“4道”保分題專(zhuān)練卷(一)1．已知△ABC為銳角三角形，向量m＝(3cos2A，sinA)，n＝(1，－sinA)，且m⊥n.(1)求A的大??；(2)當(dāng)AB＝pm，AC＝qn(p>0，q>0)，且滿(mǎn)足p＋q＝6時(shí)，求△ABC面積的最大值．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0.∴3cos2A－1＋cos2A＝0，1∴cosA＝4.又∵△ABC為銳角三角形，∴cosA＝1，2π∴A＝3.333(2)由(1)可得m＝4，2，n＝1，－2.217∴|AB|＝4p，|AC|＝2q.121∴S△ABC＝2|AB||·AC|sin·A＝32pq.又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，p＋qp·q≤2，即p·q≤3.∴p·q≤9.189故△ABC的面積的最大值為32×9＝32.2．某工廠有120名工人，且年齡都在20歲到60歲之間，各年齡段人數(shù)按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]分組，其頻率分布直方圖以下列圖．工廠為了開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，引進(jìn)了新的生產(chǎn)設(shè)備，要求每名工人都要參加A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行結(jié)業(yè)考試．已知各年齡段兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)以下表所示．假設(shè)兩項(xiàng)培訓(xùn)是相互獨(dú)立的，結(jié)業(yè)考試也互不影響．年齡分組

A項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)

B項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)[20,30)

30

18[30,40)

36

24[40,50)

12

9[50,60]

4

3(1)若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個(gè)容量為

40的樣本，求各年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)；(2)隨機(jī)從年齡段

[20,30)和[30,40)內(nèi)各抽取

1人，設(shè)這兩人中

A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)希望．解：(1)由頻率分布直方圖知，在年齡段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]內(nèi)的人數(shù)的頻率分別為0.35,0.4,0.15,0.1.∵0.35×40＝14,0.4×40＝16,0.15×40＝6,0.1×40＝4，∴在年齡段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]內(nèi)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為14,16,6,4.(2)∵在年齡段[20,30)內(nèi)的人數(shù)為120×0.35＝42(人)，從該年齡段任取1人，由表知，此人A項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為30＝5；B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為18＝3，427427∴此人A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的概率為5×31577＝49.∵在年齡段[30,40)內(nèi)的人數(shù)為120×0.4＝48(人)，從該年齡段任取1人，由表知，此人A363241項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為48＝4；B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為48＝2，∴此人A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的概率為3134×2＝8.由題設(shè)知，X的可能取值為0,1,2，15385∴P(X＝0)＝1－491－8＝196，15×1－3＋1－15×3177P(X＝1)＝498498＝392，15345P(X＝2)＝49×8＝392，∴X的分布列為X012P8517745196392392的數(shù)學(xué)希望為8517745267E(X)＝0×196＋1×392＋2×392＝392.3．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，若{an}和{Sn}都是等差數(shù)列，且公差相等．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若a1，a2，a5恰為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)，記cn＝1，數(shù)列{cn}的前l(fā)og34bn＋1·log34bn＋2n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn.nn－1d解：(1)設(shè){an}的公差為d，則Sn＝na1＋，2即Sn＝dn2＋a1－dn，22da1－2＝0，由Sn是等差數(shù)列，獲取dSn＝2·n，則d＝

d2且

d＝2a1＞0，1所以d＝2，1a1＝2＝4，112n－1.a424(2)由b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，得等比數(shù)列{bn}的公比q＝3，444所以bn＝1×3n－1，4所以cn＝1＝1＝1－1，log33n·log33n＋1nn＋1nn＋1n＝1－1＋1－1＋＋1－1＝1－1＝nT223n.n＋1n＋1n＋14.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，CD＝λCC1(λ∈R)．1(1)當(dāng)λ＝2時(shí)，求證：AB1⊥平面A1BD;π(2)當(dāng)二面角A-A1D-B的大小為時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值．3解：(1)證明：取

BC

的中點(diǎn)

O，連接

AO.因?yàn)樵谡庵?/p>

ABC-A1B1C1中，平面

ABC⊥平面

CBB

1C1，且△ABC

為正三角形，所以AO⊥BC，AO⊥平面CBB1C1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A(0,0，3)，B1(1,2,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，B(1,0,0)．所以AB1＝(1,2，－3)，DA1＝(1,1，3)，DB＝(2，－1,0)．因?yàn)锳B1·DA1＝1＋2－3＝0，AB1·DB＝2－2＝0，所以AB1⊥DA1，AB1⊥DB，又DA1∩DB＝D，所以AB1⊥平面A1BD.(2)由(1)得D(－1,2λ，0)，所以DA1＝(1,2－2λ，3)，DB＝(2，－2λ，0)，DA＝(1，－2λ，3)．設(shè)平面A11＝(x，y，z)，平面AA12＝(s，t，u)，BD的一個(gè)法向量為nD的一個(gè)法向量為nn1·DA1＝0