1986-2002中國數(shù)學(xué)奧林匹克1986年第一屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.已知a1,a2,...,an為實數(shù)，如果它們中任意兩數(shù)之和非負，那么對于滿足x1+x2+...+xn=1的任意非負實數(shù)x1,x2,...,xn，有不等式a1x1+a2x2+...+anxn≧a1x12+a2x22+...+anxn2成立.請證明上述命題及其逆命題.2.在三角形ABC中，BC邊上的高AD=12，∠A的平分線AE=13，設(shè)BC邊上的中線AF=m，問m在甚么范圍內(nèi)取值時，∠A分別為銳角，直角、鈍角？3.設(shè)z1,z2,...,zn為復(fù)數(shù)，滿足|z1|+|z2|+...+|zn|=1.求證：上述n個復(fù)數(shù)中，必存在若干個復(fù)數(shù)，它們的和的模不小于1/6.4.已知：四邊形的P1P2P3P4的四個頂點位于三角形ABC的邊上.求證：四個三角形△P1P2P3、△P1P2P4、△P1P3P4、△P2P3P4中，至少有一個的面積不大于ABC的面積的四分之一.5.能否把1,1,2,2,...,1986,1986這些數(shù)排成一行，使得兩個1之間夾著一個數(shù)，兩個2之間夾著兩個數(shù)，....，兩個1986之間夾著一千九百八十六個數(shù).請證明你的結(jié)論.6.用任意的方式，給平面上的每一點染上黑色或白色.求證：一定存在一個邊長為1或3的正三角形，它的三個頂點是同色的.1987第二屆年中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)n為自然數(shù)，求方程zn+1-zn-1=0有模為1的復(fù)根的充份必要條件是n+2可被6整除.2.把邊長為1的正三角形ABC的各邊都n等分，過各分點平行于其它兩邊的直線，將這三角形分成小三角形，和小三角形的頂點都稱為結(jié)點，在第一結(jié)點上放置了一個實數(shù).已知i.A、B、C三點上放置的數(shù)分別為a、b、c.ii.在每個由有公共邊的兩個最負三角形組成的菱形之中，兩組相對頂點上放置的數(shù)之和相等.試求iii.放置最大數(shù)的點積放置最小數(shù)的點之間的最短距離.iv.所有結(jié)點上數(shù)的總和S.i.某次體育比賽，每兩名選手都進行一場比賽，每場比賽一定決出勝負，通過比賽確定優(yōu)秀選手，選手A被確定為優(yōu)秀選手的條件是：對任何其它選手B，或者A勝B，或者存在選手C，C勝B，A勝C.結(jié)果按上述規(guī)則確定的優(yōu)秀選手只有一名，求證這名選手勝所有其它選手.i.在一個面積為1的正三角形內(nèi)部，任意放五個點，試證：在此正三角形內(nèi)，一定可以作三個正三角形蓋住這五個點，這三個正三角形的各邊分別平行于原三角形的邊，并且它們的面積之和不超過0.64.i.設(shè)A1A2A3A4是一個四面體，S1,S2,S3,S4分別是以A1,A2,A3,A4為球心的球，它們兩兩相切.如果存在一點O，以這點為球心可作一個半徑為r的球與S1,S2,S3,S4都相切，還可以作一個半徑為R的球積四面體的各棱都相切，求證這個四面體是正四面體.i.m個互不相同的正偶數(shù)與n個互不相同的正奇數(shù)的總和為1987，對于所有這樣的m與n，問3m+4的最大值是多少？請證明你的結(jié)論.1988年第三屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)a1,a2,...,an是給定的不全為零的實數(shù)，r1,r2,...,rn為實數(shù)，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+rn(xn-an)≦√(x12+x22+...+xn2)+√(a12+a22+...+an2)對任何實數(shù)x1,x2,...,xn成立，求r1,r2,...,rn的值.2.設(shè)C1、C2為同心圓，C2的半徑是C1的半徑的2倍，四邊形A1A2A3A4內(nèi)接于C1，將A1A4延長，交圓C2于B1.設(shè)A1A2延長線交C2于B2，A2A3延長線交圓C2于B3，A3A4延長線交圓C2于B4.試證：四邊形B1B2B3B4的周長2(四邊形A1A2A3A4的周長).并確定的號成立的條件.3.在有限的實數(shù)列a1,a2,...,an中，如果一段數(shù)ak,ak+1,...,ak+l-1的算術(shù)平均值大于1988，那么我們把這段數(shù)叫做一條“龍”，并把ak叫做這條龍的“龍頭”(如果某一項an>1988，那么單獨這一項也叫龍).假設(shè)以上的數(shù)列中至少存在一條龍，證明：這數(shù)列中全體可以作為龍弄的項的算術(shù)平均數(shù)也必定大于1988.4.(1)設(shè)三個正實數(shù)a、b、c滿足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4).求證：a、b、c一定是某個三角形的三條邊長.(2)設(shè)n個正實數(shù)a1,a2,...,an滿足(a12+a22+...+an2)2>(n-1)(a14+a24+...+an4)其中n≧3.求證：這些數(shù)中任何三個一定是某個三角形的三條邊長.5.給出三個四面體AiBiCiDi(i=1,2,3)，過點Bi、Ci、Di作平面αi、βi、γi(i=1,2,3)，分別與棱AiBi、AiCi、AiDi垂直(i=1,2,3)，如果九個平面αi、βi、γi(i=1,2,3)相交于一點E，而三點A1、A2、A3在同一直線l上，求三個四面體的外接球面的放條(形狀怎樣？位置如何？).6.如n是不小于3的自然數(shù)，以f(n)表示不是n的因子的最小自然數(shù)，例如f(12)=5.如果f(n)3，又可作f(f(n)).類似地，如果，f(f(n))≧3，又可作f(f(f(n)))等等.如果f(f(...f(n)...))=2，共有k個f，就把k叫做n的“長度”.如果ln表示n的長度，試對任意自然數(shù)n(n≧3)，求ln.并證明你的結(jié)論.1989年第四屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.在半徑為1的圓周上，任意給定兩個點集A、B，它們都由有限段互不相交的弧組成，其中B的每段的長度都等于π/m，m是自然數(shù).用Aj表示將集合A反時針方向在圓同上轉(zhuǎn)動jπ/m弧度所得的集合(j=1,2,...).求證：存在自然數(shù)k，使得L(Aj∩B)≧L(A)L(B)/(2π).這里L(fēng)(x)表示組成點集x的互示相交的弧段的長度之和.2.設(shè)x1,x2,...,xn都是正數(shù)(n≧2)且x1+x2+...+xn=1.求證：.3.設(shè)S為復(fù)平面上的單位圓同(即模為1的復(fù)數(shù)的集合)，f為從S到S的映射，對于任意S的元素z，定義f(1)(z)=f(z)，f(2)(z)=f(f(z))，...，f(k)(z)=f(f(k-1)(z)).如果S的元素c，使得f(1)(z)≠c，f(2)(c)≠c，...，f(n-1)(c)≠c，f(n)(c)≠c.則稱c為f的n─周期點.設(shè)m是大于1的自然數(shù)，f定義為f(z)=zm，試計算f的1989─周期點的總數(shù).4.設(shè)點D、E、F分別在△ABC的三邊BC、CA、AB上，且△AEF、△BFD、△CDE的內(nèi)切圓有相等的半徑r，又以r0的R分別表示△DEF和△ABC的內(nèi)切圓半徑.求證：r+r0=R.5.空間中有1989個點，其中任何三點不共線，把它們分成點數(shù)各不相同的30組，在任何三個不同的組中各取一點為頂點作三角形.6.設(shè)f：(1,+∞)→(0,+∞)滿足以下條件：對于任意實數(shù)x、y>1，及u、v>0，有f(xuyv)≦f(x)1/(4u)f(y)1/(4v)試確定所有這樣的函數(shù)..1990年第五屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.如下圖，在凸四邊形ABCD中，AB與CD不平行，圓O1過A、B且與邊CD相切于P，圓O2過C，D且與邊AB相切于Q，圓O1與O2相交于E、F.求證：EF平分線段PQ的充要條件是BC//AD.2.設(shè)x是一個自然數(shù)，若一串自然數(shù)x0=1,x2,...,xn=x滿足xi-1<i=1,2,...,l，則稱{x0,x1,...,xn}為x的一條因子鏈.l稱為該因子鏈的長度.L(x)與R(x)分別表示x的最長因子鏈的長度和最長因子鏈的條數(shù).對于x=5k×31m×1990n，k、m、n都是自然數(shù)，試求L(x)與R(x).3.設(shè)函數(shù)f(x)對x>0有定義，且滿足條件：i.對任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2f(x/2)+y2f(y/x)；ii.存在常數(shù)M>0，當(dāng)0≦x≦1時，|f(x)|≦M.求證：f(x)≦x2.4.設(shè)a是給定的正整數(shù)，A和B是兩個實數(shù)，試確定方程組：x2+y2+z2=(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3有整數(shù)解的充份必要條件(用A、B的關(guān)系式表示，并予以證明).5.設(shè)X是一個有限集合，法則f使的X的每一個偶子集E(偶數(shù)個元素組成的子集)都對應(yīng)一個實數(shù)f(E)，滿足條件：i.存在一個偶子集D，使得f(D)>1990；ii.對于X的任意兩個示相交的偶子集A、B，有f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990.求證：存在X的子集P、Q，滿足iii.P∩Q是空集，P∪Q=X；iv.對P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990v.對Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990.i.凸n邊形及n-3條在n邊形內(nèi)不相交的對角線組成的圖形稱為一個剖分圖.求證：當(dāng)且僅當(dāng)3|n時，存在一個剖分圖是可以一筆劃的圈(即可以從一個頂點出發(fā)，經(jīng)過圖中各線段恰一次，最后回到出發(fā)點).1991年第六屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.平面上有一凸四邊形ABCD.i.如果平面上存在一點P，使得ΔABP、ΔBCP、ΔCDP、ΔDAP面積都相等，問四邊形ABCD應(yīng)滿足甚么條件？ii.滿足(i)的點P，平面上最多有幾個？證明你的結(jié)論.2.設(shè)I=[0,1]，G={(x,y)|x、y為I的元素}，求G到I的所有映像f，使得對I的任何x、y、z有i.f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))；ii.f(x,1)=x，f(1,y)=y；iii.f(zx,zy)=zkf(x,y).這里，k是與x、y、z無關(guān)的正數(shù).3.地面上有10只小鳥在啄食，其中任意5只小鳥中至少有4只在一個圓上，問有鳥最多的圓上最少有幾只鳥？-y4.求滿足方程x2n+12n+1=xyz+22n+1的所有正整數(shù)解組(x,y,z,n)，這里n≧2，z≦5×22n.5.求所有自然數(shù)n，使得min自然數(shù)k(k2+[n/k2])=1991.這里[n/k]表示n/k的整數(shù)部份.6.MO牌足球由若干多邊形皮塊用三種示同顏色的絲線縫制而成，有以下特點：i.任一多邊形皮塊的一條邊恰與另一多邊形皮塊同樣長的一條用一種六色的絲線縫合；ii.足球上每結(jié)點，恰好是三個多邊形的頂點，每一結(jié)點的三條縫線不相同.求證：可以在MO牌足球的每一結(jié)點上放置一個不等于1的復(fù)數(shù)，使得每一多邊形的所有頂點上放置的復(fù)數(shù)的乘積都相等.1992年第七屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)方程xn+an-1xn-1+an-2xn-2+....+a1x+a0=0的系數(shù)都是實數(shù)，且適合條件0<a0≦a1≦a2≦....≦an-1≦1.已知λ為方程的復(fù)數(shù)根且適合條件|λ|>1，試證：λn+1=1.2.設(shè)x1,x2,...,xn為非負實數(shù)，記xn+1=x1，a=min{x1,x2,...,xn}，試證：nΣi=1+xi+11+xi_1≦n+(1+a)Σn(xi-a)2，i=2113.且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=...=xn.4.在平面上劃上一個9x9的方格表，在這上小方格的每一格中都任意填入+1或-1.下面一種改變填入數(shù)字的方式稱為一次變動；對于任意一個小方格有一條公共邊的所有小方格(不包含此格本身)中的數(shù)作連乘積，于是每取一個格，就算出一個數(shù)，在所有小格都取遍后，再將這些算出的數(shù)放入相應(yīng)的小方格中.試問是否總可以經(jīng)過有限次變動，使得所有方小方格中的數(shù)都變?yōu)?？5.凸四邊形內(nèi)接于圓O，對角線AC與BD相交于P，ΔABP與ΔCDP的外接圓相交于P和另一點Q，且O、P、Q三點兩兩不重合.試證∠OQP=90.6.在有8個頂點的簡單圖中，沒有四邊形的圖的邊數(shù)的是大值是多少？7.已知整數(shù)序列{a1,a2,......}滿足條件：1.an+1=3an-3an-1+an-2，n=2,3,......2.2a1=a0+a2-2.3.對任意的自然數(shù)m，在序列{a1,a2,......}中必有相繼的m項ak,ak+1,...,ak+m-1都為完全平方數(shù).試證：序列{a1,a2,......}的所有項都是完全平方數(shù).1993年第八屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)n是奇數(shù)，試證明存在2n個整數(shù)a1,a2,...,an；b1,b2,...,bn，使得對于任意一個整數(shù)k，0<k<n，下列3n個數(shù)ai+ai，ai+bi，bi+bi+k其中i=1,2,...,n，=,0<j<n)被3n除時余數(shù)互不相同.2.給定自然數(shù)k及實數(shù)a>0，在下列條件k1+k2+...+kn=k，ki為自然數(shù)其中1≦r≦k下，求ak1+ak2+...+akr的最大值.3.設(shè)圓K和K1同心，它們的半徑分別為R和R1，R1>R.四邊形ABCD內(nèi)接于圓K，四邊形A1B1C1D1內(nèi)接于圓K1，點A1、B1、C1、D1分別在射線CD、DA、AB、BC上，求證：SA1B1C1D1/SABCD≧R12/R2.4.給定集合S={z1,z2,...,z1993}，其中z1,z2,...,z1993是非零復(fù)數(shù)(可看作平面試的非零向量).求證可以把S中的元素分成若干組，使得i.S中每個元素屬于且僅屬于其中一組；ii.每一組中任一復(fù)數(shù)與該組所有復(fù)數(shù)之和的夾角不超過90.；iii.將任意兩組中復(fù)數(shù)分別求和，求得和數(shù)之間的夾角大于90..5.10人到書店買書，已知i.每人都買了三種書；ii.任何兩人所買的書，都至少有一種相同.問購買人數(shù)最多的一種書最(至)少有幾人購買？說明理由.6.設(shè)函數(shù)f：(0,+∞)→(0,+∞)滿足以下條件：對于任意正實數(shù)x、y，有f(xy)≦f(x)f(y).試證：對任意的正實數(shù)x及自然數(shù)n，有f(xn)≦f(x)f(x2)1/2...f(x)1/n.1994年第九屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)ABCD是一個梯形(AB//CD)，E是線段AB試一點，F(xiàn)是線段CD上一點，線段CE與BF相交于點H，線段ED與AF相交于點G，求證：SEHFG≦SABCD/4.如果ABCD是一個任意的凸圓邊形，同樣結(jié)論是否成立？請說明理由.2.n(n≧4)個盤子里放有總數(shù)不少于4的糖塊，從任意的兩個盤子各取一塊糖，放入另一個盤子中，稱為一次操作，問能可經(jīng)過有限次操作，將所有的糖塊集中列一個盤子里去？證明你的結(jié)論.3.求適合以下條件的所有函數(shù)f：[0,+∞)→[0,+∞)，i.f(2x)≦2(x+1)；ii.f(x+1)=[f(x)2-1]/x.4.已知f(z)=C0zn+C1zn-1+C2zn-2+....+Cn-1z+Cn是一個n次復(fù)系數(shù)多項式，求證：一定存在一個復(fù)數(shù)z0，|z0|≦1，滿足|f(z0)|≧|C0|+|Cn|.5.對任何自然數(shù)n，求證：，其中0C0=1，[(n-k)/2]表示(n-k)/2的整數(shù)部份.6.設(shè)M為平面試坐標(biāo)為(Px1994,7Px1994)的點，其中P是素數(shù)，求滿足下述條件的直角三角形的個數(shù)：i.三角形的三個頂點都是整點，面且M是直角頂點；ii.三角形的內(nèi)心是坐標(biāo)原點.1995年第十屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)2n個實數(shù)a1,a2,...,an；b1,b2,...,bn(n≧3)滿足i.a1+a2+...+an=b1+b2+...+bn；ii.0<a1=a2，ai+ai+1=ai+2(i=1,2,...,n-2)；iii.0<b1≦b2，bi+bi+1≦bi+2(i=1,2,...,n-2).求證：an-1+an≦bn-1+bn.2.設(shè)N為自然數(shù)集合，f：N→N適合條件：f(1)=1，對于任何自然數(shù)n都有i.3f(n)f(2n+1)=f(2n)(1+3f(n))；ii.f(2n)<6f(n).試求方程f(k)+f(l)=293，其中k<l的所有解.l試求的最小值，其中x和y是任意整數(shù).l空間有四個球，它們的半徑分別為2、2、3、3，每個球都與其余3個球外切，另有一個小球與那圓球都外切，求該小球的半徑.l設(shè)a1,a2,...,a10是10個兩兩不同的自然數(shù)，它們的和為1995，試求a1a2+a2a3+...+a9a10+a10a1的最小值.l設(shè)n是大于1的奇數(shù)，已給.設(shè)，i=1,2,....,n其中.記，k=1,2,....若正整數(shù)m滿足，求證：m是n的倍數(shù).1996年第十一屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)H是銳角△ABC的垂心，由A向BC為直徑的圓作切線AP、AQ，切點分別為P、Q.求證：P、H、Q三點共線.2.設(shè)S={1,2,...,50}，求最小自然數(shù)k，使S的任一k元素中，都存在兩個不同的數(shù)a和b，滿足(a+b)整除ab.3.設(shè)R為實數(shù)集合，函數(shù)f：R→R適合條件f(x3+y3)=(x+y)(f(x)2-f(x)f(y)+f(y)2)，x、y為實數(shù).試證：對一切實數(shù)x，都有f(1996x)=1996f(x).4.8位歌手參加藝術(shù)會，準備為他們安排m次演出，每次由其中4位登臺表演.要求8位歌手中任意兩位同時演出的次數(shù)都一樣多，請設(shè)計一種方案，使得演出的次數(shù)m最少.5.設(shè)n為自然數(shù)，，且.求證：.6.在△ABC中，∠C=90.，∠A=30.，BC=1，求△ABC的內(nèi)接三角形(三頂點分別在三邊上的三角形)的最長邊的最小值.1998年第十三屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.在一個非鈍角△ABC中，AB>AC，∠B=45.，O和I分別是△ABC的外它和內(nèi)心，且√2OI=AB-AC，求sin∠A.2.對于給定的大于的正整數(shù)n，是否存在2n個兩兩不周的正整數(shù)，同時滿足以下兩個條件：1.a1+a2+....+an=b1+b2+....+bn；2..請說明理由.3.設(shè)S={1,2,....,98}，求最小自然數(shù)n，使得S的任一n元子集中都可以選出10個數(shù)，無論怎樣將這10個數(shù)均分成兩組，總有一組中存在一個數(shù)與另外4個數(shù)都互質(zhì)，而另一組總有一個數(shù)與另外4個數(shù)都不互質(zhì).4.求所有大于3的自然數(shù)n，使得得1+nC1+nC2+nC3整除22000.5.設(shè)D為銳角三角形ABC內(nèi)部一點，且滿足條件：DAxDBxAB+DBxDCxBC+DCxDAxCA=ABxBCxCA.試確定D點的幾何位置，并證明你的結(jié)論6.設(shè)n≧2，x1,x2,....,xn為實數(shù)，且求|xk|的最大值..對于每一個固定的自然數(shù)k(1≦k≦n)，1999年第十四屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.在銳角△ABC中，∠C>∠B，點D是邊BC上一點，使得∠ADB是鈍角，H是△ABD的垂心，點F在△ABC內(nèi)部且在△ABD的外接圓周上.求證點F是△ABC垂心的充份必要條件是：HD平行于CF且H在△ABC的外接圓周上.2.給定實數(shù)a，設(shè)實數(shù)多項式序列{fn(x)}滿足f0(x)=1，fn+1(x)=xfn(x)+fn(ax)，其中n=0,1,....1.求證：fn(x)=xnfn(1/x)，其中n=0,1,....2.求證：fn(x)的明顯表達式.3.MO太空城由99個空間站組成，全兩空間站之間有管形通道相聯(lián).規(guī)定其中99條通道為雙向通行的主干道，其余通道嚴格單向通行，如果某四個空間站可以通過它們之間的通道從其中任一站到達另外任一站，則稱這四個站的集合為一個互通四站組.試為MO太空城設(shè)計一個方案，使得互通四站組的數(shù)目最大(請具體算出該最大數(shù)，并證明你的結(jié)論).4.設(shè)m是給定的整數(shù)，求證：存在整數(shù)a、b和k，其中a、b均不能被2整除，k≧0，使得2m=a19+b99+k×21999.5.求最大的實數(shù)λ，使得當(dāng)實系數(shù)多項式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是非負實數(shù)時，只要x≧0，就有f(x)≧λ(x-a)3.并問上式中等號何時成立？6.設(shè)4x4x4的大正方體由64個單位正方體組成.選取其中的16個單位正方體涂成紅色，使得大正方體中每個由4個單位正方體橢成的1x1x4的小長方體中，都恰有1個紅正方體.問16個紅正方體共有多少種不同取法？說明理由.2001年第十六屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克1.給定a，.內(nèi)接于單位圓ABCD的凸四邊形適合以下條件：1.圓心在這凸四邊形內(nèi)部；2.最大邊長是a,最小邊長是.過點A、B、C、D依次作圓Γ的四條切線LA、LB、LC、LD.已知LA與LB、LB與LC、LC與LD、LD與LA分別相交于A'、B'、C'、D'四點.求面積之比SA'B'C'D'/SABCD的最大值與最小值.2.設(shè)X={1,2,3,…2001},求最小的正整數(shù)m，適合要求：對X的任何一個m元子集W,都存在u、v(u和v允許相同)，使得u+v是2的方冪.3.在正n邊形的每個頂點上各停有一只喜鵲.偶受驚嚇，眾喜鵲都飛去.一段時間后，它們又都回到這些頂點上，仍是每個頂點上一只，但未必都回到原來的頂點.求所有正整數(shù)n，使得一定存在3