初中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽教程（初稿）200458初中數(shù)學(xué)競賽大綱（修訂稿）數(shù)學(xué)競賽對于開發(fā)學(xué)生智力，開拓視野，促進(jìn)教學(xué)改革，提高教學(xué)水平，發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才都有著積極的作用。目前我國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽日趨規(guī)范化和正規(guī)化，為了使全國數(shù)學(xué)競賽活動健康、持久地開展，應(yīng)廣大中學(xué)師生和各級數(shù)學(xué)奧林匹克教練員的要求，特制定《初中數(shù)學(xué)競賽大綱（修訂稿）》以適應(yīng)當(dāng)前形勢的需要。本大綱是在國家教委制定的九年義務(wù)教育制“初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”精神的基要使學(xué)生逐步學(xué)會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考和自學(xué)的能力”?！督虒W(xué)大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競賽的要求。除教學(xué)大的實際情況，分階段、分層次讓學(xué)生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精”的原則，處理好普及與提高的關(guān)系，這樣才能加強(qiáng)基礎(chǔ)，不斷提高。1、實數(shù)十進(jìn)制整數(shù)及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等數(shù)整除的判定。素數(shù)和合數(shù)，最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)，奇偶性分析。帶余除法和利用余數(shù)分類。完全平方數(shù)。因數(shù)分解的表示法，約數(shù)個數(shù)的計算。有理數(shù)的表示法，有理數(shù)四則運(yùn)算的封閉性。2、代數(shù)式綜合除法、余式定理。拆項、添項、配方、待定系數(shù)法。部分分式。對稱式和輪換對稱式。3、恒等式與恒等變形恒等式，恒等變形。整式、分式、根式的恒等變形。恒等式的證明。4、方程和不等式含字母系數(shù)的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。含絕對值的一元一次、二次方程的解法。含字母系數(shù)的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。含絕對值的一元一次不等式。簡單的一次不定方程。列方程（組）5、函數(shù)y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)。二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值。簡單分式函數(shù)的最值，含字母系數(shù)的二次函數(shù)。6、邏輯推理問題抽屜原則（概念），簡單的組合問題。簡單的極端原理。簡單的枚舉法。7、幾何四種命題及其關(guān)系。三角形的不等關(guān)系。同一個三角形中的邊角不等關(guān)系，不同三角形中的邊角不等關(guān)系。面積及等積變換。三角形的心（內(nèi)心、外心、垂心、重心）及其性質(zhì)。第一講整數(shù)問題：特殊的自然數(shù)之一A1－001求一個四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字及后兩位數(shù)字分別相同，而該數(shù)本身等于一個整數(shù)的平方．【題說】1956年～1957年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克一試題1．x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）0＜a≤9，0≤b≤9．x11x112100a＋b＝99a＋（a＋b）11a＋b11b≤18，a＋b＝11．x＝112（9a＋1），9a＋1a＝1，2，…，9a＝7，9a＋17744＝882．A1－002n，d2n2：n2＋d【題說】1953年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克題2．2n2＝kd，kn2＋dxk2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）k2x2n21）2k2＋2kA1－003試證四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1的算術(shù)平方根仍為自然數(shù)．【題說】1962年上海市賽高三決賽題1．【證】四個連續(xù)自然數(shù)的乘積可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1因此，四個連續(xù)自然數(shù)乘積加上1，是一完全平方數(shù)，故知本題結(jié)論成立．A1－004已知各項均為正整數(shù)的算術(shù)級數(shù)，其中一項是完全平方數(shù)，證明：此級數(shù)一定含有無窮多個完全平方數(shù)．【題說】1963年全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十年級題2．算術(shù)級數(shù)有無窮多項．【證】設(shè)此算術(shù)級數(shù)公差是d，且其中一項a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2對于任何k∈N，都是該算術(shù)級數(shù)中的項，且又是完全平方數(shù)．A1－005求一個最大的完全平方數(shù)，在劃掉它的最后兩位數(shù)后，仍得到一個完全平方數(shù)（假定劃掉的兩個數(shù)字中的一個非零）．【題說】1964年全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十一年級題1．【解】設(shè)n2n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是10a，即n≥10a＋1．因此b＝n2100a2≥20a＋1由此得 20a＋1＜100，所以a≤4．a(chǎn)＝4，n＝41n＞41n2－402≥422－402＞100412＝1681．A1－006p，4p2＋16p2＋1【題說】1964年～1965年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克二試題1．p≡±1（mod5）時，5|4p2＋1．p≡±2（mod5）時，5|6p2＋1．p＝5．A1－007aa【題說】第十一屆（1969年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題1，本題由原民主德國提供．m＞1n，n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2＝（n－m）2＋m2≥m2＞1故n4＋4m4不是素數(shù)．取a＝4·24，4·34，…就得到無限多個符合要求的a．第二講整數(shù)問題：特殊的自然數(shù)之二A1－00817加．證明：得到的和中至少有一個數(shù)字是偶數(shù)．【題說】第四屆（1970年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級題4．【證】假設(shè)和的數(shù)字都是奇數(shù)．在加法算式d＋ab＋c≤9．a(chǎn)、bc、d盾！因此，和的數(shù)字中必有偶數(shù)．A1－009pp＋236p＋1【題說】第五屆（1973年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題3．p2p＋1p、p＋1、p＋23，p、p＋2336p＋1A1－010證明：三個不同素數(shù)的立方根不可能是一個等差數(shù)列中的三項（不一定是連續(xù)的）．【題說】美國第二屆（1973年）數(shù)學(xué)奧林匹克題5．【證】設(shè)p、q、r是不同素數(shù)．假如有自然數(shù)l、m、n和實數(shù)a、d，消去a，d，得化簡得（m－n）3p＝（l－n）3q＋（m－l）3r＋3（l－n）（m原命題成立．A1－011n2Vn1＋knk＝1