量子力學(xué)第三章

形式理論§1.Hilbert空間§2.可觀測量§3.Hermitian算符的本征函數(shù)§4.廣義統(tǒng)計詮釋§5.不確定原理§6.Dirac符號量子力學(xué)第三章§1.Hilbert空間§3.1希爾伯特空間（HilbertSpace）體系的狀態(tài)用波函數(shù)表示，可觀測量用算符表示。

數(shù)學(xué)上，波函數(shù)滿足抽象矢量的定義條件，算符作為線性變換作用于矢量之上。因此，量子力學(xué)的自然語言是線性代數(shù)。

按照線性代數(shù)，在N維空間中，可以選擇N個正交歸一基矢量，一個矢量可以用其在各個基矢量方向上的分量來表示。

波函數(shù)和算符是量子理論的兩塊基石。§3.1希爾伯特空間（HilbertSpace）體系的狀

線性變換用矩陣表示，通過普通的矩陣乘法規(guī)則作用于矢量上，從而得到新的矢量。兩個矢量的內(nèi)積是一個復(fù)數(shù)，線性變換用矩陣表示，通過普通的矩陣乘法規(guī)則作用于矢量

在量子力學(xué)中，微觀粒子的運動狀態(tài)由波函數(shù)描述，把每一個波函數(shù)作為一個態(tài)矢。當(dāng)然，態(tài)矢并非三維空間中的幾何矢量，而是物理狀態(tài)的抽象描述。這個波函數(shù)必須是歸一化的：

全體態(tài)矢構(gòu)成態(tài)矢空間。那么，描述微觀粒子運動狀態(tài)的態(tài)矢空間將是由所有可歸一化的態(tài)函數(shù)組成的復(fù)函數(shù)空間，是一個線性函數(shù)空間。每一個態(tài)矢量對應(yīng)一個物理上可實現(xiàn)的客觀存在的微觀粒子的運動狀態(tài)，把這個抽象的線性函數(shù)空間稱為希爾伯特空間，它可以是有限維、無窮維、連續(xù)維的。希爾伯特空間：所有在特定區(qū)域的平方可積函數(shù)的集合所構(gòu)成的矢量空間。滿足在量子力學(xué)中，微觀粒子的運動狀態(tài)由波函數(shù)描述，

技術(shù)上講，一個希爾伯特空間是一個完備的內(nèi)積空間，平方可積函數(shù)的集合（即有限的或可歸一化的函數(shù)集合）只是希爾伯特空間的一個例子，每一個有限維的矢量空間都是一個希爾伯特空間。

定義兩個函數(shù)和的內(nèi)積：在量子力學(xué)中，波函數(shù)存在于希爾伯特空間中。技術(shù)上講，一個希爾伯特空間是一個完備的內(nèi)積空間，平方

如果一個函數(shù)與自身的內(nèi)積為1，稱之為歸一化的；如果兩個函數(shù)的內(nèi)積為0，那么這兩個函數(shù)是正交的；如果一組函數(shù)既是歸一的也是相互正交的，稱它們?yōu)檎粴w一的。（以xyz---xy，xyz）

如果存在一組函數(shù)，其它任意函數(shù)（希爾伯特空間中）都可以表示為這組函數(shù)的線性迭加，那么這組函數(shù)是完備的:如果函數(shù)是正交歸一的，則f在fn上的投影??！如果一個函數(shù)與自身的內(nèi)積為1，稱之為歸一化的；如果兩§3.2可觀測量1.厄密算符

一個可觀測量的期望值：期望值應(yīng)該是實數(shù)，因此有任意波函數(shù)都滿足此式。因此，表示可觀測量的算符有非常特殊的性質(zhì)：對任何成立.這樣的算符稱為厄密（hermitian）算符?！?.2可觀測量1.厄密算符一個可觀測量的即厄密算符既可以作用于內(nèi)積的右側(cè)項，也可以作用于左側(cè)項，結(jié)果相等。對任何都成立.結(jié)論：可觀測量由厄密算符表示。證明：動量算符是厄密算符。即厄密算符既可以作用于內(nèi)積的右側(cè)項，也可以作用于左側(cè)項，結(jié)果

結(jié)論：確定值態(tài)是的本征態(tài)，本征值就是測量值。2.確定值態(tài)

的標(biāo)準(zhǔn)差，在確定值態(tài)下應(yīng)該是0，即：問題：是否能夠制備一個態(tài)，使得對某一個可觀測量的每一次觀測都一定得到同樣的值（記作）？所以:

這稱為算符的本征值方程；是的本征函數(shù)，是相對應(yīng)的本征值。

一個算符所有本征值的集合稱為這個算符的譜。有時候兩個或更多個線性獨立的本征函數(shù)具有相同的本征值，稱為譜的簡并。結(jié)論：確定值態(tài)是的本征態(tài)，本征值就是測量值。2.確§3.3厄密算符的本征值問題

1.分立譜定理1：厄密算符的本征值是實數(shù)。證明：假設(shè)本征值是離散的，本征函數(shù)處于希爾伯特空間中，并且構(gòu)成物理上可實現(xiàn)的態(tài)?！?.3厄密算符的本征值問題1.分立譜定理1：厄密算符1.分立譜定理2：屬于不同本征值的本征函數(shù)相互正交。證明：假設(shè)如果則公理：可觀測量算符的本征函數(shù)集合是完備的。（在希爾伯特空間中的）任何都可以用它們的線性組合來表示。對有限維空間可以證明，但不能推廣到無限維空間。1.分立譜定理2：屬于不同本征值的本征函數(shù)相互正交。證明：2.連續(xù)譜

本征值充滿一個范圍，本征函數(shù)是不可歸一化的，不能代表可能的物理態(tài)。

例3.2求動量算符的本征值與本征函數(shù)。解：設(shè)是本征函數(shù)，是本征值?？梢?，動量算符的本征函數(shù)不是平方可積的，它們不位于希爾伯特空間內(nèi)。然而，如果我們限定于實數(shù)本征值，可以得到一個人為的“正交歸一性”。

取，有---稱為Driac正交歸一性。2.連續(xù)譜本征值充滿一個范圍，本征函數(shù)是不可歸一化的，不能本征函數(shù)集合是完備的，任何（平方可積的）函數(shù)都可以寫成：

------傅立葉展開動量的本征函數(shù)加上時間因子，就是平面波，其波長為------正是德布羅意公式如果厄密算符的譜是連續(xù)的,本征函數(shù)是不可歸一化的，它們不在希爾伯特空間內(nèi),并且不能代表可能的物理態(tài)；但是，具有實數(shù)本征值的本征函數(shù)具有狄拉克正交歸一性，并且是完備的。積分代替求和k為波數(shù)（周期密度）本征函數(shù)集合是完備的，任何（平方可積的）函數(shù)都可如果的譜是分立的，得到與正交歸一本征函數(shù)相應(yīng)的本征值的概率是§3.4廣義統(tǒng)計詮釋

對于一個處于態(tài)的粒子，測量可觀測量，其結(jié)果一定是厄密算符的某一個本征值。

如果的譜是連續(xù)的，具有實數(shù)本征值及狄拉克正交歸一的本征函數(shù)，則得到結(jié)果在范圍的概率是測量之后，波函數(shù)“坍塌”于相應(yīng)的本征態(tài)。

如果的譜是分立的，得到與正交歸一本征函數(shù)相應(yīng)§3.4廣義統(tǒng)計詮釋的期望值：§3.4廣義統(tǒng)計詮釋的期望值：對粒子位置的測量

所以，得到結(jié)果處于某一范圍的概率就是，這正是原先的統(tǒng)計詮釋。對粒子動量的測量動量算符的本征函數(shù)---動量空間波函數(shù)測量動量得到結(jié)果在范圍的概率是：對粒子位置的測量所以，得到結(jié)果處于某一范圍的概率就§3.5不確定原理1.不確定原理的一般性證明：

對于任意一個可觀測量（厄米算符），有對于另外一個任意的可觀測量，有

由Schwarz不等式，有§3.5不確定原理1.不確定原理的一般性證明：對于任意量子力學(xué)課件3章-形式理論對于任意一個復(fù)數(shù)z，有令

類似有對于任意一個復(fù)數(shù)z，有令因此----不確定原理

舉例：

-----此即最初的海森伯不確定原理

因此----不確定原理舉例：-----此即最初的海森伯不討論：1、兩個可觀測量的算符不對易，它們存在不確定原理，稱為不相容可觀測量。

不相容可觀測量沒有共同的完備的本征函數(shù)系。相反，相容的（可對易的）可觀測量有共同的本征函數(shù)系。

2、不確定原理在實驗室是怎么起作用的？

——為什么就不能同時確定(比方說)一個粒子的坐標(biāo)和動量呢？

當(dāng)測量一個粒子的位置時，測量本身使波函數(shù)坍塌為一個尖峰，這樣波的傅立葉展開中波長(動量)分布范圍很寬。如果緊接著測量動量，使這個態(tài)坍塌為一個長正弦波，具有確定的波長，但此時位置是不確定的。

只有波函數(shù)同時是兩個力學(xué)量的共同本征態(tài)時，測量這兩個量同時得到確定值，又不改變狀態(tài)。討論：1、兩個可觀測量的算符不對易，它們存在不確定原理，稱為3.能量-時間不確定原理在相對論力學(xué)中，坐標(biāo)-動量不確定原理必然伴隨時間-能量不確定原理

在非相對論力學(xué)中，時間-能量不確定原理有完全不同的理解：

坐標(biāo)、動量和能量都是動力學(xué)變量——是體系在任何時刻都可觀測的量。但是時間本身不是動力學(xué)變量，不會像測量坐標(biāo)和能量一樣去測量一個粒子的“時間”。時間是一個獨立變量，動力學(xué)量是它的函數(shù)。能量-時間不確定原理中的不是對時間測量所收集數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。的含義是什么？

3.能量-時間不確定原理在相對論力學(xué)中，坐標(biāo)-動量不確定原通常算符不顯含時間，所以算符期望值的變化率決定于算符與哈密頓量的對易式。如果與對易，則是常量不隨時間變化，稱是一個守恒量。當(dāng)測量一個體系變化有多快時，求某個可觀測量的期望值對時間的導(dǎo)數(shù)，由薛定諤方程通常算符不顯含時間，所以算符期望值的變化率決定于算符與哈密頓在廣義不確定原理中，令和，并且假設(shè)不顯含時間：定義：則有:----能量-時間的不確定原理在廣義不確定原理中，令和，并且假設(shè)由于

的期待值變化單位標(biāo)準(zhǔn)差時所需的時間。

完全依賴于你所關(guān)心的那個可觀測量（）—有的可觀測量變化較快，而有些較慢。但是，如果很小的話，則所有的可觀測量的變化速率一定是非常平緩的；或者，換言之，假如任一可觀測量變化很快的話，能量的“不確定”必定很大。的含義：由于的期待值變化單位標(biāo)準(zhǔn)差時所需的時間。完例題3.5在定態(tài)的特殊情況下，能量值可以被唯一地確定，所有可觀測量的期待值不隨時間變化（）。要使期待值變化，至少需要兩個定態(tài)的迭加，比如說：如果，，和，是實數(shù)，振蕩的周期是。粗略來說，例題3.5在定態(tài)的特殊情況下，能量值可以被唯一地確定，例題3.7粒子在自發(fā)分裂之前大約能夠生存10-23秒。假如你對所有的質(zhì)量測量做分布圖，就可以得到一個中心在1232MeV/c2的喇叭形曲線,其寬度大約是120MeV/c2。那么為什么靜止能量（mc2）有時大于1232，而有時又小于1232呢？難道是這個實驗有誤差？其實不是，因為：而sec。因此的離散大約和不確定原理所允許的值一樣小。

有如此短暫壽命的粒子沒有很好定義的質(zhì)量。

粒子質(zhì)量的測量分布例題3.7粒子在自發(fā)分裂之前大約能夠生存10-23秒。§3.6狄拉克符號表象：量子力學(xué)中態(tài)和可觀測量的具體表示方式稱為表象。

態(tài)的表象二維空間的矢量量子力學(xué)中態(tài)函數(shù)是希爾伯特空間里的矢量，也可以用不同的基來表示它。

§3.6狄拉克符號表象：量子力學(xué)中態(tài)和可觀測量的具體表示方坐標(biāo)表象動量表象能量表象坐標(biāo)表象動量表象能量表象bm與an分量之間的關(guān)系由算符矩陣元表示bm與an分量之間的關(guān)系由算符矩陣元表示量子力學(xué)課件3章-形式理論量子力學(xué)課件3章-形式理論

狄拉克符號

狄拉克建議把內(nèi)積的括號記號劈為兩個部分，分別稱之為左矢和右矢。

右矢是一個矢量。左矢是什么？當(dāng)它從左邊和右邊一個矢量結(jié)合在一起時，生成一個（復(fù)）—內(nèi)積，在這個意義上，它是矢量的一個線性泛函。

在一個函數(shù)空間里，右矢是個函數(shù)，左矢是一個對積分的指令：與右矢結(jié)合，即將右矢所表示的函數(shù)填入到省略號里。狄拉克符號狄拉克建議把內(nèi)積在有限維矢量空間里，右矢被表示成列矩陣：相應(yīng)的左矢表示成行矩陣：所有的左矢集合構(gòu)成另外一個矢量空間—稱為對偶空間。內(nèi)積是左矢空間的一個矢量與右矢空間的一個矢量按矩陣相乘。在有限維矢量空間里，右矢被表示成列矩陣：相應(yīng)的左矢表示成行矩投影算符投影算符1、坐標(biāo)表象坐標(biāo)算符的本征函數(shù)集合作為基矢量：體系的態(tài)用坐標(biāo)算符的本征函數(shù)集合展開：--------坐標(biāo)表象中的波函數(shù)展開系數(shù)：

是在Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的位置所得結(jié)果在y→y+dy范圍內(nèi)的概率。1、坐標(biāo)表象坐標(biāo)算符的本征函數(shù)集合作為基矢量：體系的態(tài)用坐2、動量表象動量本征函數(shù)：

組成完備系，任一狀態(tài)Ψ可按其展開C(p,t)物理意義：|C(p,t)|2dp是在Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的動量所得結(jié)果在p→p+dp范圍內(nèi)的概率。展開系數(shù):-----動量表象中的波函數(shù)2、動量表象動量本征函數(shù)：組成完備系，任一狀態(tài)Ψ可按其展3、任一可觀測量Q表象設(shè)算符Q的本征值為:q1,q2,...,qn,…

相應(yīng)本征函數(shù)為：u1(x),u2(x),...,un(x),...將Ψ(x,t)按Q的本征函數(shù)展開：|an|2

表示在Ψ(x,t)所描述的狀態(tài)中測量Q得qn的概率。在Q表象中，Ψ(x,t)態(tài)可表示為：3、任一可觀測量Q表象設(shè)算符Q的本征值為:q1,歸一化條件：可寫為：歸一化條件：可寫為：

可觀測量的矩陣表示坐標(biāo)表象：Q表象：假設(shè)Q只有分立本征值，基矢為{un(x)}。將Φ,Ψ按{un(x)}展開：兩邊左乘u*n(x)并對x積分Q表象下，可觀測矩陣變換前后，基矢系數(shù)之間的關(guān)系。變換后的系數(shù)是變換前系數(shù)的線性組合?？捎^測量的矩陣表示坐標(biāo)表象：Q表象：假設(shè)Q只有分立本征值Q表象的表達(dá)方式F在Q表象中是一個矩陣，F(xiàn)nm是其矩陣元Φ=FΨ簡寫成寫成矩陣形式量子力學(xué)中表示可觀測量的算符是一種線性變換，它們把一個矢量變換成另一個。每一個算符對應(yīng)一個矩陣，選擇不同的基矢量可以得到不同的矩陣元。

Q表象的表達(dá)方式F在Q表象中是一個矩陣，Φ=F作業(yè)習(xí)題:3.2,3.3,3.4,3.6,3.7,3.8，

3.10,3.11,3.12,3.13,3.15,3.17,3.18,3.22,3.23,3.24作業(yè)量子力學(xué)第三章

形式理論§1.Hilbert空間§2.可觀測量§3.Hermitian算符的本征函數(shù)§4.廣義統(tǒng)計詮釋§5.不確定原理§6.Dirac符號量子力學(xué)第三章§1.Hilbert空間§3.1希爾伯特空間（HilbertSpace）體系的狀態(tài)用波函數(shù)表示，可觀測量用算符表示。

數(shù)學(xué)上，波函數(shù)滿足抽象矢量的定義條件，算符作為線性變換作用于矢量之上。因此，量子力學(xué)的自然語言是線性代數(shù)。

按照線性代數(shù)，在N維空間中，可以選擇N個正交歸一基矢量，一個矢量可以用其在各個基矢量方向上的分量來表示。

波函數(shù)和算符是量子理論的兩塊基石。§3.1希爾伯特空間（HilbertSpace）體系的狀

線性變換用矩陣表示，通過普通的矩陣乘法規(guī)則作用于矢量上，從而得到新的矢量。兩個矢量的內(nèi)積是一個復(fù)數(shù)，線性變換用矩陣表示，通過普通的矩陣乘法規(guī)則作用于矢量

在量子力學(xué)中，微觀粒子的運動狀態(tài)由波函數(shù)描述，把每一個波函數(shù)作為一個態(tài)矢。當(dāng)然，態(tài)矢并非三維空間中的幾何矢量，而是物理狀態(tài)的抽象描述。這個波函數(shù)必須是歸一化的：

全體態(tài)矢構(gòu)成態(tài)矢空間。那么，描述微觀粒子運動狀態(tài)的態(tài)矢空間將是由所有可歸一化的態(tài)函數(shù)組成的復(fù)函數(shù)空間，是一個線性函數(shù)空間。每一個態(tài)矢量對應(yīng)一個物理上可實現(xiàn)的客觀存在的微觀粒子的運動狀態(tài)，把這個抽象的線性函數(shù)空間稱為希爾伯特空間，它可以是有限維、無窮維、連續(xù)維的。希爾伯特空間：所有在特定區(qū)域的平方可積函數(shù)的集合所構(gòu)成的矢量空間。滿足在量子力學(xué)中，微觀粒子的運動狀態(tài)由波函數(shù)描述，

技術(shù)上講，一個希爾伯特空間是一個完備的內(nèi)積空間，平方可積函數(shù)的集合（即有限的或可歸一化的函數(shù)集合）只是希爾伯特空間的一個例子，每一個有限維的矢量空間都是一個希爾伯特空間。

定義兩個函數(shù)和的內(nèi)積：在量子力學(xué)中，波函數(shù)存在于希爾伯特空間中。技術(shù)上講，一個希爾伯特空間是一個完備的內(nèi)積空間，平方

如果一個函數(shù)與自身的內(nèi)積為1，稱之為歸一化的；如果兩個函數(shù)的內(nèi)積為0，那么這兩個函數(shù)是正交的；如果一組函數(shù)既是歸一的也是相互正交的，稱它們?yōu)檎粴w一的。（以xyz---xy，xyz）

如果存在一組函數(shù)，其它任意函數(shù)（希爾伯特空間中）都可以表示為這組函數(shù)的線性迭加，那么這組函數(shù)是完備的:如果函數(shù)是正交歸一的，則f在fn上的投影?。∪绻粋€函數(shù)與自身的內(nèi)積為1，稱之為歸一化的；如果兩§3.2可觀測量1.厄密算符

一個可觀測量的期望值：期望值應(yīng)該是實數(shù)，因此有任意波函數(shù)都滿足此式。因此，表示可觀測量的算符有非常特殊的性質(zhì)：對任何成立.這樣的算符稱為厄密（hermitian）算符。§3.2可觀測量1.厄密算符一個可觀測量的即厄密算符既可以作用于內(nèi)積的右側(cè)項，也可以作用于左側(cè)項，結(jié)果相等。對任何都成立.結(jié)論：可觀測量由厄密算符表示。證明：動量算符是厄密算符。即厄密算符既可以作用于內(nèi)積的右側(cè)項，也可以作用于左側(cè)項，結(jié)果

結(jié)論：確定值態(tài)是的本征態(tài)，本征值就是測量值。2.確定值態(tài)

的標(biāo)準(zhǔn)差，在確定值態(tài)下應(yīng)該是0，即：問題：是否能夠制備一個態(tài)，使得對某一個可觀測量的每一次觀測都一定得到同樣的值（記作）？所以:

這稱為算符的本征值方程；是的本征函數(shù)，是相對應(yīng)的本征值。

一個算符所有本征值的集合稱為這個算符的譜。有時候兩個或更多個線性獨立的本征函數(shù)具有相同的本征值，稱為譜的簡并。結(jié)論：確定值態(tài)是的本征態(tài)，本征值就是測量值。2.確§3.3厄密算符的本征值問題

1.分立譜定理1：厄密算符的本征值是實數(shù)。證明：假設(shè)本征值是離散的，本征函數(shù)處于希爾伯特空間中，并且構(gòu)成物理上可實現(xiàn)的態(tài)?！?.3厄密算符的本征值問題1.分立譜定理1：厄密算符1.分立譜定理2：屬于不同本征值的本征函數(shù)相互正交。證明：假設(shè)如果則公理：可觀測量算符的本征函數(shù)集合是完備的。（在希爾伯特空間中的）任何都可以用它們的線性組合來表示。對有限維空間可以證明，但不能推廣到無限維空間。1.分立譜定理2：屬于不同本征值的本征函數(shù)相互正交。證明：2.連續(xù)譜

本征值充滿一個范圍，本征函數(shù)是不可歸一化的，不能代表可能的物理態(tài)。

例3.2求動量算符的本征值與本征函數(shù)。解：設(shè)是本征函數(shù)，是本征值?？梢?，動量算符的本征函數(shù)不是平方可積的，它們不位于希爾伯特空間內(nèi)。然而，如果我們限定于實數(shù)本征值，可以得到一個人為的“正交歸一性”。

取，有---稱為Driac正交歸一性。2.連續(xù)譜本征值充滿一個范圍，本征函數(shù)是不可歸一化的，不能本征函數(shù)集合是完備的，任何（平方可積的）函數(shù)都可以寫成：

------傅立葉展開動量的本征函數(shù)加上時間因子，就是平面波，其波長為------正是德布羅意公式如果厄密算符的譜是連續(xù)的,本征函數(shù)是不可歸一化的，它們不在希爾伯特空間內(nèi),并且不能代表可能的物理態(tài)；但是，具有實數(shù)本征值的本征函數(shù)具有狄拉克正交歸一性，并且是完備的。積分代替求和k為波數(shù)（周期密度）本征函數(shù)集合是完備的，任何（平方可積的）函數(shù)都可如果的譜是分立的，得到與正交歸一本征函數(shù)相應(yīng)的本征值的概率是§3.4廣義統(tǒng)計詮釋

對于一個處于態(tài)的粒子，測量可觀測量，其結(jié)果一定是厄密算符的某一個本征值。

如果的譜是連續(xù)的，具有實數(shù)本征值及狄拉克正交歸一的本征函數(shù)，則得到結(jié)果在范圍的概率是測量之后，波函數(shù)“坍塌”于相應(yīng)的本征態(tài)。

如果的譜是分立的，得到與正交歸一本征函數(shù)相應(yīng)§3.4廣義統(tǒng)計詮釋的期望值：§3.4廣義統(tǒng)計詮釋的期望值：對粒子位置的測量

所以，得到結(jié)果處于某一范圍的概率就是，這正是原先的統(tǒng)計詮釋。對粒子動量的測量動量算符的本征函數(shù)---動量空間波函數(shù)測量動量得到結(jié)果在范圍的概率是：對粒子位置的測量所以，得到結(jié)果處于某一范圍的概率就§3.5不確定原理1.不確定原理的一般性證明：

對于任意一個可觀測量（厄米算符），有對于另外一個任意的可觀測量，有

由Schwarz不等式，有§3.5不確定原理1.不確定原理的一般性證明：對于任意量子力學(xué)課件3章-形式理論對于任意一個復(fù)數(shù)z，有令

類似有對于任意一個復(fù)數(shù)z，有令因此----不確定原理

舉例：

-----此即最初的海森伯不確定原理

因此----不確定原理舉例：-----此即最初的海森伯不討論：1、兩個可觀測量的算符不對易，它們存在不確定原理，稱為不相容可觀測量。

不相容可觀測量沒有共同的完備的本征函數(shù)系。相反，相容的（可對易的）可觀測量有共同的本征函數(shù)系。

2、不確定原理在實驗室是怎么起作用的？

——為什么就不能同時確定(比方說)一個粒子的坐標(biāo)和動量呢？

當(dāng)測量一個粒子的位置時，測量本身使波函數(shù)坍塌為一個尖峰，這樣波的傅立葉展開中波長(動量)分布范圍很寬。如果緊接著測量動量，使這個態(tài)坍塌為一個長正弦波，具有確定的波長，但此時位置是不確定的。

只有波函數(shù)同時是兩個力學(xué)量的共同本征態(tài)時，測量這兩個量同時得到確定值，又不改變狀態(tài)。討論：1、兩個可觀測量的算符不對易，它們存在不確定原理，稱為3.能量-時間不確定原理在相對論力學(xué)中，坐標(biāo)-動量不確定原理必然伴隨時間-能量不確定原理

在非相對論力學(xué)中，時間-能量不確定原理有完全不同的理解：

坐標(biāo)、動量和能量都是動力學(xué)變量——是體系在任何時刻都可觀測的量。但是時間本身不是動力學(xué)變量，不會像測量坐標(biāo)和能量一樣去測量一個粒子的“時間”。時間是一個獨立變量，動力學(xué)量是它的函數(shù)。能量-時間不確定原理中的不是對時間測量所收集數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。的含義是什么？

3.能量-時間不確定原理在相對論力學(xué)中，坐標(biāo)-動量不確定原通常算符不顯含時間，所以算符期望值的變化率決定于算符與哈密頓量的對易式。如果與對易，則是常量不隨時間變化，稱是一個守恒量。當(dāng)測量一個體系變化有多快時，求某個可觀測量的期望值對時間的導(dǎo)數(shù)，由薛定諤方程通常算符不顯含時間，所以算符期望值的變化率決定于算符與哈密頓在廣義不確定原理中，令和，并且假設(shè)不顯含時間：定義：則有:----能量-時間的不確定原理在廣義不確定原理中，令和，并且假設(shè)由于

的期待值變化單位標(biāo)準(zhǔn)差時所需的時間。

完全依賴于你所關(guān)心的那個可觀測量（）—有的可觀測量變化較快，而有些較慢。但是，如果很小的話，則所有的可觀測量的變化速率一定是非常平緩的；或者，換言之，假如任一可觀測量變化很快的話，能量的“不確定”必定很大。的含義：由于的期待值變化單位標(biāo)準(zhǔn)差時所需的時間。完例題3.5在定態(tài)的特殊情況下，能量值可以被唯一地確定，所有可觀測量的期待值不隨時間變化（）。要使期待值變化，至少需要兩個定態(tài)的迭加，比如說：如果，，和，是實數(shù)，振蕩的周期是。粗略來說，例題3.5在定態(tài)的特殊情況下，能量值可以被唯一地確定，例題3.7粒子在自發(fā)分裂之前大約能夠生存10-23秒。假如你對所有的質(zhì)量測量做分布圖，就可以得到一個中心在1232MeV/c2的喇叭形曲線,其寬度大約是120MeV/c2。那么為什么靜止能量（mc2）有時大于1232，而有時又小于1232呢？難道是這個實驗有誤差？其實不是，因為：而sec。因此的離散大約和不確定原理所允許的值一樣小。

有如此短暫壽命的粒子沒有很好定義的質(zhì)量。

粒子質(zhì)量的測量分布例題3.7粒子在自發(fā)分裂之前大約能夠生存10-23秒?！?.6狄拉克符號表象：量子力學(xué)中態(tài)和可觀測量的具體表示方式稱為表象。

態(tài)的表象二維空間的矢量量子力學(xué)中態(tài)函數(shù)是希爾伯特空間里的矢量，也可以用不同的基來表示它。

§3.6狄拉克符號表象：量子力學(xué)中態(tài)和可觀測量的具體表示方坐標(biāo)表象動量表象能量表象坐標(biāo)表象動量表象能量表象bm與an分量之間的關(guān)系由算符矩陣元表示bm與an分量之間的關(guān)系由算符矩陣元表示量子力學(xué)課件3章-形式理論量子力學(xué)課件3章-形式理論

狄拉克符號

狄拉克建議把內(nèi)積的括號記號劈為兩個部分，分別稱之為左矢和右矢。

右矢是一個矢量。左矢是什么？當(dāng)它從左邊和右邊一個矢量結(jié)合在一起時，生成一個（復(fù)）—內(nèi)積，在這個意義上，它是矢量的一個線性泛函。

在一個函數(shù)空間里，右矢是個函數(shù)，左矢是一個對積分的指