歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭?！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭?！感謝閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭?！感謝閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭?！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭「兄x閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭?！立體幾何中添加輔助線的策略王留廷立體幾何中添加輔助線的主要策略：一是把定義或者定理中缺少的線、面、體補完整；二是要把已知量和未知量統(tǒng)一在一個圖形中，如統(tǒng)一在一個三角形中，這樣可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以統(tǒng)一在平行四邊形或其他幾何體中。下面加以說明。一、添加垂線策略。因為立體幾何的許多定義或定理是與垂線有關(guān)的，如線面角、二面角的定義，點到平面、線到平面、平面到平面距離的定義，三垂線定理，線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理，正棱柱、正棱錐的性質(zhì)，球的性質(zhì)等，所以運用這些定義或定理，就需要把沒有的垂線補上。尤其要注意平面的垂線，因為有了平面的垂線，才能建立空間直角坐標系，才能使用三垂線定理或其逆定理。例1.在三棱錐中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點，則OM與平面ABC所成的角的大小是________（用反三角函數(shù)表示）。圖1解：如圖1，由題意可設(shè)，則，O點在底面的射影D為底面的中心，。又，OM與平面ABC所成角的正切值是，所以二面角大小是。點評：本題添加面ABC的垂線OD，正是三棱錐的性質(zhì)所要求的，一方面它構(gòu)造出了正三棱錐里面的，，另一方面也構(gòu)造出了OM與平面ABC所成的角。二、添加平行線策略。其目的是把不在一起的線，集中在一個圖形中，構(gòu)造出三角形、平行四邊形、矩形、菱形，這樣就可以通過解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位線來作出所需要的平行線。例2.如圖2，在正方體中，，則與DF所成角的余弦值是（）A. B. C. D.圖2解析：取，易得四邊形ADFG是平行四邊形，則AG//DF，再作，四邊形也是平行四邊形，就是與DF所成角，由余弦定理，算出結(jié)果，選A。點評：求異面直線所成角常采用平移法。三、向中心對稱圖形對稱中心添加連線策略。這主要是因為對稱中心是整個圖形的“交通”樞紐，它可以與周圍的點、線、面關(guān)聯(lián)起來，常見的有對平行四邊形連對角線，對圓的問題向圓心連線，對球體問題向球心連線。例3.如圖3，O是半徑為1的球的球心，點A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧AB與AC的中點，則點E、F在該球面上的球面距離是（）A. B. C. D.圖3解析：添加輔助線OE、OF，連結(jié)EF，構(gòu)成，關(guān)鍵是求。為了使EF與已知條件更好地聯(lián)系起來，過E作，垂足為G，連結(jié)FG，構(gòu)造，在圖3中，。點E、F在該球面上的球面距離為，故選B。點評：本題抓住了球心，抓住了弧中點，利用這些特殊點作輔助線是解題的關(guān)鍵。四、名線策略。即添加常用的、重要的線，如中位線、高、角平分線、面對角線和體對角線等。盡管這些線上面也有提到，但還是要在這里強化一下，這些線有著廣泛的聯(lián)系。尤其是添加三角形中位線或者梯形中位線，這主要是因為中位線占據(jù)了兩個邊的中點，并且中位線平行于底邊，且是底邊長的一半，它可以把底邊與其他線面的角度關(guān)系平移，使已知和未知集中在一個三角形中。例4.如圖4，正三棱柱的各棱長都為2，E、F分別是AB、的中點，則EF的長是（）。圖4A.2 B. C. D.解析：如圖4所示，取AC的中點G，連結(jié)EG、FG，則易得，故，選C。點評：本題充分體現(xiàn)了中位線的重要性。五、割補策略。分割成常見規(guī)則圖形，或者補形成典型幾何體。例5.一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）A. B. C. D.6解析：把這個正四面體補成正方體，如圖5，正四面體可看成是由正方體的面對角線構(gòu)成的，這個正四面體和這個正方體有相同的外接球面