)的微分結(jié)論：可導(dǎo)可微，且一般形式導(dǎo)數(shù)公式微分公式一一對應(yīng)◆函數(shù)的微分結(jié)論：一般形式導(dǎo)數(shù)公式36◆復(fù)合函數(shù)的微分法則和微分形式不變性◆復(fù)合函數(shù)的微分法則和微分形式不變性37例1解例2解例1解例2解38例3解例3解39例4求由方程確定的隱函數(shù)的微分解兩邊同時微分，得即所以，所求微分為例4求由方程40◆羅爾定理RolleTheorem(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點，使

(1)在閉區(qū)間上連續(xù)(3)

若函數(shù)滿足：羅爾定理的幾何意義連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB除端點外處處具有不垂直x軸的切線，且兩個端點的縱坐標(biāo)相等，則曲線弧上至少存在一點C，使得曲線在該點處的切線是水平的.xy◆羅爾定理RolleTheorem(2)在開區(qū)間內(nèi)可41例1驗證函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理，并求出定理中的值。解因為函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且所以，函數(shù)在上滿足羅爾定理而令得所以，即為所求的點。例1驗證函數(shù)42◆拉格朗日中值定理lagrangeTheorem若函數(shù)滿足：

(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點，使

(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；xy幾何意義:連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB除端點外處處有不垂直x軸的切線，則弧上至少至少存在一點，使得曲線在點處的切線平行弦AB?！衾窭嗜罩兄刀ɡ韑agrangeTheorem若函數(shù)43推論：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那末f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)例證明證明令則在內(nèi)滿足Lagrange中值定理而所以而所以推論：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那末f44由Lagrange中值定理可知例2解因為所以即所以即為所求。練習(xí)解答由Lagrange中值定理可知例2解因為所以即所以45構(gòu)造有關(guān)的函數(shù)確定應(yīng)用區(qū)間應(yīng)用Lagrange定理計算導(dǎo)數(shù)后的等式轉(zhuǎn)化為不等式例3解所以即所以解題思路：構(gòu)造有關(guān)的函數(shù)確定應(yīng)用區(qū)間應(yīng)用Lagrange定理計算導(dǎo)數(shù)后46◆洛必達(dá)法則若屬類型的極限問題，則可考慮用洛必達(dá)法則，如果存在或為，則注意：法則只能解決存在時，未定式的定值問題。即如果

不存在，也不是

，則法則失效?！袈灞剡_(dá)法則若屬47例1求下列極限型型型解原式解原式解原式例1求下列極限型型型解原式解原式解原式48例2求極限解這是型的未定式，且當(dāng)時，所以，原式適當(dāng)使用等價無窮小替換，再使用洛必達(dá)法則，可簡化極限運算。練習(xí)例2求極限解這是型的未定式，且當(dāng)49（1）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解題方法：將未定式變形例3求極限解原式（1）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解題方法50（2）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解題方法：將未定式變形例4求極限解原式（2）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解題方51（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值

解題方法：將未定式先取自然對數(shù)、變形，再按情形（1）處理（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定52例5求極限解令則所以而例5求極限解令則所以而53例6求極限解令則而所以例6求極限解令則而所以54解令例7求極限則所以所以解令例7求極限則所以所以55練習(xí)求下列極限（提示：利用等價無窮小替換）練習(xí)求下列極限（提示：利用等價無窮小替換）56◆函數(shù)的單調(diào)性yxoabyoabx函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)遞減，則由Lagrange中值定理：于是有函數(shù)單調(diào)性的判別定理◆函數(shù)的單調(diào)性yxoabyoabx函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)57◆函數(shù)單調(diào)性的判別定理（1）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是單調(diào)遞增的。（2）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是單調(diào)遞減的。例1判別函數(shù)的單調(diào)性。解因為所以，函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增的。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則◆函數(shù)單調(diào)性的判別定理（1）如果函數(shù)58例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解因為令得駐點列表討論+0_0+3-1所以，函數(shù)在及內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少。例2求函數(shù)59例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解因為當(dāng)時，不存在當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少。

小結(jié)：駐點（使一階導(dǎo)數(shù)為零的點）或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點可將單調(diào)區(qū)間分開。例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解60小結(jié)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；（2）找出所有的駐點及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點；（3）將上述點插入到定義域，分區(qū)間確定一階導(dǎo)數(shù)的符號；（4）根據(jù)單調(diào)性的判別定理，確定單調(diào)區(qū)間。小結(jié)：61例4證明不等式證明令則所以，當(dāng)時，不等式成立。例4證明不等式證明令則所以，當(dāng)62◆函數(shù)的極值極值的概念：如果函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)任意異于點的，都有，則稱為函數(shù)的一個極小值；如果有，則稱為函數(shù)的一個極大值。極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點。由于函數(shù)在不同的區(qū)間的單調(diào)性不同，因而在圖象上會出現(xiàn)“峰”與“谷”，使函數(shù)值在局部范圍內(nèi)出現(xiàn)“最大”、“最小”，稱之為函數(shù)的極大、極小值。例如-13◆函數(shù)的極值極值的概念：如果函數(shù)在點63

函數(shù)的極值是一個局部特性，最值是全局特性（1）函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可能既無極大值，也無極小值；如函數(shù)Y=x在區(qū)間[1，2]內(nèi)既無極大值，也無極小值。（2）可以缺少其一；如y=x2在區(qū)間[-1，2]內(nèi)，只有極小值。（3）極小值可以大于極大值，如某種股票的交易價格函數(shù)；（4）極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得?！艉瘮?shù)的極值說明函數(shù)的極值是一個局部特性，最值是全局特性◆函64◆極值存在的必要條件（費馬定理）如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，且在點處有極值，則導(dǎo)數(shù)為零的點稱為函數(shù)的駐點。函數(shù)在可導(dǎo)點取得極值時，則在該點的切線平行于x軸。函數(shù)的極值點是駐點或?qū)?shù)不存在的點。費馬定理的逆定理不成立。◆極值存在的必要條件（費馬定理）如果函數(shù)65◆極值存在的第一充分條件設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點可除外）則在點處取得極大值；則在點處取得極小值；則在點處無極值；◆極值存在的第一充分條件設(shè)函數(shù)66例1求函數(shù)的極值解因為令得駐點列表討論+極小值極大值0_0+3-1所以，函數(shù)有極大值，有極小值。一階導(dǎo)數(shù)由正到負(fù)，函數(shù)過極大值；一階導(dǎo)數(shù)由負(fù)到正，函數(shù)過極小值。例1求函數(shù)67例2求函數(shù)的極值解因為當(dāng)時，不存在當(dāng)時，，當(dāng)時，

小結(jié)：駐點或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點，可能是函數(shù)的極值點，必須按第一充分條件進(jìn)行判別。所以，函數(shù)有極小值。例3求函數(shù)的極值解因為所以，函數(shù)無極值。（雖然有）例2求函數(shù)的極值解68↗極小值-1/2↘極大值0↗+0_不存在+(1,+∞)1(0,1)0(-∞,0)單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0)和(1,+∞)單調(diào)減區(qū)間為(0,1)f(0)=0為極大值；f(1)=-1/2為極小值

o1練習(xí)解↗極小值↘極大值0↗+0_不存在+(1,+∞)1(0,1)069◆極值存在的第二充分條件◆極值存在的第二充分條件70例4求函數(shù)的極值解因為所以，函數(shù)有駐點而所以所以，函數(shù)有極大值，有極小值。注意：當(dāng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)較易求，且二階導(dǎo)數(shù)不為零時，使用第二充分條件判別極值較易；而二階導(dǎo)數(shù)為零的點，必須用第一充分條件判別。例4求函數(shù)71◆函數(shù)的最大值與最小值由極小值的特性，可知：極小值最小值；極大值最大值已有結(jié)論：如果函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。求函數(shù)最值的一般步驟與方法（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)找出所有的駐點及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點；（3）計算函數(shù)在上述點處的函數(shù)值，以及在端點處的函數(shù)值，并比較其大小，其中最大者即為函數(shù)在區(qū)間上的最大值；最小者即為函數(shù)在區(qū)間上的最小值?！艉瘮?shù)的最大值與最小值由極小值的特性，可知：極小值72例5求函數(shù)在上的最值。解因為令得而所以函數(shù)在上的最大值是最小值是例5求函數(shù)73◆曲線的凹凸向及拐點

yxoabyoabx

定義如果曲線弧總位于它的每一點的切線的上方，則稱該曲線弧是（向上）凹的（concave)；如果曲線弧總位于它的每一點的切線的下方，則稱該曲線弧是（向上）凸的(convex)凹弧凸弧凹、凸弧的分界點，稱為曲線的拐點(inflectionpoint)。

◆曲線的凹凸向及拐點yxoabyoabx定義74◆凹凸弧的判別定理定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，則在該區(qū)間上：（1）當(dāng)時，曲線弧是向上凹的；（2）當(dāng)時，曲線弧是向上凸的?！舭纪够〉呐袆e定理定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間75例1試證明函數(shù)的圖形是處處向上凹的。所以，函數(shù)的圖形在內(nèi)是向上凹的。證明函數(shù)的定義域為判斷曲線y=lnx的凹凸性內(nèi)是凸的。解答例1試證明函數(shù)76解函數(shù)的定義域為例2求曲線的凹凸區(qū)間及拐點。令得列表因為解函數(shù)的定義域為例2求曲線77所以，曲線在及內(nèi)是向上凹的，在內(nèi)是向上凸的，有拐點及。解函數(shù)的定義域為例2求曲線的凹凸區(qū)間及拐點。令得因為所以，曲線在及78例3求曲線的凹凸區(qū)間及拐點。解因為所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，曲線在內(nèi)是向上凹的，在內(nèi)是向上凸的。有拐點。例3求曲線的凹凸區(qū)間及拐點79

85.每一年，我都更加相信生命的浪費是在于：我們沒有獻(xiàn)出愛，我們沒有使用力量，我們表現(xiàn)出自私的謹(jǐn)慎，不去冒險，避開痛苦，也失去了快樂。――[約翰·B·塔布]86.微笑，昂首闊步，作深呼吸，嘴里哼著歌兒。倘使你不會唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一來，你想讓自己煩惱都不可能。――[戴爾·卡內(nèi)基]87.當(dāng)一切毫無希望時，我看著切石工人在他的石頭上，敲擊了上百次，而不見任何裂痕出現(xiàn)。但在第一百零一次時，石頭被劈成兩半。我體會到，并非那一擊，而是前面的敲打使它裂開。――[賈柯·瑞斯]88.每個意念都是一場祈禱。――[詹姆士·雷德非]89.虛榮心很難說是一種惡行，然而一切惡行都圍繞虛榮心而生，都不過是滿足虛榮心的手段。――[柏格森]90.習(xí)慣正一天天地把我們的生命變成某種定型的化石，我們的心靈正在失去自由，成為平靜而沒有激情的時間之流的奴隸。――[托爾斯泰]91.要及時把握夢想，因為夢想一死，生命就如一只羽翼受創(chuàng)的小鳥，無法飛翔。――[蘭斯頓·休斯]92.生活的藝術(shù)較像角力的藝術(shù)，而較不像跳舞的藝術(shù)；最重要的是：站穩(wěn)腳步，為無法預(yù)見的攻擊做準(zhǔn)備。――[瑪科斯·奧雷利阿斯]93.在安詳靜謐的大自然里，確實還有些使人煩惱.懷疑.感到壓迫的事。請你看看蔚藍(lán)的天空和閃爍的星星吧!你的心將會平靜下來。[約翰·納森·愛德瓦茲]94.對一個適度工作的人而言，快樂來自于工作，有如花朵結(jié)果前擁有彩色的花瓣。――[約翰·拉斯金]95.沒有比時間更容易浪費的,同時沒有比時間更珍貴的了，因為沒有時間我們幾乎無法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的歡欣，就是在于你自認(rèn)正在為一個偉大目標(biāo)運用自己；而不是源于獨自發(fā)光.自私渺小的憂煩軀殼，只知抱怨世界無法帶給你快樂。――[蕭伯納]97.有三個人是我的朋友愛我的人.恨我的人.以及對我冷漠的人。愛我的人教我溫柔；恨我的人教我謹(jǐn)慎；對我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.過去的事已經(jīng)一去不復(fù)返。聰明的人是考慮現(xiàn)在和未來，根本無暇去想過去的事。――[英國哲學(xué)家培根]99.真正的發(fā)現(xiàn)之旅不只是為了尋找全新的景色，也為了擁有全新的眼光。――[馬塞爾·普勞斯特]100.這個世界總是充滿美好的事物，然而能看到這些美好事物的人，事實上是少之又少。――[羅丹]101.稱贊不但對人的感情，而且對人的理智也發(fā)生巨大的作用，在這種令人愉快的影響之下，我覺得更加聰明了，各種想法，以異常的速度接連涌入我的腦際。――[托爾斯泰]102.人生過程的景觀一直在變化，向前跨進(jìn)，就看到與初始不同的景觀，再上前去，又是另一番新的氣候――。[叔本華]103.為何我們?nèi)绱思臣秤诿绻粋€人和他的同伴保持不一樣的速度，或許他耳中聽到的是不同的旋律，讓他隨他所聽到的旋律走，無論快慢或遠(yuǎn)近。――[梭羅]104.我們最容易不吝惜的是時間，而我們應(yīng)該最擔(dān)心的也是時間；因為沒有時間的話，我們在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人類的悲劇，就是想延長自己的壽命。我們往往只憧憬地平線那端的神奇【違禁詞，被屏蔽】，而忘了去欣賞今天窗外正在盛開的玫瑰花。――[戴爾·卡內(nèi)基]106.休息并非無所事事，夏日炎炎時躺在樹底下的草地，聽著潺潺的水聲，看著飄過的白云，亦非浪費時間。――[約翰·羅伯克]107.沒有人會只因年齡而衰老，我們是因放棄我們的理想而衰老。年齡會使皮膚老化，而放棄熱情卻會使靈魂老化。――[撒母耳·厄爾曼]108.快樂和智能的區(qū)別在于：自認(rèn)最快樂的人實際上就是最快樂的，但自認(rèn)為最明智的人一般而言卻是最愚蠢的。――[卡雷貝·C·科爾頓]109.每個人皆有連自己都不清楚的潛在能力。無論是誰，在千鈞一發(fā)之際，往往能輕易解決從前認(rèn)為極不可能解決的事。――[戴爾·卡內(nèi)基]110.每天安靜地坐十五分鐘·傾聽你的氣息，感覺它，感覺你自己，并且試著什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]111.你知道何謂沮喪---就是你用一輩子工夫，在公司或任何領(lǐng)域里往上攀爬，卻在抵達(dá)最高處的同時，發(fā)現(xiàn)自己爬錯了墻頭。－－[坎伯]112.「偉大」這個名詞未必非出現(xiàn)在規(guī)模很大的事情不可；生活中微小之處，照樣可以偉大。――[布魯克斯]113.人生的目的有二：先是獲得你想要的；然后是享受你所獲得的。只有最明智的人類做到第二點。――[羅根·皮沙爾·史密斯]114.要經(jīng)常聽.時常想.時時學(xué)習(xí)，才是真正的生活方式。對任何事既不抱希望，也不肯學(xué)習(xí)的人，沒有生存的資格。――[阿薩·赫爾帕斯爵士]115.旅行的精神在于其自由，完全能夠隨心所欲地去思考.去感覺.去行動的自由。――[威廉·海茲利特]116.昨天是張退票的支票，明天是張信用卡，只有今天才是現(xiàn)金；要善加利用。――[凱·里昂]117.所有的財富都是建立在健康之上。浪費金錢是愚蠢的事，浪費健康則是二級的謀殺罪。――[B·C·福比斯]118.明知不可而為之的干勁可能會加速走向油盡燈枯的境地，努力挑戰(zhàn)自己的極限固然是令人激奮的經(jīng)驗，但適度的休息絕不可少，否則遲早會崩潰。――[邁可·漢默]119.進(jìn)步不是一條筆直的過程，而是螺旋形的路徑，時而前進(jìn)，時而折回，停滯后又前進(jìn)，有失有得，有付出也有收獲。――[奧古斯汀]120.無論那個時代，能量之所以能夠帶來奇跡，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。無論何處，活力皆是所謂“人格力量”的原動力，也是讓一切偉大行動得以持續(xù)的力量。――[史邁爾斯]121.有兩種人是沒有什么價值可言的：一種人無法做被吩咐去做的事，另一種人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯]122.對于不會利用機會的人而言，機會就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成為不會孵化的蛋。――[喬治桑]123.未來不是固定在那里等你趨近的，而是要靠你創(chuàng)造。未來的路不會靜待被發(fā)現(xiàn)，而是需要開拓，開路的過程，便同時改變了你和未來。――[約翰·夏爾]124.一個人的年紀(jì)就像他的鞋子的大小那樣不重要。如果他對生活的興趣不受到傷害，如果他很慈悲，如果時間使他成熟而沒有了偏見。――[道格拉斯·米爾多]125.大凡宇宙萬物，都存在著正、反兩面，所以要養(yǎng)成由后面.里面，甚至是由相反的一面，來觀看事物的態(tài)度――。[老子]126.在寒冷中顫抖過的人倍覺太陽的溫暖，經(jīng)歷過各種人生煩惱的人，才懂得生命的珍貴。――[懷特曼]127.一般的偉人總是讓身邊的人感到渺??；但真正的偉人卻能讓身邊的人認(rèn)為自己很偉大。――[G.K.Chesteron]128.醫(yī)生知道的事如此的少，他們的收費卻是如此的高。――[馬克吐溫]129.問題不在于：一個人能夠輕蔑、藐視或批評什么，而是在于：他能夠喜愛、看重以及欣賞什么。――[約翰·魯斯金]導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用優(yōu)秀課件80導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用81◆導(dǎo)數(shù)Derivative的概念函數(shù)自變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)其它形式◆導(dǎo)數(shù)Derivative的概念函數(shù)自變量函82例題設(shè)，求解所以如果將式中的定點x=2改為任意點x,則有如下結(jié)果其結(jié)果表示是x的函數(shù)，稱之為導(dǎo)函數(shù)。例題設(shè)，求83◆基本導(dǎo)數(shù)公式記熟、記牢、記準(zhǔn)◆基本導(dǎo)數(shù)公式記熟、記牢、記準(zhǔn)84◆函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則你記住了嗎？特別◆函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則你記住了嗎？特別85例1設(shè)解例2解例1設(shè)解例2解86

例3設(shè)解練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3設(shè)解練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)87◆復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣鏈?zhǔn)椒▌tChainRule◆復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣鏈?zhǔn)椒▌t88

也可以不寫出中間變量例6設(shè)例7設(shè)解解因為所以可分解為所以代入也可以不寫出中間變量例6設(shè)例7設(shè)解解因為所以89由外及里，環(huán)環(huán)相扣例8設(shè)解由外及里，環(huán)環(huán)相扣例8設(shè)解90練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)91例9例10解解例9例10解解92練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)練一練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)93◆高階導(dǎo)數(shù)

——導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)n階導(dǎo)數(shù)◆高階導(dǎo)數(shù)——導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)94練一練求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解練一練求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解95◆隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法——將方程兩邊同時對自變量x求導(dǎo)。將方程兩邊同時對x

求導(dǎo)，得：解所以注意：y是x的函數(shù)，則y的函數(shù)f(y)視為x的復(fù)合函數(shù)。例12求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)◆隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法——將方程兩邊同時對自變量x求96解將方程兩邊同時對

x求導(dǎo)，得：因為當(dāng)x=0時，從原方程可以解得y=0所以例求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解將方程兩邊同時對x求導(dǎo)，得：因為當(dāng)x=097解將方程兩邊同時對x

求導(dǎo)，得：注意：y是x的函數(shù)，siny則是x的復(fù)合函數(shù)。例求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解將方程兩邊同時對x求導(dǎo)，得：注意：y是x的函數(shù)，s98◆冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊取對數(shù)，得將方程兩邊同時對

x

求導(dǎo)（注意y

是x的函數(shù)）得：解法2解法1轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)，直接求導(dǎo)法轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)，對數(shù)求導(dǎo)法例14◆冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊取對數(shù)，得將方程兩邊同時對x求導(dǎo)（注99一般地，冪指函數(shù)的求導(dǎo)，可有兩種方法，都可得到一般公式：如練習(xí)設(shè)解答一般地，冪指函數(shù)100◆對數(shù)求導(dǎo)法兩邊取對數(shù)，得兩邊對x

求導(dǎo)（注意y是x的函數(shù)）得：對數(shù)求導(dǎo)法常用于冪指函數(shù)和以乘、除、乘方、開方運算為主的函數(shù)的求導(dǎo)。例15解◆對數(shù)求導(dǎo)法兩邊取對數(shù)，得兩邊對x求導(dǎo)（注意y是x101練一練解練一練解102◆由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意一階導(dǎo)數(shù)也是t的函數(shù)◆由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意一階導(dǎo)數(shù)也是t的函數(shù)103求由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。解例16求由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。104練習(xí)解練習(xí)解105練一練解練一練解106◆單側(cè)導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)

右導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點x0處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，并且相等。◆單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點107例5已知解因為所以，從而例5已知解因為所以，從而108◆導(dǎo)數(shù)的幾何意義MxyoT法線是過切點且與切線垂直的直線的切線方程為法線方程為◆導(dǎo)數(shù)的幾何意義MxyoT法線是過切點且與切線垂直的直線的切109解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線的斜率為所以，所求切線方程為所求法線的斜率為所求法線方程為例6求雙曲線在點處的切線方程和法線方程。即即解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線的斜率為所以，所求切線方程110例曲線在點

處的切線平行于直線例曲線在點

處的切線垂直于直線例曲線在點

處的法線垂直于直線例曲線在點111◆函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)是可導(dǎo)的必要非充分條件◆函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)是112故函數(shù)在點x=0處連續(xù)故函數(shù)f(x)=|x|在點x=0不可導(dǎo)解函數(shù)f(x)在某點連續(xù)，卻不一定在該點可導(dǎo)。例7討論函數(shù)在點

的連續(xù)性和可導(dǎo)性。不存在故函數(shù)在點x=0處連續(xù)故函數(shù)f(x)=|x|在點113例8設(shè)在點可導(dǎo)，求常數(shù)的值。

解因為函數(shù)在x=2點可導(dǎo)，所以函數(shù)在該點連續(xù)。所以有又即有（1）例8設(shè)在點可導(dǎo)，求常數(shù)114所以代入（1）式得所以即為所求。又所以代入（1）式得所以即為115◆函數(shù)的微分結(jié)論：可導(dǎo)可微，且一般形式導(dǎo)數(shù)公式微分公式一一對應(yīng)◆函數(shù)的微分結(jié)論：一般形式導(dǎo)數(shù)公式116◆復(fù)合函數(shù)的微分法則和微分形式不變性◆復(fù)合函數(shù)的微分法則和微分形式不變性117例1解例2解例1解例2解118例3解例3解119例4求由方程確定的隱函數(shù)的微分解兩邊同時微分，得即所以，所求微分為例4求由方程120◆羅爾定理RolleTheorem(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點，使

(1)在閉區(qū)間上連續(xù)(3)

若函數(shù)滿足：羅爾定理的幾何意義連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB除端點外處處具有不垂直x軸的切線，且兩個端點的縱坐標(biāo)相等，則曲線弧上至少存在一點C，使得曲線在該點處的切線是水平的.xy◆羅爾定理RolleTheorem(2)在開區(qū)間內(nèi)可121例1驗證函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理，并求出定理中的值。解因為函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且所以，函數(shù)在上滿足羅爾定理而令得所以，即為所求的點。例1驗證函數(shù)122◆拉格朗日中值定理lagrangeTheorem若函數(shù)滿足：

(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點，使

(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；xy幾何意義:連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB除端點外處處有不垂直x軸的切線，則弧上至少至少存在一點，使得曲線在點處的切線平行弦AB。◆拉格朗日中值定理lagrangeTheorem若函數(shù)123推論：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那末f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)例證明證明令則在內(nèi)滿足Lagrange中值定理而所以而所以推論：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那末f124由Lagrange中值定理可知例2解因為所以即所以即為所求。練習(xí)解答由Lagrange中值定理可知例2解因為所以即所以125構(gòu)造有關(guān)的函數(shù)確定應(yīng)用區(qū)間應(yīng)用Lagrange定理計算導(dǎo)數(shù)后的等式轉(zhuǎn)化為不等式例3解所以即所以解題思路：構(gòu)造有關(guān)的函數(shù)確定應(yīng)用區(qū)間應(yīng)用Lagrange定理計算導(dǎo)數(shù)后126◆洛必達(dá)法則若屬類型的極限問題，則可考慮用洛必達(dá)法則，如果存在或為，則注意：法則只能解決存在時，未定式的定值問題。即如果

不存在，也不是

，則法則失效。◆洛必達(dá)法則若屬127例1求下列極限型型型解原式解原式解原式例1求下列極限型型型解原式解原式解原式128例2求極限解這是型的未定式，且當(dāng)時，所以，原式適當(dāng)使用等價無窮小替換，再使用洛必達(dá)法則，可簡化極限運算。練習(xí)例2求極限解這是型的未定式，且當(dāng)129（1）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解題方法：將未定式變形例3求極限解原式（1）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解題方法130（2）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解題方法：將未定式變形例4求極限解原式（2）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解題方131（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值

解題方法：將未定式先取自然對數(shù)、變形，再按情形（1）處理（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定132例5求極限解令則所以而例5求極限解令則所以而133例6求極限解令則而所以例6求極限解令則而所以134解令例7求極限則所以所以解令例7求極限則所以所以135練習(xí)求下列極限（提示：利用等價無窮小替換）練習(xí)求下列極限（提示：利用等價無窮小替換）136◆函數(shù)的單調(diào)性yxoabyoabx函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)遞減，則由Lagrange中值定理：于是有函數(shù)單調(diào)性的判別定理◆函數(shù)的單調(diào)性yxoabyoabx函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)137◆函數(shù)單調(diào)性的判別定理（1）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是單調(diào)遞增的。（2）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是單調(diào)遞減的。例1判別函數(shù)的單調(diào)性。解因為所以，函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增的。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則◆函數(shù)單調(diào)性的判別定理（1）如果函數(shù)138例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解因為令得駐點列表討論+0_0+3-1所以，函數(shù)在及內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少。例2求函數(shù)139例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解因為當(dāng)時，不存在當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少。

小結(jié)：駐點（使一階導(dǎo)數(shù)為零的點）或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點可將單調(diào)區(qū)間分開。例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解140小結(jié)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；（2）找出所有的駐點及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點；（3）將上述點插入到定義域，分區(qū)間確定一階導(dǎo)數(shù)的符號；（4）根據(jù)單調(diào)性的判別定理，確定單調(diào)區(qū)間。小結(jié)：141例4證明不等式證明令則所以，當(dāng)時，不等式成立。例4證明不等式證明令則所以，當(dāng)142◆函數(shù)的極值極值的概念：如果函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)任意異于點的，都有，則稱為函數(shù)的一個極小值；如果有，則稱為函數(shù)的一個極大值。極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點。由于函數(shù)在不同的區(qū)間的單調(diào)性不同，因而在圖象上會出現(xiàn)“峰”與“谷”，使函數(shù)值在局部范圍內(nèi)出現(xiàn)“最大”、“最小”，稱之為函數(shù)的極大、極小值。例如-13◆函數(shù)的極值極值的概念：如果函數(shù)在點143

函數(shù)的極值是一個局部特性，最值是全局特性（1）函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可能既無極大值，也無極小值；如函數(shù)Y=x在區(qū)間[1，2]內(nèi)既無極大值，也無極小值。（2）可以缺少其一；如y=x2在區(qū)間[-1，2]內(nèi)，只有極小值。（3）極小值可以大于極大值，如某種股票的交易價格函數(shù)；（4）極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得?！艉瘮?shù)的極值說明函數(shù)的極值是一個局部特性，最值是全局特性◆函144◆極值存在的必要條件（費馬定理）如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，且在點處有極值，則導(dǎo)數(shù)為零的點稱為函數(shù)的駐點。函數(shù)在可導(dǎo)點取得極值時，則在該點的切線平行于x軸。函數(shù)的極值點是駐點或?qū)?shù)不存在的點。費馬定理的逆定理不成立?！魳O值存在的必要條件（費馬定理）如果函數(shù)145◆極值存在的第一充分條件設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點可除外）則在點處取得極大值；則在點處取得極小值；則在點處無極值；◆極值存在的第一充分條件設(shè)函數(shù)146例1求函數(shù)的極值解因為令得駐點列表討論+極小值極大值0_0+3-1所以，函數(shù)有極大值，有極小值。一階導(dǎo)數(shù)由正到負(fù)，函數(shù)過極大值；一階導(dǎo)數(shù)由負(fù)到正，函數(shù)過極小值。例1求函數(shù)147例2求函數(shù)的極值解因為當(dāng)時，不存在當(dāng)時，，當(dāng)時，

小結(jié)：駐點或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點，可能是函數(shù)的極值點，必須按第一充分條件進(jìn)行判別。所以，函數(shù)有極小值。例3求函數(shù)的極值解因為所以，函數(shù)無極值。（雖然有）例2求函數(shù)的極值解148↗極小值-1/2↘極大值0↗+0_不存在+(1,+∞)1(0,1)0(-∞,0)單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0)和(1,+∞)單調(diào)減區(qū)間為(0,1)f(0)=0為極大值；f(1)=-1/2為極小值

o1練習(xí)解↗極小值↘極大值0↗+0_不存在+(1,+∞)1(0,1)0149◆極值存在的第二充分條件◆極值存在的第二充分條件150例4求函數(shù)的極值解因為所以，函數(shù)有駐點而所以所以，函數(shù)有極大值，有極小值。注意：當(dāng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)較易求，且二階導(dǎo)數(shù)不為零時，使用第二充分條件判別極值較易；而二階導(dǎo)數(shù)為零的點，必須用第一充分條件判別。例4求函數(shù)151◆函數(shù)的最大值與最小值由極小值的特性，可知：極小值最小值；極大值最大值已有結(jié)論：如果函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。求函數(shù)最值的一般步驟與方法（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)找出所有的駐點及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點；（3）計算函數(shù)在上述點處的函數(shù)值，以及在端點處的函數(shù)值，并比較其大小，其中最大者即為函數(shù)在區(qū)間上的最大值；最小者即為函數(shù)在區(qū)間上的最小值?！艉瘮?shù)的最大值與最小值由極小值的特性，可知：極小值152例5求函數(shù)在上的最值。解因為令得而所以函數(shù)在上的最大值是最小值是例5求函數(shù)153◆曲線的凹凸向及拐點

yxoabyoabx

定義如果曲線弧總位于它的每一點的切線的上方，則稱該曲線弧是（向上）凹的（concave)；如果曲線弧總位于它的每一點的切線的下方，則稱該曲線弧是（向上）凸的(convex)凹弧凸弧凹、凸弧的分界點，稱為曲線的拐點(inflectionpoint)。

◆曲線的凹凸向及拐點yxoabyoabx定義154◆凹凸弧的判別定理定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，則在該區(qū)間上：（1）當(dāng)時，曲線弧是向上凹的；（2）當(dāng)時，曲線弧是向上凸的?！舭纪够〉呐袆e定理定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間155例1試證明函數(shù)的圖形是處處向上凹的。所以，函數(shù)的圖形在內(nèi)是向上凹的。證明函數(shù)的定義域為判斷曲線y=lnx的凹凸性內(nèi)是凸的。解答例1試證明函數(shù)156解函數(shù)的定義域為例2求曲線的凹凸區(qū)間及拐點。令得列表因為解函數(shù)的定義域為例2求曲線157所以，曲線在及內(nèi)是向上凹的，在內(nèi)是向上凸的，有拐點及。解函數(shù)的定義域為例2求曲線的凹凸區(qū)間及拐點。令得因為所以，曲線在及158例3求曲線的凹凸區(qū)間及拐點。解因為所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，曲線在內(nèi)是向上凹的，在內(nèi)是向上凸的。有拐點。例3求曲線的凹凸區(qū)間及拐點159

85.每一年，我都更加相信生命的浪費是在于：我們沒有獻(xiàn)出愛，我們沒有使用力量，我們表現(xiàn)出自私的謹(jǐn)慎，不去冒險，避開痛苦，也失去了快樂。――[約翰·B·塔布]86.微笑，昂首闊步，作深呼吸，嘴里哼著歌兒。倘使你不會唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一來，你想讓自己煩惱都不可能。――[戴爾·卡內(nèi)基]87.當(dāng)一切毫無希望時，我看著切石工人在他的石頭上，敲擊了上百次，而不見任何裂痕出現(xiàn)。但在第一百零一次時，石頭被劈成兩半。我體會到，并非那一擊，而是前面的敲打使它裂開。――[賈柯·瑞斯]88.每個意念都是一場祈禱。――[詹姆士·雷德非]89.虛榮心很難說是一種惡行，然而一切惡行都圍繞虛榮心而生，都不過是滿足虛榮心的手段。――[柏格森]90.習(xí)慣正一天天地把我們的生命變成某種定型的化石，我們的心靈正在失去自由，成為平靜而沒有激情的時間之流的奴隸。――[托爾斯泰]91.要及時把握夢想，因為夢想一死，生命就如一只羽翼受創(chuàng)的小鳥，無法飛翔。――[蘭斯頓·休斯]92.生活的藝術(shù)較像角力的藝術(shù)，而較不像跳舞的藝術(shù)；最重要的是：站穩(wěn)腳步，為無法預(yù)見的攻擊做準(zhǔn)備。――[瑪科斯·奧雷利阿斯]93.在安詳靜謐的大自然里，確實還有些使人煩惱.懷疑.感到壓迫的事。請你看看蔚藍(lán)的天空和閃爍的星星吧!你的心將會平靜下來。[約翰·