1求解代數(shù)方程組Hu=g的方法直接方法:高斯消去法,三角分解,追趕法,QR分解等迭代方法:基本迭代法,預(yù)處理迭代法,多重網(wǎng)格法等Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法超松弛迭代法其它迭代法1求解代數(shù)方程組Hu=g的方法直接方法:高斯消去法,三角Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解3Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解為3Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解4Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解為4Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解5Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解為5Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解6Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解Jacobi迭代法6Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解Jacobi分量形式分量形式8Guass-Seidel迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解G-S迭代法A為T矩陣矩陣時(shí),G-S迭代法收斂速度是Jacobi法兩倍G-S迭代法矩陣形式8Guass-Seidel迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解分量迭代法計(jì)算公式為分量迭代法計(jì)算公式為10超松弛迭代法求解代數(shù)方程Au=fA大型稀疏矩陣將A分解Guass-Seidel迭代法解10超松弛迭代法求解代數(shù)方程Au=fA大型稀疏矩陣將A分解G超松弛迭代法求解代數(shù)方程Au=f超松弛迭代法求解代數(shù)方程Au=f12逐次超松弛迭代法(SOD)SuccessiveOverRelaxationMethodSOD迭代的矩陣形式SOD迭代的分量形式12逐次超松弛迭代法(SOD)SuccessiveOver13例：解線性方程組解:SOR迭代格式13例：解線性方程組解:SOR迭代格式14對(duì)于矩形區(qū)域possion方程第一邊值問題差分格式14對(duì)于矩形區(qū)域possion方程第一邊值問題差分格式（二）五點(diǎn)差分格式的性質(zhì)

微分方程差分格式真解u=u(x,y)真解u=un實(shí)用性分析

相容性收斂性

穩(wěn)定性橢圓型方程收斂性分析對(duì)于雙曲與拋物方程：極值原理（二）五點(diǎn)差分格式的性質(zhì)微分方程差分格式真解u=u(x,y1.存在唯一性1.存在唯一性只需證明齊次方程只有零解只需證明齊次方程只有零解2.差分方程解的收斂性定理:設(shè)是定義在上的函數(shù)，那么有

其中a為矩形區(qū)域D的x方向的邊長。收斂性：h→0,k→0時(shí)，差分方程的解逼近于微分方程的解。2.差分方程解的收斂性收斂性：h→0,k→0時(shí)，差分方程的解證明：定義則由定義證明：定義則由定義定理：如果第一邊值問題二階收斂的解在上有四階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則五點(diǎn)差分格式收斂并有估計(jì)定理：如果第一邊值問題二階收斂的解在證明：設(shè)u(x,y)是微分方程之解，是差分方程之解證明：設(shè)u(x,y)是微分方程之解，是差分方程之解偏微分課程課件10_橢圓型方程的有限差分方法(II)應(yīng)用五點(diǎn)差分格式計(jì)算如下問題：精確解為可以觀察到采用Guass-Seidel迭代精確至應(yīng)用五點(diǎn)差分格式計(jì)算如下問題：精確解為可以觀察到采用Guas當(dāng)x與y方向步長減少到原來的1/2，誤差減少到原來的1/4，x方向與y方向收斂階均為2階。當(dāng)x與y方向步長減少到原來的1/2，誤差減少到原來的1/4，偏微分課程課件10_橢圓型方程的有限差分方法(II)26復(fù)習(xí):法線方向向量.1方向向量向量那么a的方向向量為:2平面曲線F(x,y)=0在點(diǎn)(x,y)處的法向量:空間曲線F(x,y,z)=0在點(diǎn)(x,y,z)處的法向量:26復(fù)習(xí):法線方向向量.1方向向量向量那么a的方向向量（三）邊界條件的處理矩形區(qū)域(2)第三類邊界條件(1)第一類邊界條件第二類邊界條件（三）邊界條件的處理矩形區(qū)域(2)第三類邊界條件(1)第一類四周增加一排節(jié)點(diǎn)

可用內(nèi)點(diǎn)的差分格式在邊界上成立得到的有關(guān)等式與邊界離散相應(yīng)的式子來消去四周增加一排節(jié)點(diǎn)29即下邊界時(shí)條件為例：其中29即下邊界時(shí)條件為例：其中30在下邊界任取一邊界點(diǎn)那么用中心差商代替一階偏導(dǎo)數(shù)用代替用代替離散方法：30在下邊界任取一邊界點(diǎn)那么用中心差商代替一階偏導(dǎo)數(shù)用代31在邊界點(diǎn)離散方程,例如五點(diǎn)格式,有兩式聯(lián)立,則可以得到一個(gè)與無關(guān)的方程處理稍有不同.31在邊界點(diǎn)離散方程,例如五點(diǎn)32特別這樣,每一個(gè)邊界點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)差分方程,將所有邊界點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)按照自然順序排列,定義兩邊除以2(角點(diǎn)除以4),則有這些差分方程組可以寫為一個(gè)代數(shù)方程組32特別這樣,每一個(gè)邊界點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)差分方程,將所有邊界點(diǎn)和33分析一下系數(shù)矩陣對(duì)于第一類邊界條件,有I+2行上邊界I+2行下邊界為I+2維方陣I+2I+2I+2列I+2列33分析一下系數(shù)矩陣對(duì)于第一類邊界條件,有I+2行上邊界I34例:解:布矩形網(wǎng)格(1)內(nèi)點(diǎn)(2-5)四邊界(6)兩個(gè)角點(diǎn)(7)分析其中三個(gè)塊矩陣34例:解:布矩形網(wǎng)格(1)內(nèi)點(diǎn)(2-5)四邊界(6)35(1)內(nèi)點(diǎn)將h=1/4代入整理,有35(1)內(nèi)點(diǎn)將h=1/4代入整理,有36(2)左邊界由內(nèi)點(diǎn)差分格式增設(shè)虛點(diǎn),利用中心差商,得(-1,1)(0,1)即(-1,2)(0,2)(-1,3)(0,3)(-1,0)(0,0)(-1,4)(0,4)兩邊同除以236(2)左邊界由內(nèi)點(diǎn)差分格式增設(shè)虛點(diǎn),利用中心差商,37(3-4)上下邊界同(2)有(5)右邊界37(3-4)上下邊界同(2)有(5)右邊界38(6)兩個(gè)角點(diǎn)對(duì)于(0,0)點(diǎn),按左邊界離散得按下邊界離散得按方程離散得三式聯(lián)立,消去虛設(shè)點(diǎn),得兩邊同除以4,得38(6)兩個(gè)角點(diǎn)對(duì)于(0,0)點(diǎn),按左邊界離散得按下邊39對(duì)于(0,4)點(diǎn),同理可得令那么20個(gè)方程按照自然順序排列,則形成代數(shù)方程:其中39對(duì)于(0,4)點(diǎn),同理可得令那么20個(gè)方程按照自然順E0K40(7)分析E0和K(0,0):(i,0):E0K40(7)分析E0和K(0,0):(i,0):E141分析E1和K(0,1):(i,1):E141分析E1和K(0,1):(i,1):424243那么20個(gè)方程按照自然順序排列,則形成代數(shù)方程:其中43那么20個(gè)方程按照自然順序排列,則形成代數(shù)方程:其中2.一般區(qū)域網(wǎng)格點(diǎn)內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)集合邊界節(jié)點(diǎn)集合2.一般區(qū)域網(wǎng)格點(diǎn)內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)集合1）直接轉(zhuǎn)移法S在P不在,選與P最靠近的網(wǎng)格線交點(diǎn)T第一邊界1）直接轉(zhuǎn)移法S在P不在,選與P最靠近的網(wǎng)格線交點(diǎn)T第一邊2）線性插值T,Q兩點(diǎn)做線性插值2）線性插值T,Q兩點(diǎn)做線性插值（1）邊界點(diǎn)P在外法線與坐標(biāo)軸平行第三邊界（1）邊界點(diǎn)P在外法線與坐標(biāo)軸平行第三邊界外法線與坐標(biāo)軸不平行外法線與坐標(biāo)軸不平行（2）邊界點(diǎn)P不在（2）邊界點(diǎn)P不在（四）變系數(shù)方程（四）變系數(shù)方程1.直接差分法1.直接差分法2.有限體積法適合處理系數(shù)有間斷，步長不等距問題，具有保持能量守恒等優(yōu)點(diǎn)。為內(nèi)點(diǎn)為P四鄰點(diǎn)為中點(diǎn)2.有限體積法適合處理系數(shù)有間斷，步長不等距問題，為內(nèi)點(diǎn)為P偏微分課程課件10_橢圓型方程的有限差分方法(II)在陰影區(qū)域上積分由中矩形公式在陰影區(qū)域上積分由中矩形公式同理同理（五）雙調(diào)和方程（五）雙調(diào)和方程偏微分課程課件10_橢圓型方程的有限差分方法(II)偏微分課程課件10_橢圓型方程的有限差分方法(II)偏微分課程課件10_橢圓型方程的有限差分方法(II)（六）特征值問題（六）特征值問題可用變量分離法五點(diǎn)差分

格式可用變量分離法五點(diǎn)差分作業(yè)作業(yè)復(fù)習(xí)重點(diǎn)基本：1、所有作業(yè)題。2、三類方程求解的常用差分格式，其相容性以及適用范圍。3、分析經(jīng)典差分格式穩(wěn)定性（包括三層格式）；

熟記所講過問題差分格式的穩(wěn)定條件，利用Lax等價(jià)定理

證明收斂性。4、變分原理，有限元一維以及二維線性元的計(jì)算。在此基礎(chǔ)上：5、掌握能量不等式判斷穩(wěn)定性的方法。6、構(gòu)造有限差分格式的Taylor展開法，有限體積法。

7、理解雙曲型方程收斂的必要條件C.F.L.條件。8、了解如何補(bǔ)充初始條件以及用迎風(fēng)格式處理邊界條件。9、利用極值原理證明橢圓問題收斂性。復(fù)習(xí)重點(diǎn)64求解代數(shù)方程組Hu=g的方法直接方法:高斯消去法,三角分解,追趕法,QR分解等迭代方法:基本迭代法,預(yù)處理迭代法,多重網(wǎng)格法等Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法超松弛迭代法其它迭代法1求解代數(shù)方程組Hu=g的方法直接方法:高斯消去法,三角Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解66Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解為3Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解67Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解為4Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解68Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解為5Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=fA為n階矩陣,分解69Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解Jacobi迭代法6Jacobi迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解Jacobi分量形式分量形式71Guass-Seidel迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解G-S迭代法A為T矩陣矩陣時(shí),G-S迭代法收斂速度是Jacobi法兩倍G-S迭代法矩陣形式8Guass-Seidel迭代法求解代數(shù)方程Au=f將A分解分量迭代法計(jì)算公式為分量迭代法計(jì)算公式為73超松弛迭代法求解代數(shù)方程Au=fA大型稀疏矩陣將A分解Guass-Seidel迭代法解10超松弛迭代法求解代數(shù)方程Au=fA大型稀疏矩陣將A分解G超松弛迭代法求解代數(shù)方程Au=f超松弛迭代法求解代數(shù)方程Au=f75逐次超松弛迭代法(SOD)SuccessiveOverRelaxationMethodSOD迭代的矩陣形式SOD迭代的分量形式12逐次超松弛迭代法(SOD)SuccessiveOver76例：解線性方程組解:SOR迭代格式13例：解線性方程組解:SOR迭代格式77對(duì)于矩形區(qū)域possion方程第一邊值問題差分格式14對(duì)于矩形區(qū)域possion方程第一邊值問題差分格式（二）五點(diǎn)差分格式的性質(zhì)

微分方程差分格式真解u=u(x,y)真解u=un實(shí)用性分析

相容性收斂性

穩(wěn)定性橢圓型方程收斂性分析對(duì)于雙曲與拋物方程：極值原理（二）五點(diǎn)差分格式的性質(zhì)微分方程差分格式真解u=u(x,y1.存在唯一性1.存在唯一性只需證明齊次方程只有零解只需證明齊次方程只有零解2.差分方程解的收斂性定理:設(shè)是定義在上的函數(shù)，那么有

其中a為矩形區(qū)域D的x方向的邊長。收斂性：h→0,k→0時(shí)，差分方程的解逼近于微分方程的解。2.差分方程解的收斂性收斂性：h→0,k→0時(shí)，差分方程的解證明：定義則由定義證明：定義則由定義定理：如果第一邊值問題二階收斂的解在上有四階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則五點(diǎn)差分格式收斂并有估計(jì)定理：如果第一邊值問題二階收斂的解在證明：設(shè)u(x,y)是微分方程之解，是差分方程之解證明：設(shè)u(x,y)是微分方程之解，是差分方程之解偏微分課程課件10_橢圓型方程的有限差分方法(II)應(yīng)用五點(diǎn)差分格式計(jì)算如下問題：精確解為可以觀察到采用Guass-Seidel迭代精確至應(yīng)用五點(diǎn)差分格式計(jì)算如下問題：精確解為可以觀察到采用Guas當(dāng)x與y方向步長減少到原來的1/2，誤差減少到原來的1/4，x方向與y方向收斂階均為2階。當(dāng)x與y方向步長減少到原來的1/2，誤差減少到原來的1/4，偏微分課程課件10_橢圓型方程的有限差分方法(II)89復(fù)習(xí):法線方向向量.1方向向量向量那么a的方向向量為:2平面曲線F(x,y)=0在點(diǎn)(x,y)處的法向量:空間曲線F(x,y,z)=0在點(diǎn)(x,y,z)處的法向量:26復(fù)習(xí):法線方向向量.1方向向量向量那么a的方向向量（三）邊界條件的處理矩形區(qū)域(2)第三類邊界條件(1)第一類邊界條件第二類邊界條件（三）邊界條件的處理矩形區(qū)域(2)第三類邊界條件(1)第一類四周增加一排節(jié)點(diǎn)

可用內(nèi)點(diǎn)的差分格式在邊界上成立得到的有關(guān)等式與邊界離散相應(yīng)的式子來消去四周增加一排節(jié)點(diǎn)92即下邊界時(shí)條件為例：其中29即下邊界時(shí)條件為例：其中93在下邊界任取一邊界點(diǎn)那么用中心差商代替一階偏導(dǎo)數(shù)用代替用代替離散方法：30在下邊界任取一邊界點(diǎn)那么用中心差商代替一階偏導(dǎo)數(shù)用代94在邊界點(diǎn)離散方程,例如五點(diǎn)格式,有兩式聯(lián)立,則可以得到一個(gè)與無關(guān)的方程處理稍有不同.31在邊界點(diǎn)離散方程,例如五點(diǎn)95特別這樣,每一個(gè)邊界點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)差分方程,將所有邊界點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)按照自然順序排列,定義兩邊除以2(角點(diǎn)除以4),則有這些差分方程組可以寫為一個(gè)代數(shù)方程組32特別這樣,每一個(gè)邊界點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)差分方程,將所有邊界點(diǎn)和96分析一下系數(shù)矩陣對(duì)于第一類邊界條件,有I+2行上邊界I+2行下邊界為I+2維方陣I+2I+2I+2列I+2列33分析一下系數(shù)矩陣對(duì)于第一類邊界條件,有I+2行上邊界I97例:解:布矩形網(wǎng)格(1)內(nèi)點(diǎn)(2-5)四邊界(6)兩個(gè)角點(diǎn)(7)分析其中三個(gè)塊矩陣34例:解:布矩形網(wǎng)格(1)內(nèi)點(diǎn)(2-5)四邊界(6)98(1)內(nèi)點(diǎn)將h=1/4代入整理,有35(1)內(nèi)點(diǎn)將h=1/4代入整理,有99(2)左邊界由內(nèi)點(diǎn)差分格式增設(shè)虛點(diǎn),利用中心差商,得(-1,1)(0,1)即(-1,2)(0,2)(-1,3)(0,3)(-1,0)(0,0)(-1,4)(0,4)兩邊同除以236(2)左邊界由內(nèi)點(diǎn)差分格式增設(shè)虛點(diǎn),利用中心差商,100(3-4)上下邊界同(2)有(5)右邊界37(3-4)上下邊界同(2)有(5)右邊界101(6)兩個(gè)角點(diǎn)對(duì)于(0,0)點(diǎn),按左邊界離散得按下邊界離散得按方程離散得三式聯(lián)立,消去虛設(shè)點(diǎn),得兩邊同除以4,得38(6)兩個(gè)角點(diǎn)對(duì)于(0,0)點(diǎn),按左邊界離散得按下邊102對(duì)于(0,4)點(diǎn),同理可得令那么20個(gè)方程按照自然順序排列,則形成代數(shù)方程:其中39對(duì)于(0,4)點(diǎn),同理可得令那么20個(gè)方程按照自然順E0K103(7)分析E0和K(0,0):(i,0):E0K40(7)分析E0和K(0,0):(i,0):E1104分析E1和K(0,1):(i,1):E141分析E1和K(0,1):(i,1):10542106那么20個(gè)方程按照自然順序排列,則形成代數(shù)方程:其中43那么20個(gè)方程按照自然順序排列,則形成代數(shù)方程:其中2.一般區(qū)域網(wǎng)格點(diǎn)內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)集合邊界節(jié)點(diǎn)集合2.一般區(qū)域網(wǎng)格點(diǎn)內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)集