第三節(jié)變量的相關(guān)性與一元線性回歸模型

列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)【考試要求】會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2X2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.【高考考情】考點(diǎn)考法：高考命題常以選擇、填空題的形式考查求線性回歸系數(shù)以及利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測，在解答題中單獨(dú)考查或與概率及其分布結(jié)合探究線性回歸方程以及獨(dú)立性檢驗(yàn).核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。 =_、如福瓶理?恩傕丁話/_ o【歸納?知識必備】.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系：兩個變量直差系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).正相關(guān)：當(dāng)一個變量增加時(shí)，另一個變量的相應(yīng)值也呈增加趨勢，稱這兩個變量正相關(guān)；負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個變量增加時(shí)，另一個變量的相應(yīng)值也呈減少趨勢,稱這兩個變量正相關(guān).(3)線性相關(guān)⑴：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近,稱這兩個變量線性相關(guān).，注解1相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同，函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系..樣本相關(guān)系數(shù)樣本相關(guān)系數(shù):樣本相關(guān)系數(shù):當(dāng)玲0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)r<0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).當(dāng)舊越接近1時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)舊越接近0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱..一元線性回歸模型⑵（D我們將y=bx+￡稱為v關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中n z〈Xi-x）（y—y）務(wù)= ,<"—E（必—x）2J-l（2）殘差：觀測值減去預(yù)測值,稱為殘差.,注解2求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b,5叫做6,a的最小二乘估計(jì)，在回歸直線方程中，b既表示直線的斜率，又表示自變量x的取值每增加一個單位時(shí)，函數(shù)y的改變量..回歸分析（1）定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.（2）樣本點(diǎn)的中心：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（布，必），（及，④…（題，乂），其中（7,~）稱為樣本點(diǎn)的中心.工儀”）？ n（3）用尸比較兩個模型擬合效果：#=1 -,其中Z&i—yj2是殘差平方和，S（Yi-y）2 i=1i=l〃越大，殘差平方和越小,模型的擬合效果越好.#越小，殘差平方和越大,模型的擬合效果越差..列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表：計(jì)算隨機(jī)變量犬的取值推斷分類變量計(jì)算隨機(jī)變量犬的取值推斷分類變量I和Y是否獨(dú)立的方法稱為犬獨(dú)立性檢驗(yàn).（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)⑶基于小概率值。的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)Y24時(shí)，推斷"不成立，即認(rèn)為I和卜不獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不超過。；當(dāng)/〈工,時(shí)，沒有充分證據(jù)推斷以不成立，可以認(rèn)為才和F獨(dú)立.利用小的取值推斷分類變量1和Y是否獨(dú)立的方法稱為爐獨(dú)立性檢驗(yàn)，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn).＞注解3獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個分類變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷，尸越大，認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)系的把握越大.智學(xué)?變式探源1.選擇性必修三Pl20Tl2.選擇性必修三P132例41.（改變選項(xiàng)）如果發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)圖中所有的樣本點(diǎn)都落在一條斜率為非0實(shí)數(shù)的直線上，則下列說法錯誤的是（）A.解釋變量和預(yù)報(bào)變量是一次函數(shù)關(guān)系B.相關(guān)指數(shù)#=1C.相關(guān)系數(shù)「=1D.殘差平方和為0【解析】選C.因?yàn)闃颖军c(diǎn)都落在直線上，所以相關(guān)系數(shù)舊=1,若直線的斜率為正，則r=l,若斜率為負(fù)，則r=-l,故C選項(xiàng)說法錯誤；直線對應(yīng)的函數(shù)為一次函數(shù)，故解釋變量和預(yù)報(bào)變量是一次函數(shù)關(guān)系，故A選項(xiàng)說法正確；相關(guān)指數(shù)和殘差平方和都能反映模型的擬合程度，故相關(guān)指數(shù)#=1,殘差平方和為0,故B,D選項(xiàng)說法正確..（改變問法）在研究吸煙是否對患肺癌有影響的案例中，通過對列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算得到隨機(jī)變量爐256.632.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，下面說法正確的是A.由于隨機(jī)變量/>10.828=檢刈，所以“吸煙與患肺癌有關(guān)系”，并且這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001B.由于隨機(jī)變量爐>10.828,所以“吸煙與患肺癌有關(guān)系”，并且這個結(jié)論犯錯誤的概率不低于0.001C.由于隨機(jī)變量/>10.828,所以“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，并且這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001D.由于隨機(jī)變量爐>10.828,所以“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，并且這個結(jié)論犯錯誤的概率不低于0.001【解析】選A.由題意知，通過對列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算得到隨機(jī)變量/-56.632>10.828=Ao.001,所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.慧考?四基自測3.基礎(chǔ)知識4.基本方法5.基本應(yīng)用6.基本能力.（兩個分類變量相關(guān)性的判定）為了判定兩個分類變量I和V是否有關(guān)系，應(yīng)用/獨(dú)立性檢驗(yàn)法算得/的觀測值為5,又已知〃（/，3.841）=0.05,夕（爐26.635）=0.01,則下列說法正確的是（）A.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”B.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“才和Y沒有關(guān)系”C.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“X和卜有關(guān)系”D.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“X和Y沒有關(guān)系”【解析】選C.因?yàn)?2=5,根據(jù)臨界值表知/（爐23.841）=0.05,夕（/26.635）=0.01,故有95%以上的把握認(rèn)為“才和Y有關(guān)系”.4.（回歸方程的性質(zhì)）（多選題）在統(tǒng)計(jì)中，由一組樣本數(shù)據(jù)（①，必），（如㈤，…，（%，K）利用最小二乘法得到兩個變量的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=以+心，那么下列說法正確的是（）A.樣本相關(guān)系數(shù)r不可能等于1B.經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+a,必經(jīng)過點(diǎn)（x,y）c.經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+￡,表示最接近y與x之間真實(shí)關(guān)系的一條直線D.樣本相關(guān)系數(shù)為八且|r|越接近1,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近0,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱【解析】選BCD.樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍是|r|<1,故A錯；經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+￡必過樣本點(diǎn)中心即點(diǎn)（二，7）,故B正確；經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+&,是采用最小二乘法求解出的直線方程，接近真實(shí)關(guān)系，故C正確；樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1,表示成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，越接近0,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱，故D正確.5.（回歸直線過中心點(diǎn)）已知x,y的取值如表，結(jié)合散點(diǎn)圖可以看出y與x具有線性相關(guān)關(guān)程，得a=2.6.答案：2.66.（回歸直線的預(yù)測）某公司一種型號的產(chǎn)品近期銷售情況如表月份X23456銷售額y（萬元）15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得到回歸直線方程y=0.75x+&，據(jù)此估計(jì)，該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額為（）A.19.5萬元 B.19.25萬元C.19.15萬元D.19.05萬元【解析】選D.由題意可得：7=2+3+；+5+6=%— 15.1+16.3+17.0+17.2+18.4y= ; =16.8,o回歸方程過樣本中心點(diǎn)，則16.8=0.75X4+a,所以a=13.8.回歸方程為：y=0.75^+13.8,

估計(jì)該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額為:y=0.75X7+13.8=19.05（萬元）.。 、?點(diǎn)小允?修出?考點(diǎn)一成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性自主練透1.（2021?大同模擬）觀察下列各圖形,①②①②③④其中兩個變量x,y具有相關(guān)關(guān)系的圖是（）A.①②B.①④C.③④D.②③【解析】選C.由散點(diǎn)圖知③中的點(diǎn)都分布在一條直線附近.④中的點(diǎn)都分布在一條曲線附近,所以③④中的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系.恩格爾系數(shù)2.恩格爾系數(shù)（Engel'sCoefficient）是食品支出總額占個人消費(fèi)支出總額的比重.居民可支配收入是居民可用于最終消費(fèi)支出和儲蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入.如圖為我國2013年至2019年全國恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖.恩格爾系數(shù)31.50%31.00%30.50%30.00%29.50%29.00%28.50%28.00%o ，八.、、留石著耕耕p耕耕下居民人均可支配收入350居民人均可支配收入3500030000250002000015000100005000給出三個結(jié)論：①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系;②一個國家的恩格爾系數(shù)越小，說明這個國家越富裕；③一個家庭收入越少，則家庭收入中用來購買食品的支出所占的比重就越小.其中正確的是()A.① B.②C.①② D.②③【解析】選C.由折線圖可知，恩格爾系數(shù)在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，故兩者之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，結(jié)論①正確；恩格爾系數(shù)越小，居民人均可支配收入越多，經(jīng)濟(jì)越富裕，結(jié)論②正確；家庭收入越少，人們?yōu)榻鉀Q溫飽問題，收入的大部分用來購買食品，結(jié)論③錯誤.3.變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5)；變量〃與，相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,l).r,表示變量？與I之間的線性相關(guān)系數(shù)，目表示變量/與〃之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()A.Z2<rj<0 B.0</2<riC./2<0<ri D.r2=r\【解析】選C.對于變量卜與X而言，Y隨才的增大而增大，故Y與才正相關(guān)，即力>0；對于變量/與〃而言，，隨〃的增大而減小，故/與〃負(fù)相關(guān)，即r2<0.4.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對48兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和加如表：甲乙丙Tr0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)44兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性()A.甲B.乙C.丙D.T【解析】選D.在驗(yàn)證兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,相關(guān)性越強(qiáng)，在四個選項(xiàng)中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關(guān)性越強(qiáng)，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)了46兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性.,規(guī)律方法.判定兩個變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：若點(diǎn)的分布從左下角到右上角，則兩個變量正相關(guān)；若點(diǎn)的分布從左上角到右下角，則兩個變量負(fù)相關(guān)；(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時(shí)，正相關(guān)；Y0時(shí)，負(fù)相關(guān);(3)線性回歸方程中：b>0時(shí)，正相關(guān)；bvo時(shí)，負(fù)相關(guān)..判斷相關(guān)關(guān)系的方法(1)散點(diǎn)圖法：如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.(2)決定系數(shù)法：利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)乃越接近于1,擬合效果相關(guān)性越強(qiáng).提醒：相關(guān)系數(shù)r為判定兩個變量是否線性相關(guān)的指標(biāo)，且絕對值越大，線性相關(guān)性越強(qiáng)，不是r越大相關(guān)性越強(qiáng).教師專用(2021?沈陽模擬)已知相關(guān)變量x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，y7--6,5- -4*3-■???O12345678x若用y—b,?In(Aix)與尸人才+金擬合時(shí)的相關(guān)系數(shù)分別為n，方則比較n，八的大小結(jié)果為()A.r}>r2 B.r}—r2C.r,<Z2 D.不確定【解析】選C.由散點(diǎn)圖可知，y=6Jn(kQ擬合比用尸擬合的程度高，故|不|>Ir2|；又因?yàn)榇岁P(guān)系為負(fù)相關(guān)，所以一h>一及，r,<r2.7考點(diǎn)二一元線性回歸模型|講練互動|[典例1](1)(2021?大慶模擬)已知某種商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，利用下表中的五組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為丫=bx+￡,根據(jù)該回歸方程，預(yù)測當(dāng)x=8時(shí)，y=84.8,則b=( )X23456y25375056649.49.5C.9.49.5C.9.6D.9.8【解析】選C由表格數(shù)據(jù)可得：x2+3+4+5+6 —25+37+50+56+64= 5 =4，Y= 546.4,146.4=146.4=4b+a則 -[84,8=8b+a解得b=84.8—46.44=9.6.(2)己知變量y關(guān)于x的回歸方程為y=*f5,其一組數(shù)據(jù)如表所示：若x=5,則預(yù)測y值可能為()A.eB.e2C.eD.A.eB.e2C.eD.X123ye3e4e6e15【解析】選〃由y=得：］ny=bx—0.5,所以Ine+IneIne+Ine+InInd=b 0.5,解得b=L6,所以回歸方程為y=e'6"15-0%若x=5,則丫二尸三”.(3)已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個隨機(jī)變量的一組觀測數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分布在函數(shù)y=2e2f的圖象附近，設(shè)z=/〃y,將其變換后得到線性方程z=mx+n,則mn=.【解析】兩邊取對數(shù)得丫=In2，"，設(shè)z=Iny,則z=/〃2+Ine""=In2+2x+l,則z=2x+/〃2+l,故m=2,n—In2+1,所以mn=27t?2+2.答案：21n2+2(4)當(dāng)前“停車難”已成為城市通病，因停車問題引發(fā)的糾紛屢見不鮮.無論在北京、上海等超大型城市，還是其他城市，甚至人口只有幾萬、十幾萬的縣城和鄉(xiāng)鎮(zhèn)，“停車難”都給群眾生活和政府管理帶來了深深的煩惱.由于“停車難”是事關(guān)百姓生活質(zhì)量和切身利益的問題,也是建設(shè)和諧社會不容忽視的問題之一，某小區(qū)物業(yè)公司決定動手解決小區(qū)“停車難”問題,并統(tǒng)計(jì)了近六年小區(qū)私家車的數(shù)量，以編號1對應(yīng)2015年，編號2對應(yīng)2016年，編號3對應(yīng)2017年，以此類推，得到相應(yīng)數(shù)據(jù)如表：年份編號X123456數(shù)量y(輛)419611619021S275

①若該小區(qū)私家車的數(shù)量y與年份編號x的關(guān)系可用線性回歸模型來擬合，試用相關(guān)指數(shù)R2分析其擬合效果（片精確到0.01）；②由于車輛增加，原有停車位已經(jīng)不能滿足有車業(yè)主的需求，因此物業(yè)公司欲在小區(qū)內(nèi)對原有停車位進(jìn)行改造，重新規(guī)劃停車位.若要求在2021年小區(qū)停車位數(shù)量仍可滿足需要，求至少需要規(guī)劃多少個停車位.TOC\o"1-5"\h\z6 6 6 6 _參考數(shù)據(jù)：Zyi=936，=4081, ^（y;-y）2=37586.i=l i=l i=l i=1—1—1【解析】①由題意得X(1+2+3+4+5+6)=3.5,y=-X(41+96+116+190+218'yL6xy4081-6X3.5X15691-6X3.52=46,, 4081-6X3.5X15691-6X3.52=46,+275)=156,b= 6 Xxi-6X口i=l且a=y—bx=156—46X3.5=-5,所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=46x-5,又x=l時(shí)，yi=41,x=2時(shí)，y2=87,x=3時(shí)，y3=133,x=4時(shí)，y4=179,x=5時(shí)，y5=225,x=6時(shí)，y6=271,66 Z”yi> 556故Z(yLy>=556,R2=l一氣 二~=1一六麗七°-99,i=, E(yi-y)2i=l由相關(guān)指數(shù)R?近似為0.99,接近1,說明擬合效果較好.②在①中求得的線性回歸方程中，取x=7,可得y=46X7—5=317,故若要求在2021年小區(qū)停車位數(shù)量仍可滿足需要，則至少需要規(guī)劃317個停車位.，一題多變將本例（1）中回歸直線方程改為y=9.6x+9,對應(yīng)表格改為如表：X23456

y求m的值.25375056【解析】2+3+4+5+6y求m的值.25375056【解析】2+3+4+5+625+37+50+56+m5168+m小、「——一、_^.「,0168+111 . 4Tl」---,代入回歸直線方程得一5—=9.6X4+9,解之得m=69..規(guī)律方法回歸分析問題的類型及解題方法自主完善，老師指導(dǎo)(1)求回歸方程①根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量是否線性相關(guān)，如不是，應(yīng)通過換元構(gòu)造線性相關(guān).②利用公式，求出回歸系數(shù)b③待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心,求系數(shù)占.(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，把線性回歸方程看作二^函數(shù)，求函數(shù)值.(3)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)，決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)口.(4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷,當(dāng)舊越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).提醒：若題干中的x,y很大時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選擇公式ZxiyLnxyi=1若X,y比較小可選擇b=? 進(jìn)行計(jì)算求解.n 〈2 2Lx.fx，對點(diǎn)訓(xùn)練

根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝的使用量（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示.W百千克76W百千克765430 24568v千克（1）從散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸方程擬合y與x的關(guān)系，請計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r并判斷它們的相關(guān)程度（若E>0.75,則線性相關(guān)程度很強(qiáng)）；【解析】（1）因?yàn)閤2+4+5+6+8（2）求y關(guān)于【解析】（1）因?yàn)閤2+4+5+6+8—3+4+5+6+7

=5,y= =5,0￡(xlx)儲一y)=(―3)X(—2)+(—1)X(—1)+0X0+1X1+3X2=14,i=lZ(xlx)(—3)Z(xlx)(—3)i=l2+(-1)2+02+12+32=20,Z(y「y)2=(-2)i=12+(-l)2+02+l2+22=10,所以r=5 _ _Z(Xi-x)(y-y) H=20>0.75.所以y與x正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).Z(Xi—x)(y-y)h _(2)因?yàn)閎=- =—=0.7,a=y—bx=5~0.7X5=1.5,所以y關(guān)1=1于x的線性回歸方程為y=1.5+0.7x.當(dāng)x=12時(shí)，y=1.5+0.7X12=9.9.所以預(yù)測液體肥料每畝的使用量為12千克時(shí)西紅柿畝產(chǎn)量的增加量為9.9百千克.

教師專用教師專用(2021?雅安模擬)某5G科技公司對某款5G產(chǎn)品在2021年1月至4月的月銷售量及月銷售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查，月銷售單價(jià)x和月銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：月份1234月銷售單價(jià)x(百元)98.88.68.4月銷售量y(萬件)73798385(1)結(jié)合散點(diǎn)圖可知變量y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)1月至4月的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程f=2x+a；(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，月銷售量與月銷售單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，若該種產(chǎn)品的成本是350元/件，則該產(chǎn)品的月銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元才能獲得最大月利潤？(注：利潤=銷售收入一成本).—1—1【解析】(1)x=w(9+8.8+8.6+8.4)=8.7,y=-(73+79+83+85)=80,4 _ _V(x.-x)(y.-y)_ 0.3X(-7)+0.IX(—1)+(—0.1)X3+(-0.3)X5Z 0.32+0.12+(-o.1)2+(-o.3)2X(\-x)2i=l=^-^=—20,a=y—bx—80—(—20)X8.7=254.所以y關(guān)于x的線性回歸直線方程為y=-20x+254.(2)設(shè)利潤為z,則：z=(x-3.5)(-20x4-254)=-20x2+324x-889,所以當(dāng)x=8.1時(shí),即月銷售單價(jià)定為810元時(shí)，才能獲得最大月利潤.，考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)由1嬴高考考情：獨(dú)立性檢驗(yàn)是高考的熱點(diǎn)，主要考查x2的計(jì)算，以及根據(jù)x-準(zhǔn)確地下結(jié)論，常與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合考查.?角度1兩類變量相關(guān)性的判斷［典例2］為調(diào)查某社區(qū)居民的業(yè)余生活狀況，研究這一社區(qū)居民在20：00?22：00時(shí)間段的休閑方式與性別的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)80人，得到下面的數(shù)據(jù)表：

件別休閑方式看電”看書男1050上101020|合計(jì)2060根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“在20：00~22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別有關(guān)系”？【解析】零假設(shè)為在20：00-22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得,80X(10X10-10X50)60X20X20X6080X(10X10-10X50)60X20X20X60入8.889>6.635=xo.oi?根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷假設(shè)H。不成立，即認(rèn)為“在20：00~22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別有關(guān)系”.此推斷錯誤的概率不大于0.01.?角度2獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率統(tǒng)計(jì)的綜合考查[典例3]（2020?全國卷HI改編）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等[0,200](200,400](400,600]i（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率；⑵求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）;（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2X2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表,判斷一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量是否有關(guān)？并解釋所得結(jié)論的實(shí)際含

空氣質(zhì)量人次人次W400人次〉400好不好義.義.【解析】(1)由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為2+；；0H25=0.43,等級為2的概率為5+；；0H2=027,等級為3的概率為小需電=0.21,等級為4的概率D7+2+0為 =009八100(2)由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為100X20+300X35+500X45(2)由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為100X20+300X35+500X45100=350.(3)零假設(shè)：H。一天中到公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量無關(guān).2X2列聯(lián)表如表:空氣質(zhì)量人次人次W400人次＞400好3337不好228根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到2100X(33X8-37X22)2*= 70X30X55X45 =5.820>3.841=Xo.o5o‘根據(jù)小概率值a=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H。不成立，即認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為空氣質(zhì)量好，一天中到教師專用該公園的人數(shù)就多.教師專用【規(guī)律方法】.兩變量關(guān)系強(qiáng)弱的判定在2X2列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad—bc-0.|ad—bc|越小，說明兩個變量之間關(guān)系越弱；|ad-bc|越大，說明兩個變量之間關(guān)系越強(qiáng)..獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2X2列聯(lián)表.⑵根據(jù)公式計(jì)算x之，(3)比較xz與臨界值x0的大小，做統(tǒng)計(jì)判斷.，多維訓(xùn)練1.(2021?全國甲卷改編)甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如表：機(jī)床產(chǎn)品等級合計(jì)一■級品二級品甲15050200乙12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？(2)根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量是否比乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量好？150【解析】(1)甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為荻X100%=75%,乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中120的一級品的頻率為麗X100%=60%.(2)零假設(shè)為：Ho：產(chǎn)品質(zhì)量與甲乙哪個機(jī)床生產(chǎn)無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到、2=400X(150X80-120X50)270X130X200X200400270X130X200X200400=oq>10>6.635=x().oi，OU根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H。不成立，即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量比乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量好.(2021?江蘇模擬)2021年1至4月，教育部先后印發(fā)五個專門通知，對中小學(xué)生手機(jī)、睡眠、讀物、作業(yè)、體質(zhì)管理作出規(guī)定.“五項(xiàng)管理”是“雙減”工作的一項(xiàng)具體抓手，是促進(jìn)學(xué)生身心健康、解決群眾急難愁盼問題的重要舉措.為了在“控量”的同時(shí)力求“增效”，提高作業(yè)質(zhì)量，某學(xué)校計(jì)劃設(shè)計(jì)差異化作業(yè).因此該校對初三年級的400名學(xué)生每天完成作業(yè)所用時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:完成作業(yè)所用時(shí)間性別nil-男生女生90分鐘以上80X18090分鐘以下yZ220合計(jì)160240400(1)求x,y,z的值，并根據(jù)題中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上是否與性別有關(guān)？(2)學(xué)校從完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取9人了解情況，甲老師再從這9人中選取3人進(jìn)行訪談，求甲老師選取的3人中男生人數(shù)大于女生人數(shù)的概率.【解析】(1)由題中表格數(shù)據(jù)可得，x=180-80=100,y=160-80=80,z=240—100=140,故2X2列聯(lián)表如下:完成作業(yè)所用時(shí)間性別什汁男生女生90分鐘以上8010018090分鐘以下80140220合計(jì)160240400零假設(shè)為乩：完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上是否與性別沒有關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù),，400X(80X140-100X80)2~2.694<3,841=x~2.694<3,841=xo.o5?何旭 180X220X160X240所以根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)判斷H。不成立，因此可以認(rèn)為H。成立，即認(rèn)為完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上與性別無關(guān).(2)根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的定義可得，抽取的9人中，男生占9*80+]00=4(人)，女生占9>80+100=5(人)，甲老師再從這9人中選取3人進(jìn)行訪談，其中男生人數(shù)大于女生人數(shù)的有兩種情況,①男生2人，女生1人，②男生3人，女生0人，

教師專用d?教師專用d?d故所求概率p=—一1742'備選考點(diǎn)非線性回歸分析［典例］（2021?福州模擬）某地從2月20日開始的連續(xù)7天的某傳染病累計(jì)確診人數(shù)如表:天數(shù)x1234567累計(jì)確診人數(shù)y611213466101196由上述表格得到如下散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=a+blgx與y=c?dx（c,d均為大于0的常數(shù)）哪一個更適合作為累計(jì)確診人數(shù)y與天數(shù)x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并求出y關(guān)于x的回歸方程；參考數(shù)據(jù)：yV￡x,y,i=l7〉iVii=l100.5462.141.54253550.123.47甘r+i 7 - 1其中Vi=/gy"v=-7i=i參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（5,v）,（U2,v2），…，（u?, v?）,其回歸直線S=a+Bu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為ZuVi—nua=ZuVi—nua=v—3ui=l【解析】由散點(diǎn)圖可知，y=c?（r更適合作為累計(jì)確診人數(shù)y與天數(shù)x的回歸方程類型.把y=c?d”兩邊取對數(shù)，得lgy=lgc+xlgd,則N=lgc+xlgd,—1x=z(l+2+3+4+5