空間向量在立體幾何中的應(yīng)用空間向量在立體幾何返回目錄

1.平面的法向量直線l⊥α，取直線l的

，則

叫做平面α的法向量.2.直線l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),則l∥α

.

方向向量a向量au·v=0a1a2+b1b2+c1c2=0考點分析返回目錄1.平面的法向量方向向量a向量a返回目錄

3.設(shè)直線l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),則l⊥α

.

若平面α的法向量u=(a1,b1,c1)，平面β的法向量v=(a2,b2,c2)，則α⊥β

.4.空間的角

(1)若異面直線l1和l2的方向向量分別為u1和u2，l1與l2所成的角為α，則cosα=

.

u∥v(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2u·v=0u⊥va1a2+b1b2+c1c2=0|cos<u1,u2>|返回目錄3.設(shè)直線l的方向向量是u=(a

(2)已知直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,l與α的夾角為α，則sinα=

.(3)已知二面角α—l—β的兩個面α和β的法向量分別為v,u,則<v,u>與該二面角

.5.空間的距離

(1)一個點到它在一個平面內(nèi)

的距離，叫做點到這個平面的距離.(2)已知直線l平行平面α，則l上任一點到α的距離都

，且叫做l到α的距離.

返回目錄

|cos<v,u>|相等或互補正射影相等(2)已知直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,(3)和兩個平行平面同時

的直線，叫做兩個平面的公垂線.公垂線夾在平行平面間的部分，叫做兩個平面的

.兩平行平面的任兩條公垂線段的長都相等，公垂線段的

叫做兩平行平面的距離，也是一個平面內(nèi)任一點到另一個平面的距離.(4)若平面α的一個

為m，P是α外一點，A是α內(nèi)任一點，則點P到α的距離d=

.返回目錄

垂直公垂線段長度法向量(3)和兩個平行平面同時返回目錄

例1如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，且PA=AD，E,F分別為線段AB,PD的中點.求證：(1)AF∥平面PEC;(2)AF⊥平面PCD.考點一用向量證明平行、垂直問題題型分析返回目錄例1如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面返回目錄

【證明】以A為原點，AB,AD,AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)AB=a,PA=AD=1,則P(0,0,1),C(a,1,0),E(,0,0),D(0,1,0),F(0,,).(1)AF=(0,,),EP=(-,0,1),EC=(,1,0),∴AF=EP+EC,又AF平面PEC,∴AF∥平面PEC.【分析】可用空間向量的坐標(biāo)運算來證明.返回目錄【證明】以A為原點，AB,AD,AP分別為x軸，y返回目錄

【評析】用向量證明線面平行時，最后應(yīng)說明向量所在的基線不在平面內(nèi).(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0),∴AF·PD=(0,,)·(0,1,-1)=0,AF·CD=(0,,)·(-a,0,0)=0,∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD.返回目錄【評析】用向量證明線面平行時，最后應(yīng)說＊對應(yīng)演練＊如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱BB1,CD,AA1的中點.證明：(1)C1M∥平面ADE；(2)平面ADE⊥平面A1D1F.返回目錄

＊對應(yīng)演練＊如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,（1）以D為原點，DA,DC,DD1分別為x軸，y軸,z軸建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為1.則DA=(1,0,0),DE=(1,1,),C1M=(1,-1,-).設(shè)平面ADE的法向量為m=(a,b,c),則

m·DA=0a=0m·DE=0a+b+c=0.令c=2，得m=(0,-1,2).∵m·C1M=(0,-1,2)·(1,-1,-)=0+1-1=0,∴C1M⊥m.又C1M平面ADE,∴C1M∥平面ADE.返回目錄

（1）以D為原點，DA,DC,DD1分別為x軸，y軸,z軸建(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0,,-1),設(shè)平面A1D1F的法向量為n=(x,y,z),則

n·D1A1=0x=0n·D1F=0y-z=0.令y=2，則n=(0,2,1).∵m·n=(0,-1,2)·(0,2,1)=0-2+2=0,∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.返回目錄

(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0,,-返回目錄

例2如圖所示，已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA=60°.(1)求DP與CC′所成角的大??；(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法求解.考點二用向量求線線角與線面角返回目錄例2如圖所示，已知點P在正方體ABCD-A′返回目錄

【解析】如圖所示，以D為原點，DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.

則DA=(1,0,0),CC′=(0,0,1).

連接BD，B′D′.

在平面BB′D′D中，延長DP交B′D′于H.

設(shè)DH=（m，m，1）（m＞0）,

由已知<DH,DA>=60°,

由DA·DH=|DA||DH|cos<DH,DA>,

可得2m=.

解得m=，所以DH=（，，1）.返回目錄【解析】如圖所示，以D為原點，DA為單返回目錄

（1）因為cos<DH,CC′>=所以<DH,CC′>=45°,即DP與CC′所成的角為45°.（2）平面AA′D′D的一個法向量DC=(0,1,0).因為cos<DH,DC>=所以<DH,DC>=60°,可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.返回目錄（1）因為cos<DH,CC′>=【評析】（1）異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系.

（2）直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化，所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.返回目錄

【評析】（1）異面直線的夾角與向量的夾角有所返回目錄

＊對應(yīng)演練＊如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E,F分別為CD,PB的中點.(1)求證：EF⊥平面PAB;(2)設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小.返回目錄＊對應(yīng)演練＊如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABC（1）證明：以D為原點，DC,DA,DP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=1,AB=a，則C(a,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E（,0,0）,B(a,1,0),F（,,）.∴EF=（0,,）,AB=(a,0,0),PA=(0,1,-1).∴EF·AB=0,EF·PA=0.∴EF⊥ABEF⊥PA返回目錄

EF⊥平面PAB.（1）證明：以D為原點，DC,DA,DP的方向分別為x軸，y返回目錄

(2)∵AB=BC,∴a=.從而AC=(,-1,0)，AE=（,-1,0）,EF=（0,,）.設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則

n·AE=0x-y=0n·EF=0y+z=0.令x=,則y=1,z=-1,∴平面AEF的一個法向量為n=(2,1,-1).設(shè)AC與平面AEF所成角為α,則sinα=|cos<AC,n>|=.∴AC與平面AEF所成角為arcsin.返回目錄(2)∵AB=BC,∴a=返回目錄

例3如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB，點E,M分別圖為A1B,C1C的中點，過A1,B,M三點的平面A1BMN交C1D1于點N.(1)求證:EM∥平面A1B1C1D1;(2)求二面角B—A1N—B1的正切值.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系求之比較簡單.考點三用向量求二面角返回目錄例3如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D返回目錄

【解析】(1)證明:建立圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2a,AA1=a(a＞0)，則A1(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a).∵E為A1B的中點，M為CC1的中點,∴E（2a,a,）,M（0,2a,）.∴EM=(-2a,a,0).∴EM∥平面A1B1C1D1.返回目錄【解析】(1)證明:建立圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)(2)設(shè)平面A1BM的法向量為n=(x,y,z).∵A1B=(0,2a,-a),BM=（-2a,0,）,∴由n⊥A1B,n⊥BM，

2ay-az=0,x=,-2ax+=0.y=.∴令z=a,則n=（,,a）.而平面A1B1C1D1的法向量為n=(0,0,1)，設(shè)二面角為θ，則cosθ=又∵二面角為銳二面角,∴cosθ=從而tanθ=.即二面角B—A1N—B1的正切值為.得∴返回目錄

(2)設(shè)平面A1BM的法向量為n=(x,y,z).得∴返回目返回目錄

【評析】第(2)問如果直接作二面角的平面角很復(fù)雜，采用法向量起到了化繁為簡的作用.這種求二面角的方法應(yīng)引起我們重視.需要注意的是兩平面法向量的夾角可能與所求的二面角相等，也可能與所求的二面角互補，要注意所求角的范圍.返回目錄【評析】第(2)問如果直接作二面角的返回目錄

＊對應(yīng)演練＊三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC，A1A=，AB=，AC=2，A1C1=1，（1）證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角A—CC1—B的大小.返回目錄＊對應(yīng)演練＊三棱錐被平行于底面ABC的平面（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，），C1（0，1，），∵BD：DC=1：2，∴BD=BC,∴D點坐標(biāo)為（，，0）.∴AD=（，，0），BC=（-，2，0），AA1=(0,0,),∵BC·AA1=0，BC·AD=0，∴BC⊥AA1，BC⊥AD，又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD，又BC平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.返回目錄

（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），（2）∵BA⊥平面ACC1A1，取m=AB=（，0，0）為平面ACC1A1的一個法向量，設(shè)平面BCC1B1的一個法向量為n=（l，m，n），則BC·n=0，CC1·n=0，

-l+2m=0，l=m-m+n=0，n=m，取m=1，則n=（,1,），cos<m,n>=即二面A—CC1—B為arccos.返回目錄

∴∴（2）∵BA⊥平面ACC1A1，取m=AB=（，0，0返回目錄

考點四用向量求距離里歐4在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.【分析】由平面SAC⊥平面ABC,SA=SC,BA=BC,可知本題可以取AC中點O為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)A,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解.返回目錄考點四用向量求距離里歐4在三棱返回目錄

【解析】取AC的中點O,連接OS,OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，，0），N（0，，）.返回目錄【解析】取AC的中點O,連接OS,OB.∴CM=(3,,0),MN=(-1,0,),MB=(-1,,0).設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，

CM·ｎ=3x+y=0MN·n=-x+z=0，則x=，y=-，∴n=（，-，1）.∴點B到平面CMN的距離d=.返回目錄

取z=1,則∴CM=(3,,0),MN=(-1,0,【評析】點到平面的距離、直線到平面的距離、兩平行平面間的距離、異面直線間的距離等都是高考考查的重點內(nèi)容，可以和多種知識相結(jié)合，是諸多知識的交匯點.本題考查了點到平面的距離和垂直、夾角問題，這是命題的方向，要給予高度重視.返回目錄

【評析】點到平面的距離、直線到平面的距離、兩平＊對應(yīng)演練＊如圖示，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.（1）求證：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的余弦值.（3）求點C到平面APB的距離.返回目錄

＊對應(yīng)演練＊如圖示，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠（1）證明:∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC,∴PC⊥AB.返回目錄

（1）證明:∵AC=BC,AP=BP,返回目錄（2）如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz.則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.設(shè)P（0，0，t），∵|PB|=|AB|=2，∴t=2，P（0，0，2）取AP中點E，連接BE，CE.∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，∴CE⊥AP，BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B—AP—C的平面角.∵E（0，1，1），EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1),∴cos∠BEC=.∴二面角B—AP—C的余弦值為.返回目錄

（2）如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz.返回目錄（3）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB內(nèi)的射影為正△APB的中心H，且CH的長即為點C到平面APB的距離.如（2）中建立的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.∵BH=2HE，∴點H的坐標(biāo)為（,,）.∴|CH|=.∴點C到平面APB的距離為.返回目錄

（3）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB內(nèi)的射影為正△AP考點五向量的綜合應(yīng)用例5如圖,四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.(1)點E為BC的中點時,試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并說明理由;(2)求證:無論點E在BC邊的何處,都有PE⊥AF;(3)當(dāng)BE為何值時,PA與平面PDE所成角的大小為45°.返回目錄

考點五向量的綜合應(yīng)用例5如圖,四棱錐P—A【分析】(1)由EF是△PBC的中位線可得EF∥PC,從而可解答第(1)問.(2)可證AF與PE所在的平面垂直來證明第(2)問.也可轉(zhuǎn)化為證明AF·PE=0.(3)設(shè)出BE的長度,表示出平面PDE的法向量,從而利用求線面角的公式求出BE的長度.返回目錄

【解析】(1)證明:當(dāng)點E為BC的中點時,EF與平面PAC平行.∵在△PBC中,E,F分別為BC,PB的中點,∴EF∥PC.

又EF平面PAC,而PC平面PAC,∴EF∥平面PAC.【分析】(1)由EF是△PBC的中位線可得EF(2)證明:以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),B(0,1,0),F（0,，）,D(,0,0).設(shè)BE=x,則E(x,1,0),∴PE·AF=(x,1,-1)·（0,,）=0.∴PE⊥AF.返回目錄

(2)證明:以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則返(3)設(shè)平面PDE的法向量為m=(p,q,1),m·PD=0m·PE=0,而AP=(0,0,1),依題意PA與平面PDE所成角為45°,∴sin45°=得BE=x=或BE=x=(舍).故BE=時,PA與平面PDE所成角為45°.返回目錄

得m=（,1-,1）.由(3)設(shè)平面PDE的法向量為m=(p,q,1),返回目錄得

【評析】(1)開放性問題是近幾年高考的一種常見題型.一般來說,這種題型依據(jù)題目特點,充分利用條件不難求解.(2)對于探索性問題,一般先假設(shè)存在,設(shè)出空間點坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解問題,若有解且滿足題意則存在,若有解但不滿足題意或無解則不存在.返回目錄

【評析】(1)開放性問題是近幾年高考的一種常在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D為A1C1的中點，E為B1C的中點.（1）求直線BE與A1C所成角的余弦值；（2）在線段AA1上是否存在點F，使CF平面B1DF？若不存在，求出︱AF︱，若不存在，請說明理由.＊對應(yīng)演練＊返回目錄

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等（1）以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為AC=2a，∠ABC=90°,所以AB=BC=a，所以B（0，0，0），C（0，a，0），A（a，0，0），A1（a，0，3a），C1（0，a，3a），B1（0，0，3a），所以D（a,a,3a）,E（0,a，a），所以CA1=（a，-a，3a），BE=（0，a，a），所以|CA1|=a，|BE|=a，CA1·BE=a2，所以cos<CA1,BE>=即直線BE與A1C所成角的余弦值為.返回目錄

（1）以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為AC=2(2)假設(shè)存在點F,使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F且CF⊥B1D即可.設(shè)AF=b,則F(a,0,b),CF=(a,-a,b),B1F=(a,0,b-3a),B1D=（a,a,0）,因為CF·B1D=a2-a2=0，所以CF⊥B1D恒成立.由B1F·CF=2a2+b（b-3a）=0，解得b=a或b=2a，故當(dāng)|AF|=a或2a時，CF⊥平面B1DF.返回目錄

(2)假設(shè)存在點F,使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F且返回目錄

1.用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進(jìn)行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量（或坐標(biāo)）表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運算，研究點、線、面之間的位置關(guān)系；（3）根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題.2.角的計算與度量總要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，主要將空間角轉(zhuǎn)化為平面角或兩向量的夾角.高考專家助教返回目錄1.用向量知識證明立體幾何問題有兩3.用向量的數(shù)量積來求解兩異面直線所成的角，簡單、易掌握.其基本程序是選基底，表示兩直線方向向量，計算數(shù)量積，若能建立空間直角坐標(biāo)系，則更為方便.4.找直線和平面所成的角常用方法是過線上一點作面的垂線或找線上一點到面的垂線，或找（作）垂面，將其轉(zhuǎn)化為平面角，或用向量求解，或解直角三角形.返回目錄

3.用向量的數(shù)量積來求解兩異面直線所成的角，簡祝同學(xué)們學(xué)習(xí)上天天有進(jìn)步！祝同學(xué)們學(xué)習(xí)上天天有進(jìn)步！空間向量在立體幾何中的應(yīng)用空間向量在立體幾何返回目錄

1.平面的法向量直線l⊥α，取直線l的

，則

叫做平面α的法向量.2.直線l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),則l∥α

.

方向向量a向量au·v=0a1a2+b1b2+c1c2=0考點分析返回目錄1.平面的法向量方向向量a向量a返回目錄

3.設(shè)直線l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),則l⊥α

.

若平面α的法向量u=(a1,b1,c1)，平面β的法向量v=(a2,b2,c2)，則α⊥β

.4.空間的角

(1)若異面直線l1和l2的方向向量分別為u1和u2，l1與l2所成的角為α，則cosα=

.

u∥v(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2u·v=0u⊥va1a2+b1b2+c1c2=0|cos<u1,u2>|返回目錄3.設(shè)直線l的方向向量是u=(a

(2)已知直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,l與α的夾角為α，則sinα=

.(3)已知二面角α—l—β的兩個面α和β的法向量分別為v,u,則<v,u>與該二面角

.5.空間的距離

(1)一個點到它在一個平面內(nèi)

的距離，叫做點到這個平面的距離.(2)已知直線l平行平面α，則l上任一點到α的距離都

，且叫做l到α的距離.

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|cos<v,u>|相等或互補正射影相等(2)已知直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,(3)和兩個平行平面同時

的直線，叫做兩個平面的公垂線.公垂線夾在平行平面間的部分，叫做兩個平面的

.兩平行平面的任兩條公垂線段的長都相等，公垂線段的

叫做兩平行平面的距離，也是一個平面內(nèi)任一點到另一個平面的距離.(4)若平面α的一個

為m，P是α外一點，A是α內(nèi)任一點，則點P到α的距離d=

.返回目錄

垂直公垂線段長度法向量(3)和兩個平行平面同時返回目錄

例1如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，且PA=AD，E,F分別為線段AB,PD的中點.求證：(1)AF∥平面PEC;(2)AF⊥平面PCD.考點一用向量證明平行、垂直問題題型分析返回目錄例1如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面返回目錄

【證明】以A為原點，AB,AD,AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)AB=a,PA=AD=1,則P(0,0,1),C(a,1,0),E(,0,0),D(0,1,0),F(0,,).(1)AF=(0,,),EP=(-,0,1),EC=(,1,0),∴AF=EP+EC,又AF平面PEC,∴AF∥平面PEC.【分析】可用空間向量的坐標(biāo)運算來證明.返回目錄【證明】以A為原點，AB,AD,AP分別為x軸，y返回目錄

【評析】用向量證明線面平行時，最后應(yīng)說明向量所在的基線不在平面內(nèi).(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0),∴AF·PD=(0,,)·(0,1,-1)=0,AF·CD=(0,,)·(-a,0,0)=0,∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD.返回目錄【評析】用向量證明線面平行時，最后應(yīng)說＊對應(yīng)演練＊如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱BB1,CD,AA1的中點.證明：(1)C1M∥平面ADE；(2)平面ADE⊥平面A1D1F.返回目錄

＊對應(yīng)演練＊如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,（1）以D為原點，DA,DC,DD1分別為x軸，y軸,z軸建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為1.則DA=(1,0,0),DE=(1,1,),C1M=(1,-1,-).設(shè)平面ADE的法向量為m=(a,b,c),則

m·DA=0a=0m·DE=0a+b+c=0.令c=2，得m=(0,-1,2).∵m·C1M=(0,-1,2)·(1,-1,-)=0+1-1=0,∴C1M⊥m.又C1M平面ADE,∴C1M∥平面ADE.返回目錄

（1）以D為原點，DA,DC,DD1分別為x軸，y軸,z軸建(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0,,-1),設(shè)平面A1D1F的法向量為n=(x,y,z),則

n·D1A1=0x=0n·D1F=0y-z=0.令y=2，則n=(0,2,1).∵m·n=(0,-1,2)·(0,2,1)=0-2+2=0,∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.返回目錄

(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0,,-返回目錄

例2如圖所示，已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA=60°.(1)求DP與CC′所成角的大小；(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法求解.考點二用向量求線線角與線面角返回目錄例2如圖所示，已知點P在正方體ABCD-A′返回目錄

【解析】如圖所示，以D為原點，DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.

則DA=(1,0,0),CC′=(0,0,1).

連接BD，B′D′.

在平面BB′D′D中，延長DP交B′D′于H.

設(shè)DH=（m，m，1）（m＞0）,

由已知<DH,DA>=60°,

由DA·DH=|DA||DH|cos<DH,DA>,

可得2m=.

解得m=，所以DH=（，，1）.返回目錄【解析】如圖所示，以D為原點，DA為單返回目錄

（1）因為cos<DH,CC′>=所以<DH,CC′>=45°,即DP與CC′所成的角為45°.（2）平面AA′D′D的一個法向量DC=(0,1,0).因為cos<DH,DC>=所以<DH,DC>=60°,可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.返回目錄（1）因為cos<DH,CC′>=【評析】（1）異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系.

（2）直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化，所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.返回目錄

【評析】（1）異面直線的夾角與向量的夾角有所返回目錄

＊對應(yīng)演練＊如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E,F分別為CD,PB的中點.(1)求證：EF⊥平面PAB;(2)設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小.返回目錄＊對應(yīng)演練＊如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABC（1）證明：以D為原點，DC,DA,DP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=1,AB=a，則C(a,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E（,0,0）,B(a,1,0),F（,,）.∴EF=（0,,）,AB=(a,0,0),PA=(0,1,-1).∴EF·AB=0,EF·PA=0.∴EF⊥ABEF⊥PA返回目錄

EF⊥平面PAB.（1）證明：以D為原點，DC,DA,DP的方向分別為x軸，y返回目錄

(2)∵AB=BC,∴a=.從而AC=(,-1,0)，AE=（,-1,0）,EF=（0,,）.設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則

n·AE=0x-y=0n·EF=0y+z=0.令x=,則y=1,z=-1,∴平面AEF的一個法向量為n=(2,1,-1).設(shè)AC與平面AEF所成角為α,則sinα=|cos<AC,n>|=.∴AC與平面AEF所成角為arcsin.返回目錄(2)∵AB=BC,∴a=返回目錄

例3如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB，點E,M分別圖為A1B,C1C的中點，過A1,B,M三點的平面A1BMN交C1D1于點N.(1)求證:EM∥平面A1B1C1D1;(2)求二面角B—A1N—B1的正切值.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系求之比較簡單.考點三用向量求二面角返回目錄例3如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D返回目錄

【解析】(1)證明:建立圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2a,AA1=a(a＞0)，則A1(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a).∵E為A1B的中點，M為CC1的中點,∴E（2a,a,）,M（0,2a,）.∴EM=(-2a,a,0).∴EM∥平面A1B1C1D1.返回目錄【解析】(1)證明:建立圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)(2)設(shè)平面A1BM的法向量為n=(x,y,z).∵A1B=(0,2a,-a),BM=（-2a,0,）,∴由n⊥A1B,n⊥BM，

2ay-az=0,x=,-2ax+=0.y=.∴令z=a,則n=（,,a）.而平面A1B1C1D1的法向量為n=(0,0,1)，設(shè)二面角為θ，則cosθ=又∵二面角為銳二面角,∴cosθ=從而tanθ=.即二面角B—A1N—B1的正切值為.得∴返回目錄

(2)設(shè)平面A1BM的法向量為n=(x,y,z).得∴返回目返回目錄

【評析】第(2)問如果直接作二面角的平面角很復(fù)雜，采用法向量起到了化繁為簡的作用.這種求二面角的方法應(yīng)引起我們重視.需要注意的是兩平面法向量的夾角可能與所求的二面角相等，也可能與所求的二面角互補，要注意所求角的范圍.返回目錄【評析】第(2)問如果直接作二面角的返回目錄

＊對應(yīng)演練＊三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC，A1A=，AB=，AC=2，A1C1=1，（1）證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角A—CC1—B的大小.返回目錄＊對應(yīng)演練＊三棱錐被平行于底面ABC的平面（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，），C1（0，1，），∵BD：DC=1：2，∴BD=BC,∴D點坐標(biāo)為（，，0）.∴AD=（，，0），BC=（-，2，0），AA1=(0,0,),∵BC·AA1=0，BC·AD=0，∴BC⊥AA1，BC⊥AD，又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD，又BC平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.返回目錄

（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），（2）∵BA⊥平面ACC1A1，取m=AB=（，0，0）為平面ACC1A1的一個法向量，設(shè)平面BCC1B1的一個法向量為n=（l，m，n），則BC·n=0，CC1·n=0，

-l+2m=0，l=m-m+n=0，n=m，取m=1，則n=（,1,），cos<m,n>=即二面A—CC1—B為arccos.返回目錄

∴∴（2）∵BA⊥平面ACC1A1，取m=AB=（，0，0返回目錄

考點四用向量求距離里歐4在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.【分析】由平面SAC⊥平面ABC,SA=SC,BA=BC,可知本題可以取AC中點O為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)A,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解.返回目錄考點四用向量求距離里歐4在三棱返回目錄

【解析】取AC的中點O,連接OS,OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，，0），N（0，，）.返回目錄【解析】取AC的中點O,連接OS,OB.∴CM=(3,,0),MN=(-1,0,),MB=(-1,,0).設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，

CM·ｎ=3x+y=0MN·n=-x+z=0，則x=，y=-，∴n=（，-，1）.∴點B到平面CMN的距離d=.返回目錄

取z=1,則∴CM=(3,,0),MN=(-1,0,【評析】點到平面的距離、直線到平面的距離、兩平行平面間的距離、異面直線間的距離等都是高考考查的重點內(nèi)容，可以和多種知識相結(jié)合，是諸多知識的交匯點.本題考查了點到平面的距離和垂直、夾角問題，這是命題的方向，要給予高度重視.返回目錄

【評析】點到平面的距離、直線到平面的距離、兩平＊對應(yīng)演練＊如圖示，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.（1）求證：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的余弦值.（3）求點C到平面APB的距離.返回目錄

＊對應(yīng)演練＊如圖示，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠（1）證明:∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC,∴PC⊥AB.返回目錄

（1）證明:∵AC=BC,AP=BP,返回目錄（2）如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz.則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.設(shè)P（0，0，t），∵|PB|=|AB|=2，∴t=2，P（0，0，2）取AP中點E，連接BE，CE.∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，∴CE⊥AP，BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B—AP—C的平面角.∵E（0，1，1），EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1),∴cos∠BEC=.∴二面角B—AP—C的余弦值為.返回目錄

（2）如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz.返回目錄（3）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB內(nèi)的射影為正△APB的中心H，且CH的長即為點C到平面APB的距離.如（2）中建立的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.∵BH=2HE，∴點H的坐標(biāo)為（,,）.∴|CH|=.∴點C到平面APB的距離為.返回目錄

（3）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB內(nèi)的射影為正△AP考點五向量的綜合應(yīng)用例5如圖,四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.(1)點E為BC的中點時,試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并說明理由;(2)求證:無論點E在BC邊的何處,都有PE⊥AF;(3)當(dāng)BE為何值時,PA與平面PDE所成角的大小為45°.返回目錄

考點五向量的綜合應(yīng)用例5如圖,四棱錐P—A【分析】(1)由EF是△PBC的中位線可得EF∥PC,從而可解答第(1)問.(2)可證AF與PE所在的平面垂直來證明第(2)問.也可轉(zhuǎn)化為證明AF·PE=0.(3)設(shè)出BE的長度,表示出平面PDE的法向量,從而利用求線面角的公式求出BE的長度.返回目錄

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