第２章測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理

２.1測量誤差的基本原理２.2測量誤差的分類２.3隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及其估算方法２.4系統(tǒng)誤差的特征及其減小的方法２.5疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則２.6測量數(shù)據(jù)的處理２.7誤差的合成與分配第２章測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理２.1測量誤差的基本原理第２章測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理重點(diǎn)：誤差的表示和分類三種誤差的特征及其處理方法數(shù)據(jù)的處理誤差的合成難點(diǎn)：三種誤差的特征及其處理方法第２章測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理重點(diǎn)：２.1測量誤差的基本原理２.1.1誤差的定義２.1.２測量誤差的表示方法２.1.３電子測量儀器誤差的表示方法２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)２.1測量誤差的基本原理２.1.1誤差的定義測量誤差—測量結(jié)果與實(shí)際值（真值）之差。包括：儀器不準(zhǔn)確方法不完善環(huán)境不合要求測量者的技術(shù)水平和責(zé)任心認(rèn)識測量誤差是不可避免的;尋找誤差的來源，盡可能防止誤差和減小誤差;測量結(jié)果進(jìn)行正確的處理，使測量結(jié)果接近被測量對象的實(shí)際情況。２.1.1誤差的定義測量誤差—測量結(jié)果與實(shí)際值（真值）之差２.1.２測量誤差的表示方法一、絕對誤差1、定義——測量值與真值(實(shí)際值)之差。具有大小、正負(fù)和量綱表示測得值偏離真值(實(shí)際值)程度和方向A0一般用實(shí)際值A(chǔ)代替，A的獲取:由高一級或數(shù)級的儀器測量得到多次測量求平均值得到２.1.２測量誤差的表示方法一、絕對誤差２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例1:一個(gè)被測電壓，真值U0=100V,用一只電壓表測量，指示值U為101V，則絕對誤差:表明:測得值比真值大1V，為正誤差。２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例1:２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))2、修正值(校正值)給出:通過校準(zhǔn)由上一級標(biāo)準(zhǔn)以表格或曲線的形式給出受檢儀器的修正值。測量時(shí)，實(shí)際值為測得值與修正值相加:實(shí)施:測量儀器定期送計(jì)量部門檢定，獲得修正值，減少誤差。２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))2、修正值(校正值)２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例2:一臺晶體管毫伏表的10mV檔，用其測量時(shí),示值為8mV，檢定時(shí)8mV處的修正值是-0.03mV，則實(shí)際值是:修正值可減少誤差，但要注意:修正值本身也有誤差修正值具有有效期２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例2:２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例3:測兩個(gè)電壓，其實(shí)際值分為U1=100V，U2=5V;而測得值分別為101V和6V，則絕對誤差分別是:絕對誤差相同,但他們測量的準(zhǔn)確度相同嗎?不同２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例3:絕對誤差相同,但他２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差1、實(shí)際相對誤差——絕對誤差與實(shí)際值之比。只具有大小、正負(fù)，但無量綱接上例可得:相對誤差可以表征測量的準(zhǔn)確程度。２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差2、示值相對誤差——絕對誤差與測得值之比。有誤差，適用于近似測量，只適用于誤差較小及要求不太嚴(yán)格的場合，多用于工程測量是由儀器的準(zhǔn)確度等級定出的，一般表示儀器在測量范圍內(nèi)最大的絕對誤差。２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差３、分貝誤差——用對數(shù)形式表示的誤差。具有大小、正負(fù)，及dB的單位表實(shí)際相對誤差，表示值相對誤差常用于表示增益或聲強(qiáng)等傳輸函數(shù)的值注意：若是功率增益，用10代替20２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例4:測一放大器，已知Ui=1.2mV，Uo=6000mV。設(shè)Ui的誤差忽略不計(jì)，而Uo的測量誤差為±3%，求放大倍數(shù)的絕對誤差、相對誤差及分貝誤差。放大倍數(shù)：絕對誤差：相對誤差：分貝誤差：測量結(jié)果：２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例4:測一放大器，已知２.1.３電子測量儀器的表示方法一、我國部頒標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定用以下誤差表征其性能：（1）工作誤差工作誤差是在額定工作條件下儀器的誤差極限優(yōu)點(diǎn)：可直接估計(jì)誤差的最大范圍缺點(diǎn)：用工作誤差估計(jì)測量結(jié)果誤差偏大（2）固有誤差固有誤差在規(guī)定的基準(zhǔn)條件下給出的誤差作用：反映儀器固有性能，便于同類儀器的比較和校準(zhǔn)２.1.３電子測量儀器的表示方法一、我國部頒標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定用以下２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（3）影響誤差影響誤差是用來表明一個(gè)影響量對儀器測量誤差的影響。例如溫度誤差、頻率誤差。它是當(dāng)一個(gè)影響量在其額定使用范圍內(nèi)取任一值，而其它影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件下測得的誤差。只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時(shí)才給出，是一種誤差極限。２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（3）影響誤差２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（4）穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，于規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。給出形式有兩種：以相對誤差形式給出注明最長連續(xù)工作時(shí)間２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（4）穩(wěn)定誤差２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))例:DS-33型交流數(shù)字電壓表的誤差標(biāo)注:工作誤差（50Hz～1MHz，10mV～1V）

（±1.5%Ux±0.5%Um）固有誤差（1KHz，1V）

（±0.4%Ux±1個(gè)字）影響誤差溫度影響誤差（1KHz，1V）：10-4/℃頻率影響誤差（50Hz～1MHz）：（±0.5%Ux±0.1%Um）穩(wěn)定誤差（-10～+40℃，濕度≤80%，大氣壓：86～106KPa）連續(xù)工作7小時(shí)２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))例:DS-33型交流２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))二、原來的標(biāo)準(zhǔn)用基本誤差和附加誤差來表示：（1）基本誤差工作誤差是在規(guī)定的正常條件下所具有的誤差，與固有誤差類同，但條件較寬。滿度相對誤差（引用誤差）

△xm儀器在量程范圍內(nèi)最大的絕對誤差xm儀器的量程滿度２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))二、原來的標(biāo)準(zhǔn)用基本２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))滿度=量程，但不同于測量范圍例：中心指0的電壓表的測量范圍為-10～+10V，而其量程為20V。我國電子儀器定義七個(gè)準(zhǔn)確度等級（S）：

0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0S=1.0，表示rm=1.0%，儀器的滿度相對誤差不超過1.0%

。等級度越低，儀器越準(zhǔn)確。0.1、0.2是精密儀器。２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))滿度=量程，但不同于２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（2）附加誤差是指儀器在超過規(guī)定的正常條件下所增加的誤差，與影響誤差相似。例如：環(huán)境溫度、電源電壓等例：MF-20型晶體管萬用表?；菊`差：直流電壓、電流為±2.5%附加誤差：電池電壓在4.5～

5.5V時(shí)（額定值為６Ｖ），附加誤差為±1%；環(huán)境溫度在0～40℃范圍內(nèi)（額定值為20℃±2℃），每變化10℃附加誤差±2.5%。２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（2）附加誤差２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)在已知儀表準(zhǔn)確度等級的前提下進(jìn)行一次測量，如何確定測量誤差？例：用S=2.5、30V量程的電壓表測20V的電壓，誤差為多少？選擇儀器準(zhǔn)則：①應(yīng)盡使指針偏轉(zhuǎn)位置在靠近滿度值的1/3區(qū)域內(nèi)；②準(zhǔn)確等級度選越低越好。２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)在已知儀表準(zhǔn)確度等級２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)(續(xù))例5:用S=2.5、30V量程的電壓表分別測20V、6V的電壓，相對誤差分別多少？當(dāng)Ux=20V，當(dāng)Ux=6V，可見：與量程接近的，誤差較小。２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)(續(xù))例5:用S=2２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)(續(xù))例6:測10V電壓，現(xiàn)有：①150V，0.5級;②15V，2.5級，問哪個(gè)誤差較??？①表②表可見：并非等級度越高越好，要與量程相結(jié)合選擇儀表２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)(續(xù))例6:測10V２.2測量誤差的分類２.2.1誤差的來源２.2.２測量誤差的分類２.2.３測量結(jié)果的評定２.2測量誤差的分類２.2.1誤差的來源２.2.1誤差的來源1、儀器誤差儀器誤差由于儀器本身的電路設(shè)計(jì)、安裝、機(jī)械部分不完善及附件所引入的誤差。如：電橋中的標(biāo)準(zhǔn)電阻、天平的砝碼、示波器的探級線，儀表的0位偏移等。2、影響誤差影響誤差是測量環(huán)境與額定工作條件不一致造成的誤差。如：溫度、濕度、氣壓、電磁場、光照、聲音、放射線、機(jī)械震動、電源電壓等。２.2.1誤差的來源1、儀器誤差２.2.1誤差的來源(續(xù))3、方法誤差和理論誤差由于測量時(shí)所使用的方法不完善、所依據(jù)的理論不嚴(yán)密或測量定義不明確等所導(dǎo)致的誤差。如：用伏安法測電阻。4、人身誤差由于測量者的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣或缺乏責(zé)任心等因素引起的誤差。如：操作不當(dāng)、讀錯(cuò)刻度等。２.2.1誤差的來源(續(xù))3、方法誤差和理論誤差２.2.２測量誤差的分類根據(jù)誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、疏失（粗大）誤差三類。1.系統(tǒng)誤差定義：在相同條件下，多次測量同一量時(shí)，誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差。例如：儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。系統(tǒng)誤差表明了一個(gè)測量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測量就越準(zhǔn)確。２.2.２測量誤差的分類根據(jù)誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為系統(tǒng)２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）2.隨機(jī)誤差定義:在相同條件下，多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對值和符號都以不可預(yù)知的方式變化的誤差。原因：主要由對測量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。單次測量的隨差沒有規(guī)律，但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，多數(shù)接近于正態(tài)分布。２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）2.隨機(jī)誤差２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）特點(diǎn)：有界性對稱性抵償性處理：多次測量求平均值來消弱隨機(jī)誤差２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）特點(diǎn)：２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）3.疏失誤差：疏失誤差是一種顯然與實(shí)際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)以及實(shí)驗(yàn)條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。②測量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有疏失誤差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，應(yīng)剔除掉。２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）3.疏失誤差：疏失誤差是一２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）三個(gè)誤差同時(shí)存在情況這兩者系統(tǒng)誤差相同但下圖的測量點(diǎn)較分散，隨機(jī)誤差大粗大誤差隨機(jī)誤差系統(tǒng)誤差２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）三個(gè)誤差同時(shí)存在情況這兩者系２.2.３測量結(jié)果的評定準(zhǔn)確度指測量值與真值的接近程度；反映系統(tǒng)誤差的影響，系統(tǒng)誤差小則準(zhǔn)確度越高。精密度指測量值重復(fù)一致的程度；反映隨機(jī)誤差的影響，精密度越高隨機(jī)誤差越小。精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響；精確度越高，表示準(zhǔn)確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。２.2.３測量結(jié)果的評定準(zhǔn)確度２.2.３測量結(jié)果的評定（續(xù)）準(zhǔn)確度高，精密度低準(zhǔn)確度低，精密度高準(zhǔn)確度高，精密度高２.2.３測量結(jié)果的評定（續(xù)）準(zhǔn)確度高，準(zhǔn)確度低，準(zhǔn)確度高2.3隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及其估算方法1、數(shù)學(xué)期望

等精密度測量——在相同條件下，用相同的儀器和方法，由同一觀測者以同樣細(xì)心的程度進(jìn)行多次測量。設(shè)對x進(jìn)行n次等精密度測量，得到測量值xi為隨機(jī)變量。算術(shù)平均值：當(dāng)n→∞時(shí)，得到數(shù)學(xué)期望：2.3.1測量值的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差總體平均值樣本平均值2.3隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及其估算方法1、數(shù)學(xué)期望2.3.1隨機(jī)誤差：系統(tǒng)誤差：絕對誤差：2.3.1測量值的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差絕對誤差等于隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差之和。隨機(jī)誤差：2.3.1測量值的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差絕對誤差等于2、算術(shù)平均值原理(1)算術(shù)平均值的意義根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償性，有若系統(tǒng)誤差為0，則有：當(dāng)有限次測量時(shí)，只要n足夠大，則認(rèn)為：即：即可用多次測量求平均值作為最后的測量結(jié)果。2、算術(shù)平均值原理(1)算術(shù)平均值的意義即可用多次測量求平均(2)剩余誤差（殘差）算術(shù)平均值：殘差：利用殘差之和為0，可檢驗(yàn)算術(shù)平均值是否正確。(2)剩余誤差（殘差）算術(shù)平均值：利用殘差之和為0，可檢驗(yàn)算3、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（表示數(shù)據(jù)的分散程度）

方差：標(biāo)準(zhǔn)差：

表精密度參數(shù)，越小測量值越集中3、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（表示數(shù)據(jù)的分散程度） 方差：表精密度參數(shù)，2.3.2貝塞爾公式及其應(yīng)用測量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？1、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布2.3.2貝塞爾公式及其應(yīng)用測量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互正態(tài)分布概率密度函數(shù)為：正態(tài)分布曲線標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)期望隨機(jī)誤差具有：①對稱性②有界性③抵償性

正態(tài)分布概率密度函數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)期望隨機(jī)誤差具有：①對稱性

不同標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布曲線表精密度參數(shù)，越小測量值越集中不同標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布曲線表精密度參數(shù)，越小測量值越集中2、Bessel公式—有限次測量標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值自由度用殘差代替隨機(jī)誤差用算術(shù)平均值代替數(shù)學(xué)期望表估計(jì)值2、Bessel公式—有限次測量標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值自由度用殘差代3、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值說明：多次多組測量求平均值的精密度較高。對于多組多次測量：3、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值說明：多次多組測量求平均值的精例1：用溫度計(jì)重復(fù)測量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測量值的序列（見下表），求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。解：①平均值

②殘差

③標(biāo)準(zhǔn)差④算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差例1：用溫度計(jì)重復(fù)測量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測量值的序列（2.3.3均勻分布情況下的標(biāo)準(zhǔn)差常見的有：均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度誤差DVM低位的“±1個(gè)字”誤差“四舍五入”的截尾誤差等3、測量誤差的非正態(tài)分布2.3.3均勻分布情況下的標(biāo)準(zhǔn)差常見的有：3、測量誤差的非均勻分布：概率密度:均值:標(biāo)準(zhǔn)差:

均勻分布：概率密度:2.3.4非等精密度測量1、權(quán)的概念

非等精密度測量—在不同環(huán)境下，不同的儀器和方法，不同的測量次數(shù)，或者由不同的觀測者進(jìn)行測量。

由于各組的測量值的可靠性不同，不能簡單的全部求平均得到測量值。而是引入的“權(quán)”的概念。

權(quán)—表示可靠程度的量，記做“W”。測量條件越優(yōu)越、儀器越先進(jìn)、次數(shù)越多，權(quán)越高。2.3.4非等精密度測量1、權(quán)的概念 非等精密度測量—在不多組測量中：常數(shù)設(shè)同一被測量，有m個(gè)算術(shù)平均值，每組的測量次數(shù)ni不同，但標(biāo)準(zhǔn)差相同，則：多組測量中：常數(shù)設(shè)同一被測量，有m個(gè)算術(shù)平均值例：2.2.3

設(shè)電壓三組不等精密度測量的算術(shù)平均值分別為：20.5V，20.1V，20.3V。標(biāo)準(zhǔn)差分別為：0.05，0.02，0.10。例：2.2.3設(shè)電壓三組不等精密度測量的算術(shù)平2、加權(quán)平均值—考慮各組數(shù)據(jù)加權(quán)后的平均值。例：2.2.32、加權(quán)平均值—考慮各組數(shù)據(jù)加權(quán)后的平均值。例：2.2.32.4系統(tǒng)誤差的特征及減小的方法2.4.1系統(tǒng)誤差的特征：恒值系差線性系差周期性系差復(fù)雜變化系差后三者統(tǒng)稱為變值系差2.4系統(tǒng)誤差的特征及減小的方法2.4.1系統(tǒng)誤差的2.4.2判斷系統(tǒng)誤差的方法1、實(shí)驗(yàn)比對法—恒值系差改變測量條件、測量儀器或測量方法例：用高一級或數(shù)級儀器重復(fù)測量2、剩余誤差（殘差）觀察法—變值系差按測量順序?qū)埐畲笮『头柕淖兓?guī)律制成表格或曲線來判斷。2.4.2判斷系統(tǒng)誤差的方法1、實(shí)驗(yàn)比對法—恒值系差2、剩余誤差（殘差）觀察法判斷系統(tǒng)誤差的曲線線性系差周期性系差復(fù)雜變化系差隨機(jī)誤差2、剩余誤差（殘差）觀察法判斷系統(tǒng)誤差的曲線線性系差周3、馬利科夫判據(jù)—線性系差，說明存在線性系差，否則無。3、馬利科夫判據(jù)—線性系差，說明存在線性系差，否則無。4、阿貝-赫梅特（Abbe－Helmert）判據(jù)

—周期性系差當(dāng)上式成立，說明存在周期性系差，否則無。處理：只要存在變值系差，原則上舍棄不用4、阿貝-赫梅特（Abbe－Helmert）判據(jù)

2.4.3

減少系統(tǒng)誤差的方法

1、從根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。②測量儀器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。④盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進(jìn)設(shè)備。

2、用修正方法減少恒值系差2.4.3減少系統(tǒng)誤差的方法1、從根源上采取3、技術(shù)措施①零示法－消除指示儀表不準(zhǔn)的誤差例：電位差計(jì)測電壓（p33）②替代法－用標(biāo)準(zhǔn)值代替被測量例：萬用表測R，電橋測C、R③微差法－不徹底的零示法3、技術(shù)措施①零示法－消除指示儀表不準(zhǔn)的誤差待測量x標(biāo)準(zhǔn)量BA標(biāo)準(zhǔn)量相對誤差相對微差電壓表的示值相對誤差③微差法－不徹底的零示法例：2.4.2見P34待測量標(biāo)準(zhǔn)量A標(biāo)準(zhǔn)量相對誤差相對微差電壓表的示值相對誤差2.5疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則1、置信概率與置信區(qū)間2.5.1

測量結(jié)果的置信問題置信概率是圖中陰影部分面積K－置信系數(shù)置信區(qū)間2.5疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則1、置信概率與置信區(qū)間2.5.置信概率與置信區(qū)間的關(guān)系置信因子k置信概率Pcn10.683320.9552230.997370K－置信系數(shù)置信區(qū)間寬，置信概率越大置信概率與置信區(qū)間的關(guān)系置信因子k置信概率Pcn10.6832、有限次測量時(shí)的置信問題有限次測量中，服從t分布，根據(jù)測量次數(shù)n、自由度v＝n-1、置信概率Pc查表得到置信系數(shù)ta，近而確定置信區(qū)間。當(dāng)n大于20時(shí)，可按照正態(tài)分布考慮。2、有限次測量時(shí)的置信問題有限次測量中，服從t分布，t分布的置信系數(shù)tat分布的置信系數(shù)ta例2：同例1，求測量結(jié)果的范圍，要求Pc＝95%解：v＝n-1＝10查表得：ta=2.23測量結(jié)果：例2：同例1，求測量結(jié)果的范圍，要求Pc＝95%解：v＝n-2.5.2不確定度和壞值的剔除1、不確定度（極限誤差）－將3的誤差稱不確定度2、壞值的剔除①當(dāng)n>20時(shí)，用拉依達(dá)準(zhǔn)則判斷，認(rèn)為是壞值，剔除。滿足②當(dāng)n<20時(shí)，用格拉布斯（Grubbs）準(zhǔn)則判斷，認(rèn)為是壞值，剔除。滿足2.5.2不確定度和壞值的剔除1、不確定度（極限誤差）格拉布斯系數(shù)G格拉布斯系數(shù)G3、算術(shù)平均值的不確定度①當(dāng)n>20時(shí)②當(dāng)n<20時(shí)Note:用于判斷疏失誤差，而用于確定測量結(jié)果表示與數(shù)學(xué)期望之間的偏差3、算術(shù)平均值的不確定度①當(dāng)n>20時(shí)②當(dāng)n<20時(shí)Note4、應(yīng)注意的問題①

所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。②

若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，重新計(jì)算，再行判別。若有兩個(gè)相同數(shù)據(jù)超出范圍時(shí)，應(yīng)逐個(gè)剔除。③在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。4、應(yīng)注意的問題①所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無２.6測量數(shù)據(jù)的處理２.6.1數(shù)據(jù)舍入規(guī)則２.6.２等精密度測量結(jié)果的處理步驟２.6.3曲線修勻２.6.4最小二乘法原理２.6.5測量不確定度２.6測量數(shù)據(jù)的處理２.6.1數(shù)據(jù)舍入規(guī)則２.6.1數(shù)據(jù)舍入規(guī)則一、舍入規(guī)則>5，入<5，舍＝5，取偶例：將下列數(shù)字保留3位。12.3412.3612.3512.4512.312.312.412.412.4原因:①奇偶出現(xiàn)概率相同，可相互抵消；②偶數(shù)除盡的幾率大，減小計(jì)算誤差。２.6.1數(shù)據(jù)舍入規(guī)則一、舍入規(guī)則>5，入<5，舍＝5，取二、有效數(shù)字1、定義：絕對誤差不超過末位數(shù)字單位的一半，從左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字起，直到右邊最后一個(gè)數(shù)字。例：0.01230的有效數(shù)字：2、0.5誤差原則規(guī)定誤差不超過末位單位數(shù)字的一半。上例：誤差不超過0.000005因此:①末位的0不可隨便增刪；②根據(jù)測量的準(zhǔn)確度確定有效數(shù)字。4位二、有效數(shù)字1、定義：絕對誤差不超過末位數(shù)字單位的一半，從左２.6.1數(shù)據(jù)的舍入規(guī)則(續(xù)）例：用0.5級100V量程的電壓表測量，指示值為85.35V,試確定有效數(shù)字位數(shù)？最大絕對誤差：根據(jù)0.5誤差原則：若要寫出誤差，則要求數(shù)據(jù)的末位與誤差對齊：保留了兩位欠準(zhǔn)數(shù)字２.6.1數(shù)據(jù)的舍入規(guī)則(續(xù)）例：用0.5級100V量程的3、近似運(yùn)算法則保留的位數(shù)原則上取決于準(zhǔn)確度最差的那一項(xiàng)。（1）加法運(yùn)算以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)，其余各數(shù)可多取一位例:3、近似運(yùn)算法則保留的位數(shù)原則上取決于準(zhǔn)確度最差（2）減法運(yùn)算當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原則同加法運(yùn)算；當(dāng)兩數(shù)很接近時(shí)，有可能造成很大的相對誤差

因此：

①要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測量方法②在運(yùn)算中多一些有效數(shù)字

例(P52)：用fm=10MHz，±1%的頻率計(jì)測得fh=10MHz，fl=9MHz，計(jì)算頻帶寬度合成誤差。（2）減法運(yùn)算當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原則同加法運(yùn)算（3）乘除法運(yùn)算以有效數(shù)字位數(shù)最少的為準(zhǔn)，其余參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。

例：也可多保留一位有效數(shù)字。例如上例中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。（3）乘除法運(yùn)算以有效數(shù)字位數(shù)最少的為（4）乘方、開方運(yùn)算運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×104

（4）乘方、開方運(yùn)算運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效２.6.２等精密度測量結(jié)果的處理步驟思路：先除恒值系統(tǒng)誤差再除疏失誤差判斷變值系統(tǒng)誤差（若存在，則無需往下做）最后給出數(shù)據(jù)的估計(jì)值及不確定度２.6.２等精密度測量結(jié)果的處理步驟思路：步驟：①利用修正值方法，減小恒值系統(tǒng)誤差②求算術(shù)平均值③求剩余誤差④求標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值⑤判斷疏失誤差，逐個(gè)剔除壞值n>20用拉依達(dá)準(zhǔn)則；n<20用Grubbs準(zhǔn)則判斷除疏失誤差步驟：①利用修正值方法，減小恒值系統(tǒng)誤差除疏失誤差步驟：⑥剔除壞值后，重復(fù)②∽⑤，直到剔除所有壞值，得到新的平均值、殘差、標(biāo)準(zhǔn)差；⑦判斷有無變值系差殘差觀察法馬利科夫判據(jù)（線性系差）Abbe－Helmert判據(jù)（周期性系差）若存在，則數(shù)據(jù)原則上應(yīng)舍棄不用。步驟：⑥剔除壞值后，重復(fù)②∽⑤，直到剔除所有壞值，得到新的平步驟：⑧求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值⑨求算術(shù)平均值的不確定度⑩給出測量結(jié)果的表達(dá)式（報(bào)告值）當(dāng)n≥20時(shí)當(dāng)n<20時(shí)給出報(bào)告值Note：這里的全部是剔除壞值之后的新數(shù)據(jù)。步驟：⑧求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值當(dāng)n≥20時(shí)當(dāng)n<20時(shí)例2.6.3

對某電壓進(jìn)行了16次等精密度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達(dá)式。例2.6.3對某電壓進(jìn)行了16次等精密度步驟：①求算術(shù)平均值②求剩余誤差ui（列于表中）③求標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值④判斷疏失誤差

n<20用Grubbs準(zhǔn)則判斷,取P＝95％，查表得G＝2.44步驟：①求算術(shù)平均值步驟：⑤重新計(jì)算

無壞值⑥判斷變值系差A(yù).殘差觀察法（不存在變值系差）步驟：⑤重新計(jì)算無壞值⑥判斷變值系差A(yù).殘差觀察法（不存步驟:⑦求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值⑧求算術(shù)平均值的不確定度查表2.5.3得ta＝2.14，⑨給出測量結(jié)果的表達(dá)式（報(bào)告值）步驟:⑦求算術(shù)２.6.3曲線修勻一、測量數(shù)據(jù)的表示方法①列表法特點(diǎn)：簡單、方便，但不夠直觀②圖示法特點(diǎn)：直觀、形象，易看出函數(shù)的變化規(guī)律③經(jīng)驗(yàn)公式法（數(shù)學(xué)模型）用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示各變量之間關(guān)系。２.6.3曲線修勻一、測量數(shù)據(jù)的表示方法

二、曲線修勻（P44）1、定義：將數(shù)據(jù)繪制成一條盡量符合實(shí)際情況的光滑曲線。2、方法——分組平均法把數(shù)據(jù)分成若干組，每組包含2～4個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)分別估取各組的幾何形心再將這些幾何形心連接起來3、坐標(biāo)選好坐標(biāo)——直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、對數(shù)坐標(biāo)坐標(biāo)的分度——考慮誤差的大小坐標(biāo)的比例——二者不一定相等二、曲線修勻（P44）1、定義：將數(shù)據(jù)繪制成一條２.6.4最小二乘法原理原理：在殘差平方和為最小的條件下求出最佳值；例：等精密度測量得到x1,x2,…,xn，最佳值為a，服從正態(tài)分布，則：誤差：xi-a微分區(qū)間dxi中的概率：同時(shí)出現(xiàn)概率：當(dāng)dQ=0時(shí)，獲得最佳值:

=Q２.6.4最小二乘法原理原理：在殘差平方和為最小的條件下求２.6.5測量不確定度一、定義指由于誤差的存在而對測量值不能肯定（或可疑）的程度。表示：含有表示測量結(jié)果的分散程度的參數(shù)，可用：①標(biāo)準(zhǔn)差或標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)②置信區(qū)間的半寬度表示２.6.5測量不確定度一、定義二、術(shù)語1、標(biāo)準(zhǔn)不確定度*用概率分布的標(biāo)準(zhǔn)差表示的不確定度。分類： ①A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度。②B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用非統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度2、合成不確定度*由各不確定度分量合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。*因?yàn)闇y量結(jié)果是受若干因素聯(lián)合影響。3、擴(kuò)展不確定度*合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度。*通常測量結(jié)果的不確定度都用擴(kuò)展不確定度表示二、術(shù)語1、標(biāo)準(zhǔn)不確定度*通常測量結(jié)果的不確定度都用擴(kuò)展不確三、不確定度的分類三、不確定度的分類２.7誤差的合成與分配２.7.1誤差傳遞公式２.7.2常用函數(shù)的合成誤差２.7.3系統(tǒng)誤差的合成２.7.4按系統(tǒng)誤差相同的原則分配誤差２.7.5按對總誤差影響相同的原則分配誤差２.7誤差的合成與分配２.7.1誤差傳遞公式2.7.1誤差傳遞公式設(shè)y=f(x1,x2,┄,xn)，則絕對誤差：相對誤差：積商函數(shù)先求相對誤差，和差函數(shù)先求絕對誤差2.7.1誤差傳遞公式設(shè)y=f(x1,x2,┄,xn)２.7.2常用函數(shù)的合成誤差若都有，則可表示為：正—積負(fù)—商積商通用一、積商函數(shù)的合成誤差例2.7.1見P49２.7.2常用函數(shù)的合成誤差若都有二、冪函數(shù)的合成誤差若都有，則可表示為：例2.7.2見P51二、冪函數(shù)的合成誤差若都有，三、和差函數(shù)的合成誤差相對誤差：絕對誤差：例2.7.3和2.7.4見P52三、和差函數(shù)的合成誤差相對誤差：絕對誤差：例2.7.3和2.

例2.7.3

用fm=10MHz，±1%的頻率計(jì)測得fh=10MHz，fl=9MHz，計(jì)算頻帶寬度合成誤差。

例2.7.4

有兩個(gè)電阻串聯(lián)，R1=1千歐，R2=3千歐，相對誤差均為±5%，求串聯(lián)后的總誤差。例2.7.3用fm=10MHz，±1%的頻率計(jì)測得f四、和差積商函數(shù)的合成誤差相對誤差：絕對誤差：四、和差積商函數(shù)的合成誤差相對誤差：絕對誤差：２.7.3系統(tǒng)誤差的合成一、確定性系統(tǒng)誤差的合成若忽略隨機(jī)誤差，則：例2.7.5見53２.7.3系統(tǒng)誤差的合成一、確定性系統(tǒng)誤差的合成若忽略隨機(jī)二、系統(tǒng)不確定度的合成定義：只知道誤差限，而不掌握其大小和符號的系統(tǒng)誤差。1、絕對值合成法：相對系統(tǒng)不確定度：系統(tǒng)不確定度：積函數(shù)：二、系統(tǒng)不確定度的合成定義：只知道誤差限，而不掌握其大小和符例2.7.6

用DA-16型晶體管毫伏表的3V量程測量一個(gè)100KHz的1.5V電壓。已知該儀表的基本誤差為±3%（1KHz時(shí)），頻率附加誤差rf=±3%（在20Hz～1MHz范圍內(nèi)）。求該相對系統(tǒng)不確定度。此誤差過于保守，一般都偏大。例2.7.6用DA-16型晶體管毫伏表的3V量程測量2、方和根合成法：相對系統(tǒng)不確定度：系統(tǒng)不確定度：積函數(shù)：2、方和根合成法：相對系統(tǒng)不確定度：系統(tǒng)不確定度：積函數(shù)：

例2.7.7

體育運(yùn)動會上，一人用秒表對一名短跑運(yùn)動員計(jì)時(shí)。設(shè)起跑及終點(diǎn)最大計(jì)時(shí)誤差均為0.03s，求總的不確定性系統(tǒng)誤差。絕對值合成法：方和根合成法：誤差0.04s較為合理例2.7.7體育運(yùn)動會上，一人用秒表對一名短跑運(yùn)動員計(jì)２.7.4按系統(tǒng)誤差相同的原則分配誤差設(shè)因?yàn)椋航^對誤差：相對誤差：（積商函數(shù)）例2.7.8見54２.7.4按系統(tǒng)誤差相同的原則分配誤差設(shè)因?yàn)椋航^對誤差：相２.7.5按對總誤差影響相同的原則分配誤差設(shè)因?yàn)椋悍猪?xiàng)誤差：２.7.5按對總誤差影響相同的原則分配誤差設(shè)因?yàn)椋悍猪?xiàng)誤差

例2.7.9

一整流電路，在濾波電容兩端并聯(lián)一泄放電路，欲測量其消耗功率，要求功率測量誤差不大于±5%，初測電阻上電壓UR=10V，電流IR=80mA。當(dāng)采用這種分配方法時(shí)，問應(yīng)分配給UR及IR的誤差各是多少？總誤差：

選擇

級10V或15V量程的電壓表

選擇

級100mA量程的電流表1.51.5例2.7.9一整流電路，在濾波電容兩端并聯(lián)一作業(yè)P59－612.1，2.3，2.62.10，2.112.19，2.21作業(yè)P59－612.1，2.3，2.6第２章測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理

２.1測量誤差的基本原理２.2測量誤差的分類２.3隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及其估算方法２.4系統(tǒng)誤差的特征及其減小的方法２.5疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則２.6測量數(shù)據(jù)的處理２.7誤差的合成與分配第２章測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理２.1測量誤差的基本原理第２章測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理重點(diǎn)：誤差的表示和分類三種誤差的特征及其處理方法數(shù)據(jù)的處理誤差的合成難點(diǎn)：三種誤差的特征及其處理方法第２章測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理重點(diǎn)：２.1測量誤差的基本原理２.1.1誤差的定義２.1.２測量誤差的表示方法２.1.３電子測量儀器誤差的表示方法２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)２.1測量誤差的基本原理２.1.1誤差的定義測量誤差—測量結(jié)果與實(shí)際值（真值）之差。包括：儀器不準(zhǔn)確方法不完善環(huán)境不合要求測量者的技術(shù)水平和責(zé)任心認(rèn)識測量誤差是不可避免的;尋找誤差的來源，盡可能防止誤差和減小誤差;測量結(jié)果進(jìn)行正確的處理，使測量結(jié)果接近被測量對象的實(shí)際情況。２.1.1誤差的定義測量誤差—測量結(jié)果與實(shí)際值（真值）之差２.1.２測量誤差的表示方法一、絕對誤差1、定義——測量值與真值(實(shí)際值)之差。具有大小、正負(fù)和量綱表示測得值偏離真值(實(shí)際值)程度和方向A0一般用實(shí)際值A(chǔ)代替，A的獲取:由高一級或數(shù)級的儀器測量得到多次測量求平均值得到２.1.２測量誤差的表示方法一、絕對誤差２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例1:一個(gè)被測電壓，真值U0=100V,用一只電壓表測量，指示值U為101V，則絕對誤差:表明:測得值比真值大1V，為正誤差。２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例1:２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))2、修正值(校正值)給出:通過校準(zhǔn)由上一級標(biāo)準(zhǔn)以表格或曲線的形式給出受檢儀器的修正值。測量時(shí)，實(shí)際值為測得值與修正值相加:實(shí)施:測量儀器定期送計(jì)量部門檢定，獲得修正值，減少誤差。２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))2、修正值(校正值)２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例2:一臺晶體管毫伏表的10mV檔，用其測量時(shí),示值為8mV，檢定時(shí)8mV處的修正值是-0.03mV，則實(shí)際值是:修正值可減少誤差，但要注意:修正值本身也有誤差修正值具有有效期２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例2:２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例3:測兩個(gè)電壓，其實(shí)際值分為U1=100V，U2=5V;而測得值分別為101V和6V，則絕對誤差分別是:絕對誤差相同,但他們測量的準(zhǔn)確度相同嗎?不同２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例3:絕對誤差相同,但他２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差1、實(shí)際相對誤差——絕對誤差與實(shí)際值之比。只具有大小、正負(fù)，但無量綱接上例可得:相對誤差可以表征測量的準(zhǔn)確程度。２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差2、示值相對誤差——絕對誤差與測得值之比。有誤差，適用于近似測量，只適用于誤差較小及要求不太嚴(yán)格的場合，多用于工程測量是由儀器的準(zhǔn)確度等級定出的，一般表示儀器在測量范圍內(nèi)最大的絕對誤差。２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差３、分貝誤差——用對數(shù)形式表示的誤差。具有大小、正負(fù)，及dB的單位表實(shí)際相對誤差，表示值相對誤差常用于表示增益或聲強(qiáng)等傳輸函數(shù)的值注意：若是功率增益，用10代替20２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))二、相對誤差２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例4:測一放大器，已知Ui=1.2mV，Uo=6000mV。設(shè)Ui的誤差忽略不計(jì)，而Uo的測量誤差為±3%，求放大倍數(shù)的絕對誤差、相對誤差及分貝誤差。放大倍數(shù)：絕對誤差：相對誤差：分貝誤差：測量結(jié)果：２.1.２測量誤差的表示方法(續(xù))例4:測一放大器，已知２.1.３電子測量儀器的表示方法一、我國部頒標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定用以下誤差表征其性能：（1）工作誤差工作誤差是在額定工作條件下儀器的誤差極限優(yōu)點(diǎn)：可直接估計(jì)誤差的最大范圍缺點(diǎn)：用工作誤差估計(jì)測量結(jié)果誤差偏大（2）固有誤差固有誤差在規(guī)定的基準(zhǔn)條件下給出的誤差作用：反映儀器固有性能，便于同類儀器的比較和校準(zhǔn)２.1.３電子測量儀器的表示方法一、我國部頒標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定用以下２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（3）影響誤差影響誤差是用來表明一個(gè)影響量對儀器測量誤差的影響。例如溫度誤差、頻率誤差。它是當(dāng)一個(gè)影響量在其額定使用范圍內(nèi)取任一值，而其它影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件下測得的誤差。只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時(shí)才給出，是一種誤差極限。２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（3）影響誤差２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（4）穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，于規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。給出形式有兩種：以相對誤差形式給出注明最長連續(xù)工作時(shí)間２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（4）穩(wěn)定誤差２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))例:DS-33型交流數(shù)字電壓表的誤差標(biāo)注:工作誤差（50Hz～1MHz，10mV～1V）

（±1.5%Ux±0.5%Um）固有誤差（1KHz，1V）

（±0.4%Ux±1個(gè)字）影響誤差溫度影響誤差（1KHz，1V）：10-4/℃頻率影響誤差（50Hz～1MHz）：（±0.5%Ux±0.1%Um）穩(wěn)定誤差（-10～+40℃，濕度≤80%，大氣壓：86～106KPa）連續(xù)工作7小時(shí)２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))例:DS-33型交流２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))二、原來的標(biāo)準(zhǔn)用基本誤差和附加誤差來表示：（1）基本誤差工作誤差是在規(guī)定的正常條件下所具有的誤差，與固有誤差類同，但條件較寬。滿度相對誤差（引用誤差）

△xm儀器在量程范圍內(nèi)最大的絕對誤差xm儀器的量程滿度２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))二、原來的標(biāo)準(zhǔn)用基本２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))滿度=量程，但不同于測量范圍例：中心指0的電壓表的測量范圍為-10～+10V，而其量程為20V。我國電子儀器定義七個(gè)準(zhǔn)確度等級（S）：

0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0S=1.0，表示rm=1.0%，儀器的滿度相對誤差不超過1.0%

。等級度越低，儀器越準(zhǔn)確。0.1、0.2是精密儀器。２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))滿度=量程，但不同于２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（2）附加誤差是指儀器在超過規(guī)定的正常條件下所增加的誤差，與影響誤差相似。例如：環(huán)境溫度、電源電壓等例：MF-20型晶體管萬用表?；菊`差：直流電壓、電流為±2.5%附加誤差：電池電壓在4.5～

5.5V時(shí)（額定值為６Ｖ），附加誤差為±1%；環(huán)境溫度在0～40℃范圍內(nèi)（額定值為20℃±2℃），每變化10℃附加誤差±2.5%。２.1.３電子測量儀器的表示方法(續(xù))（2）附加誤差２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)在已知儀表準(zhǔn)確度等級的前提下進(jìn)行一次測量，如何確定測量誤差？例：用S=2.5、30V量程的電壓表測20V的電壓，誤差為多少？選擇儀器準(zhǔn)則：①應(yīng)盡使指針偏轉(zhuǎn)位置在靠近滿度值的1/3區(qū)域內(nèi)；②準(zhǔn)確等級度選越低越好。２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)在已知儀表準(zhǔn)確度等級２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)(續(xù))例5:用S=2.5、30V量程的電壓表分別測20V、6V的電壓，相對誤差分別多少？當(dāng)Ux=20V，當(dāng)Ux=6V，可見：與量程接近的，誤差較小。２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)(續(xù))例5:用S=2２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)(續(xù))例6:測10V電壓，現(xiàn)有：①150V，0.5級;②15V，2.5級，問哪個(gè)誤差較小？①表②表可見：并非等級度越高越好，要與量程相結(jié)合選擇儀表２.1.４一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)(續(xù))例6:測10V２.2測量誤差的分類２.2.1誤差的來源２.2.２測量誤差的分類２.2.３測量結(jié)果的評定２.2測量誤差的分類２.2.1誤差的來源２.2.1誤差的來源1、儀器誤差儀器誤差由于儀器本身的電路設(shè)計(jì)、安裝、機(jī)械部分不完善及附件所引入的誤差。如：電橋中的標(biāo)準(zhǔn)電阻、天平的砝碼、示波器的探級線，儀表的0位偏移等。2、影響誤差影響誤差是測量環(huán)境與額定工作條件不一致造成的誤差。如：溫度、濕度、氣壓、電磁場、光照、聲音、放射線、機(jī)械震動、電源電壓等。２.2.1誤差的來源1、儀器誤差２.2.1誤差的來源(續(xù))3、方法誤差和理論誤差由于測量時(shí)所使用的方法不完善、所依據(jù)的理論不嚴(yán)密或測量定義不明確等所導(dǎo)致的誤差。如：用伏安法測電阻。4、人身誤差由于測量者的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣或缺乏責(zé)任心等因素引起的誤差。如：操作不當(dāng)、讀錯(cuò)刻度等。２.2.1誤差的來源(續(xù))3、方法誤差和理論誤差２.2.２測量誤差的分類根據(jù)誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、疏失（粗大）誤差三類。1.系統(tǒng)誤差定義：在相同條件下，多次測量同一量時(shí)，誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差。例如：儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。系統(tǒng)誤差表明了一個(gè)測量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測量就越準(zhǔn)確。２.2.２測量誤差的分類根據(jù)誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為系統(tǒng)２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）2.隨機(jī)誤差定義:在相同條件下，多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對值和符號都以不可預(yù)知的方式變化的誤差。原因：主要由對測量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。單次測量的隨差沒有規(guī)律，但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，多數(shù)接近于正態(tài)分布。２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）2.隨機(jī)誤差２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）特點(diǎn)：有界性對稱性抵償性處理：多次測量求平均值來消弱隨機(jī)誤差２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）特點(diǎn)：２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）3.疏失誤差：疏失誤差是一種顯然與實(shí)際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)以及實(shí)驗(yàn)條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。②測量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有疏失誤差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，應(yīng)剔除掉。２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）3.疏失誤差：疏失誤差是一２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）三個(gè)誤差同時(shí)存在情況這兩者系統(tǒng)誤差相同但下圖的測量點(diǎn)較分散，隨機(jī)誤差大粗大誤差隨機(jī)誤差系統(tǒng)誤差２.2.２測量誤差的分類（續(xù)）三個(gè)誤差同時(shí)存在情況這兩者系２.2.３測量結(jié)果的評定準(zhǔn)確度指測量值與真值的接近程度；反映系統(tǒng)誤差的影響，系統(tǒng)誤差小則準(zhǔn)確度越高。精密度指測量值重復(fù)一致的程度；反映隨機(jī)誤差的影響，精密度越高隨機(jī)誤差越小。精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響；精確度越高，表示準(zhǔn)確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。２.2.３測量結(jié)果的評定準(zhǔn)確度２.2.３測量結(jié)果的評定（續(xù)）準(zhǔn)確度高，精密度低準(zhǔn)確度低，精密度高準(zhǔn)確度高，精密度高２.2.３測量結(jié)果的評定（續(xù)）準(zhǔn)確度高，準(zhǔn)確度低，準(zhǔn)確度高2.3隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及其估算方法1、數(shù)學(xué)期望

等精密度測量——在相同條件下，用相同的儀器和方法，由同一觀測者以同樣細(xì)心的程度進(jìn)行多次測量。設(shè)對x進(jìn)行n次等精密度測量，得到測量值xi為隨機(jī)變量。算術(shù)平均值：當(dāng)n→∞時(shí)，得到數(shù)學(xué)期望：2.3.1測量值的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差總體平均值樣本平均值2.3隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及其估算方法1、數(shù)學(xué)期望2.3.1隨機(jī)誤差：系統(tǒng)誤差：絕對誤差：2.3.1測量值的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差絕對誤差等于隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差之和。隨機(jī)誤差：2.3.1測量值的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差絕對誤差等于2、算術(shù)平均值原理(1)算術(shù)平均值的意義根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償性，有若系統(tǒng)誤差為0，則有：當(dāng)有限次測量時(shí)，只要n足夠大，則認(rèn)為：即：即可用多次測量求平均值作為最后的測量結(jié)果。2、算術(shù)平均值原理(1)算術(shù)平均值的意義即可用多次測量求平均(2)剩余誤差（殘差）算術(shù)平均值：殘差：利用殘差之和為0，可檢驗(yàn)算術(shù)平均值是否正確。(2)剩余誤差（殘差）算術(shù)平均值：利用殘差之和為0，可檢驗(yàn)算3、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（表示數(shù)據(jù)的分散程度）

方差：標(biāo)準(zhǔn)差：

表精密度參數(shù)，越小測量值越集中3、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（表示數(shù)據(jù)的分散程度） 方差：表精密度參數(shù)，2.3.2貝塞爾公式及其應(yīng)用測量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？1、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布2.3.2貝塞爾公式及其應(yīng)用測量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互正態(tài)分布概率密度函數(shù)為：正態(tài)分布曲線標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)期望隨機(jī)誤差具有：①對稱性②有界性③抵償性

正態(tài)分布概率密度函數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)期望隨機(jī)誤差具有：①對稱性

不同標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布曲線表精密度參數(shù)，越小測量值越集中不同標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布曲線表精密度參數(shù)，越小測量值越集中2、Bessel公式—有限次測量標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值自由度用殘差代替隨機(jī)誤差用算術(shù)平均值代替數(shù)學(xué)期望表估計(jì)值2、Bessel公式—有限次測量標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值自由度用殘差代3、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值說明：多次多組測量求平均值的精密度較高。對于多組多次測量：3、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值說明：多次多組測量求平均值的精例1：用溫度計(jì)重復(fù)測量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測量值的序列（見下表），求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。解：①平均值

②殘差

③標(biāo)準(zhǔn)差④算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差例1：用溫度計(jì)重復(fù)測量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測量值的序列（2.3.3均勻分布情況下的標(biāo)準(zhǔn)差常見的有：均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度誤差DVM低位的“±1個(gè)字”誤差“四舍五入”的截尾誤差等3、測量誤差的非正態(tài)分布2.3.3均勻分布情況下的標(biāo)準(zhǔn)差常見的有：3、測量誤差的非均勻分布：概率密度:均值:標(biāo)準(zhǔn)差:

均勻分布：概率密度:2.3.4非等精密度測量1、權(quán)的概念

非等精密度測量—在不同環(huán)境下，不同的儀器和方法，不同的測量次數(shù)，或者由不同的觀測者進(jìn)行測量。

由于各組的測量值的可靠性不同，不能簡單的全部求平均得到測量值。而是引入的“權(quán)”的概念。

權(quán)—表示可靠程度的量，記做“W”。測量條件越優(yōu)越、儀器越先進(jìn)、次數(shù)越多，權(quán)越高。2.3.4非等精密度測量1、權(quán)的概念 非等精密度測量—在不多組測量中：常數(shù)設(shè)同一被測量，有m個(gè)算術(shù)平均值，每組的測量次數(shù)ni不同，但標(biāo)準(zhǔn)差相同，則：多組測量中：常數(shù)設(shè)同一被測量，有m個(gè)算術(shù)平均值例：2.2.3

設(shè)電壓三組不等精密度測量的算術(shù)平均值分別為：20.5V，20.1V，20.3V。標(biāo)準(zhǔn)差分別為：0.05，0.02，0.10。例：2.2.3設(shè)電壓三組不等精密度測量的算術(shù)平2、加權(quán)平均值—考慮各組數(shù)據(jù)加權(quán)后的平均值。例：2.2.32、加權(quán)平均值—考慮各組數(shù)據(jù)加權(quán)后的平均值。例：2.2.32.4系統(tǒng)誤差的特征及減小的方法2.4.1系統(tǒng)誤差的特征：恒值系差線性系差周期性系差復(fù)雜變化系差后三者統(tǒng)稱為變值系差2.4系統(tǒng)誤差的特征及減小的方法2.4.1系統(tǒng)誤差的2.4.2判斷系統(tǒng)誤差的方法1、實(shí)驗(yàn)比對法—恒值系差改變測量條件、測量儀器或測量方法例：用高一級或數(shù)級儀器重復(fù)測量2、剩余誤差（殘差）觀察法—變值系差按測量順序?qū)埐畲笮『头柕淖兓?guī)律制成表格或曲線來判斷。2.4.2判斷系統(tǒng)誤差的方法1、實(shí)驗(yàn)比對法—恒值系差2、剩余誤差（殘差）觀察法判斷系統(tǒng)誤差的曲線線性系差周期性系差復(fù)雜變化系差隨機(jī)誤差2、剩余誤差（殘差）觀察法判斷系統(tǒng)誤差的曲線線性系差周3、馬利科夫判據(jù)—線性系差，說明存在線性系差，否則無。3、馬利科夫判據(jù)—線性系差，說明存在線性系差，否則無。4、阿貝-赫梅特（Abbe－Helmert）判據(jù)

—周期性系差當(dāng)上式成立，說明存在周期性系差，否則無。處理：只要存在變值系差，原則上舍棄不用4、阿貝-赫梅特（Abbe－Helmert）判據(jù)

2.4.3

減少系統(tǒng)誤差的方法

1、從根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。②測量儀器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。④盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進(jìn)設(shè)備。

2、用修正方法減少恒值系差2.4.3減少系統(tǒng)誤差的方法1、從根源上采取3、技術(shù)措施①零示法－消除指示儀表不準(zhǔn)的誤差例：電位差計(jì)測電壓（p33）②替代法－用標(biāo)準(zhǔn)值代替被測量例：萬用表測R，電橋測C、R③微差法－不徹底的零示法3、技術(shù)措施①零示法－消除指示儀表不準(zhǔn)的誤差待測量x標(biāo)準(zhǔn)量BA標(biāo)準(zhǔn)量相對誤差相對微差電壓表的示值相對誤差③微差法－不徹底的零示法例：2.4.2見P34待測量標(biāo)準(zhǔn)量A標(biāo)準(zhǔn)量相對誤差相對微差電壓表的示值相對誤差2.5疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則1、置信概率與置信區(qū)間2.5.1

測量結(jié)果的置信問題置信概率是圖中陰影部分面積K－置信系數(shù)置信區(qū)間2.5疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則1、置信概率與置信區(qū)間2.5.置信概率與置信區(qū)間的關(guān)系置信因子k置信概率Pcn10.683320.9552230.997370K－置信系數(shù)置信區(qū)間寬，置信概率越大置信概率與置信區(qū)間的關(guān)系置信因子k置信概率Pcn10.6832、有限次測量時(shí)的置信問題有限次測量中，服從t分布，根據(jù)測量次數(shù)n、自由度v＝n-1、置信概率Pc查表得到置信系數(shù)ta，近而確定置信區(qū)間。當(dāng)n大于20時(shí)，可按照正態(tài)分布考慮。2、有限次測量時(shí)的置信問題有限次測量中，服從t分布，t分布的置信系數(shù)tat分布的置信系數(shù)ta例2：同例1，求測量結(jié)果的范圍，要求Pc＝95%解：v＝n-1＝10查表得：ta=2.23測量結(jié)果：例2：同例1，求測量結(jié)果的范圍，要求Pc＝95%解：v＝n-2.5.2不確定度和壞值的剔除1、不確定度（極限誤差）－將3的誤差稱不確定度2、壞值的剔除①當(dāng)n>20時(shí)，用拉依達(dá)準(zhǔn)則判斷，認(rèn)為是壞值，剔除。滿足②當(dāng)n<20時(shí)，用格拉布斯（Grubbs）準(zhǔn)則判斷，認(rèn)為是壞值，剔除。滿足2.5.2不確定度和壞值的剔除1、不確定度（極限誤差）格拉布斯系數(shù)G格拉布斯系數(shù)G3、算術(shù)平均值的不確定度①當(dāng)n>20時(shí)②當(dāng)n<20時(shí)Note:用于判斷疏失誤差，而用于確定測量結(jié)果表示與數(shù)學(xué)期望之間的偏差3、算術(shù)平均值的不確定度①當(dāng)n>20時(shí)②當(dāng)n<20時(shí)Note4、應(yīng)注意的問題①

所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。②

若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，重新計(jì)算，再行判別。若有兩個(gè)相同數(shù)據(jù)超出范圍時(shí)，應(yīng)逐個(gè)剔除。③在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。4、應(yīng)注意的問題①所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無２.6測量數(shù)據(jù)的處理２.6.1數(shù)據(jù)舍入規(guī)則２.6.２等精密度測量結(jié)果的處理步驟２.6.3曲線修勻２.6.4最小二乘法原理２.6.5測量不確定度２.6測量數(shù)據(jù)的處理２.6.1數(shù)據(jù)舍入規(guī)則２.6.1數(shù)據(jù)舍入規(guī)則一、舍入規(guī)則>5，入<5，舍＝5，取偶例：將下列數(shù)字保留3位。12.3412.3612.3512.4512.312.312.412.412.4原因:①奇偶出現(xiàn)概率相同，可相互抵消；②偶數(shù)除盡的幾率大，減小計(jì)算誤差。２.6.1數(shù)據(jù)舍入規(guī)則一、舍入規(guī)則>5，入<5，舍＝5，取二、有效數(shù)字1、定義：絕對誤差不超過末位數(shù)字單位的一半，從左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字起，直到右邊最后一個(gè)數(shù)字。例：0.01230的有效數(shù)字：2、0.5誤差原則規(guī)定誤差不超過末位單位數(shù)字的一半。上例：誤差不超過0.000005因此:①末位的0不可隨便增刪；②根據(jù)測量的準(zhǔn)確度確定有效數(shù)字。4位二、有效數(shù)字1、定義：絕對誤差不超過末位數(shù)字單位的一半，從左２.6.1數(shù)據(jù)的舍入規(guī)則(續(xù)）例：用0.5級100V量程的電壓表測量，指示值為85.35V,試確定有效數(shù)字位數(shù)？最大絕對誤差：根據(jù)0.5誤差原則：若要寫出誤差，則要求數(shù)據(jù)的末位與誤差對齊：保留了兩位欠準(zhǔn)數(shù)字２.6.1數(shù)據(jù)的舍入規(guī)則(續(xù)）例：用0.5級100V量程的3、近似運(yùn)算法則保留的位數(shù)原則上取決于準(zhǔn)確度最差的那一項(xiàng)。（1）加法運(yùn)算以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)，其余各數(shù)可多取一位例:3、近似運(yùn)算法則保留的位數(shù)原則上取決于準(zhǔn)確度最差（2）減法運(yùn)算當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原則同加法運(yùn)算；當(dāng)兩數(shù)很接近時(shí)，有可能造成很大的相對誤差

因此：

①要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測量方法②在運(yùn)算中多一些有效數(shù)字

例(P52)：用fm=10MHz，±1%的頻率計(jì)測得fh=10MHz，fl=9MHz，計(jì)算頻帶寬度合成誤差。（2）減法運(yùn)算當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原則同加法運(yùn)算（3）乘除法運(yùn)算以有效數(shù)字位數(shù)最少的為準(zhǔn)，其余參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。

例：也可多保留一位有效數(shù)字。例如上例中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。（3）乘除法運(yùn)算以有效數(shù)字位數(shù)最少的為（4）乘方、開方運(yùn)算運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×104

（4）乘方、開方運(yùn)算運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效２.6.２等精密度測量結(jié)果的處理步驟思路：先除恒值系統(tǒng)誤差再除疏失誤差判斷變值系統(tǒng)誤差（若存在，則無需往下做）最后給出數(shù)據(jù)的估計(jì)值及不確定度２.6.２等精密度測量結(jié)果的處理步驟思路：步驟：①利用修正值方法，減小恒值系統(tǒng)誤差②求算術(shù)平均值③求剩余誤差④求標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值⑤判斷疏失誤差，逐個(gè)剔除壞值n>20用拉依達(dá)準(zhǔn)則；n<20用Grubbs準(zhǔn)則判斷除疏失誤差步驟：①利用修正值方法，減小恒值系統(tǒng)誤差除疏失誤差步驟：⑥剔除壞值后，重復(fù)②∽⑤，直到剔除所有壞值，得到新的平均值、殘差、標(biāo)準(zhǔn)差；⑦判斷有無變值系差殘差觀察法馬利科夫判據(jù)（線性系差）Abbe－Helmert判據(jù)（周期性系差）若存在，則數(shù)據(jù)原則上應(yīng)舍棄不用。步驟：⑥剔除壞值后，重復(fù)②∽⑤，直到剔除所有壞值，得到新的平步驟：⑧求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值⑨求算術(shù)平均值的不確定度⑩給出測量結(jié)果的表達(dá)式（報(bào)告值）當(dāng)n≥20時(shí)當(dāng)n<20時(shí)給出報(bào)告值Note：這里的全部是剔除壞值之后的新數(shù)據(jù)。步驟：⑧求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值當(dāng)n≥20時(shí)當(dāng)n<20時(shí)例2.6.3

對某電壓進(jìn)行了16次等精密度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達(dá)式。例2.6.3對某電壓進(jìn)行了16次等精密度步驟：①求算術(shù)平均值②求剩余誤差ui（列于表中）③求標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值④判斷疏失誤差

n<20用Grubbs準(zhǔn)則判斷,取P＝95％，查表得G＝2.44步驟：①求算術(shù)平均