山東省青島市萊西市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷閱卷入一、單選題(共8題；共16分)得分(2分)已知集合4={xWR|x2-2x>0},B=[-3,-2,0,1,2,4}.C=AnB,則集合CTOC\o"1-5"\h\z的真子集的個數(shù)為( )A.4 B.7 C.8 D.16【答案】B(2分)已知定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是( )A.Vx^R,f(—x/Rx) B.Vx￡R,f(—x)聲一f(x)C.3xoR,f(—xo)邦xo) D.mx°￡R,f(—xo)#—f(xo)【答案】C(2分)設(shè)隨機(jī)變量X?N(2,a2},P(0<X<4)=0.3,P(X<-1)=m,則下列結(jié)論正確的為()A.m=0.35 B.m=0.7C.0.35<m<0.7 D.0<m<0.35【答案】D(2分)如果兩條直線A：(m+2)x+(巾2-3rn)y+4=0與％：4x+2(m—3)y+7=0平行，則TOC\o"1-5"\h\z實數(shù)m的值為( )A.2 B.-3 C.-3或2 D.3或2【答案】D(2分)要得到y(tǒng)=cos(3x-》的圖象，只需將y=sin3x的圖象( )A.向左平行移動[個單位長度 B.向右平行移動居個單位長度C.向右平行移動七個單位長度 D.向左平行移動修個單位長度【答案】C(2分)已知3'=4丫=62#1,則下列結(jié)論正確的為( )A.數(shù)列事蚩是等差數(shù)列 B.數(shù)列1,套是等差數(shù)列

D.數(shù)列事務(wù)/是等比數(shù)列C.D.數(shù)列事務(wù)/是等比數(shù)列【答案】A(2分)通過隨機(jī)詢問某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛好跳繩，得到如下列聯(lián)表:跳繩性別合計男女愛好402060不愛好203050合計60501102已知*2=_P(x2>10.828)=0.001,根據(jù)小概率值a=0.001的乃2獨立性A (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)檢驗，以下結(jié)論正確的為( )A.愛好跳繩與性別有關(guān)B.愛好跳繩與性別有關(guān)，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001C.愛好跳繩與性別無關(guān)D.愛好跳繩與性別無關(guān)，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001【答案】D(v2+3Y>Q一?g(%)=Zx+l，若函數(shù)y=/(%)-g(x)在1+4%COS(27T—7TX),x<0%6[-2,3]內(nèi)有3個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍為(A.2V2<k<^y B.k=2a或笠<k<4C.-4<k<2^2 D.k=-4或k>芋A.若q/",aua,則q//SB.若五工石,ala,b1. 則a，0C.若a10,ar\B=b,Pea,Pea,a.lb<則a_L0D.若a_Ly,a〃夕，則01y【答案】A,B,D10.（2分）已知復(fù)數(shù)2=a+（1-。2）3i為虛數(shù)單位，aER,則下列正確的為（ ）A.若z是實數(shù)，貝!|a=-1B.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點位于一條拋物線上。|z|>-yD.若z=22+l,則<1=±1【答案】B,Cn.（2分）已知兩個向量瓦和石滿足同=2,同1=1,可與石的夾角為不若向量2聞+7冕與向量TOC\o"1-5"\h\z可+t石的夾角為鈍角，則實數(shù)t可能的取值為（ ）A.-6 B._巫 C.-J D.-p2 2 5【答案】A,D（2分）已知雙曲線Q《_色=1，過其右焦點F的直線1與雙曲線交于A,B兩個不同的點，9 16則下列判斷正確的為（ ）A.|4B|的最小值為孝B.以F為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=20zC.滿足|AB|=2的直線有3條D.若A,B同在雙曲線的右支上，則直線I的斜率k6（—8,-如亭+00）【答案】B,D閱卷入三、填空題（共4題；共4分）得分16（1分）在（2?-去）的展開式中，好的系數(shù)為；【答案】-192（1分）記函數(shù)/（X）=3%+11?:（71€7+）的圖像在點。，/（金）處的切線的斜率為斯，則數(shù)列1{- }的前n項和為 .anan+l【答案】信（1分）在AABC中，CA=a，CB=b，@不＜0，|磯=5,向=3，若△ABC的外接圓的半徑為孕，則角C=.【答案】冬（1分）如圖，矩形ABCC中，AB=2V3.AD=2,Q為BC的中點，點M,N分別在線段AB,CD上運動（其中M不與4B重合，N不與C,。重合），且MN〃/1。，沿MN將4DMN折起，得到三棱錐D-MNQ.當(dāng)三棱錐D-MNQ體積最大時，其外接球的表面積的值為.【答案】竽閱卷人四、解答題(共6題；共65分)得分(10分)在△ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊，布=(2a+c,b),n=(cosB,cosC),m-n=0.(1)(5分)求角B大?。?5分)設(shè)/(x)=2cosxsin(x+/)—ZsiMxsinB+2sinxcosxcos(A+C),當(dāng)xe吟，爭時,求/(x)的最小值及相應(yīng)的X.【答案】(1)解：由已知條件得記?訶=(2a+c)cosB+bcosC=0,由正弦定理得(2sin4+sinC)cosF+sinBcosC=0,即2sin4cosB+sinCcosB+sinBcosC=0,2sin4cosB+sin(B4-C)=0,則2sin4cos8+sin4=0,Vsirii4H0,cosB=一飛又,：B€(0,7T)，,B=箏(2)解：/(x)=2cosxsin(x+亨)-2sin2xsinB+2sinxcosxcos(A+C)

1V3 L1=2cosx(^sinx+cosx)—V3sinzx+sinxcosx

=2sinxcosx+a/3cos2x—V3sin2x=sin2x+V3cos2x=2sin(2x+亨),Vxe[^,韻，，2x+'停，爭，-2<2sin(2x+J)<V3,則/（X）的最小值-2,其中2x+g=岑，即當(dāng)X=居時，/（x）有最小值2（10分）已知數(shù)列｛冊｝的前n項和為S〃，且a1,%,Sn為等差數(shù)列；數(shù)列｛%｝滿足瓦=6,bn=14-—4-4nQ九十.⑴（5分）求數(shù)列｛%｝的前n項和Tn；（2）（5分）若對于（2）（5分）若對于VnWN*,總有3n-20/7m-464成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）解：因為4,an, 為等差數(shù)列，所以2an=Qi+Sn,所以2an+i=%+Sn+i，兩式相減得20九+1—2an=Sn+i—Sn,即冊+1=2即，所以數(shù)列｛Qn｝是以2為公比的等比數(shù)列,又=6,bn=Sn+今+4,所以6=%+/+4,解得%=1,所以an=2nsn=上旦」2n—1,所以勾=2幾-1+所以勾=2幾-1+2“T2“T+3,1 O1 1所以7\=%+乃+…+%=(2+盧+3)+(2?+盧+3)+…+(2“+/+3)11

=(24-22+…+2")+(1+a+…+~^tt)+3n所以當(dāng)0VnM7,幾WN*時，cn+1-cn>0,即0+1>%,=2n+1=2n+1+3n,1—111—11-2nX2 2nt21-2IT+3n所以7\=2-1一4-3n所以7\=2-1一4-3n；（2）解：由（1）得不等式為人 3九—20n?令呢—^n-l，則。+1一。=3n-20/7m—4他,人2九一1V—64~f整理得7m—4>64X3(n4~l)—203n-20_23-3n2—12"3n-203x8—20當(dāng)n>7, 時，cn+1-cn<0,即c〃+i〈c〃，所以當(dāng)n=8時，金取得最大值。8=28-1=132,所以77n—4>64x+,即7m—4>2,解得m>多所以實數(shù)m的取值范圍為小>?（10分）現(xiàn)有混在一起質(zhì)地均勻且粗細(xì)相同的長度分別為1巾、2小、3nl的鋼管各3根（每根鋼管附有不同的編號），現(xiàn)隨機(jī)抽取4根（假設(shè)各鋼管被抽取的可能性是相等的），再將抽取的這4根首尾相接焊成筆直的一根.（5分）記事件4="抽取的4根鋼管中恰有2根長度相同”，求P（4）；（5分）若用f表示新焊成的鋼管的長度（焊接誤差不計），77=2斯-7,E（rj）>1,求f的分布列和實數(shù)；I的取值范圍.【答案】（【答案】（1）解：由已知P（4）=（C；C分或XC：9一點—F；（2）解：由已知f可能的取值有5,6,7,8,9,10,11，則P(f=5)=P(f=11)=4=各C9P(f=6)=P(f=10)="：。3=P(f=7)=P(f=9)=Q+氣QQ=言,9p(..g.cjclcl+cjcl_2廠IS-°J- 4 —7，???f的分布列為567891011p14222152152122114212 52s 2 1:，E(f)=5x^2+6x2y+7x+8x7+9x+10x4-11x=8，.??E(〃)=E(2Af-7)=2AE(f)-7=16A-7>1,解得；I>I（10分）在如圖所示的三棱柱48。一4避?中，側(cè)面ABBiA為菱形，乙4BB1=60。，AB=2vLBC=2V3.AC=4.BBr1AC.（5分）求證：平面BBgCJ?平面4峭4；（5分）求平面與平面ABC的夾角的余弦值.【答案】（1）證明：連接ABi，取BBi的中點0,連接。4,OC,因為四邊形為菱形，Z.ABBi=60°,所以△ABiB為等邊三角形，所以因為BB1J.AC,ACnOA=A,所以BB]_L平面AOC,因為OCu平面40C,所以8Bi1OC,在等邊AABiB中，AB=2y[2,所以。A=2V2sin600=巡，在RtAOBC中，BC=2V3,OB=V2,所以O(shè)C=VTU，因為4c=4,所以。屋+OC2=AC2,所以O(shè)CJ.OA,因為04nBBi=。，所以O(shè)C_L平面ABBiA],因為OCu平面BBiGC,所以平面BBiQC，平面ABBMi，(2)解：由(1)可知。4,OB,OC兩兩垂直，所以以。為原點，。4,OB,0C所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,則%(e，-2V2,0),5(0,V2,0),6(0,-2V2,V10).所以A1C；=(一遍,0,V10),西=(0,-3V2,V10)設(shè)沅=(x,y,z)為平面4BC1的一個法向量，則令z=3V3.則沆=(3V5,V15,3V3).m令z=3V3.則沆=(3V5,V15,3V3).m-阮］=-3V2y+VlOz=0設(shè)元=(a,b,c)為平面4BC的一個法向量,由4(遍，0,0),8(0,V2,0),C(0,0,V10).得荏=(一遍，V2,0),5C=(0,-V2,V10)，則/晶=-g+/=0,令&=5,則元=(5,5V3,V15)，設(shè)平面ABC]與平面ABC的夾角為。，由圖可知。為銳角，則_沅?五_ 15通+15而+9— 13V2001COS0一'|沅1同1一145+154r17?J25+75+15.667(10分)已知橢圓C：與+4=l(a>b>0)的離心率為e=J,A,B為其左、右頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2a乙y J為其左、右焦點，以線段尸122為直徑的圓與直線Lx+y+奩=0相切，點P是橢圓C上的一個動點(P異于A,B兩點)，點Q與點P關(guān)于原點對稱，分別連接AP,QF2并延長交于點M,連接P后并延長交橢圓C于點N,記△AB”的面積與的面積分別為Si，S2.(5分)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(5分)若2si=5S2，求點P的坐標(biāo).

【答案】(1)解：：以線段片七為直徑的圓與直線/：x+y+&=0相切,|V2| [，原點到直線心x+y+&=0的距離為c,B[JC=J'2~2=lj又3=',.二。=3,即必=。2—02=8，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+^=1；7O(2)解：設(shè)點P坐標(biāo)為(m,n),77由4(-3,0)得，直線4「的方程為丫=訴(*+3)(其中小彳一3,n*0),:點Q與點P關(guān)于原點對稱，.??點Q的坐標(biāo)為(一小，-n).則直線QF2的方程為y=備。-1)，將兩直線方程聯(lián)立得M(2m+3,2n),又：2Si=5s2，?$1_1丫“1_5ng2n_5 4n??耳一麗一T即Ml-2,El-丁點P和點N分別位于x軸的兩側(cè)，則丫川=一等，?.?點P、&、N三點共線，，隔〃無N，m

4-5N故4-59-5即PF；=(1—m,―幾)，F(xiàn)m

4-5N故4-59-5(1一m)、N-(xn-1)(一九)=。，xN=。?,點N在橢圓上，，義《一/小)+g(—=1，一2 2又，?,點P也在橢圓上，，野+萼=1，go以上兩個方程聯(lián)立求解得rn=0,n=+2y[2,則存在點P(0,±2V2),使得2si=5S2.(15分)已知/'(x)=ln(ax+b)—x,其中a>0,b>0.(5分)求/(x)在[0,+8)上為減函數(shù)的充要條件；(5分)求y=/(/)在(_8,+8)上的最大值；(5分)解關(guān)于x的不等式：ln(l+Vsin2x4-cos2x)+1>Vsin2x+cos2x+\n2-

【答案】(1)【答案】(1)解：由/(*)=ln(ax+b)-x,得f(x)=而翳Q—b—QX

ox+bx6[0,充分性：因為xNO,a>0,b>0,所以當(dāng)/'(x)W0時，a-bWO,即0<aWb,必要性：當(dāng)0<aWb時，因為x20,a>0,b>0,所以ax+b>0,a—b—ax<0^即/'(x)W0,所以/(x)在[0,+8)上為減函數(shù)的充要條件為0<aWb,(2)解：設(shè)x2=te[0,+00),則問題轉(zhuǎn)化為求y=/(t)在te[0,+8)上的最大值,由(1)可知，當(dāng)0<aWb時，/(t)在te[O,+8)上為減函數(shù)，所以丫?皿=/(°)=1血當(dāng)a>b時，=J'JQt+b Qt+b由于OSt<等時，/(t)>0?則/(t)在[0,F)上為增函數(shù)，當(dāng)t>噂時，/'(t)<0，則f(t)在(W，+8)上為減函數(shù)，所以ymax =f(W)= lna-T，己 (Inb, 0< a<b綜上，^max= ]} a-b 、,IInez ,q>b\ q(3)解：取Q=b=l,則/(%)=ln(x+1)—%,由ln(l+Vsin2x4-cos2x)+1>Vsin2x4-cos2x+ln2,得ln(l+Vsin2x4-cos2x)—Vsin2x4-cos2x>ln2—1,所以/(Vsin2x+cos2x)>/(I),由(1)可知/(%)在[0,+8)上為減函數(shù),所以，sin2%+cos2x<1,所以[sin2x4-cos2x>0叫/&sin(2x+4)20么Isin2x+cos2xW1'|V2sin(2x+J)<1)解得2k?r<2x+-r<2kn+1或2kzr+-?■<2x+5<2kn+n>keZ,41 4- 4 4所以k7T-1<x<krr或Zar+狂％W〃兀+普，keZ,所以不等式的解集為—^<x<krr或lor+ kGZ)

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：93分分值分布客觀題（占比）25.0(26.9%)主觀題（占比）68.0(73.1%)題量分布客觀題（占比）13(59.1%)主觀題（占比）9(40.9%)2、試卷題量分布分析大題題型題目量（占比）分值（占比）填空題4(18.2%)4.0(4.3%)解答題6(27.3%)65.0(69.9%)多選題4(18.2%)8.0(8.6%)單選題8(36.4%)16.0(17.2%)3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析序號難易度占比1普通(95.5%)2容易(4.5%)4、試卷知識點分析序號知識點（認(rèn)知水平）分值（占比）對應(yīng)題號1獨立性檢驗的基本思想2.0(22%)1

2利用導(dǎo)數(shù)