復(fù)變函數(shù)的積分第一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日一、積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,若選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),則稱C為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,簡(jiǎn)單閉曲線正向的定義:當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.§1復(fù)變函數(shù)積分的概念2第二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日2.積分的定義:(D3第三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于定義的說(shuō)明:4第四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日二、積分存在的條件及其計(jì)算法1.存在條件：若f(z)為連續(xù)函數(shù)且C是光滑曲線，則積分一定存在。（證明略）2.積分計(jì)算：5第五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算方法1的推導(dǎo)：計(jì)算方法2的推導(dǎo)：6第六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日連續(xù)曲線

兩個(gè)連續(xù)的實(shí)函數(shù)，則方程組代表一平面曲線，稱為連續(xù)曲線。平面曲線的復(fù)數(shù)表示:曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)

過(guò)定點(diǎn)，傾斜角為

的直線參數(shù)方程為：

7第七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日其參數(shù)方程為復(fù)平面上以z0為圓心，半徑為r的圓：以(a,b)為圓心，半徑為r的圓：8第八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例1直線段C3:的方程為解：計(jì)算其中積分路徑C分別為如下兩種：直線段，和折線段寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式有：直線段C4:的方程為寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式有：9第九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例1續(xù)直線段方程為這兩個(gè)積分都與路線C無(wú)關(guān)（格林定理）10第十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日y=x例211第十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例3解積分路徑的參數(shù)方程為12第十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例4解積分路徑的參數(shù)方程為13第十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無(wú)關(guān).14第十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例5解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x(2)積分路徑的參數(shù)方程為15第十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為16第十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日三、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式17第十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得[證畢]18第十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例6解根據(jù)估值不等式知19第十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日§2柯西－古薩基本定理f(z)不滿足C-R方程,在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.此時(shí)積分與路線有關(guān).由以上討論可知,積分是否與路線無(wú)關(guān),或沿閉曲線的積分值為0的條件，可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.上一小節(jié)幾個(gè)例子：例1此時(shí)積分與路線無(wú)關(guān).

例2

例4f(z)在以z0為中心的圓周內(nèi)不是處處解析的，此時(shí)雖然在除z0外的圓內(nèi)處處解析，但此區(qū)域已不是單連通域20第二十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日積分

定積分二重積分三重積分曲線積分曲面積分積分域

區(qū)間平面區(qū)域空間區(qū)域曲線曲面曲線積分第一型曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）第二型曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）高數(shù)知識(shí)回顧：曲線積分在高等數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)了下列積分：21第二十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日二重積分22第二十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第一型曲線積分如果L是閉曲線,則記為設(shè)L

是空間可求長(zhǎng)曲線段,f(x,y)為定義在L上的函數(shù)，則可定義f(x,y)在空間曲線L

上的第一型曲線積分，并記作23第二十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第二型曲線積分

變力沿曲線作功:設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用沿曲線

L

從點(diǎn)A

移動(dòng)到點(diǎn)B

，則力F(x,y)所作的功由如下曲線積分給出：或也記為或簡(jiǎn)記為P、Q是連續(xù)函數(shù)24第二十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日格林(Green)公式定理(格林公式)若函數(shù)在閉區(qū)域D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有：其中L

為區(qū)域D

的邊界曲線，并取正方向.25第二十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性定理在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(iii)沿D中任意按段光滑閉曲線L,有(ii)對(duì)D中任一按段光滑曲線

L,曲線積分(i)在D內(nèi)處處成立與路徑無(wú)關(guān),只與L

的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān).

設(shè)D是單連通域，函數(shù)則以下三個(gè)條件等價(jià):26第二十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)格林公式：27第二十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日柯西－古薩基本定理（柯西積分定理）定理中的C可以不是簡(jiǎn)單曲線.28第二十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于定理的說(shuō)明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,

(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.例根據(jù)柯西－古薩定理,有29第二十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日§3復(fù)合閉路定理30第三十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日︵︵設(shè)函數(shù)f(z)在多連通域D內(nèi)解析31第三十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日︵︵︵︵︵︵︵︵32第三十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日得解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說(shuō)明:在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).︵︵︵︵33第三十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例1閉路變形原理：34第三十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日35第三十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)合閉路定理36第三十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例2解依題意知,37第三十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)復(fù)合閉路定理,38第三十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例3解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,39第三十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例4解由復(fù)合閉路定理有

此結(jié)論非常重要,用起來(lái)很方便,因?yàn)椴槐厥菆A,a也不必是圓的圓心,只要a在簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)即可.40第四十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例5解由上例可知41第四十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日定理一由定理一可知:

解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁(yè)圖)§4原函數(shù)與不定積分42第四十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日43第四十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日定理二

此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.其證明也完全類似。44第四十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日原函數(shù):原函數(shù)之間的關(guān)系:證[證畢]推論：45第四十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)說(shuō)明:

有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.46第四十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,47第四十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例2解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)48第四十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例3解此方法使用了微積分中“分部積分法”49第四十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例4解50第五十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日一、問(wèn)題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C

的變化而改變,§5柯西積分公式51第五十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日二、柯西積分公式定理-----

柯西積分公式或者：52第五十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日證明：（不作要求，僅供參考）53第五十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日上不等式表明,只要足夠小,左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知,左端積分的值與R無(wú)關(guān),所以只有在對(duì)所有的R積分值為零時(shí)才有可能.[證畢]54第五十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)明:(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.(2)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.55第五十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例1解由柯西積分公式可得56第五十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例2解57第五十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例3解由柯西積分公式58第五十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日定理§6高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.59第五十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例1解60第六十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例2解61第六十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)復(fù)合閉路定理62第六十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例3解63第六十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例4解64第六十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日一、調(diào)和函數(shù)的定義§7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系65第六十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1.兩者的關(guān)系定理：任何在區(qū)域

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證：根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定理,[證畢]66第六十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日2.共軛調(diào)和函數(shù)的定義

區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù).67第六十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日3.偏積分法

如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v,從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)u+vi.這種方法稱為偏積分法.解例1故u(x,y)為調(diào)和函數(shù)。68第六十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日得一個(gè)解析函數(shù)這個(gè)函數(shù)可以化為練習(xí)：答案69第六十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例2解70第七十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日所求解析函數(shù)為71第七十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日4.不定積分法不定積分法的實(shí)施過(guò)程:上兩式積分得：72第七十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日用不定積分法求解例1中的解析函數(shù)例3解73第七十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日例