圓周運(yùn)動(dòng)的向心力及其應(yīng)用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件：具有一定速度的物體，在大小不變且方向總是與速度方向垂直的合外力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。說(shuō)明：從物體受到的合外力、初速度以及它們的方向關(guān)系上探討物體的運(yùn)動(dòng)情況，是理解運(yùn)動(dòng)和力關(guān)系的基本方法。要點(diǎn)二、關(guān)于向心力及其來(lái)源1、向心力向心力的定義：在圓周運(yùn)動(dòng)中，物體受到的合力在沿著半徑方向上的分量叫做向心力.向心力的作用：是改變線(xiàn)速度的方向產(chǎn)生向心加速度的原因。v2向心力的大小：F=ma=m=mrw2TOC\o"1-5"\h\z向 向 r向心力的大小等于物體的質(zhì)量和向心加速度的乘積；對(duì)于確定的物體，在半徑一定的情況下，向心力的大小正比于線(xiàn)速度的平方，也正比于角速度的平方；線(xiàn)速度一定時(shí)，向心力反比于圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；角速度一定時(shí)，向心力正比于圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。v2 4兀2如果是勻速圓周運(yùn)動(dòng)則有：F=ma=m=mrw2=mr =mr4k2f2向 向 r T2向心力的方向：與速度方向垂直，沿半徑指向圓心。關(guān)于向心力的說(shuō)明：向心力是按效果命名的，它不是某種性質(zhì)的力；勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的向心力始終垂直于物體運(yùn)動(dòng)的速度方向，所以它只能改變物體的速度方向，不能改變速度的大?。粺o(wú)論是勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是變速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力總是變力，但是在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心力的大小是不變的，僅方向不斷變化。2、向心力的來(lái)源向心力不是一種特殊的力。重力(萬(wàn)有引力)、彈力、摩擦力等每一種力以及這些力的合力或分力都可以作為向心力。勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例及對(duì)應(yīng)的向心力的來(lái)源(如表所示)：

豈力1分橋力的分解方法滿(mǎn)斥囲萬(wàn)程及向心加速度f(wàn)\mk：r>X豈力1分橋力的分解方法滿(mǎn)斥囲萬(wàn)程及向心加速度f(wàn)\mk：r>XwrF?(伽貝莒申1，“"8 fsin仇或盯如Jan0=/jJsin3■Feos?三hFsii]&-m<uz(d十7sin6)5|或rn^tan0二m(匾+binfijctj2、也二glsin&怛=叫,Ffictis&=Mg十Fjj.$in9=Efefr,或皿聲la.nE-吋/i.\u=^Unff茁n#或 #三mrw要點(diǎn)三、勻速圓周運(yùn)動(dòng)與變速圓周運(yùn)動(dòng)的區(qū)別1、從向心力看勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng) 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小不變，由物體所受到的合外力完全提供，換言之也就是說(shuō)物體受到的合外力完全充當(dāng)向心力的角色。例如月球圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它受到的地球?qū)λ囊褪呛贤饬?，這個(gè)合外力正好沿著半徑指向地心，完全用來(lái)提供月球圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。要點(diǎn)三、勻速圓周運(yùn)動(dòng)與變速圓周運(yùn)動(dòng)的區(qū)別1、從向心力看勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng) 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小不變，由物體所受到的合外力完全提供，換言之也就是說(shuō)物體受到的合外力完全充當(dāng)向心力的角色。例如月球圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它受到的地球?qū)λ囊褪呛贤饬?，這個(gè)合外力正好沿著半徑指向地心，完全用來(lái)提供月球圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。 在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心力只是物體受到的合外力的沿著半徑方向的一個(gè)分量。例如用一根細(xì)線(xiàn)拴一個(gè)小球在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)，它的受力情況如圖所示，物體受到線(xiàn)的拉力F拉和重力mg的作用，其合力分解為兩個(gè)分量：向心力和切向力。F切二mgsir?aF切二mgsir?向心力改變著速度的方向，產(chǎn)生向心加速度；切向力與線(xiàn)速度的方向相同或者相反，改變著線(xiàn)速度的大小使得物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)。2、從圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律看勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng)（1）勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng)所適用的共同規(guī)律F v2無(wú)論是勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是變速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的大小總是：a=―向= =r°2（公式中的每向mr一個(gè)量都是瞬時(shí)量，任何一個(gè)時(shí)刻或者任何一個(gè)位置都可以用公式計(jì)算向心加速度。）換一種說(shuō)法就是：v2在圓周運(yùn)動(dòng)中的任何時(shí)刻或位置，牛頓運(yùn)動(dòng)定律都成立，即F=ma=m=mr?2向 向 r例如上面的例子，用一根細(xì)線(xiàn)拴一個(gè)小球在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)，在圖中所示的位置用牛頓第mv2mv2F=F-mgcos0=ma向拉 向F=mgsin0=ma切切2）只適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的計(jì)算公式4兀2a=r =r4兀2f2向T2F=mr =mr4兀2f2向T2因?yàn)樵趧蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中各個(gè)量大小的平均值和瞬時(shí)值是相等的；如果將上式用在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，計(jì)算的結(jié)果僅是一個(gè)意義不大的粗略的平均值。要點(diǎn)四、圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例1、水平面上的圓周運(yùn)動(dòng)（1）圓錐擺運(yùn)動(dòng)：小球在細(xì)線(xiàn)的拉力和重力作用下的在水平面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示：①向心力來(lái)源：物體重力和線(xiàn)的拉力的合力，沿著水平方向指向圓心。②力學(xué)方程：mgtan0②力學(xué)方程：mgtan0=ma=m' lsin0=m?2lsin0=m4兀21sin0

T2③問(wèn)題討論：a.物體加速度與夾角e的關(guān)系：a=gtan9，向心加速度越大時(shí)，夾角°越大。b.角速度與夾角0b.角速度與夾角0的關(guān)系:①=-lcos9，可見(jiàn)角速度越大時(shí)，夾角9越大。（2）在水平圓盤(pán)上隨圓盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)物體①向心力的來(lái)源：如圖，在豎直方向上重力和支持力平衡，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由物體所受的靜摩擦力提供。當(dāng)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，這個(gè)靜摩擦力沿著半徑指向圓心；當(dāng)做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，靜摩擦力還有一個(gè)切線(xiàn)方向的分量存在，用來(lái)改變線(xiàn)速度的大小。③靜摩擦力的變化：當(dāng)水平圓盤(pán)的轉(zhuǎn)速增大時(shí)，物體受到的靜摩擦力也隨之增大，當(dāng)物體所需要的向心力大于最大靜摩擦力時(shí)，物體將相對(duì)于圓盤(pán)滑動(dòng)，變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦力。2、豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)（1）汽車(chē)過(guò)拱形橋在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)中可以分為：勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng)。對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)處理起來(lái)一般比較方便。對(duì)于變速圓周運(yùn)動(dòng)，定量的計(jì)算通常是在圓周的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)處用牛頓第二定律。例如：汽車(chē)通過(guò)半圓的拱形橋，因?yàn)闃蛎鎸?duì)汽車(chē)提供的只能是支持力。①汽車(chē)在點(diǎn)位置I最高時(shí)，對(duì)車(chē)由牛頓第二定律得:mg-F=m—nR為了駕駛安全，橋面對(duì)車(chē)的支持力必須大于零，即F>0N從而解得車(chē)的速度應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系v<*gR（如果v=4gR，在不計(jì)空氣阻力的情況下，車(chē)將做平拋運(yùn)動(dòng)）②汽車(chē)在位置II時(shí)有②汽車(chē)在位置II時(shí)有mg徑-FnV’2=m RV’2nmg-sin9-F=m-NR又F>0解得v'<*gRsin9（2）汽車(chē)通過(guò)圓弧型的凹處路面如圖在最低點(diǎn)處，對(duì)車(chē)運(yùn)用牛頓第二定律得:mv2F一mg= TOC\o"1-5"\h\zn r廠(chǎng) mv2橋面對(duì)車(chē)的支持力F=mg+ —n r可見(jiàn)，隨著車(chē)的速度增大，路面對(duì)車(chē)的支持力變大。要點(diǎn)五、圓周運(yùn)動(dòng)中的超重與失重1、 超重與失重的判斷標(biāo)準(zhǔn)（1） 運(yùn)動(dòng)物體的加速度方向向上或者有向上的分量時(shí)，物體處于超重狀態(tài)，物體對(duì)水平支持面的壓力大于自身的重力。（2） 運(yùn)動(dòng)物體的加速度方向向下或者有向下的分量時(shí)，物體處于失重狀態(tài)，物體對(duì)水平支持面的壓力小于自身的重力。2、 圓周運(yùn)動(dòng)中的超重與失重現(xiàn)象（1） 失重現(xiàn)象：在豎直面上的圓周運(yùn)動(dòng)，物體處在圓周的最高點(diǎn)附近時(shí)，向心加速度豎直向下，物體對(duì)支持物的壓力小于自身重力。v2例如在拱形橋頂運(yùn)動(dòng)的汽車(chē)，由上面計(jì)算有F=mg-m，它對(duì)于橋面的壓力小于重力。N R（2） 超重現(xiàn)象：在豎直面上的圓周運(yùn)動(dòng)，物體處在圓周的最低點(diǎn)附近時(shí)，向心加速度豎直向上，物體對(duì)支持物的壓力大于自身重力。mv2例如汽車(chē)通過(guò)圓弧型的凹處路面在最低點(diǎn)處，橋面對(duì)車(chē)的支持力F=mg+ 大于自身重力。n r要點(diǎn)五、關(guān)于離心現(xiàn)象1、 外力提供的向心力與做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力之間的關(guān)系對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響（1） 外力提供的向心力：是某個(gè)力、幾個(gè)力的合力或者是合力在半徑方向上的分量，是實(shí)實(shí)在在的相互作用。（2） 做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力：是指在半徑為r的圓周上以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須要這么大的一個(gè)力，才能滿(mǎn)足速度方向改變的要求。（3） 供需關(guān)系對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響：外力提供的向心力等于物體做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力時(shí)，物體做圓周運(yùn)動(dòng)；外力提供的向心力小于物體做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力時(shí)，物體做遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)——離心運(yùn)動(dòng)外力提供的向心力大于物體做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力時(shí)，物體做靠近圓心的運(yùn)動(dòng)一一也可稱(chēng)之為向心運(yùn)動(dòng)2、 離心現(xiàn)象及其運(yùn)用（1）被利用的離心現(xiàn)象：

洗衣機(jī)甩干衣服：水珠和衣服之間的附著力不足以提供水珠高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)需要的向心力，而做離心運(yùn)動(dòng)從而脫離衣服，使得衣服變干。離心沉淀器：懸濁液在試管中高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，密度大于液體密度的小顆粒做離心運(yùn)動(dòng)，密度小于液體密度的小顆粒做向心運(yùn)動(dòng)，從而使得液體很快被分離。離心水泵：水在葉輪轉(zhuǎn)動(dòng)的作用下做離心運(yùn)動(dòng)，從而使得水從低處運(yùn)動(dòng)到高處，等等。(2)需要防止的離心現(xiàn)象：高速轉(zhuǎn)動(dòng)的砂輪會(huì)因?yàn)殡x心運(yùn)動(dòng)而破碎，造成事故；火車(chē)或者汽車(chē)會(huì)因?yàn)檗D(zhuǎn)彎時(shí)的速度過(guò)大而出現(xiàn)側(cè)滑、傾翻，造成人員傷亡等。【典型例題】類(lèi)型一、水平面上的圓周運(yùn)動(dòng)m，例1、原長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕彈簧一端固定一小鐵塊，另一端連接在豎直軸OO'上，小鐵塊放在水平圓盤(pán)上，若圓盤(pán)靜止，把彈簧拉長(zhǎng)后將小鐵塊放在圓盤(pán)上，使小鐵塊能保持靜止的彈簧的最大長(zhǎng)度為5L/4,現(xiàn)將彈簧長(zhǎng)度拉長(zhǎng)到6L/5后，把小鐵塊放在圓盤(pán)上，在這種情況下，圓盤(pán)繞中心軸OO'以一定角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示.已知小鐵塊的質(zhì)量為m,為使小鐵塊不在圓盤(pán)上滑動(dòng)，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3最大不得超過(guò)多少m，【答案】① =p'3k/(8m)max【答案】① =p'3k/(8m)max【解析】以小鐵塊為研究對(duì)象，圓盤(pán)靜止時(shí)：設(shè)鐵塊受到的最大靜摩擦力為f二kL/4.maxmax由平衡條件得圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3最大時(shí)，鐵塊受到的摩擦力f與彈簧的拉力kx的合力提供向心力，由牛頓第二定max律得kx+f=m(6L/5)w2max max又因?yàn)閤=L/5.解以上三式得角速度的最大值① =*'3k/(8m).max類(lèi)型二、實(shí)際生活中的圓周運(yùn)動(dòng)例2、質(zhì)量不計(jì)的輕質(zhì)彈性桿P插入桌面上的小孔中，桿的另一端套有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，今使小球在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且角速度為3,如圖所示，則桿的上端受到球?qū)ζ渥饔昧Φ拇笮?)【答案】C【解析】對(duì)小球進(jìn)行受力分析，小球受兩個(gè)力：一個(gè)是重力mg,另一個(gè)是桿對(duì)小球的作用力F,兩個(gè)力的合力產(chǎn)生向心力.由平行四邊形定則可得：F=mjg2+34R2，再根據(jù)牛頓第三定律，可知桿受到球?qū)ζ渥饔昧Φ拇笮镕二m^g2+34R2.故選項(xiàng)C正確.舉一反三【變式】鐵路彎道的內(nèi)外側(cè)鐵軌往往不在同一水平面上，質(zhì)量為M的火車(chē)，以恒定的速率在水平面內(nèi)沿一段半徑為r的圓弧道轉(zhuǎn)彎，受力如圖所示，已知內(nèi)外鐵軌的傾角為車(chē)的速率V。為多大時(shí)，使車(chē)輪對(duì)鐵軌的側(cè)壓力正好為零？如果火車(chē)的實(shí)際速率vMv0，分析鐵軌對(duì)車(chē)輪的施力情況。【答案】v=：grtana當(dāng)v>v;火車(chē)擠壓外軌當(dāng)v<v;火車(chē)擠壓內(nèi)軌0v00類(lèi)型三、動(dòng)力學(xué)綜合問(wèn)題例3、如圖所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O,—根輕繩穿過(guò)小孔，一端連接質(zhì)量為m=lkg的小球A,另一端連接質(zhì)量為M=4kg的重物B?求：當(dāng)A球沿半徑為R=0.1m的圓做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度為s=10rad/s時(shí)，B對(duì)地面的壓力為多少？要使B物體對(duì)地面恰好無(wú)壓力，A球的角速度應(yīng)為多大?(g取10/S2)【解析】本題考查了有關(guān)勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心力來(lái)源的問(wèn)題，只有準(zhǔn)確對(duì)物體進(jìn)行受力分析，才能正確找到向心力，并利用向心力公式的適當(dāng)表示方法解題.對(duì)小球A來(lái)說(shuō)，小球受到的重力和支持力平衡，因此繩子的拉力提供向心力，則F=mR?2=1x0.1x102N=10NT對(duì)物體B來(lái)說(shuō)，物體受到三個(gè)力的作用：重力Mg、繩子的拉力F、地面的支持力F，由力的平衡T N條件可得FT+FN=Mg，所以FN=Mg-FT.將Ft=10N代入上式，可得：Fn=4X10N-10N=30N.由牛頓第三定律可知，B對(duì)地面的壓力為30N,方向豎直向下.當(dāng)B對(duì)地面恰好無(wú)壓力時(shí)，有：Mg=F'，拉力F'提供小球A所需向心力，貝V：T T

rad/s=20rad/sfMg=(4X10rad/s=20rad/sXm^~\'lx0.1即當(dāng)B對(duì)地面恰好無(wú)壓力時(shí)，A球的角速度應(yīng)為20rad/s.舉一反三【變式】建筑工地上常使用打夯機(jī)夯實(shí)地基，如圖是其結(jié)構(gòu)原理圖。長(zhǎng)為l的連桿（質(zhì)量可忽略）固定在輪盤(pán)A上，輪盤(pán)A和連桿固定在一起可一起繞軸0旋轉(zhuǎn)，連桿另一端固定一質(zhì)量為m的鐵塊，電動(dòng)機(jī)通過(guò)皮帶輪帶動(dòng)輪盤(pán)A和連桿，可在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角速度達(dá)到一定數(shù)值，可使質(zhì)量為M（不包括鐵塊的質(zhì)量m）的打夯機(jī)