專題六四邊形與多邊形【專題分析】四邊形與多邊形在中考中的常見考點有多邊形的內(nèi)角和與外角和；平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行四邊形中有關(guān)角及線段的相關(guān)計算；矩形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定；四邊形的綜合考查等．中考中四邊形與多邊形的考查形式多樣，對平行四邊形、菱形等的判定的考查也常出現(xiàn)開放型題目；中考中四邊形與多邊形所占比重約為10%～15%.【解題方法】解決四邊形問題常用的數(shù)學思想就是轉(zhuǎn)化思想、方程思想；常用的數(shù)學方法有分類討論法，逆向思維法等.【知識結(jié)構(gòu)】【典例精選】：如圖，一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內(nèi)角后，得到一個內(nèi)角和為2340°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為()A．13B．14C．15D．16【思路點撥】設(shè)出新多邊形的邊數(shù)，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出新的邊數(shù)，新邊數(shù)減1即原多邊形的邊數(shù)．答案：B規(guī)律方法：解答此類問題，如果題目中沒有給出圖形及剪法要根據(jù)題意畫出圖形，按照截線位置的不同分情況討論.如圖，△ABC中，ACB＝90°，D，E分別是BC，BA的中點，連結(jié)DE，F(xiàn)在DE的延長線上，且AF＝AE.(1)求證：四邊形ACEF是平行四邊形；(2)若四邊形ACEF是菱形，求B的度數(shù)．【思路點撥】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE＝AE＝BE，從而得到AF＝CE，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和等邊對等角可得F＝CED，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出CEAF，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；(2)根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AC＝CE，然后求出AC＝CE＝AE，從而得到△AEC是等邊三角形，即得CAE＝60°，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得B的度數(shù)．【自主解答】(1)證明：如圖，ACB＝90°，E是BA的中點，CE＝AE＝BE.AF＝AE，AF＝CE.在△BEC中，BE＝CE且D是BC的中點，ED是等腰△BEC底邊上的中線和頂角平分線，1＝2.AF＝AE，F(xiàn)＝3.1＝3，2＝F，CEAF.又CE＝AF，四邊形ACEF是平行四邊形．(2)解：四邊形ACEF是菱形，AC＝CE.由(1)知，AE＝CE，AC＝CE＝AE，形，CAE＝60°，在RtABC中，B＝90°－∠CAE＝90°－60°＝30°.AEC是等邊三角如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，點O為AB的中點，連結(jié)DO并延長到點E，使OE＝OD，連結(jié)AE，BE.(1)求證：四邊形AEBD是矩形；(2)當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由．【思路點撥】(1)先證四邊形AEBD是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得ADB＝90°，即可得出結(jié)論；(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)得AD＝BD＝CD，再結(jié)合(1)中結(jié)論可得出結(jié)論．【自主解答】(1)證明：點O為AB的中點，AO＝BO.又OE＝OD，四邊形AEBD是平行四邊形．AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，ADBC，ADB＝90°，平行四邊形AEBD是矩形．(2)解：當BAC＝90°時，矩形AEBD是正方形．理由如下：BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，AD＝BD＝BC.由(1)知四邊形AEBD是矩形，矩形AEBD是正方形．規(guī)律方法：牢記平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵，一般證明步驟為先證四邊形為平行四邊形，再證四邊形為矩形或菱形，最后證四邊形為正方形.如圖①，菱形ABCD中，點P是CD的中點，BCD＝60°，射線AP交BC的延長線于點E，射線BP交DE于點K，點O是線段BK的中點．(1)求證：△ADPECP；(2)若BP＝n·PK，試求出n的值；(3)作BMAE于點M，作KNAE于點N，連結(jié)MO，NO，如圖②所示．請證明△MON是等腰三角形，并直接寫出MON的度數(shù)．【思路點撥】(1)由四邊形ABCD是菱形及點P是CD的中點，可證ADPECP；(2)過點P作PHCE交DE于點H，可得＝＝，由(1)可得CE＝AD＝BC，所以＝＝，可得BP＝3PK，從而得出n＝3；(3)過點O作OGAE于點G，又由BMAE，KNAE可得BMOGKN，進而可得＝＝1，又點O是線段BK的中點，所以MG＝NG，進而可證△MON是等腰三角形；假設(shè)BC＝2，由已知條件可求得BP＝，AP＝，利用面積法可求BM＝，在RtBMP中，利用勾股定理可求PM＝，再由(2)可得PB＝3PO，則OG＝BM＝，MG＝MP＝，在RtMOG中，求出tanMOG的值，即得MOG的度數(shù)，MON的度數(shù)即可求．【自主解答】(1)證明：四邊形ABCD是菱形，ADBC，即ADBE，DAP＝CEP，ADP＝ECP.又點P是ADPCD的中點，DP＝CP，ECP(AAS)．(2)解：如圖，過點P作PHCE交DE于點H，點P是CD的中點，＝＝.又由(1)知ADPECP，AD＝CE.四邊形ABCD是菱形，AD＝BC＝CE，BE＝2CE.即BK＝4PK，BP＝3PK，即n＝3.＝＝，(3)解：如圖，過點O作OGAE于點G，又BMAE，KNAE，BMOGKN.點O是線段BK的中點，OG是線段MN的中垂線．OM＝ON，即△MON是等腰三角形．＝＝1，MG＝NG，即由題意得，△BPC，△AMB，△ABP為直角三角形，設(shè)BC＝2，則CP＝1，由勾股定理，得BP＝，則AP＝，根據(jù)三角形面積公式，得BM＝，由(2)得PB＝3PO，OG＝BM＝，MOG＝60°.MON＝120°.，MG＝MP＝，tanMOG＝＝規(guī)律方法：菱形的四條邊都相等，對角線互相垂直平分，且平分一組對角，利用菱形的性質(zhì)可以解決有關(guān)線段的計算求值、推理證明等問題.【能力評估檢測】一、選擇題1．一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個多邊形是(C)A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形2．已知四邊形ABCD，下列說法正確的是(B)A．當AD＝BC，ABDC時，四邊形ABCD是平行四邊形B．當AD＝BC，AB＝DC時，四邊形ABCD是平行四邊形C．當AC＝BD，AC平分BD時，四邊形ABCD是矩形D．當AC＝BD，ACBD時，四邊形ABCD是正方形3．如圖，在平行四邊形ABCD中，過對角線BD上一點P，作EFBC，HGAB，若四邊形AEPH和四邊形CFPG的面積分別為S1和S2，則S1與S2的大小關(guān)系為(A)A．S1＝S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．不能確定4．如圖，點O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點，折疊后，點B恰好與點O重合，若BC＝3，則折痕CE的長為(A)A．2B.C.D．65．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于O點，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點，連結(jié)EF，若EF，BD＝4，則菱形ABCD的周長為(C)＝A．4B．4C．4D．286．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點F，則BFC為(C)A．45°B．55°C．60°D．75°7．如圖，在△ABC中，AD平分BAC，按如下步驟作圖：第一步，分別以點A，D為圓心，以大于AD的長為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點M，N；第二步，連結(jié)MN，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)；第三步，連結(jié)DE，DF.若BD＝6，AF＝4，CD＝3，則BE的長是(D)A．2C．6B．4D．8【解析】由作圖可知MN是AD的垂直平分線，AE＝ED，AF＝FD.又AD平分BAC，MNAD，設(shè)AD與MN的交點為O，AOEAOF，AE＝AF，AE＝AF＝FD＝ED，四邊形AFDE為菱形，EDAF，BEDBAC，＝.BD＝6，CD＝3，AE＝AF＝4，＝，得BE＝8.故選D.8．如圖，菱形ABCD中，AB＝4，B＝60°，AEBC，AFCD，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)EF，則AEF的面積是()A．4B．3C．2D.【解析】如圖，連結(jié)AC，BD，則△ABC與△ADC都是等邊三角形．AEBC，AFDC，BE＝CE，CF＝DF.SABE＝SACE＝SACF＝SADF＝S菱形ABCD.EFBD，CEFCBD，＝2＝，即SCEF＝S菱形ABCD，則SAEF＝S菱形ABCD.sin60°＝＝，AB＝4，AE＝2.則S菱形ABCD＝BC·AE＝4×2AEF＝S菱形ABCD＝3答案:B＝8，S.故選B.9．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，將紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，則下列結(jié)論錯誤的是()A．AF＝AEC．EF＝2B．△ABEAGFD．AF＝EF【解析】如圖，由折疊得1＝2.ADBC，3＝1，2＝3，AE＝AF，故選項A正確；由折疊得CD＝AG，C＝G＝90°.AB＝CD，AB＝AG.AE＝AF，RtABERtAGF(HL)，故選項B正確；設(shè)DF＝x，則GF＝x，AF＝8－x，AG＝4.在RtAGF中，根據(jù)勾股定理，得(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，AF＝8－x＝5，則AE＝AF＝5，BE＝＝＝3.過點F作FMBC于點M，則EM＝5－3＝2.在RtEFM中，根據(jù)勾股定理，得EF＝＝＝＝2，故選項C正確．AF＝5，EF＝2，AF≠EF，故選項D錯誤．答案:D10．如圖，在矩形ABCD中，AD＝長交CD于點F，連結(jié)DE交BF于點O，下列結(jié)論：－CF＝2HE；AB＝HF.AB，BAD的平分線交BC于點E，DHAE于點H，連結(jié)BH并延AED＝CED；OE＝OD；BH＝HF；BC其中正確的有()A．2個C．4個B．3個D．5個【解析】在矩形ABCD中，AE平分BAD，BAE＝DAE＝45°，ABE是等腰直角三角形，AE＝AD＝AB，AE＝AD.AB.在△ABE和△AHD中，AHD(AAS)，BE＝DH，AB＝BE＝AH＝HD，ABEADE＝AED＝(180°－45°)＝67.5°，CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，AED＝CED，故①正確；AB＝AH，AHB＝(180°－45°)＝67.5°，OHE＝AHB，OHE＝67.5°＝AED.OE＝OH.DHO＝90°－67.5°＝22.5°，ODH＝67.5°－45°＝22.5°，DHO＝ODH，OH＝OD，OE＝OD＝OH，故②正確；EBH＝90°－67.5°＝22.5°，EBH＝OHD.在△BEH和△HDF中，BEHHDF(ASA)，BH＝HF，故③正確；HE＝AE－AH＝BC－CD，BC－CF＝BC－(CD－DF)＝BC－(CD－HE)＝(BC－CD)＋HE＝HE＋HE＝2HE.故④正確；AB＝AH，BAE＝45°，ABH不是等邊三角形，AB≠BH，即AB≠HF，故⑤錯誤；綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共4個．故選C.答案:C二、填空題11．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，請?zhí)砑右粋€條件答案不唯一，如AF＝CE(或BE＝DF，AECF，AEB＝FCB，CFD＝EAD等)，使四邊形AECF是平行四邊形(只填一個即可)．12．如圖，矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連結(jié)DE和BF，分別取DE，BF的中點M，N，連結(jié)AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，則圖中陰影部分的面積為.【解析】由矩形的性質(zhì)，易得△AEMCFN，平行四邊形BEMN與平行四邊形DMNF全等，＝2S陰影＝答案:2S矩形ABCD＝×2×2.13．如圖，在ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CEAB，垂足E在線段AB上，連結(jié)EF，CF.則下列結(jié)論中一定成立的是(把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上)．DCF＝BEC＝2SCEF；【解析】F是AD的中點，AF＝FD.在ABCD中，AD＝2AB，AF＝FD＝CD，DFC＝DCF.BCD；EF＝CF；SDFE＝3AEF.ADBC，DFC＝FCB，DCF＝BCF，DCF＝的延長線于點M，四邊形ABCD是平行四邊形，BCD，故①正確；如圖，延長EF交CDABCD，A＝MDF.F為AD的中點，AF＝FD.在△AEF和△DMF中，A＝FDM，AF＝DF，AFE＝DFM，DMF，F(xiàn)E＝MF.CEAB，AEC＝90°，ECD＝AEC＝90°.FM＝EF，CF＝EF，故②正確；AEFEF＝FM，SEFC＝SCFM＝SECM.MC＞BE，SBEC<SECM＝2SEFC，即SBEC＜2SEFC，故③錯誤；設(shè)FEC＝x°，則FCE＝x°，DCF＝DFC＝90°－x°，EFC＝180°－2x°，DFE＝90°－x°＋180°－2x°＝270°－3x°.AEF＝90°－x°，DFE＝3AEF，故④正確．故答案為①②④.答案:14．(2015·杭州春蕾中學模擬)如圖，邊長為1的菱形ABCD中，DAB＝60°.連結(jié)對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACEF，使FAC＝60°.連結(jié)AE，再以AE為邊作第三個菱形AEGH使HAE＝60°……按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長是.【解析】如圖，連結(jié)DB，交AC于點M.四邊形ABCD是菱形，AD＝AB，ACDB.DAB＝60°，ADB是等邊三角形，DB＝AD＝1，BM＝，AM＝)2，AG＝)3，AE＝3＝(，AC＝.同理可得AE＝AC＝(按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長為()n－1.答案:()n－1三、解答題15．已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE＝OB，連結(jié)DE.(1)求證：DEBE;(2)如果OECD，求證：BD·CE＝CD·DE.證明：(1)OB＝OE，OEB＝OBE.四邊形ABCD是平行四邊形，OB＝OD.OD＝OE.OED＝ODE.在△BED中，OEB＋OBE＋ODE＋OED＝180°，2(OEB＋OED)＝180°.OEB＋OED＝90°，即BED＝90°.DEBE.(2)如圖，設(shè)OE交CD于點H.OECD于點H，CHE＝90°.CEH＋HCE＝90°.CED＝90°，CDE＋DC