中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第二十二講梯形【基礎(chǔ)知識回顧】梯形的定義、分類、和面積：1、定義：一組對邊平行，而另一組對邊的四邊形，叫做梯形。其中，平行的兩邊叫做兩底間的距離叫做梯形的直角梯形：一腰與底的梯形叫做直角梯形一般梯形等腰梯形：兩腰直角梯形：一腰與底的梯形叫做直角梯形一般梯形等腰梯形：兩腰的梯形叫做等腰梯形特殊梯形2、分類：梯形3、梯形的面積：梯形=（上底+下底）X高【趙老師提醒：要判定一個四邊形是梯形，除了要注明它有一組對邊外，還需注明另一組對邊不平行或的這組對邊不相等】二、等腰梯形的性質(zhì)和判定：1、性質(zhì)：⑴等腰梯形的兩腰相等，相等⑵等腰梯形的對角線⑶等腰梯形是對稱圖形2、判定：⑴用定義：先證明四邊形是梯形，再證明其兩腰相等⑵同一底上兩個角的梯形是等腰梯形⑶對角線的梯形是等腰梯形【趙老師提醒：1、梯形的性質(zhì)和判定中同一底上的兩個角相等“不被成”兩底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必須先證它是梯形3、解決梯形問題的基本思路是通過做輔助線將梯形轉(zhuǎn)化為形式常見的輔助線作法有要注意根據(jù)題目的特點靈活選用輔助線】【重點考點例析】考點一：梯形的基本概念和性質(zhì)例1（2012?內(nèi)江）如圖，四邊形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，則S梯形ABCD=．思路分析：過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，過點B作BF⊥DC于點F，判斷出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，繼而利用梯形的面積公式即可求解．解答：解：過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，過點B作BF⊥DC于點F，

則AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，

又∵BD=AC且BD⊥AC，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴BF=DE=3，

故可得梯形ABCD的面積為（AB+CD）×BF=9．

故答案為：9．點評：此題考查了梯形的知識，平移一條對角線是經(jīng)常用到的一種輔助線的作法，同學(xué)們要注意掌握，解答本題也要熟練等腰直角三角形的性質(zhì)，難度一般．對應(yīng)訓(xùn)練1.（2012?無錫）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分線交BC于E，連接DE，則四邊形ABED的周長等于（）A．17 B．18 C．19 D．201．考點：梯形；線段垂直平分線的性質(zhì)．分析：由CD的垂直平分線交BC于E，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得DE=CE，即可得四邊形ABED的周長為AB+BC+AD，繼而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分線交BC于E，

∴DE=CE，

∵AD=3，AB=5，BC=9，

∴四邊形ABED的周長為：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．

故選A．點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．考點二：等腰梯形的性質(zhì)例2（2012?呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，則梯形的面積是（）A．25 B．50 C．25 D．思路分析：過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，作DF⊥BC于F，證平行四邊形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出BF=DF=EF=BE，求出DF，根據(jù)梯形的面積公式求出即可．解答：解：過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，

∵AD∥BC（已知），

即AD∥CE，

∴四邊形ACED是平行四邊形，

∴AD=CE=3，AC=DE，

在等腰梯形ABCD中，AC=DB，

∴DB=DE（等量代換），

∵AC⊥BD，AC∥DE，

∴DB⊥DE，

∴△BDE是等腰直角三角形，

作DF⊥BC于F，

則DF=BE=5，

S梯形ABCD=（AD+BC）?DF=（3+7）×5=25，

故選A．點評：本題主要考查對等腰三角形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形等知識點的理解和掌握，能求出高DF的長是解此題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練2．（2012?廈門）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，若OB=3，則OC=．2．3考點：等腰梯形的性質(zhì)．分析：先根據(jù)梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的對應(yīng)角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角對等邊即可得出OB=OC=3．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，

在△ABC與△DCB中，

∵,

∴△ABC≌△DCB，

∴∠DBC=∠ACB，

∴OB=OC=3．

故答案為：3．點評：本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知在三角形中，等角對等邊是解答此題的關(guān)鍵．考點三：等腰梯形的判定例3（2012?襄陽）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點F．

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）當(dāng)AB與AC具有什么位置關(guān)系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積．考點：等腰梯形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)．分析：（1）由AD∥BC，由平行線的性質(zhì)，可證得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠EAD=∠EDA，則可得∠DEC=∠AEB，繼而證得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；

（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易證得四邊形AECD是菱形；過A作AG⊥BE于點G，易得△ABE是等邊三角形，即可求得答案AG的長，繼而求得菱形AECD的面積．解答：（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，

又∵EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA，

∴∠DEC=∠AEB，

又∵EB=EC，

∴△DEC≌△AEB，

∴AB=CD，

∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）當(dāng)AB⊥AC時，四邊形AECD是菱形．

證明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，

∴四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形．

∴AB=ED，

∵AB⊥AC，

∴AE=BE=EC，

∴四邊形AECD是菱形．

過A作AG⊥BE于點G，

∵AE=BE=AB=2，

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠AEB=60°，

∴AG=，

∴S菱形AECD=EC?AG=2×=2。點評：此題考查了等腰梯形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．對應(yīng)訓(xùn)練4．（2011?百色）已知矩形ABCD的對角線相交于點O，M、N分別是OD、OC上異于O、C、D的點．

（1）請你在下列條件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位線，④MN∥AB中任選一個添加條件（或添加一個你認為更滿意的其他條件），使四邊形ABNM為等腰梯形，你添加的條件是．

（2）添加條件后，請證明四邊形ABNM是等腰梯形．考點：等腰梯形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；平行線分線段成比例．分析：（1）從4個條件中任選一個即可，可以添加的條件為①．

（2）先根據(jù)SAS證明△AMD≌△BCN，所以可得AM=BN，有矩形的對角線相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，從而知，根據(jù)平行線分線段成比例，所以MN∥CD∥AB，且MN≠AB，即四邊形ABNM是等腰梯形．解答：解：（1）可以選擇①DM=CN；

（2）證明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN

∴△AMD≌△BCN，

∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，

∴，

∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB

∴四邊形ABNM是等腰梯形．點評：本題主要考查了等腰梯形的判定，難度中等，注意靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和平行線分線段成比例的關(guān)系．考點四：梯形的綜合應(yīng)用例4（2012?黑龍江）如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，點E、F分別是AB、BC邊的中點，連接AF、CE交于點M，連接BM并延長交CD于點N，連接DE交AF于點P，則結(jié)論：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE=：3；⑤S△EPM=S梯形ABCD，正確的個數(shù)有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個考點：直角梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；三角形中位線定理．專題：幾何綜合題．分析：連接DF，AC，EF，如圖所示，由E、F分別為AB、BC的中點，且AB=BC，得到EB=FB，再由一對公共角相等，利用SAS可得出△ABF與△CBE全等，由確定三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等，再由AE=FC，對頂角相等，利用AAS可得出△AME與△CMF全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到△BEM與△BFM全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得出∠ABN=∠CBN，選項①正確；由AD=AE，梯形為直角梯形，得到∠EAD為直角，可得出△AED為等腰直角三角形，可得出∠AED為45°，由∠ABC為直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN為45°，根據(jù)同位角相等可得出DE平行于BN，選項②正確；由AD=AE=AB=BC，且CF=BC，得到AD=FC，又AD與FC平行，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ADCF為平行四邊形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代換可得出DC=EC，即△DCE為等腰三角形，選項③正確；由EF為△ABC的中位線，利用三角形中位線定理得到EF平行于AC，由兩直線平行得到兩對內(nèi)錯角相等，根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△EFM與△ACM相似，且相似比為1：2，可得出EM：MC=1：2，設(shè)EM=x，則有MC=2x，用EM+MC表示出EC，設(shè)EB=y，根據(jù)BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，兩者相等得到x與y的比值，即為EM與BE的比值，即可判斷選項④正確與否；由E為AB的中點，利用等底同高得到△AME的面積與△BME的面積相等，由△BME與△BFM全等，得到面積相等，可得出三個三角形的面積相等都為△ABF面積的，由E為AB的中點，且EP平行于BM，得到P為AM的中點，可得出△AEP的面積等于△PEM的面積，得到△PEM的面積為△ABF面積的，由ABFD為矩形得到△ABF與△ADF全等，面積相等，由△ADF與△CFD全等得到面積相等，可得出三個三角形面積相等都為梯形面積的，綜上得到△PEM的面積為梯形面積的，可得出選項⑤錯誤，綜上，得到正確的個數(shù)．解答：解：連接DF，AC，EF，如圖所示：

∵E、F分別為AB、BC的中點，且AB=BC，

∴AE=EB=BF=FC，

在△ABF和△CBE中，，

∴△ABF≌△CBE（SAS），

∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，

在△AME和△CMF中，，

∴△AME≌△CMF（AAS），

∴EM=FM，

在△BEM和△BFM中，，

∴∠ABN=∠CBN，選項①正確；

∵AE=AD，∠EAD=90°，

∴△AED為等腰直角三角形，

∴∠AED=45°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABN=∠CBN=45°，

∴∠AED=∠ABN=45°，

∴ED∥BN，選項②正確；

∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，

∴AD=FC，又AD∥FC，

∴四邊形AFCD為平行四邊形，

∴AF=DC，又AF=CE，

∴DC=EC，

則△CED為等腰三角形，選項③正確；

∵EF為△ABC的中位線，

∴EF∥AC，且EF=AC，

∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，

∴△EFM∽△CAM，

∴EM：MC=EF：AC=1：2，

設(shè)EM=x，則有MC=2x，EC=EM+MC=3x，

設(shè)EB=y，則有BC=2y，

在Rt△EBC中，根據(jù)勾股定理得：EC==y，

∴3x=y，即x：y=：3，

∴EM：BE=：3，選項④正確；

∵E為AB的中點，EP∥BM，

∴P為AM的中點，

∴S△AEP=S△EPM=S△AEM，

又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，

∴S△AEM=S△BEM=S△BFM=S△ABF，

∵四邊形ABFD為矩形，

∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，

∴S△ABF=S△ADF=S△DFC=S梯形ABCD，

∴S△EPM=S梯形ABCD，選項⑤錯誤．

則正確的個數(shù)有4個．

故選B點評：此題考查了直角梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，熟練掌握性質(zhì)與定理是解本題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練4．（2012?麗水）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF=120°．

（1）當(dāng)點E是AB的中點時，線段DF的長度是；

（2）若射線EF經(jīng)過點C，則AE的長是．4．考點：直角梯形；勾股定理；解直角三角形．專題：探究型．分析：（1）過E點作EG⊥DF，由E是AB的中點，得出DG=3，再根據(jù)∠DEG=60°得出∠DEF=120°，由tan60°=即可求出GF的長，進而得出結(jié)論；

（2）過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CF⊥AB于F，則BH=AD=，再由銳角三角函數(shù)的定義求出CH及BC的長，設(shè)AE=x，則BE=6-x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的長，再判斷出△EDF∽△BCE，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．解答：解：（1）如圖1，過E點作EG⊥DF，

∵E是AB的中點，

∴DG=3，

∴EG=AD=，

∴∠DEG=60°，

∵∠DEF=120°，

∴tan60°=，

解得GF=3，

∴DF=6；

（2）如圖2所示：

過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CF⊥AB于F，則BH=AD=，

∵∠ABC=120°，AB∥CD，

∴∠BCH=60°，

∴CH===1，BC===2，

設(shè)AE=x，則BE=6-x，

在Rt△ADE中，DE==，

在Rt△EFM中，EF==，

∵AB∥CD，

∴∠EFD=∠BEC，

∵∠DEF=∠B=120°，

∴△EDF∽△BCE，

∴，即，

解得x=2或5．

故答案為：2或5．點評：本題考查了解直角梯形及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解．【聚焦山東中考】1．（2012?煙臺）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，等腰梯形ABCD的下底在x軸上，且B點坐標(biāo)為（4，0），D點坐標(biāo)為（0，3），則AC長為（）A．4 B．5 C．6 D．不能確定考點：等腰梯形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：根據(jù)題意可得OB=4，OD=3，從而利用勾股定理可求出BD，再有等腰梯形的對角線相等的性質(zhì)可得出AC的值．解答：解：如圖，連接BD，

由題意得，OB=4，OD=3，

故可得BD=5，

又ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD=5．

故選B．點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰梯形對角線相等的性質(zhì)，難度一般．2．（2012?臨沂）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD考點：等腰梯形的性質(zhì)．分析：由四邊形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的兩條對角線相等，即可得AC=BD；易證得△ABC≌△DCB，即可得OB=OC；由∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，即可得∠ABD=∠ACD．注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．解答：解：A、∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD，

故本選項正確；

B、∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，

在△ABC和△DCB中，

∵，

∴△ABC≌△DCB（SAS），

∴∠ACB=∠DBC，

∴OB=OC，

故本選項正確；

C、∵無法判定BC=BD，

∴∠BCD與∠BDC不一定相等，

故本選項錯誤；

D、∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，

∴∠ABD=∠ACD．

故本選項正確．

故選C．點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【備考真題過關(guān)】一、選擇題1．（2012?十堰）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點M是AD的中點，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，則梯形ABCD的周長為（）A．22 B．24 C．26 D．281．考點：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：先判斷△AMB≌△DMC，從而得出AB=DC，然后代入數(shù)據(jù)即可求出梯形ABCD的周長．解答：解：∵AD∥BC，

∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，

又∵MC=MB，

∴∠MBC=∠MCB，

∴∠AMB=∠DMC，

在△AMB和△DMC中，

∵，

∴可得△AMB≌△DMC，

∴AB=DC，

四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=24．

故選B．點評：此題考查了梯形、全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是判斷△AMB≌△DMC，得出AB=DC，難度一般．2．（2012?漳州）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80°，則∠D的度數(shù)是（）A．120° B．110° C．100° D．80°2．考點：等腰梯形的性質(zhì)．專題：探究型．分析：先根據(jù)AB∥CD求出∠A的度數(shù)，再由等腰梯形的性質(zhì)求出∠D的度數(shù)即可．解答：解：∵AD∥BC，∠B=80°

∴∠A=180°-∠B=180°-80°=100°，

∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴∠D=∠A=100°．

故選C．點評：本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)，即等腰梯形同一底上的兩個角相等．3.（2012?樂山）下列命題是假命題的是（）A．平行四邊形的對邊相等B．四條邊都相等的四邊形是菱形C．矩形的兩條對角線互相垂直D．等腰梯形的兩條對角線相等考點：等腰梯形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的性質(zhì)；命題與定理．分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及菱形的判定方法做出判斷即可．解答：解：A、平行四邊形的兩組對邊平行，正確，是真命題；

B、四條邊都相等的四邊形是菱形，正確，是真命題；

C、矩形的對角線相等但不一定垂直，錯誤，是假命題；

D、等腰梯形的兩條對角線相等，正確，是真命題；

故選C．點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及菱形的判定方法，屬于基本定義，必須掌握．4．（2012?廣州）如圖，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于點E，且EC=3，則梯形ABCD的周長是（）A．26 B．25 C．21 D．20考點：等腰梯形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．分析：由BC∥AD，DE∥AB，即可得四邊形ABED是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，即可求得BE的長，繼而求得BC的長，由等腰梯形ABCD，可求得AB的長，繼而求得梯形ABCD的周長．解答：解：∵BC∥AD，DE∥AB，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴BE=AD=5，

∵EC=3，

∴BC=BE+EC=8，

∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴AB=DC=4，

∴梯形ABCD的周長為：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21．

故選C．點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)與平行四邊形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，注意判定出四邊形ABED是平行四邊形是解此題的關(guān)鍵，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題5．（2012?南通）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，則CD=cm．5．2考點：梯形；勾股定理．分析：作DE∥BC于E點，得到四邊形CDEB是平行四邊形，根據(jù)∠A+∠B=90°，得到三角形ADE是直角三角形，利用勾股定理求得AE的長后即可求得線段CD的長．解答：解：作DE∥BC于E點，

則∠DEA=∠B

∵∠A+∠B=90°

∴∠A+∠DEA=90°

∴ED⊥AD

∵BC=3cm，AD=4cm，

∴EA=5

∴CD=BE=AB-AE=7-5=2cm，

故答案為2．點評：本題考查了梯形的性質(zhì)及勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．6．（2012?丹東）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，則梯形上下底之和為．6．13考點：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．分析：由在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點，易證得△ADE≌△FCE，即可得EF=AE=6，CF=AD，又由AB⊥AE，AB=5，AE=6，由勾股定理即可求得BF的長，繼而可求得梯形上下底之和．解答：解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，

∴∠F=∠DAE，∠ECF=∠D，

∵E是CD的中點，

∴DE=CE，

在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（AAS），

∴CF=AD，EF=AE=6，

∴AF=AE+EF=12，

∵AB⊥AE，

∴∠BAF=90°，

∵AB=5，

∴BF==13，

∴AD+BC=BC+CF=BF=13．

故答案為：13．點評：此題考查了梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．7．（2012?欽州）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=8，則等腰梯形ABCD的周長為．7．40考點：等腰梯形的性質(zhì)．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)判斷出AD=DC，在RT△ABC中解出AB，繼而可求出等腰梯形ABCD的周長．解答：解：∵∠B=60°，DC∥AB，AC⊥BC，

∴∠CAB=30°=∠ACD，∠DAC=30°，

∴AD=DC=BC=8，

在RT△ABC中，AB==16，

故可得等腰梯形ABCD的周長=AD+DC+BC+AB=40．

故答案為：40．點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵在于判斷出AD=DC，難度一般．8．（2012?長沙）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，則BC的長為．8．4考點：等腰梯形的性質(zhì)．分析：首先作輔助線：過點A作AE∥CD交BC于點E，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，易得四邊形AECD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，即可得AE=CD=2，AD=EC=2，易得△ABE是等邊三角形，即可求得BC的長．解答：解：過點A作AE∥CD交BC于點E，

∵AD∥BC，

∴四邊形AECD是平行四邊形，

∴AE=CD=2，AD=EC=2，

∵∠B=60°，

∴BE=AB=AE=2，

∴BC=BE+CE=2+2=4．點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意平移梯形的一腰是梯形題目中常見的輔助線．9．（2012?巴中）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AC，點E是BC的中點且DE∥AB，則∠BCD的度數(shù)是．9．60°考點：等腰梯形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定與性質(zhì)．分析：首先根據(jù)BD⊥AC，點E是BC的中點可知DE=BE=EC=BC，又知DE∥AB，AD∥BC，可知四邊形ABED是菱形，于是可得到AB=DE，再根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，進而得到DC=BC，然后可求出∠DBC=30°，最后求出∠BCD=60°．解答：解：∵BD⊥AC，點E是BC的中點，

∴DE是直角三角形BDC的中線，

∴DE=BE=EC=∵DE∥AB，AD∥BC，

∴四邊形ABED是菱形，

∴AB=DE，

∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴AB=CD，

∴DC=BC，

又∵三角形BDC是直角三角形，

∴∠DBC=30°，

∴∠BCD=60°．

故答案為60．點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形中，30°的角對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半，此題難度一般．10．（2012?黃岡）

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，則下底BC的長為．10．9考點：等腰梯形的性質(zhì)．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：分別過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，分別利用解直角三角形的知識得出BE、CF的長，繼而可得出答案．解答：解：過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，

∵AB=5，∠B=60°，

∴BE=；

同理可得CF=，

故BC的長=BE+EF+FC=5+AD=9．

故答案為：9．點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出BE及CF的長度，要求我們熟練記憶等腰梯形的幾個性質(zhì)．三、解答題11．（2012?鹽城）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E為BC上一點，∠BDE=∠DBC．

（1）求證：DE=EC；

（2）若AD=BC，試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由．11．考點：梯形；直角三角形的性質(zhì)；菱形的判定．分析：（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角對等邊，即可證得DE=EC；

（2）易證得AD=BE，AD∥BC，即可得四邊形ABED是平行四邊形，又由BE=DE，即可得四邊形ABED是菱形．解答：（1）證明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，

∴∠EDC=∠BDC-∠BDE=90°-∠BDE，∠C=90°-∠DBC，

∴∠EDC=∠C，

∴DE=EC；

（2）若AD=BC，則四邊形ABED是菱形．

證明：∵∠BDE=∠DBC．

∴BE=DE，

∵DE=EC，

∴BE=EC=BC，

∴AD=BE，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴?ABED是菱形．點評：此題考查了梯形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定．此題綜合性較強，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．（2012?蘇州）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延長線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC．

（1）求證：△ABE≌△CDA；

（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度數(shù)．考點：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）先根據(jù)題意得出∠ABE=∠CDA，然后結(jié)合題意條件利用SAS可判斷三角形的全等；

（2）根據(jù)題意可分別求出∠AEC及∠ACE的度數(shù)，在△AEC中利用三角形的內(nèi)角和定理即可得出答案．解答：（1）證明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，

∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，

∴∠ABE=∠CDA

在△ABE和△CDA中，，

∴△ABE≌△CDA．

（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC，

∴∠AEB=∠ACE，

∵∠DAC=40°，

∴∠AEB=∠ACE=40°，

∴∠EAC=180°-40°-40°=100°．點評：此題考查了梯形、全等三角形的判定及性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)梯形及題意條件得出一些線段之間的關(guān)系，注意所學(xué)知識的融會貫通．13．（2012?永州）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求證：四邊形AEFG為平行四邊形．考點：等腰梯形的性質(zhì)；平行四邊形的判定．專題：證明題．分析：由等腰梯形的性質(zhì)可得出∠B=∠C，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE=GF即可得出結(jié)論．解答：證明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，

∴∠B=∠C，

∵GF=GC，

∴∠GFC=∠C，

∴∠GFC=∠B，

∴AB∥GF，

又∵AE=GF，

∴四邊形AEFG是平行四邊形．點評：本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)及平行四邊形的判定定理，根據(jù)題意得出AB∥GF是解答此題的關(guān)鍵．14．（2012?南京）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．

（1）求證：四邊形EFGH是正方形；

（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積．考點：等腰梯形的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；正方形的判定；梯形中位線定理．專題：幾何綜合題．分析：（1）先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由AC⊥BD入手，進行正方形的判斷．

（2）連接EG，利用梯形的中位線定理求出EG的長，然后結(jié)合（1）的結(jié)論求出EH2=，也即得出了正方形EHGF的面積．解答：證明：（1）在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點，

故可得：EF=AC，同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，

在梯形ABCD中，AB=DC，

故AC=BD，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四邊形EFGH是菱形．

設(shè)AC與EH交于點M，

在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點，

則EH∥BD，

同理GH∥AC，

又∵AC⊥BD，

∴∠BOC=90°，

∴∠EHG=∠EMC=90°，

∴四邊形EFGH是正方形．

（2）連接EG．在梯形ABCD中，

∵E、F分別是AB、DC的中點，

∴EG=（AD+BC）=3．

在Rt△EHG中，

∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，

∴EH2=，即四邊形EFGH的面積為．點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)及三角形、梯形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出EH=HG=GF=FE，這是本題的突破口．15．（2012?懷化）如圖，在等腰梯形ABCD中，E為底BC的中點，連接AE，DE．求證：AE=DE．考點：等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定