關于圖形裁剪與幾何變換第一頁，共六十六頁，2022年，8月28日2圖形裁剪圖形輸出流水線窗口視圖變換幾何變換圖形變換數(shù)學基礎坐標系主要內(nèi)容第二講圖形裁剪與幾何變換第二頁，共六十六頁，2022年，8月28日3為什么要用多種坐標系？坐標系在圖形處理的不同階段定義不同的坐標系，有利于提高圖形處理的效率和用戶便于理解。第二講圖形裁剪與幾何變換造型坐標系用戶坐標系觀察坐標系規(guī)格化的設備坐標系設備坐標系第三頁，共六十六頁，2022年，8月28日4造型坐標系坐標系xxyyzz右手系形體或圖素在造型坐標系中定義局部坐標系便于定義形體和圖素第二講圖形裁剪與幾何變換第四頁，共六十六頁，2022年，8月28日5造型坐標系坐標系第二講圖形裁剪與幾何變換第五頁，共六十六頁，2022年，8月28日6用戶坐標系坐標系直角坐標系、放射坐標系、圓柱坐標系或球坐標系定義整圖或最高層圖形結(jié)構(gòu)全局坐標系，子圖、圖組、圖素等在調(diào)用后都放在用戶坐標系xyz第二講圖形裁剪與幾何變換第六頁，共六十六頁，2022年，8月28日7用戶坐標系坐標系第二講圖形裁剪與幾何變換第七頁，共六十六頁，2022年，8月28日8坐標系第二講圖形裁剪與幾何變換直角坐標系仿射坐標系第八頁，共六十六頁，2022年，8月28日9坐標系第二講圖形裁剪與幾何變換圓柱坐標系..第九頁，共六十六頁，2022年，8月28日10坐標系第二講圖形裁剪與幾何變換球坐標系..第十頁，共六十六頁，2022年，8月28日11觀察坐標系坐標系vun眼睛n-觀察方向vu定義了觀察平面左手直角坐標系可以在用戶坐標系任意位置、任何方向定義指定裁剪空間定義觀察平面，把用戶坐標轉(zhuǎn)化為規(guī)格化的設備坐標第二講圖形裁剪與幾何變換第十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日12設備坐標系坐標系左手直角坐標系用來在圖形設備上指定窗口或視圖區(qū)也用來定義像素和位圖規(guī)格化設備坐標系左手直角坐標系用來定義視圖區(qū)提高了應用程序的移植性第二講圖形裁剪與幾何變換0,11,10,01,02.6,-3.12.6,2.6-3.1,-3.12.6,-3.1第十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日13圖形輸出流水線圖形輸出流水線第二講圖形裁剪與幾何變換造型坐標用戶坐標造型變換觀察坐標觀察變換規(guī)格化設備坐標規(guī)格化變換投影坐標投影變換設備坐標工作站變換第十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日14圖形變換數(shù)學基礎矩陣運算齊次坐標矢量運算主要內(nèi)容第二講圖形裁剪與幾何變換第十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日15圖形變換數(shù)學基礎一、矢量運算矢量和第二講圖形裁剪與幾何變換第十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日16圖形變換數(shù)學基礎一、矢量運算（續(xù)）矢量的數(shù)乘矢量的點積性質(zhì)第二講圖形裁剪與幾何變換第十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日17圖形變換數(shù)學基礎一、矢量運算（續(xù)）

矢量的長度

夾角

矢量的叉積

第二講圖形裁剪與幾何變換第十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日18圖形變換數(shù)學基礎二、矩陣運算矩陣：由m×n個數(shù)按一定位置排列的一個整體，簡稱m×n矩陣。其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素第二講圖形裁剪與幾何變換第十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日19圖形變換數(shù)學基礎二、矩陣運算（續(xù)）加法設A，B為兩個具有相同行和列元素的矩陣A+B=數(shù)乘kA=[k*aij]|i=1...m,j=1,..n第二講圖形裁剪與幾何變換第十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日20圖形變換數(shù)學基礎二、矩陣運算（續(xù)）乘法設A為3×2矩陣，B為2×3矩陣

C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj單位矩陣在一矩陣中，其主對角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作In。Am×n=Am×n·Ink=1,n第二講圖形裁剪與幾何變換第二十頁，共六十六頁，2022年，8月28日21圖形變換數(shù)學基礎二、矩陣運算（續(xù)）逆矩陣若矩陣A存在A·A-1=A-1·A=I，則稱A-1為A的逆矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A=(aij)m×n的行和列互換而得到的n×m矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT

。

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT

當A為n階矩陣，且A=AT，則

A是對稱矩陣。第二講圖形裁剪與幾何變換第二十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日22圖形變換數(shù)學基礎二、矩陣運算（續(xù)）矩陣運算的基本性質(zhì)交換律與結(jié)合律師

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C數(shù)乘的分配律及結(jié)合律

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A第二十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日23圖形變換數(shù)學基礎二、矩陣運算（續(xù)）矩陣乘法的結(jié)合律及分配律

A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩陣的乘法不適合交換律第二講圖形裁剪與幾何變換第二十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日24圖形變換數(shù)學基礎三、齊次坐標

所謂齊次坐標表示法就是由n+1維向量表示一個n維向量。如n維向量(P1,P2,…,Pn)表示為：（hP1,hP2,…,hPn,h）其中，h稱為啞坐標。

1、h可以取不同的值，所以同一點的齊次坐標不是唯一的。2、普通坐標與齊次坐標的關系為“一對多”由普通坐標h→齊次坐標由齊次坐標÷h→普通坐標

3、當h=1時產(chǎn)生的齊次坐標稱為“規(guī)格化坐標”，因為前n個坐標就是普通坐標系下的n維坐標。第二講圖形裁剪與幾何變換第二十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日25圖形變換數(shù)學基礎三、齊次坐標（續(xù)）1.將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示。提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間上的一個點從一個坐標系變換到另一坐標系的有效方法。2.便于表示無窮遠點。例如：（a,b,h)，令h等于03.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點便于變換合成便于硬件實現(xiàn)齊次坐標的作用：第二講圖形裁剪與幾何變換第二十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日26窗口視圖變換一、用戶域與窗口區(qū)世界（用戶）坐標系窗口用戶域是用戶定義設計對象的連續(xù)無限的二維或三維空間。窗口窗口是用戶域的一個子域。在用戶域中指定的一個區(qū)域，用戶只能將該區(qū)域的圖形輸出到圖形設備上。窗口一般是矩形區(qū)域，可用其左下角點和右上角點坐標來表示。通常窗口的邊界與坐標軸平行。窗口可以嵌套。第二講圖形裁剪與幾何變換第二十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日27窗口視圖變換二、屏幕與和視圖區(qū)屏幕域屏幕域是圖形設備上輸出圖形的最大區(qū)域屏幕域是有限的整數(shù)域，如分辨率為1024×768的顯示器，其屏幕域DC可定義為：

DC∈[0∶1023]×[0∶767]視圖區(qū)用戶在屏幕域內(nèi)指定的用于顯示圖形的區(qū)域用設備坐標定義，一般定義成矩形，由其左下角點和右上角點坐標來定義一個屏幕可以定義多個視圖區(qū)，并且視圖區(qū)可以嵌套第二講圖形裁剪與幾何變換第二十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日28窗口視圖變換二、屏幕與和視圖區(qū)（續(xù)）

1主菜單區(qū)2子菜單區(qū)

4提示信息區(qū)

3圖形顯示區(qū)圖4.2.1視圖分區(qū)第二講圖形裁剪與幾何變換第二十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日29窗口視圖變換三、窗口與視區(qū)變換窗口（wx,wy）1100視區(qū)（vx,vy）第二講圖形裁剪與幾何變換第二十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日30窗口視圖變換三、窗口與視區(qū)變換（續(xù))第二講圖形裁剪與幾何變換第三十頁，共六十六頁，2022年，8月28日31窗口視圖變換三、窗口與視區(qū)變換（續(xù))矩陣表達式：第二講圖形裁剪與幾何變換第三十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日32窗口視圖變換三、工作站變換HV0工作站視區(qū)設備/圖像坐標系工作站變換：將規(guī)范化坐標變換為離散設備/圖像坐標。它本質(zhì)上是第二個窗口-視區(qū)變換。110工作站窗口規(guī)范化設備坐標系屏幕區(qū)第二講圖形裁剪與幾何變換第三十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日33窗口視圖變換第二講圖形裁剪與幾何變換二維圖形輸出流程三維圖形輸出流程第三十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日34圖形裁剪多邊形裁剪字符裁剪二維線段裁剪主要內(nèi)容三維圖形裁剪簡介裁剪的概念第二講圖形裁剪與幾何變換第三十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日35圖形裁剪一、裁剪的概念裁剪：利用窗口技術把整體圖形分為窗口內(nèi)部分和窗口外兩部分，保留窗口內(nèi)部分。覆蓋：利用窗口技術把整體圖形分為窗口內(nèi)部分和窗口外兩部分，保留窗口外部分。第二講圖形裁剪與幾何變換第三十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日36圖形裁剪一、裁剪的概念（續(xù)）裁剪算法：一般地，對于給定的區(qū)域，判斷圖形的哪些部分在該區(qū)域內(nèi)或區(qū)域外的過程稱為裁剪算法。相應的參考區(qū)域稱為窗口。裁剪技術的本質(zhì)問題是對線段或多邊形作求交與裁剪，僅保留需要的部分。第二講圖形裁剪與幾何變換第三十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日37圖形裁剪一、裁剪的概念（續(xù)）裁剪算法分類：按照裁剪對象的不同，裁剪算法分為：點裁剪線裁剪（直線段）區(qū)域裁剪（多邊形）曲線裁剪文本裁剪第二講圖形裁剪與幾何變換第三十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日38圖形裁剪二、點的裁剪假設裁剪窗口是一個矩形，其邊界平行于坐標軸。

點裁剪對于點P(x,y),若下面的不等式成立，則P顯示。否則，P被裁剪掉。窗口xy第二講圖形裁剪與幾何變換第三十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日39圖形裁剪二、二維線段裁剪第二講圖形裁剪與幾何變換第三十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日40圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）1.向量線段不在窗口內(nèi)第二講圖形裁剪與幾何變換第四十頁，共六十六頁，2022年，8月28日41圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點坐標在窗口內(nèi)第二講圖形裁剪與幾何變換第四十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日42圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點坐標在窗口左邊界左邊起點新坐標或線段在窗口外第二講圖形裁剪與幾何變換第四十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日43圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點坐標在窗口左邊界左邊起點新坐標

minY≤Y≤maxY求解有效

Y<minY或Y>maxY線段在窗口外第二講圖形裁剪與幾何變換第四十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日44圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點坐標在窗口左邊界左邊起點新坐標

Y>maxY且Ys>maxY

藍色線段在窗口外綠色線段與上邊界相交第二講圖形裁剪與幾何變換第四十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日45圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點坐標在窗口左邊界左邊起點新坐標

Y<minY且Ys<minY

紅色線段在窗口外綠色線段與下邊界相交第二講圖形裁剪與幾何變換第四十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日46圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點坐標在窗口左邊界左邊！注意

Y<minY且Ys<minY

Y>maxY且Ys>maxY

必須判斷下面的條件第二講圖形裁剪與幾何變換第四十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日47圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點坐標在窗口左邊界右邊在1區(qū)和2區(qū)2.向量線段終點坐標第二講圖形裁剪與幾何變換第四十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日48圖形裁剪三、多邊形裁剪多邊形裁剪的概念第二講圖形裁剪與幾何變換第四十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日49圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）錯覺直線段裁剪的組合？新的問題1）邊界不再封閉，需要用窗口邊界的恰當部分來封閉它，如何確定其邊界？第二講圖形裁剪與幾何變換第四十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日50圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）新的問題（續(xù)）

2）一個凹多邊形可能被裁剪成幾個小的多邊形，如何確定這些小多邊形的邊界？第二講圖形裁剪與幾何變換第五十頁，共六十六頁，2022年，8月28日51圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）多邊形裁剪的雙邊裁剪法

第二講圖形裁剪與幾何變換第五十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日52圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）第二講圖形裁剪與幾何變換用主多邊形P(即用戶圖形)的邊裁剪多邊形Q(即用戶定義的窗口、視圖區(qū))，或在某種條件下用Q的邊去裁剪P的算法。我們把這種算法簡稱為雙邊裁剪法?；舅枷胧?對于有序排列的封閉多邊形，從其任一點出發(fā)，按照頂點排列的順序(如按照順時針方向排列)，跟蹤檢測P的每一條邊，當P的邊和Q的有效邊框相交時，將按如下兩種情況處理:（1)若P的邊是進入Q，則算法繼續(xù)沿著P的邊往下處理，并輸出Q內(nèi)的線段;（2)若P的邊是從Q中出來，則算法將從它們的交點(此處我們把這個交點定義為前交點)開始，沿著窗口邊框向右檢測Q的邊，即用Q的有效邊框去裁剪P的邊(如果P的邊是按逆時針方向排列，則應向左檢測Q的邊)。并在Q的正方向上找到離前交點最近的P和Q的交點后，輸出窗口Q的邊界線段，再返回到離P的前交點最近的下一個頂點處，繼續(xù)處理P的邊。這個過程一直處理到起點為止。第五十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日53圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）多邊形裁剪的雙邊裁剪法（續(xù)）

1131486523491110123窗口7第二講圖形裁剪與幾何變換第五十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日54圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）多邊形裁剪的雙邊裁剪法（續(xù)）

第二講圖形裁剪與幾何變換第五十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日55圖形裁剪四、字符裁剪字符串裁剪可按三個精度來進行：

串精度字符精度象素精度

第二講圖形裁剪與幾何變換第五十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日56圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介觀察體的定義

在照相時，相機的鏡頭是決定所拍攝場景大小的一個因素。在三維顯示中，觀察平面上的矩形觀察窗口用于實現(xiàn)這個目標。

觀察窗口的邊與xvyv軸平行。窗口邊界的位置是由觀察坐標指定的，觀察窗口可以放在觀察平面上的任何位置。觀察平面(xwmax,ywmax)(xwmin,ywmin)投影窗口zvxvyv第二講圖形裁剪與幾何變換第五十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日57圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介（續(xù)）觀察體的定義（續(xù)）

給定觀察窗口后，我們可以利用窗口的4條邊界建立觀察體。只有位于觀察體中的物體才會在輸出設備上顯示出來，所有其他部分將被裁剪掉。窗口前裁剪面后裁剪面平行六面體第二講圖形裁剪與幾何變換第五十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日58圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介（續(xù)）觀察體的特點

投影中心后裁剪面前裁剪面zv窗口觀察平面、前后裁剪面的相對位置關系依賴于投影的類型。前后裁剪面的作用：(1)裁剪掉不感興趣的部分；(2)在透視投影中，裁剪掉離觀察面很近的大物體，這些物體投影到觀察窗口中模糊不清；后平面裁剪掉遠離投影中心的物體，這部分物體在輸出設備上是很小的點。后平面比前平面離投影中心遠，且都在投影中心的同一側(cè)第二講圖形裁剪與幾何變換第五十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日59圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介（續(xù)）三維裁剪與二維裁剪的不同之處

在二維裁剪中，窗口是與x,y軸平行的，這大大簡化了裁剪在二維裁剪中運算。三維裁剪體的裁剪邊界是平面，平面的產(chǎn)生與投影的類型、投影的窗口及投影中心的位置有關。在透視投影中，觀察體的前后面與觀察平面平行，每個面的z坐標均為常數(shù)，但其他四個側(cè)面可以具有任意的空間方向，這給求交運算帶來了麻煩。第二講圖形裁剪與幾何變換第五十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日60圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介（續(xù)）三維線段的裁剪

先用規(guī)范化變換將原來的觀察體變換為所謂的標準規(guī)范體。然后，在規(guī)范化裁剪體中進行裁剪操作。窗口前裁剪面后裁剪面111前裁減面后裁剪面xyz規(guī)范化平行投影空間第二講圖形裁剪與幾何變換第六十頁，共六十六頁，2022年，8月28日61圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介（續(xù)）三維線段的裁剪（續(xù)）

111前裁減面后裁剪面xyz規(guī)范化平行投影空間對于平行投影，其規(guī)范化投影空間為正四棱柱，6個裁剪面的方程為：第二講圖形裁剪與幾何變換第六十一頁，共六十