第一節(jié)力在坐標軸上的投影第二節(jié)平面匯交力系的合成與平衡第三節(jié)力矩、平面力偶系的合成與平衡

第四節(jié)力線的平移定理第五節(jié)平面任意力系的簡化第六節(jié)平面任意力系的平衡方程及應用第七節(jié)靜定與靜不定問題及物系的平衡第二章平面力系和平面力偶系第一節(jié)力在坐標軸上的投影第二章平面1本章主要研究平面匯交力系和平面力偶系的合成及其平衡條件。對于平面力系要掌握其平衡條件，掌握用幾何法和解析法解決平衡問題。對于平面力偶系在力線平移定理的基礎上將平面任意力系簡化為一個平面匯交力系和平面力偶系，并能通過平衡條件解決問題。教學目的和要求本章主要研究平面匯交力系和平面力偶系的合成及其平衡條件。對于2平面匯交力系的合成和平衡條件；合力矩定理；平面力偶系的合成和平衡條件；平面任意力系的簡化及其平衡條件。教學重點平面匯交力系的合成和平衡條件；教學重點3力矩的概念性質(zhì)及合力矩定量；平面力偶系的合成與平衡；力線平移定理；平面任意力系的簡化及其平衡條件。教學難點力矩的概念性質(zhì)及合力矩定量；教學難點4研究平面匯交力系的前提是力在坐標軸上的投影

X=Fx=Fcosa=FsinbY=Fy=F

cosb

=

F

sina第一節(jié)力在坐標軸上的投影研究平面匯交力系的前提是力在坐標軸上的投影X=Fx=F5合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。合力投影定理：6根據(jù)矢量代數(shù)知識，矢量在平面直角坐標系下的的解析表達式為：根據(jù)矢量代數(shù)知識，矢量在平面直角坐標系下的的解析表達式為：7一、平面匯交力系的合成1）兩個共點力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理： 由力的平行四邊形法則合成，也可用力的三角形法則合成。第二節(jié)平面匯交力系的合成與平衡1.幾何法一、平面匯交力系的合成1）兩個共點力的合成合力方向由正弦定理82）任意個共點力的合成(力多邊形法）先作力多邊形abcde再將R平移至A點

平面匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過各力的匯交點。即結論：推廣至n個力2）任意個共點力的合成(力多邊形法）先作力多邊形abcd92.解析法利用合力投影定理，有下式求出合力的大小，確定合力的方向。2.解析法利用合力投影定理，有下式求出合力的大小，確定合力的10二、平面匯交力系平衡的幾何條件在上面幾何法求力系的合力中，合力為零意味著力多邊形自行封閉。所以平面匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：平面匯交力系平衡的充要條件是：力多邊形自行封閉或力系中各力的矢量和等于零。二、平面匯交力系平衡的幾何條件在上面幾何法求力系的合力中，合11平面匯交力系平衡的充要條件是：注意：對力的方向判定不準的，一般用解析法。利用平衡方程通過解析法解題時，力的方向可以任意假設，如果求出負值，說明力的方向與假設相反。

三、平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系平衡的充要條件是：注意：對力的方向判定不準的，一12

例2-1

如圖所示機構，已知：力P=15kN,桿件BC=AC=1m，AC與BC相互垂直且鉸接于C。求：在力P的作用下桿件AC與BC所受力的大小。解法一：幾何法(1)選鉸C為研究對象，進行分析。（2）畫出力多邊形，通過測量得：例2-1如圖所示機構，已知：力P=15kN,桿件BC13解法二：平衡方程法（1）選鉸C為研究對象；（2）取分離體畫受力圖，如圖所示；（3）列平衡方程為

（4）解平衡方程，得解法二：平衡方程法（1）選鉸C為研究對象；14第三節(jié)力矩、平面力偶系的合成與平衡一、力對點的矩1.力矩的概念和性質(zhì)將力F對點O的矩定義為：力F的大小與從O點到力F的作用線的垂直距離的乘積，即

方向用右手法則確定：以使物體作逆時針轉(zhuǎn)動為正（圖示為正），作順時針轉(zhuǎn)動為負，將O點到力O的作用線的垂直距離h稱為力臂。

第三節(jié)力矩、平面力偶系的合成與平衡一、力對點的矩1.15①M0（F）是代數(shù)量；②隨著力F和垂直距離h的增大，物體轉(zhuǎn)動效應明顯；③M0（F）是影響轉(zhuǎn)動的獨立因素，當F=0或h=0時，M0（F）=0；④M0（F）的國際單位N·m，或者kN·m；⑤M0（F）=±2S△AOB=±Fh，S△AOB為△AOB的面積。

說明：(1)力沿力的作用線移動，不改變它對某點的矩；(2)互成平衡的二力對同一點之矩的代數(shù)和為零；(3)當力的作用線通過矩心，則力矩為零。

力矩的性質(zhì)：①M0（F）是代數(shù)量；說明：(1)力沿力的作用線移動，不改162、合力矩定理平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點之矩等于力系中所有各分力對同一點之矩的代數(shù)和，即3、力矩與合力矩的解析表達式2、合力矩定理平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點之矩等于力系17

例2-2已知：某物體鉸接于點O，物體上點作用有力F和Q，力F的作用線垂直于AO，AO與力Q的作用線夾角為α，O點到力Q作用線的垂直距離為h，如圖所示。求：M0（F）和M0（Q）

。解（1）由力對點之矩定義，得

（2）應用合力矩定理，得例2-2已知：某物體鉸接于點O，物體上點作用有力18二、力偶力偶：兩力大小相等、作用線不重合的反向平行力叫力偶。1、力偶及其性質(zhì)力偶使物體轉(zhuǎn)動效應一般通過力偶矩來衡量，力偶矩的大小為Fd，方向由右手法則確定，平面力偶矩也為代數(shù)量，用M（F，F(xiàn)′）來表示，即M（F，F(xiàn)′）=±2S△ABC二、力偶力偶：兩力大小相等、作用線不重合的反向平行力叫力偶。19性質(zhì)1：力偶在任何坐標軸上的投影等于零。性質(zhì)2：力偶不能合成為一個力，或者說力偶沒有合力。性質(zhì)3：平面力偶等效定理。力偶的性質(zhì)：（1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動，而不影響它對剛體的作用效應。（2）只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應力偶臂的長短，而不改變它對剛體的作用效應。力偶等效條件：性質(zhì)1：力偶在任何坐標軸上的投影等于零。力偶的性質(zhì)：（1）力202.平面力偶系的合成與平衡

其中2.平面力偶系的合成與平衡其中21由此可以推出

即平面力偶系合成結果還是一個力偶,其力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和。

平面力偶系平衡的充要條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。

由此可以推出即平面力偶系合成結果還是一個力偶,其力偶矩為各22

例2-3在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為M1=M2=M3=M4=25N·m，如圖所示。求工件的總切削力偶矩和A、B端水平反力?解：各力偶的合力偶距為由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，力FA與FB組成一力偶。

例2-3在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑23第四節(jié)力線的平移定理一、力線平移定理作用在剛體上某點的力，可以平移至剛體上任意一點，但同時必須增加一個附加力偶，該力偶的力偶矩等于原力對該點之矩。第四節(jié)力線的平移定理一、力線平移定理作用在剛體上某點24（1）力線平移定理揭示了力與力偶的關系：力等效與力和力偶的共同作用；（2）力平移的條件是附加一個力偶M，且M與d有關，M=Fd；（3）力線平移定理是力系簡化的理論基礎。由證明過程可以歸納出：（1）力線平移定理揭示了力與力偶的關系：力等效與25二、固定端約束在工程實際中，有很多構件的一部分嵌固于另一物體上而受到約束作用，這樣的約束稱為固定端約束。

這種約束不但限制物體在約束處沿任意方向的線位移，也限制物體在約束處的角位移，即物體在A端沒有移動和轉(zhuǎn)動。

二、固定端約束在工程實際中，有很多構件的一部分嵌固于另一物體26第五節(jié)平面任意力系的簡化一、力系向平面內(nèi)任意一點的簡化平面任意力系的得簡化主要依據(jù)是力線平移定理，簡化的實質(zhì)是將一個平面任意力系分解為一個平面匯交力系和一個平面力偶系，然后將這兩個力系進行合成。第五節(jié)平面任意力系的簡化一、力系向平面內(nèi)任意一點的簡27主矢主矩由合力投影定理，將上式寫成解析形式，得：主矢主矩由合力投影定理，將上式寫成解析形式，得：28平面力系總可以簡化為一個主矢和一個主矩，可能有以下幾種情況：該力系等效一個合力偶該力系等效一個合力仍然可以繼續(xù)簡化為一個合力，方法如下：OOO’O’O稱該力系平衡只要滿足：二、簡化結果分析與合力矩定理平面力系總可以簡化為一個主矢和一個主矩，可能有以下幾種情況：29合力矩定理——平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對于同一點之矩的代數(shù)和。合力矩定理——平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系30

物體在力系作用下，保持平衡的充分必要條件是:力系的主矢與對任一點的主矩均為零

，即：上式稱為平衡方程一矩式，二矩式和三矩式分別為：條件是：AB兩點的連線不能與x軸或y軸垂直條件是：ABC三點不能共線第六節(jié)平面任意力系的平衡方程及應用物體在力系作用下，保持平衡的充分必要條件是:力系的主矢與對31

例2-4如圖所示的體系，已知P=150kN，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=CE=1.2m，AD=2m且AB水平，ED鉛垂，BD垂直于斜面，求FB和A支座反力。解(1)以體系整體為研究對象。(2)畫出受力圖。(3)選坐標列方程。例2-4如圖所示的體系，已知P=150kN，AC=132(4)再研究AB桿。(4)再研究AB桿。33

例2-5簡支梁受力如圖所示，已知：均布荷載q=1kN/m，集中力F=5kN，力偶M=4kN·m，求支座反力。

解:(1)以AB梁為研究對象。(2)畫出受力圖。(3)選坐標列方程。結果為正值，說明與假設方向一致。

由得由得結果為正值，說明與假設方向一致。

例2-5簡支梁受力如圖所示，已知：均布荷載q=1kN/34第七節(jié)靜定與靜不定問題及物系的平衡一、靜定與靜不定問題靜定問題——未知力數(shù)目等于對應的獨立平衡方程的數(shù)目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，這一類問題我們稱之為靜定問題。

第七節(jié)靜定與靜不定問題及物系的平衡一、靜定與靜不定問題靜35靜不定問題——未知力數(shù)目多于對應的獨立平衡方程的數(shù)目。靜不定問題的求解必須借助變形協(xié)調(diào)方程。靜不定問題——未知力數(shù)目多于對應的獨立平衡方程的數(shù)目。靜不定36二、物系的平衡物系——兩個或兩個以上的物體通過一定的聯(lián)結（約束）方式組合在一起的系統(tǒng)稱為物系或物體系。物系內(nèi)部物體之間作用的力稱為內(nèi)力；物體外部作用于整個物系的力稱為外力。一般情況下，研究物系的受力時不考慮內(nèi)力，但當研究物系中個別物體時必須考慮內(nèi)力。當物系處于平衡狀態(tài)時，物系內(nèi)的每個物體也處于平衡狀態(tài)，因此在研究物系平衡時，選取研究對象，既可以選個別物體，也可以選幾個物體的組合甚至整個物系

。

二、物系的平衡物系——兩個或兩個以上的物體通過一定的聯(lián)結（約37

例2-6多跨靜定梁受力如圖所示，求支座A、B、C處的反力

。

解(1)首先取BC段為研究對象。例2-6多跨靜定梁受力如圖所示，求支座A、B、C處的反38(2)再取CDE段為研究對象。

(2)再取CDE段為研究對象。39(3)取AB段為研究對象。

(3)取AB段為研究對象。40(1)力線平移定理：作用在剛體上的力F可以平行移動到剛體內(nèi)任意一點，但必須同時附加一個力偶，其力偶矩等于原力F對平移點之矩。本章小結（2）平面力系總可以簡化為一個主矢和一個主矩，可能有以下幾種情況：該力系等效一個合力偶該力系等效一個合力仍然可以繼續(xù)簡化為一個合力稱該力系平衡(1)力線平移定理：作用在剛體上的力F可以平行移動到剛體內(nèi)任41(3)平面任意力系的平衡方程三種形式本章小結(4)靜定與靜不定問題靜定問題：未知力數(shù)目等于對應的獨立平衡方程的數(shù)目。靜不定問題：未知力的數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目。

(3)平面任意力系的平衡方程三種形式本章小結(4)靜定與靜不42謝謝大家！謝謝大家！43

第一節(jié)力在坐標軸上的投影第二節(jié)平面匯交力系的合成與平衡第三節(jié)力矩、平面力偶系的合成與平衡

第四節(jié)力線的平移定理第五節(jié)平面任意力系的簡化第六節(jié)平面任意力系的平衡方程及應用第七節(jié)靜定與靜不定問題及物系的平衡第二章平面力系和平面力偶系第一節(jié)力在坐標軸上的投影第二章平面44本章主要研究平面匯交力系和平面力偶系的合成及其平衡條件。對于平面力系要掌握其平衡條件，掌握用幾何法和解析法解決平衡問題。對于平面力偶系在力線平移定理的基礎上將平面任意力系簡化為一個平面匯交力系和平面力偶系，并能通過平衡條件解決問題。教學目的和要求本章主要研究平面匯交力系和平面力偶系的合成及其平衡條件。對于45平面匯交力系的合成和平衡條件；合力矩定理；平面力偶系的合成和平衡條件；平面任意力系的簡化及其平衡條件。教學重點平面匯交力系的合成和平衡條件；教學重點46力矩的概念性質(zhì)及合力矩定量；平面力偶系的合成與平衡；力線平移定理；平面任意力系的簡化及其平衡條件。教學難點力矩的概念性質(zhì)及合力矩定量；教學難點47研究平面匯交力系的前提是力在坐標軸上的投影

X=Fx=Fcosa=FsinbY=Fy=F

cosb

=

F

sina第一節(jié)力在坐標軸上的投影研究平面匯交力系的前提是力在坐標軸上的投影X=Fx=F48合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。合力投影定理：49根據(jù)矢量代數(shù)知識，矢量在平面直角坐標系下的的解析表達式為：根據(jù)矢量代數(shù)知識，矢量在平面直角坐標系下的的解析表達式為：50一、平面匯交力系的合成1）兩個共點力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理： 由力的平行四邊形法則合成，也可用力的三角形法則合成。第二節(jié)平面匯交力系的合成與平衡1.幾何法一、平面匯交力系的合成1）兩個共點力的合成合力方向由正弦定理512）任意個共點力的合成(力多邊形法）先作力多邊形abcde再將R平移至A點

平面匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過各力的匯交點。即結論：推廣至n個力2）任意個共點力的合成(力多邊形法）先作力多邊形abcd522.解析法利用合力投影定理，有下式求出合力的大小，確定合力的方向。2.解析法利用合力投影定理，有下式求出合力的大小，確定合力的53二、平面匯交力系平衡的幾何條件在上面幾何法求力系的合力中，合力為零意味著力多邊形自行封閉。所以平面匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：平面匯交力系平衡的充要條件是：力多邊形自行封閉或力系中各力的矢量和等于零。二、平面匯交力系平衡的幾何條件在上面幾何法求力系的合力中，合54平面匯交力系平衡的充要條件是：注意：對力的方向判定不準的，一般用解析法。利用平衡方程通過解析法解題時，力的方向可以任意假設，如果求出負值，說明力的方向與假設相反。

三、平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系平衡的充要條件是：注意：對力的方向判定不準的，一55

例2-1

如圖所示機構，已知：力P=15kN,桿件BC=AC=1m，AC與BC相互垂直且鉸接于C。求：在力P的作用下桿件AC與BC所受力的大小。解法一：幾何法(1)選鉸C為研究對象，進行分析。（2）畫出力多邊形，通過測量得：例2-1如圖所示機構，已知：力P=15kN,桿件BC56解法二：平衡方程法（1）選鉸C為研究對象；（2）取分離體畫受力圖，如圖所示；（3）列平衡方程為

（4）解平衡方程，得解法二：平衡方程法（1）選鉸C為研究對象；57第三節(jié)力矩、平面力偶系的合成與平衡一、力對點的矩1.力矩的概念和性質(zhì)將力F對點O的矩定義為：力F的大小與從O點到力F的作用線的垂直距離的乘積，即

方向用右手法則確定：以使物體作逆時針轉(zhuǎn)動為正（圖示為正），作順時針轉(zhuǎn)動為負，將O點到力O的作用線的垂直距離h稱為力臂。

第三節(jié)力矩、平面力偶系的合成與平衡一、力對點的矩1.58①M0（F）是代數(shù)量；②隨著力F和垂直距離h的增大，物體轉(zhuǎn)動效應明顯；③M0（F）是影響轉(zhuǎn)動的獨立因素，當F=0或h=0時，M0（F）=0；④M0（F）的國際單位N·m，或者kN·m；⑤M0（F）=±2S△AOB=±Fh，S△AOB為△AOB的面積。

說明：(1)力沿力的作用線移動，不改變它對某點的矩；(2)互成平衡的二力對同一點之矩的代數(shù)和為零；(3)當力的作用線通過矩心，則力矩為零。

力矩的性質(zhì)：①M0（F）是代數(shù)量；說明：(1)力沿力的作用線移動，不改592、合力矩定理平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點之矩等于力系中所有各分力對同一點之矩的代數(shù)和，即3、力矩與合力矩的解析表達式2、合力矩定理平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點之矩等于力系60

例2-2已知：某物體鉸接于點O，物體上點作用有力F和Q，力F的作用線垂直于AO，AO與力Q的作用線夾角為α，O點到力Q作用線的垂直距離為h，如圖所示。求：M0（F）和M0（Q）

。解（1）由力對點之矩定義，得

（2）應用合力矩定理，得例2-2已知：某物體鉸接于點O，物體上點作用有力61二、力偶力偶：兩力大小相等、作用線不重合的反向平行力叫力偶。1、力偶及其性質(zhì)力偶使物體轉(zhuǎn)動效應一般通過力偶矩來衡量，力偶矩的大小為Fd，方向由右手法則確定，平面力偶矩也為代數(shù)量，用M（F，F(xiàn)′）來表示，即M（F，F(xiàn)′）=±2S△ABC二、力偶力偶：兩力大小相等、作用線不重合的反向平行力叫力偶。62性質(zhì)1：力偶在任何坐標軸上的投影等于零。性質(zhì)2：力偶不能合成為一個力，或者說力偶沒有合力。性質(zhì)3：平面力偶等效定理。力偶的性質(zhì)：（1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動，而不影響它對剛體的作用效應。（2）只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應力偶臂的長短，而不改變它對剛體的作用效應。力偶等效條件：性質(zhì)1：力偶在任何坐標軸上的投影等于零。力偶的性質(zhì)：（1）力632.平面力偶系的合成與平衡

其中2.平面力偶系的合成與平衡其中64由此可以推出

即平面力偶系合成結果還是一個力偶,其力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和。

平面力偶系平衡的充要條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。

由此可以推出即平面力偶系合成結果還是一個力偶,其力偶矩為各65

例2-3在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為M1=M2=M3=M4=25N·m，如圖所示。求工件的總切削力偶矩和A、B端水平反力?解：各力偶的合力偶距為由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，力FA與FB組成一力偶。

例2-3在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑66第四節(jié)力線的平移定理一、力線平移定理作用在剛體上某點的力，可以平移至剛體上任意一點，但同時必須增加一個附加力偶，該力偶的力偶矩等于原力對該點之矩。第四節(jié)力線的平移定理一、力線平移定理作用在剛體上某點67（1）力線平移定理揭示了力與力偶的關系：力等效與力和力偶的共同作用；（2）力平移的條件是附加一個力偶M，且M與d有關，M=Fd；（3）力線平移定理是力系簡化的理論基礎。由證明過程可以歸納出：（1）力線平移定理揭示了力與力偶的關系：力等效與68二、固定端約束在工程實際中，有很多構件的一部分嵌固于另一物體上而受到約束作用，這樣的約束稱為固定端約束。

這種約束不但限制物體在約束處沿任意方向的線位移，也限制物體在約束處的角位移，即物體在A端沒有移動和轉(zhuǎn)動。

二、固定端約束在工程實際中，有很多構件的一部分嵌固于另一物體69第五節(jié)平面任意力系的簡化一、力系向平面內(nèi)任意一點的簡化平面任意力系的得簡化主要依據(jù)是力線平移定理，簡化的實質(zhì)是將一個平面任意力系分解為一個平面匯交力系和一個平面力偶系，然后將這兩個力系進行合成。第五節(jié)平面任意力系的簡化一、力系向平面內(nèi)任意一點的簡70主矢主矩由合力投影定理，將上式寫成解析形式，得：主矢主矩由合力投影定理，將上式寫成解析形式，得：71平面力系總可以簡化為一個主矢和一個主矩，可能有以下幾種情況：該力系等效一個合力偶該力系等效一個合力仍然可以繼續(xù)簡化為一個合力，方法如下：OOO’O’O稱該力系平衡只要滿足：二、簡化結果分析與合力矩定理平面力系總可以簡化為一個主矢和一個主矩，可能有以下幾種情況：72合力矩定理——平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對于同一點之矩的代數(shù)和。合力矩定理——平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系73

物體在力系作用下，保持平衡的充分必要條件是:力系的主矢與對任一點的主矩均為零

，即：上式稱為平衡方程一矩式，二矩式和三矩式分別為：條件是：AB兩點的連線不能與x軸或y軸垂直條件是：ABC三點不能共線第六節(jié)平面任意力系的平衡方程及應用物體在力系作用下，保持平衡的充分必要條件是:力系的主矢與對74

例2-4如圖所示的體系，已知P=150kN，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=CE=1.2m，AD=2m且AB水平，ED鉛垂，BD垂直于斜面，求FB和A支座反力。解(1)以體系整體為研究對象。(2)畫出受力圖。(3)選坐標列方程。例2-4如圖所示的體系，已知P=150kN，AC=175(4)再研究AB桿。(4)再研究AB桿。76

例2-5簡支梁受力如圖所示，已知：均布荷載q=1kN/m，集中力