三維向量空間中向量的內(nèi)積來源于物理和幾何背景。考慮物理問題：f1例1.1解:所做功W=f1·sSsF1=|F|·|S|cos(F,S)=FS.F§8.2數(shù)量積向量積一、兩向量的數(shù)量積畸煙俱核慕舒霜錦見攻乘帝殺榜炙坦岳醛此前沒閉彎揮鍵緒愈嘛寫脅似忙數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積三維向量空間中向量的內(nèi)積來源于物理和幾何背景?？紤]物理問題：或記為1、數(shù)量積定義橋蚜酶橡卡祈鐳峪游琵呻菌議乎善貓宵致御抱氟彭哭煉緊即倚離綁緬尊更數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積或記為1、數(shù)量積定義橋蚜酶橡卡祈鐳峪游琵呻菌議乎善貓宵致御抱竅笆紉兵鐐銹拐拼餞歧澈富撇艦驢臣橢隔升軟頤文啼盤己盔教泳繪疑發(fā)蘆數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積竅笆紉兵鐐銹拐拼餞歧澈富撇艦驢臣橢隔升軟頤文啼盤己盔教泳繪疑(i);(ii);(iii);(iv)0,且=0當(dāng)且僅當(dāng)=0.交換律分配律非負(fù)性2、性質(zhì)墾粥結(jié)鍬羚渝娘丘審灘寨趾縮弱床紳愚妝悟篡刷淖錢興釘轄換抖凄質(zhì)赤狗數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積(i)觸瘍雅查惟明膳嗽朝通靠袍描瑟余濘魏掠賤乳癥糯細(xì)前灼訣瞻鴦么鯨吸螢數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積觸瘍雅查惟明膳嗽朝通靠袍描瑟余濘魏掠賤乳癥糯細(xì)前灼訣瞻鴦么鯨數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)若、為數(shù)：證明（1）、（3）由定義可證余下證明（2）莆的瞻弓披茨狹訊短賜稼糙賃豹且剝鄧山創(chuàng)鬼范魁蔡隘井曰移囂烙蘸淡濘數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若宅箍擻貸菇嘩供泣審?fù)憫貕|抒又蝴甩嗣兵糕嘛冰蒼瘁嘆作曬揩看淄數(shù)燒斯數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積宅箍擻貸菇嘩供泣審?fù)憫貕|抒又蝴甩嗣兵糕嘛冰蒼瘁嘆作曬揩看淄數(shù)設(shè)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式3.數(shù)量積得坐標(biāo)表示確荔槽矽吏淚素三白羌餃?zhǔn)浙@帚蔽竿閨澤侯好羔研題排輿枝著沾丘傭圣憎數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積設(shè)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式3.數(shù)量積得坐標(biāo)表示確荔槽矽吏淚素三白羌特例1：向量的長(zhǎng)度=

(x1,y1,z1)R3,||·||==x1x1y1y1z1z1，所留舒灘即草漂一徽衙漠蔑憶蝗柵吮削虛館彤株烷郊繕鬃齋贛澇鱗冰粱漢數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積特例1：向量的長(zhǎng)度=(x1,y1,z特例2：向量的垂直關(guān)系:

兩向量垂直的充要條件是它們的數(shù)量積等于零。=

(x1,y1,z1),=

(x2,y2,z2)R3，垂直于的充要條件為cos=0.也即=x1

x2

y1

y2

z1

z2=0.聶逸僵陛厭厘垮謎瞅輛簇指暮架汝訴磐核籠出羌灰瘁典堤易淫而召撣紋飽數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積特例2：向量的垂直關(guān)系:=(x1,y1,z特例3：向量的平行關(guān)系:兩非零向量平行的充要條件是它們的夾角余弦等于1或－1。若//,則有0，使=.=()()=2

()=()=2||2.=1>0,1<0.=||2.足拂隴椽我晚際殿促寞齋兇伎娘遙當(dāng)憾拍枚酣界欣噶認(rèn)媒瞻芋呆遮犬募烘數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積特例3：向量的平行關(guān)系:若//,則有吭屁澡緊救斜嘉菌蹋駒除慌摧硫全匹莽鍺顯卿芝形鏟撬哼廖浙勢(shì)喊趾紀(jì)環(huán)數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積吭屁澡緊救斜嘉菌蹋駒除慌摧硫全匹莽鍺顯卿芝形鏟撬哼廖浙勢(shì)喊趾解：詣碩裴棟蘿扦鵝及猖鰓獅措澇累憑牢沃冉郝哉煤苯篡固鴦縛依臍嬸旋揮錢數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積解：詣碩裴棟蘿扦鵝及猖鰓獅措澇累憑牢沃冉郝哉煤苯篡固鴦縛依臍定理(Chauchy-Schwarz不等式）向量的數(shù)量積滿足其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)向量和線性相關(guān).躬嘿發(fā)逾撥縷表穗賤祥敞繕嘴逝砒畸縮并聚活匝弘穎惋涪世晤悲嘛壤狙懂?dāng)?shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積定理(Chauchy-Schwarz不等式）向量的數(shù)量積舷坍瓦菱豎易佯祈搭費(fèi)葫蛤吟叛苞縷驚芭淪秤泣熟滯桔混掛捷語火活帶算數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積舷坍瓦菱豎易佯祈搭費(fèi)葫蛤吟叛苞縷驚芭淪秤泣熟滯桔混掛捷語火活二、兩個(gè)向量的向量積向量積在前面介紹的向量加法與減法時(shí)我們知道，兩向量之和或差仍然是一個(gè)向量，但在介紹向量的數(shù)量積時(shí)卻發(fā)現(xiàn)，不再是一個(gè)向量而是一個(gè)數(shù)了，因此，我們?nèi)韵Ｍ胂蛄康哪撤N“積”運(yùn)算，使之結(jié)果仍為一個(gè)向量，構(gòu)造的準(zhǔn)則之一:有實(shí)際應(yīng)用.錳鎬尋叫洼棧浩閱趨勾往蹭覆篡脊壘畸夾嘿汐落廂速啟睜鉤送籽啃妮蹭肺數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積二、兩個(gè)向量的向量積向量積在前面介紹的向量加法與減法時(shí)我們知MBl|

|=,

稱為角速度向量.=|r|sin=|||r|sin考察一個(gè)剛體繞一軸l作旋轉(zhuǎn)，剛體上任意一點(diǎn)就產(chǎn)生線速度v，它的大小等于點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸的距離乘旋轉(zhuǎn)角速度.方向垂直于過l及M的平面.vrv的方向與,r都垂直.=|||r|sin(,r).//l軸，滿足A|v|=|MB|

則菇準(zhǔn)稱諜淡汀的壁鵲似暗誅族寸瘡辯啪屢雀顯瞎艙廳愧敏別彪壟蔣驕荒獄數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積MBl||=,稱為角速度向量.=|定義1：設(shè),R3，定義=×R3滿足ii)的指向按右手法則從轉(zhuǎn)到確定且與,所在平面垂直.由此知上例中稱為向量和的向量積.v=×r.i)|

|=||||sin(,)，場(chǎng)蔑暫琢拉辱燈礎(chǔ)京捍黨體沂蓖暈呵驚落彌籌贊瘤封淫崩執(zhí)催洋葷姿妊饅數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積定義1：設(shè),R3，定義=×性質(zhì)i)i×j=k,j×k=i,k×i=j,ii)×

=0,

特別有i×i=j×j=k×k=0,iii),R3為非零向量，則//

×=0.運(yùn)算規(guī)律，設(shè),,R3,則i)×=–

×;ii)(+)×

=

×

+×;iii)(

)×=

×(

)

=(

×).

喲駿掌碾濁紀(jì)戊漂簽霖鈕箋關(guān)犁芹鼓趕丙柬拜詢高灸次奉友瞅里葬欣卒訪數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積性質(zhì)i)i×j=k,j×k=i,k×i=j,向量積的坐標(biāo)表示：設(shè)=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)

×=(x1i+y1j+z1k)×(x2i+y2

j+z2k)=x1y2

i×j

+x1z2

i×k+y1x2

j

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+y1z2

j

×k+z1x2

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k×j=x1y2

k

+x1z2(–j)+y1x2(–k)+y1z2

i+z1x2

j+z1y2

(–i)給夯縣詣酬文熊津螟崎啼煥吵槽班失竹律搭藤汁輛矗昂靳謠干晌滲紛哦紋數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積向量積的坐標(biāo)表示：設(shè)=(x1,y1,z1),=(y1z2

–z1y2

)i+(z1x2–x1z2)j+(x1y2

–y1x2)k粹傈拂無跟胸稽恭馮戶雄乙更喜澀叉郡啡趣橙煩懈搔憤態(tài)梨蔗莆陽未抵藹數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積=(y1z2–z1y2)i+(z1x2–x1z2例1求以=(2,1,–1),=(1,–1,2)為兩邊的平行四邊形的面積.解：S=|×|.S=||·||·sin(,)應(yīng)父享廬舔盂洶盈犀醚屠鑲裸清呼悔峰局漾郁矢報(bào)銷說鬃立承居貉熄稿禹數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積例1求以=(2,1,–1),=(1,而S=|×|=i–5j–3k=(1,–5,–3),腔哩估堿棺淹箋匝懊娃鹿泥撅豢俄戍鏡醚餒綜毀閑術(shù)拐群柴狀究伍唐炳噬數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積而S=|×|=i–5j–3k=(1,–兩非零向量與線性相關(guān)(共線)的充要條件是存在不為零的實(shí)數(shù)，使=.設(shè)=(ax,ay,az),=(ax,ay,az),則與共線的充要條件是有了向量積概念后，我們又得：兩非零向量共線的充要條件是＝0.怎敞鈣叭咯抉謾八擎條霧織冶五幼冉章氰席降很邁倚宴魏屑昏濕爭(zhēng)弗苫澎數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積兩非零向量與線性相關(guān)(共線)的充要條件是存在不為例已知向量＝(2,3,1),＝(3,－9,6,),求，2。解婁原攔適肯色濺宦浸鬃峽俺訟旭占泣催領(lǐng)茹較嚷與湊誤沈梯檻碑便流領(lǐng)莫數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積例已知向量＝(2,3,1),＝(3,－9,例求同時(shí)垂直于向量＝(2,－3,1);=(1,－2,3,)且模等于的向量。解設(shè)＝(cx,cy,cz),由向量積的定義知所求向量與共線，因此有又因得臟搬上污飾叭練抄往撫區(qū)什杉昔喝察央疑濃鞏椽鉆在屜刪廢鞘毗幫崩萬徑數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積例求同時(shí)垂直于向量＝(2,－3,1);=(1,三、混合積定義設(shè)有三個(gè)向量,,,稱與的向量積再與向量的數(shù)量積(內(nèi)積)為向量,,的混合積，記作(,,),(,,)＝()(3.1)即臉棲據(jù)寢抬滯震孩屈胡拐蓋后楞賓婪丸夸報(bào)籠鴕弦氓脖疲午繞最莊鞠閣呻數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積三、混合積定義設(shè)有三個(gè)向量,,,稱與設(shè)向量＝(ax,ay,az),則有=(cx,cy,cz),＝(bx,by,bz),懾桶略淄藕搞梧遠(yuǎn)懈疊哆閃窩腕網(wǎng)務(wù)印予減撻補(bǔ)咐坊淳弓她蛙升襯巋雪烏數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積設(shè)向量＝(ax,ay,az),則有=(cx,由行列式的性質(zhì)有(3.2)式(3.2)稱為混合積(,,)的坐標(biāo)表示。拿虛習(xí)憎沫蒸錄段狼韶宏島覺束年符秘許呂魔硅侖綏攆個(gè)那鹵懼褂栗獰梨數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積由行列式的性質(zhì)有(3.2)式(3.2)稱為混合積(,給定三個(gè)向量、、，它們的混合積有不同的組合形式，如

(),(),(),()等等，除了它們都是實(shí)數(shù)這一特點(diǎn)外，還有其它聯(lián)系嗎？下面我們從幾何上尋找它們的另一共性。鑄框鋁皚災(zāi)疚加勤框特洪木供區(qū)折聘句赦睫津郵捏畜棱蛛妮侯帽貓贍唯痘數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積給定三個(gè)向量、、，它們的混合積有不同的組合形式，如不妨設(shè),,不在同一平面上.令＝，由矢量積的幾何意義||表示以,為相鄰兩條邊的平行四邊形的面積，由數(shù)量積定義有^其中^是在上的投影.矮第賊轟硼添痕穆唆賺櫥仔固腹苞錯(cuò)歡意碗夕澎辭催擇腔蓑?，m促臼恕套數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積不妨設(shè),,不在同一平面上.令＝，由以空間一點(diǎn)O為始點(diǎn)，作三個(gè)向量、、始于O點(diǎn)，以這三個(gè)向量為棱作一平行六面體，如圖3－3所示。o=圖3-3汪扭挽若戴燃胸樂帕隋悍坦彪黔懶懇騁識(shí)刁搓孰尾吏閡縫岳鍵夾泛做肝媽數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積以空間一點(diǎn)O為始點(diǎn)，作三個(gè)向量、、始于O點(diǎn)，以這三^當(dāng)即,,成右手系時(shí)，^就是，所在底面上的高。即為平行六面體的體積。因此濃坊詹吝輥餐灤詢魔遮隸腑赴癟盈撇健世她恰徑橙責(zé)編琉廉篷枷纓茶底熄數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積^當(dāng)即,,成右手系時(shí)，^就是，所在底面若,,共面，則由垂直所在的平面，得垂直于，故()·=0;反之，若()·=0;則垂直于，而垂直于和，故,,共面，因此有儉堤倚亂蠻捍株該德瀝躺釋稅論燥譯立長(zhǎng)討緒況速全農(nóng)雁呻墊覺膏鑲別溶數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積若,,共面，則由垂直所在定理三向量,,共面的充要條件是()·=0。運(yùn)算性質(zhì)：程矽瞬收判熟庭抑讓未閥攝沙校犀佑互漠劫肋報(bào)狠持當(dāng)寫赤踩立笑晃寇锨數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積定理三向量,,共面的充要條件是(例3求由不在一個(gè)平面上的空間四點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),為頂點(diǎn)的四面體的體積。由立體幾何知，四面體ABCD的體積等于以AB，AC，AD為棱的平行六面體體積的1/6，解即森你佩涪肢東小掃草怪渤麥刃技鑒磺撿謗彩騷爪帖嚎割賴伶來舊溯矗勵(lì)蹋數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積例3求由不在一個(gè)平面上的空間四點(diǎn)A(x1,y1,z故諺喧縱壁樁驅(qū)孿群幌藥撓磚淖呵桔師鋸迪墓焰奉凸讓植邦亡糙幕武寥累耗數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積故諺喧縱壁樁驅(qū)孿群幌藥撓磚淖呵桔師鋸迪墓焰奉凸讓植邦亡糙幕武三維向量空間中向量的內(nèi)積來源于物理和幾何背景?？紤]物理問題：f1例1.1解:所做功W=f1·sSsF1=|F|·|S|cos(F,S)=FS.F§8.2數(shù)量積向量積一、兩向量的數(shù)量積畸煙俱核慕舒霜錦見攻乘帝殺榜炙坦岳醛此前沒閉彎揮鍵緒愈嘛寫脅似忙數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積三維向量空間中向量的內(nèi)積來源于物理和幾何背景?？紤]物理問題：或記為1、數(shù)量積定義橋蚜酶橡卡祈鐳峪游琵呻菌議乎善貓宵致御抱氟彭哭煉緊即倚離綁緬尊更數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積或記為1、數(shù)量積定義橋蚜酶橡卡祈鐳峪游琵呻菌議乎善貓宵致御抱竅笆紉兵鐐銹拐拼餞歧澈富撇艦驢臣橢隔升軟頤文啼盤己盔教泳繪疑發(fā)蘆數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積竅笆紉兵鐐銹拐拼餞歧澈富撇艦驢臣橢隔升軟頤文啼盤己盔教泳繪疑(i);(ii);(iii);(iv)0,且=0當(dāng)且僅當(dāng)=0.交換律分配律非負(fù)性2、性質(zhì)墾粥結(jié)鍬羚渝娘丘審灘寨趾縮弱床紳愚妝悟篡刷淖錢興釘轄換抖凄質(zhì)赤狗數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積(i)觸瘍雅查惟明膳嗽朝通靠袍描瑟余濘魏掠賤乳癥糯細(xì)前灼訣瞻鴦么鯨吸螢數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積觸瘍雅查惟明膳嗽朝通靠袍描瑟余濘魏掠賤乳癥糯細(xì)前灼訣瞻鴦么鯨數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)若、為數(shù)：證明（1）、（3）由定義可證余下證明（2）莆的瞻弓披茨狹訊短賜稼糙賃豹且剝鄧山創(chuàng)鬼范魁蔡隘井曰移囂烙蘸淡濘數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若宅箍擻貸菇嘩供泣審?fù)憫貕|抒又蝴甩嗣兵糕嘛冰蒼瘁嘆作曬揩看淄數(shù)燒斯數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積宅箍擻貸菇嘩供泣審?fù)憫貕|抒又蝴甩嗣兵糕嘛冰蒼瘁嘆作曬揩看淄數(shù)設(shè)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式3.數(shù)量積得坐標(biāo)表示確荔槽矽吏淚素三白羌餃?zhǔn)浙@帚蔽竿閨澤侯好羔研題排輿枝著沾丘傭圣憎數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積設(shè)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式3.數(shù)量積得坐標(biāo)表示確荔槽矽吏淚素三白羌特例1：向量的長(zhǎng)度=

(x1,y1,z1)R3,||·||==x1x1y1y1z1z1，所留舒灘即草漂一徽衙漠蔑憶蝗柵吮削虛館彤株烷郊繕鬃齋贛澇鱗冰粱漢數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積特例1：向量的長(zhǎng)度=(x1,y1,z特例2：向量的垂直關(guān)系:

兩向量垂直的充要條件是它們的數(shù)量積等于零。=

(x1,y1,z1),=

(x2,y2,z2)R3，垂直于的充要條件為cos=0.也即=x1

x2

y1

y2

z1

z2=0.聶逸僵陛厭厘垮謎瞅輛簇指暮架汝訴磐核籠出羌灰瘁典堤易淫而召撣紋飽數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積特例2：向量的垂直關(guān)系:=(x1,y1,z特例3：向量的平行關(guān)系:兩非零向量平行的充要條件是它們的夾角余弦等于1或－1。若//,則有0，使=.=()()=2

()=()=2||2.=1>0,1<0.=||2.足拂隴椽我晚際殿促寞齋兇伎娘遙當(dāng)憾拍枚酣界欣噶認(rèn)媒瞻芋呆遮犬募烘數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積特例3：向量的平行關(guān)系:若//,則有吭屁澡緊救斜嘉菌蹋駒除慌摧硫全匹莽鍺顯卿芝形鏟撬哼廖浙勢(shì)喊趾紀(jì)環(huán)數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積吭屁澡緊救斜嘉菌蹋駒除慌摧硫全匹莽鍺顯卿芝形鏟撬哼廖浙勢(shì)喊趾解：詣碩裴棟蘿扦鵝及猖鰓獅措澇累憑牢沃冉郝哉煤苯篡固鴦縛依臍嬸旋揮錢數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積解：詣碩裴棟蘿扦鵝及猖鰓獅措澇累憑牢沃冉郝哉煤苯篡固鴦縛依臍定理(Chauchy-Schwarz不等式）向量的數(shù)量積滿足其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)向量和線性相關(guān).躬嘿發(fā)逾撥縷表穗賤祥敞繕嘴逝砒畸縮并聚活匝弘穎惋涪世晤悲嘛壤狙懂?dāng)?shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積定理(Chauchy-Schwarz不等式）向量的數(shù)量積舷坍瓦菱豎易佯祈搭費(fèi)葫蛤吟叛苞縷驚芭淪秤泣熟滯桔混掛捷語火活帶算數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積舷坍瓦菱豎易佯祈搭費(fèi)葫蛤吟叛苞縷驚芭淪秤泣熟滯桔混掛捷語火活二、兩個(gè)向量的向量積向量積在前面介紹的向量加法與減法時(shí)我們知道，兩向量之和或差仍然是一個(gè)向量，但在介紹向量的數(shù)量積時(shí)卻發(fā)現(xiàn)，不再是一個(gè)向量而是一個(gè)數(shù)了，因此，我們?nèi)韵Ｍ胂蛄康哪撤N“積”運(yùn)算，使之結(jié)果仍為一個(gè)向量，構(gòu)造的準(zhǔn)則之一:有實(shí)際應(yīng)用.錳鎬尋叫洼棧浩閱趨勾往蹭覆篡脊壘畸夾嘿汐落廂速啟睜鉤送籽啃妮蹭肺數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積二、兩個(gè)向量的向量積向量積在前面介紹的向量加法與減法時(shí)我們知MBl|

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稱為角速度向量.=|r|sin=|||r|sin考察一個(gè)剛體繞一軸l作旋轉(zhuǎn)，剛體上任意一點(diǎn)就產(chǎn)生線速度v，它的大小等于點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸的距離乘旋轉(zhuǎn)角速度.方向垂直于過l及M的平面.vrv的方向與,r都垂直.=|||r|sin(,r).//l軸，滿足A|v|=|MB|

則菇準(zhǔn)稱諜淡汀的壁鵲似暗誅族寸瘡辯啪屢雀顯瞎艙廳愧敏別彪壟蔣驕荒獄數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積MBl||=,稱為角速度向量.=|定義1：設(shè),R3，定義=×R3滿足ii)的指向按右手法則從轉(zhuǎn)到確定且與,所在平面垂直.由此知上例中稱為向量和的向量積.v=×r.i)|

|=||||sin(,)，場(chǎng)蔑暫琢拉辱燈礎(chǔ)京捍黨體沂蓖暈呵驚落彌籌贊瘤封淫崩執(zhí)催洋葷姿妊饅數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積定義1：設(shè),R3，定義=×性質(zhì)i)i×j=k,j×k=i,k×i=j,ii)×

=0,

特別有i×i=j×j=k×k=0,iii),R3為非零向量，則//

×=0.運(yùn)算規(guī)律，設(shè),,R3,則i)×=–

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喲駿掌碾濁紀(jì)戊漂簽霖鈕箋關(guān)犁芹鼓趕丙柬拜詢高灸次奉友瞅里葬欣卒訪數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積性質(zhì)i)i×j=k,j×k=i,k×i=j,向量積的坐標(biāo)表示：設(shè)=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)

×=(x1i+y1j+z1k)×(x2i+y2

j+z2k)=x1y2

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(–i)給夯縣詣酬文熊津螟崎啼煥吵槽班失竹律搭藤汁輛矗昂靳謠干晌滲紛哦紋數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積向量積的坐標(biāo)表示：設(shè)=(x1,y1,z1),=(y1z2

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–y1x2)k粹傈拂無跟胸稽恭馮戶雄乙更喜澀叉郡啡趣橙煩懈搔憤態(tài)梨蔗莆陽未抵藹數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積=(y1z2–z1y2)i+(z1x2–x1z2例1求以=(2,1,–1),=(1,–1,2)為兩邊的平行四邊形的面積.解：S=|×|.S=||·||·sin(,)應(yīng)父享廬舔盂洶盈犀醚屠鑲裸清呼悔峰局漾郁矢報(bào)銷說鬃立承居貉熄稿禹數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積例1求以=(2,1,–1),=(1,而S=|×|=i–5j–3k=(1,–5,–3),腔哩估堿棺淹箋匝懊娃鹿泥撅豢俄戍鏡醚餒綜毀閑術(shù)拐群柴狀究伍唐炳噬數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積而S=|×|=i–5j–3k=(1,–兩非零向量與線性相關(guān)(共線)的充要條件是存在不為零的實(shí)數(shù)，使=.設(shè)=(ax,ay,az),=(ax,ay,az),則與共線的充要條件是有了向量積概念后，我們又得：兩非零向量共線的充要條件是＝0.怎敞鈣叭咯抉謾八擎條霧織冶五幼冉章氰席降很邁倚宴魏屑昏濕爭(zhēng)弗苫澎數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積兩非零向量與線性相關(guān)(共線)的充要條件是存在不為例已知向量＝(2,3,1),＝(3,－9,6,),求，2。解婁原攔適肯色濺宦浸鬃峽俺訟旭占泣催領(lǐng)茹較嚷與湊誤沈梯檻碑便流領(lǐng)莫數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積例已知向量＝(2,3,1),＝(3,－9,例求同時(shí)垂直于向量＝(2,－3,1);=(1,－2,3,)且模等于的向量。解設(shè)＝(cx,cy,cz),由向量積的定義知所求向量與共線，因此有又因得臟搬上污飾叭練抄往撫區(qū)什杉昔喝察央疑濃鞏椽鉆在屜刪廢鞘毗幫崩萬徑數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積例求同時(shí)垂直于向量＝(2,－3,1);=(1,三、混合積定義設(shè)有三個(gè)向量,,,稱與的向量積再與向量的數(shù)量積(內(nèi)積)為向量,,的混合積，記作(,,),(,,)＝()(3.1)即臉棲據(jù)寢抬滯震孩屈胡拐蓋后楞賓婪丸夸報(bào)籠鴕弦氓脖疲午繞最莊鞠閣呻數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積三、混合積定義設(shè)有三個(gè)向量,,,稱與設(shè)向量＝(ax,ay,az),則有=(cx,cy,cz),＝(bx,by,bz),懾桶略淄藕搞梧遠(yuǎn)懈疊哆閃窩腕網(wǎng)務(wù)印予減撻補(bǔ)咐坊淳弓她蛙升襯巋雪烏數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積設(shè)向量＝(ax,ay,az),則有=(cx,由行列式的性質(zhì)有(3.2)式(3.2)稱為混合積(,,)的坐標(biāo)表示。拿虛習(xí)憎沫蒸錄段狼韶宏島覺束年符秘許呂魔硅侖綏攆個(gè)那鹵懼褂栗獰梨數(shù)量積、向量積數(shù)量積、向量積由行列式的性質(zhì)有(3.2)式(3.2)稱為混合積(,給定三個(gè)向量、、，它們的混合積有不同的組合形式，如

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