第一章事件與概率L1與出卜列隨機試版的樣本空間及表示卜列事件的樣本點集合.⑴10件產(chǎn)品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品。⑵一個口袋中有竹咱球、3個黑球、4個紅球,從中任取一球，（3得白球，（ii）得紅球。解⑴記9個合格品分別為宙正""L記不合格為次則G=｛（￡］/正2M正I+正］）.…4正1*正,），正［/樹.［正］,正］）'（正］#正*（正］r正7（正1，次），征】‘正〃''征了正j）怔】，次%■、征Y正IX正N為，征1為1｝J■嗚.瀏，征尸次b…，（正父次）｝⑵記晚白球分別為州，對3個黑球分別為尢瓦，34個紅球分別為I333則口二｛叼，嗎，%%3I3⑴4■｛叱H（ii）B?p24旬L2在數(shù)學棗的學生中任選一名學生，令事件A表時蛾學生是男生，事件曝示被選學生是三年級學生，事件C表示該生是運動員。（1）敘述疵的意義⑵在什么條件下曲。=CjSi?⑶什么時候挈式CuB是正確的？⑷什么時候區(qū)二3成立？解⑴事件工比表示該是三年級男生，但不是運動員.⑵A5C=C等價于C匚弱,表示全系運動員都有是三年級的男生.⑶當全系運動員都是三年級學生時,⑷當全系女生都在三年級并且三年級學生都是女生時，一個工人生產(chǎn)了祖?zhèn)€零件，以事件4表示他生產(chǎn)的第，個零件是合格品（底區(qū)加）。用居表示下列事件；⑴沒有一個零件是不合格品：⑵至少有一個零件是不合格品：⑶僅僅只有T零牌不合格稱⑷至少有兩個零件是不合格品。八4解⑴一U4A⑷原事件即“至少有兩個零件是合格品”，可表示為?“3證明下列各式「⑴AuB=BuA-⑵/=BnR（3）（Mu功uC=A^j（B<jC）.（4）0小用八⑸C=（A凸⑹-g證明（D—（4）顯然，（5）和（6）的證法分別類似于課文第10—1?頁（1.5）式和［1.6）式的證法。在分別寫有2,4、6>7、8>11,12、13的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個數(shù)字組成一個分數(shù)，求所得分數(shù)為既約分散的概率,2解樣本點總數(shù)為《"*"0所得分數(shù)為賄分數(shù)必當虹仔分母或為八11，13中的兩個，或為2、4,6、入12中的一個和7、11、13中的一個組合，所以事件4”所得分數(shù)為既約分數(shù)”包含?+2'”?=2心乂6個樣本點。于是2x3x68x7=解樣本點總數(shù)為1引o所取三條線段能構(gòu)成一個三角形，這三條線段必專頁是，5、7或3、-9或多或5、7、9.所以事件解樣本點總數(shù)為1引o所取三條線段能構(gòu)成一個三角形，這三條線段必專頁是，5、7或3、-9或多或5、7、9.所以事件月“所取三條線段能構(gòu)成一個三角形”包含3個樣本點，于是“⑷=io0一個小孩用13個字母4a兒作組字游戲.如果字母的各種排列是隨機的（等可能的），問.恰好組成“HATHEMATICIAN*f的概率為多大？=3⑵2⑵=48解顯然樣本點總數(shù)為131,事件/“恰好組成“辦丁郎網(wǎng)口(；1小”包含31212121個樣本點。所以13=131在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車〃及一只黑“車〃，求它們正好可以相互吃掉的概率。解任意固定紅“車”的位黑“車”可處于9x10-1=89個不同位置,當它處于^紅“車”同行或同列的9+8=17個位置之一時正好相互“吃掉”。故所求概率為產(chǎn)⑷=痣89一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設(shè)每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的?求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率。解每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點總數(shù)為9、事件/“沒有兩位及兩位以上乘客在同一、、-7尸(⑷=層離開”相當于“從9層中任取7層，各有一位乘客西開電梯”。所以包含4個樣本點，于是9’。某城市共有10000輛自行車,其牌照編號從00001到10000。問事件“偶然遇到一輛自行車，其牌照號碼中有數(shù)字8〃的概率為多大？解用/表示“牌照號碼中有數(shù)字8〃，顯然1000°,所以,尸畫=】_上=1_/2丫尸(⑷=1-10000UoJ任取一個正料求下列事件的概率，(1)該數(shù)的平方的物數(shù)字是1,(2)該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1；(3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是11L解⑴答案為504_=2(2)當該數(shù)的末位數(shù)是1、3、7、9之一時，其四次方的末位數(shù)是1,所以答案為證=與(3)一個正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含I。。個樣本點。用事件，表示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1".則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是1?設(shè)最后第二位數(shù)字為，.則該政的立方的最后兩位數(shù)字為1和3。的個位數(shù).要使3a的個位數(shù)是1,必須。=7,因此，所包含的樣本點只有71這一點，于是一個人把6根草掌握左手申，僅露出它們的頭和尾。然后請另一個人把6個頭兩兩相接，6個尾也兩兩相接。求放開手以后6根草恰好連成一個環(huán)的概率。并把上述結(jié)果推廣到幼根草的情形。解⑴6根草的情形。取定一個頭，它可以與其它的5個頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個之一相接，最后將乘仆的兩個頭相接，故對頭而言有531種接法，同樣對尾也有531種接法，所以樣本點總數(shù)為03D1用力表示“6根草恰好連成一個環(huán)”，這種連接，對頭而言仍有531種連接法，而對尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為42。所以火包含的樣本點數(shù)為(5-31)(4.2),83.1)(42),于是(5-3I)2152%根草的情形和(1)類似得把九個完全相同的球隨機地放入"個盒子中(即球放入盒子后，只能區(qū)別盒子中球的個數(shù)，不能區(qū)別是哪個球進入某個盒子，這時也稱球是不可辨的)。如果每一種放法都是等可能的.證明⑴某一個指定的盒子中恰好有個球的概率為I?J三I(2)恰好有加個盒的概率為I力J,N-八三中三N-'(3)指定的m個盒中正好有J個球的概率為〔力J.XmMNOMjWN.解略。某公共汽車站每隔￡分鐘有一輛汽車到達，乘客到達汽車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過3分鐘的概率。尸(力)=-TOC\o"1-5"\h\z解所求概率為5"-11在&中任取一點尸，證明"8尸與A43c的面積之比大于丁的概率為京\CD9=—CD=解截取力，當且僅當點尸落入ACH4之內(nèi)時&43戶與A43c的面積之比大于n,因此所求概率為A4@C有面積_司一/二口1_&43c的面積一苗"一近2=3兩艘輪船都要停靠同一個泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達。設(shè)兩船?？坎次坏臅r間分別為1小時與兩小時.求有一艘船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率。解分別用a，表示第一、二艘船到達泊位的時間。一艘船到達泊位時必多頁等待當且僅當因此所求概率為24a-lx232--＞：222P(A)=5―2?012124?在線段為B上任取三點勺，%，句.求,(1)叼位于勺與小之間的概率。

R演/內(nèi)，/勺能構(gòu)成一個三角形的概率。1-3xAx1[P(A)=一■L-2.1解(1)3⑵氣,12在平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意地投擲一個三角形，該三角形的邊長為巴瓦匕(均小于d),求三角形與平行線相交的概率。解分別用表示三角形的一個頂點與平行線相合，一條邊與平行線相合，兩條邊與平行線相交，顯然尸(4)=產(chǎn)(4)二°所求概率為與區(qū))。分別用444,4，&，4表示邊二邊血加觀與平行線相交，則式&=尸(/顯然°)H3+K4),產(chǎn)(4)=武/)+點4),產(chǎn)(4)=84)+氏%)。所以尸⑷=i[尸⑷+F⑷+2W「券('3。)=焉3+"0(用例1.12的結(jié)果)己知不可能事件的概率為零，現(xiàn)在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。解概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長度為1的線段內(nèi)隨機投點。則事件為“該點命中A9的中點”的概率等于零，但力不是不可能事件。甲、乙兩人從裝有。個白球與個黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到兩人中有一人取到白球時停止。試描述這一隨機現(xiàn)象的概率空間，并求甲或乙先取到白球的概率。解0】表示白，燈表示黑白.外表示黑黑白.表示熏鼻白，尸(3))==一則樣本空間Q={°]，牝,…，，并且“b,P({/})=ba+b產(chǎn)(Q})=ba+baP({/})=ba+b產(chǎn)(Q})=ba+baa+5-1,

2>-la+b-1aa+b-292>—(i-2)aa+b-(i-2)a+b—(i-1)產(chǎn)([*)=b\a(a+2>)(a+8-1)…a甲取勝的概率為產(chǎn)({/))+尸({6))+「({05})+…乙取勝的概率為尸((。/)+尸(3))+尸([%))+…L21設(shè)事件48及4u3的概率分別為P、q及r,求尸(力的，尸5功，尸,尸(力切解由尸(工。5)=尸(￡?+戶(8)-2(45)得P(AB)=P(A)+P(B)-?:/u8)=p+g-/P(AB)=P(A-AB)=尸(工)-P(AB)二/一g,P(AB)=r-pP(AB)=P(A^jB)=1-F(Su8)=1-r1.22設(shè)4、4為兩個隨機事件，證明I(1)產(chǎn)(44)=1-尸(④-尸(石)+尸(不正)；(2)1-PW-尸(右)M2(4均)"(4u4)g產(chǎn)(4)+PW.證明(1)產(chǎn)(44)=產(chǎn)而高)=i-石)二1-尸(耳)-尸(石)+尸國石)(2)由(1)和尸(不可)之°得第一個不等式，由概率的單調(diào)性和半可加性分別得第二、三個不等式。L23對于任意的隨機事件工、3、C,證明：P(AB)^AC)^BC)<1\A)證明P(A)>RA(BuC)]=P(AB)+P(AC)一P(ABC)>P(AB)+P(AC)-P(BC)1.24在某城市中共發(fā)行三種報紙：甲、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報的有45%,訂乙報的有35%,訂丙報的有30%同時訂甲、乙兩報的有10%，同時訂下、丙兩報的有8%,同時訂乙、丙兩報的有5樂同時訂三種報紙的有3%,求下述百分比：(1)只訂甲報的；(2)只訂甲、乙兩報的；(3)只訂一種報紙的；(4)正好訂兩種報紙的；(5)至少訂一種報紙的；(6)不訂任何報紙的。解事件。冬示訂甲報，事件8表示訂乙報，事件C表示訂丙報。⑴P(ABC)=P(A-(ABuAC))=P(A)一P(ABuAC)=30%(2)P(ABC)=P(AB-ABC)=7%(3)P(BAC)=P(B)-[P(AB)+F(3C)-P(ABC)]=23%P(CAB)=P(C)-[?(<C)+產(chǎn)(8C)-P(ABC)]=20%P(ABC^J+BAC+CAB);P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%(4)P{ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14%(5)產(chǎn)(4+B+0)=90%

（6）P（ABC）=1-P（A+5+C）=1-90%=10%某班有〃個學生參加口試.考簽共N張，每人抽到的考簽用后即放回,在考試結(jié)束后，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？N尸d1a）解用4表示“第i張考簽沒有被抽到"，'=12…加。要求7。N-2尸N-2尸(A???AJ=(agYj=0期3圖（爺）'…噌K打-N尸-N尸(44)=-<2JI-V"=(7嚴所以尸5）=如D-（鋁”從〃階行列式的一般展開式中任取一項,問這項包含主對角線元素的概率是多少？尸（“包守解，階行列式的展開式中，任一項略去符號不計都可表示為"％…"可，當且僅當12…避的排列。也??￡）中存在上使"=卜時這一項包含主對角線元素。用a表示事件“排列中以二尸（“包守n\^(Ua)=±所以z11S了S〃尸(74)=._2>n\^(Ua)=±所以z1已知一個家庭中有三個“赤，且其中一個是女孩，求至少有一個男孩的概率（假設(shè)一個小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解用山g分別表示男孩和女孩。則樣本空間為，C=｛（瓦b9b）9（瓦瓦g）,8g㈤（g,瓦B）,⑸g,g）g,瓦g）（g,g,b）（g,g,g））其中樣本點依年齡大小的性別排列。/表示“有女孩〃，8表示“有男孩〃,則產(chǎn)》|0=3=絲-尸（力）7/87L30設(shè)M件產(chǎn)品中有切件是不合格品，從中任取兩件，（1）在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。（2）在所取產(chǎn)品中有一色是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。(m\m\(M-m\,bHLJ如、解（1）設(shè)火表示“所取產(chǎn)品巾至少有一件是不合格品”，8表示“所取產(chǎn)品都是不合格品”，則尸⑷尸⑷2亞-也-1（2）設(shè)C表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品”，Q表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品，一件不合格品”。則產(chǎn)⑵0=需=磊的+―%個人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求:（1）已知前上-1（上《閥）個人都沒摸到，求第上個人摸到的概率；（2）第左&M"）個人摸到的概率。解設(shè)4表示“第1個人摭到“，產(chǎn)（產(chǎn)（41%…￡】）=⑴%一(上一1)n-k+\?-1力-2（^>0）,而每一個蛋能孵化成小雞的概率為尸，證明：一個母雞恰有,個下一代（即小雞）（^>0）,而每一個蛋能孵化成小雞的概率為尸，證明：一個母雞恰有,個下一代（即小雞）已知一個母雞生發(fā)個蛋的概率為依區(qū)5的概率為“。解用4表示“母雞生化個蛋”，B表示“母雞恰有r個下一代，，，則產(chǎn)（3產(chǎn)（3）=為只4）尸例4）=火fk}_(3.物0)】A《獷Ji)r!h(一)！一二]=^Le-^L33〃某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手一人，一、二、三、四級射手能通過選拔進入決賽的概率分別是0.9、0.7.0.5、0.2,求在一組內(nèi)任選一名射手，該射手能通過選拔進入決賽的概率。<，上一丁?(3)=￡尸(4)尸(B|4)解用義表示“任選一名射手為上級”，上=123,4,B表示“任選一名射手能進入決賽〃，則4-J.xO9+AxO7+—x0.54-JLx0.2-0.64520202020在某工廠里有甲、乙、丙三臺機器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%,35%,40%,并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有5%,4%,2%?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少？解用4表示“任取一只產(chǎn)品是甲臺機器生產(chǎn)”也表示“任取一只產(chǎn)品是乙臺機器生產(chǎn)”均表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺機器生產(chǎn)”3表示“任取一只產(chǎn)品恰是不合格品”。則由貝葉斯公式.切4)oy石旦4火功4)某手的車床、鉆床、磨床、刨床的臺數(shù)之比為9:3:2:1,它們在一定時間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1。當有一臺機床需要修理時，問這臺機床是車床的概率是多少？TOC\o"1-5"\h\z9321尸(4)=二p(j2)=—尸(4)=￡？(/)=▲解則15,215,15.151231與8|4)=亍尸(814)=1P(B|A)=y尸(B|4)=、’—畫，-⑷W由貝時葉斯公式得盲"4，"?*)有朋友自遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火車、輪船、汽車來的話,遲到J1工的概率分別是W、1、12,而乘飛機不會遲到。結(jié)果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？解用4表示“朋友乘火車來”，益表示“朋友乘輪船來”，&表示“朋友乘汽車來”，4表示“朋友乘飛機來”，8表示“朋友遲到了“。HAI為==tnI⑷則z1.37證明：若三個事件4、B、C獨立，則AD8、力8及力一8都與C獨立。證明⑴產(chǎn)((/u8)C)=P(/C)+9，C)-P(H8C)二P(A2扮P?(2)PABC)=P(A)P(B]P(C)=P(AB)P(C)(3)產(chǎn)((4—3)6=P((/-AB)C)=P(AC-ABC)=P(A-B)P(C)1.38試舉例說明由「(/8C)=95)?(B)尸(C)不能推出P(AB)=尸(卬尸伊)_定成立.[18解設(shè)0={%%羯04，%),尸，，”=利其⑷)=目,p(⑹)=/{%})=/(哂啥,D/={/.%},則尸⑷=尸⑶“⑹吟+乎、P(ABC)=尸(?})■占-尸⑷尸⑻尸⑹64但曰P(AB)=P(㈤)=》尸(⑶尸(功1.39設(shè)4,4，…，4為〃個相互獨立的事件，且「(4)="(1"k=%),求下列事件的概率：(1)/個事件全不發(fā)生；〃個事件巾至少發(fā)生一件；%個事件中恰好發(fā)生一件。尸。％)=口尸&=由1-%)解(1)」u、p(UA)=i-p(n^)=i-n(i-pA)(2)717⑶1.40已1j(An勒1=z(A.n^)=s-戶評⑶1.40已f避相互獨立且互不相容，求3（尸⑵.以劭【注：表示工，中小的一個教）解一方面7"，伊⑶之0,另一方面F（聞網(wǎng)刃=F（且對=0,即玳』）,F⑷中至少有t等于口，所以皿（解一方面7"，1.41f人的血型為64%*白型的概窣分別為0.4鼠540、0,11、0+03,現(xiàn)在任意擾選五個人，求下列事件的概率⑴兩個人為°型.其它三個人分別為其它三種血型;已）三個人為。型，兩個人為』型『臼）沒有一人為環(huán)解（1）從5個人任選2人為門型，共有（切種可能，在其余3人中任選一人為』型，共有三種可能，在余下的2人中任選一人為百型，共有2種可能，另一人為上§型，順此所求概率為：口種可能，另一人為上§型，順此所求概率為：口X3X2X0,461x0.40x0.11x0.13a0.016S<5x0.46ax0.403?0.1557⑵⑴臼）（1一00句,00E5S7L翌設(shè)有兩門高射炮，每一門擊中目標的概率都是0.5,求同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機的概率是多少？又若有一架敵機入侵領(lǐng)空,欲以9麒以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮.解用以表示“第比門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機".上=12…，石表示“擊中飛機二則網(wǎng)4）=口凡比=1之…，⑴F（兒》冉）=1-網(wǎng)看石）=]rOd*=034P（4^--^.）-]-廣八區(qū)。=1-0.4">0,99n5.026⑵」，國°4取”=屋至少需要6門高射炮.同時發(fā)射一發(fā)炮^彈.可保證9翦的概率擊中飛機，1-43做一系列獨立的試驗，每狀試艙中成功的概率為求在成功對次之前已失敗了陽次的概率.解用達表示.在成功用次之前已失敗了明次”，方表示“在前目+用一1次試跑中失敗了隰次“，。表示"第內(nèi)+的次試驗成功”/月)=F@6=F(8)R6=則pao-pr1.45某數(shù)學家有兩盒火柴，每盒都有越根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根。求他用完一盒時另一盒中還有正根火柴（I介口）的概豕解用W表示“甲盒中尚余工根火柴”，用均表示“乙盒中尚余/根火柴“，二門分別表示“第筋一廠次在甲盒取”，“第2再-r次在乙盒取”，4凡。表示取了加一，次火柴.且第裔-廣次是從甲盒中取的，即在前2廿一r-1在甲窟中取了時-1.其余在乙盒中取.所以由時稱性知國耳用C）=F。%6,所求概率為:式44gA式44gA瓦功/式A。?）⑵-F-℃

<"1Jis2.1(1)2.1(1)<2>12307O.1O.1第二章離散型隨機變量F列給出的是不是某個隨機室量的分布列?⑶向軍⑶向軍（2）(3>〔打（工）7^2°了+口1+01x1,所以它不星隨機變量的分而列心咤目T③，…10]+=2所以在不是骸機在量的分布列中（4）>（4）>口，"為自然數(shù),且尸=*〉=W，2設(shè)隨機變量歲的分布列為工所以后是隨機變量的分布■列。行上=L234.求⑴產(chǎn)y=i或金="解設(shè)隨機變量^的分布列為。求C的值。弟嗚）'+即=|C=2解L3⑴⑴」，所以38.隨機變量4只取正逑"，且尸&=洲與^成反比，求的分布列。qC.C五’.\仆60c八卜6解根據(jù)題意知我""下產(chǎn)，其中常數(shù)c待定。由于av下■,所以尸，即的分布列為""=2=療，R取正整數(shù)。一個口袋中裝有加個白球、力一加個黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，直到取出黑球時停止。設(shè)此時取出了4個白球，求4的分布列。解設(shè)“4=々”表示前上次取出白球，第2,1次取出黑球，則4的分布列為：M3也學客喑型，……?力（力?1）???（月_4）設(shè)某批電子營的合格品率為4,不合格品率為4,現(xiàn)在對該批電子管進行測試，設(shè)第4次為首次澗到合格品，求4的分布列。尸（<=無）=（）］T>無=L2.???,解⑴4一個口袋中有5個同樣大小的球，編號為1、2、3、4、5,從中同時取出3只球，以4表示取出球的取大號碼，求的分布列?！霭耍?拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為P（°<P<D,設(shè)4為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時所需要的次數(shù)，求的分布列。解尸4=兀）=g*"p+pi<7,無=23…,苴中g(shù)=［_p。兩名籃球隊員輪流投籃，直到某人墳小時為止，如果第一名隊員投中的概率為0.4,第二名隊員投中的概率為0.6,求每名隊員投籃次數(shù)的分布列。解設(shè)工〃表示第二名隊員的投籃次數(shù)，則尸（片=短=0.6"10.4心10.4+0.620才70.6?0.760.24"】,后-1,2,…,Pin=k）=06*0.4w0.6+0,6x0.4*0,4=0.7606*04“1/=1,2,…?設(shè)隨機變量細艮從普哇松分布，且?G=1）=?6=2）,求尸（4=嘰?6=t）=_/（4>0吠=0,12…4尸=_「，.9.A尸6=4）=—/=_/解用。由于2得4-2乩-。（不合要求）。所以4!30設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的普哇松分布，問在月初進貨時應(yīng)進多少件此種商品，才能保證當月不脫銷的概率為0?999o解設(shè)4為該種商品當月銷售數(shù)，X為該種商品每月進貨數(shù)，則產(chǎn)d）“.9990查普哇松分布的數(shù)值表，得出16。如果在時間，（分鐘）內(nèi)，通過某交叉路口的汽車數(shù)量服從參數(shù)與［成正比的普哇松分布。已知在一分鐘內(nèi)沒有汽車通過的概率為0.2,求在2分鐘內(nèi)有多二一輛汽車通過的概率.解設(shè)力為時間￡內(nèi)通過交叉路口的汽車數(shù),則P也=上）=電（4>0）代=0,1,2,…k\2=1時，產(chǎn)6=。）=/=。.2,所以4=ln5；2=2時，"E=21n5,因而>1）=1-26=0）-產(chǎn)（J=l）=（24-ln25）/25^083。一本500頁的書共有500個錯誤，每個錯誤等可能.出現(xiàn)在每一頁上（每一頁的印刷符號超過50吐）。試求指定的一頁上至少有三個錯誤的概率。解在指定的一頁上出醵一個錯誤的概率*=荷，因而，至少出現(xiàn)三個錯誤的概率為部5001SU1500（部5001SU1500（49產(chǎn)麗=可:°499丫°鵬500；15004=取=500x—^―=1利用普哇松定理求近似值，取500,于是上式右端等于二1一，0.0803012e14某廠產(chǎn)品的不合格品率為0.03,現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，若要以不小丁0.9的概率保證每箱中至少有10S個合格品，那么每箱至少應(yīng)裝多少個產(chǎn)品？解設(shè)每箱至少裝1。。+，個產(chǎn)品，其巾有上個次品，則要求％使。,聞。,聞k0.03“0971°°”"0.9年利用普哇松分布定理求近似值，取4=(100+x)x0W3,于是上式相當于“上|,2.15設(shè)二維隨機變量?7)的聯(lián)合分布列為：Rf=zg=1)0.9年利用普哇松分布定理求近似值，取4=(100+x)x0W3,于是上式相當于“上|,2.15設(shè)二維隨機變量?7)的聯(lián)合分布列為：Rf=zg=1)=才"0二P)_q-l(4>?！?)M(m-M)'"，=0]…避?=0,U-求邊際分布列。查普哇松分布數(shù)值表，得x=5。%=力=￡尸6=，力=〃)=之之^^飛一切7解馥』加痣加?-⑼！下一=^—?=0,1,2,-9P5=M=￡尸(4==Mx-0(⑹產(chǎn)m\m=012,…44=加，q=2。=上)=—1^—0.5.0.3?0.2”,)A解M汨用，風兒才=0,1,2,3,4m+”+才=4.,4、**)■05Ww=0,123,4.9w=0,123,4.9時=切=03*0.74-*?=0J,2,3,4.A<=^)=L10.2^0.84^W,2=0,123,4。拋擲三次均勻的硬幣，以4表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以7表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反而出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求47)的聯(lián)合分布列及邊際分布列。設(shè)隨機變量4與不獨立，且尸6=1)二尸①=1)=?>0,fl若紅成偶數(shù)又產(chǎn)&=o)=尸⑦=0)=1-2>0,定義‘一I。若紅㈱奇數(shù)，問P取什么值時均7獨立？解F(，=D=產(chǎn)C=0*("0)+產(chǎn)化=1)P(7=1)x(1-獷+p1尸(7=0)=F也=6Ps=1)+產(chǎn)6=0)P(7=1)=2X1-P)1而砥=4=1)=%=5=1)=叫由3L7=1)=R紅1)*1)得P=3設(shè)隨機變量6與彳獨立，且尸&=±1)=產(chǎn)你=±1)=5,定義切，證明7,4月兩兩獨立，但不相互獨立。、F(，=1)=產(chǎn)0=1*8=1)+F?=-1)尸⑦=-1)=1證明2?(7=-1)=產(chǎn)("1)P(7=—D+產(chǎn)("一1)產(chǎn)(7=1)=1因為3"=—?("L7=—】)=尸("叮=T)=；尸槎=1*7=7/"—"=])=尸(”一L”一1)=；尸(”7尸(八1)/小T7=7=%=T”d]產(chǎn)("-"4=-1)所以“相互獨立。同理[與？相互獨立。但是產(chǎn)G=1月="=1)。PG=D?⑨=1"(7=1),因而C，5不相互獨立。ge,P(^+7=^)=—,A;=2,3,-,1223設(shè)隨機變量4與^獨立，，且只取值1、2、3、4、5、6,證明《+不不服從均勻分(即不可能有“證明設(shè)產(chǎn)G=坊=Px,25=k)=以,上=12…,6o分尸&+根=短=±承=2,3,…,12右11,則

F?+7=2)=Pi%=A⑴尸(4+g=7)=01乳+02<?5+…+,6的='Q)2五，與（3）式矛盾。產(chǎn)?+7=12)=為％='⑶將（2）式減去⑴式，得：3-。]）的＜0,于是。6＜2五，與（3）式矛盾。!!!7=矢+22.24已知隨機變量的分布列為口2談求一號與7=8S4的分布列。TOC\o"1-5"\h\z17rl27rl尸⑺=2)=-P(7=2+-)=-FS=2+——)=-解〃分布列為4,3^2,3，4,產(chǎn)(7=1)=!4。/產(chǎn)(7=_1)=產(chǎn)(7=1)=!4。C的分布列為4,2,J。,1?/"5?，J2-102.25已知高散型隨機變量&2.25已知高散型隨機變量&的分布列為I5P（j）=0）=1尸物=：）=/P5=4）=解5,30,651530j,求7=力2的分布列。5「02?26設(shè)高散型隨機變量4與7的分布列為九12（01234、111111尸("9)=余13、(03188J.*〔虧113人且4與7相互獨立.求7=4+7的分布歹h設(shè)獨立隨機變量力與〃分別月艮從二項分布：儀公2,P）與僅抬心,尸），求力+7的分布列。解設(shè)官為々重貝努里試驗中事件力發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗中尸（/）=尸），7為叼重貝努里試驗中事件工發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗中尸（力）=尸），而4與相互3岐，所以力+7為2+冬至貝努里試驗中事件/發(fā)生的次數(shù).因而設(shè)4與夕為獨立同分布的離散型隨機變量，其分布列為尸（4=＞）=P（j）=力）=3,存=12…求6+7的分布列。Pd=9=￡P(guān)9=4P5=n-4=￡正F=虧廠TOC\o"1-5"\h\z先￥A-lA-l設(shè)隨機變量力具有分布，尸“=無）=—=L234?5,求分、巨甲及￡（才+2『。解竊=g（l+2+3+4+5）=3F染=#+2*+3,+4?+5，）=1】&（，+2）'-54+4=27發(fā)產(chǎn)（4=用）=上.k=1,2,????2.30設(shè)隨機變量&具有分布：2,，求石f及D九的。，衾=4￡出『=2叱，異3￡1借『=63翠A-122LI121,比一2271D&=EE）-（EE）?=2/1&=（-1）*—]==12…62.31設(shè)離散型隨機變量0的分布列為：上2比，同力是否有數(shù)學期望？9之比1019]解Sl（-1）K產(chǎn)一^三，因為級數(shù)M三發(fā)散，所以4沒有數(shù)學期望。32用天平秤某種物品的重量（破碼僅允許放在一個秤盤中）.物品的重量以相同的概率為1克、2克、…、10克,現(xiàn)有三組祛碼:（甲組）1,2,2,5,10（克）（乙組）1,2,3,4?10（克）（丙組）1.1,2,5,10（克）問哪一組硅碣秤重時所用的平均硅碼數(shù)最少？解設(shè)2、當、與分別表示及中組、乙組、內(nèi)組徒碼秤重時所用的硅g數(shù).則有物品重量度12345678910盤1122122331^1111222331備1123122341于是=噌（1+1+2+2+1+2+2+3+3+1）=18

E&i=A(1+1+1+1+2+2+2+3+3+1)=1.7EJ3=--(1+1+2+3+14-2+2+3+4+1)=2所以，用乙組硅碼秤重時所用的平均破碼數(shù)最少。2.33某個邊長為500米的正方形場地，用航空測量法測得邊長的誤差為x0米的概率是0.49,土1。米的概率各是0.16,±20米的概率各是0.08.±30米的概率各是0.05,求場地面積的數(shù)學期望。解設(shè)場地面積為S米、邊長的誤差為4米，貝產(chǎn)=?+500)2且再=。窈2=2(10陵0.16+20陵。,08+30隈005)=186所以￡*$=5(^+500)41在貝努里試驗巾，每次試臉成功的概率為。，試臉進行到成功與失敗均出現(xiàn)時停止，求平均試驗次數(shù)。解設(shè)成功與失敗均出現(xiàn)時的試驗次數(shù)為￡則241在貝努里試驗巾，每次試臉成功的概率為。，試臉進行到成功與失敗均出現(xiàn)時停止，求平均試驗次數(shù)。解設(shè)成功與失敗均出現(xiàn)時的試驗次數(shù)為￡則21)=1,產(chǎn)CN刈=p*"+g*T,R=2,3,???3=l-p)2.34對三架儀器進行檢驗，各儀器發(fā)生故障是獨立的，且概率分別為外、外、小。試證發(fā)生故障的儀器數(shù)的數(shù)學外+外+小。1節(jié)架儀器發(fā)生故障,=1230郭vwwjsj8,com'生故障14為發(fā)生故障的儀器數(shù)，則因=產(chǎn)?=])=＞，/=123,所以E&=E&i+=Pi+Pi+P302.37如果在15000件產(chǎn)品中有1000件不合格品，從中任意抽取150件進行檢查，求查得不合格品數(shù)的數(shù)學期望。解設(shè)，014則名的分布列為11515則名的分布列為11515；,因而-記。設(shè)4為查得的不合格品數(shù)，則1504=、，所以產(chǎn)(4=1504=、，所以產(chǎn)(4=上)=.k=1,2,???.〃解設(shè)《為所選兩個數(shù)字之差的絕對值，則n-k+\150唇=工防=102-138從數(shù)字0,1,…，n中任取兩個不同的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學期望。再=工無再=工無7=―--V[(w+T)k-k2]=*3+1)白3于是把數(shù)字L2,…逮任意在排成一列，如果數(shù)字化恰好出現(xiàn)在第止個位置上，則稱有一個匹配，求匹配數(shù)的數(shù)學期望。[1數(shù)字上出現(xiàn)在第小位置上(}0/解設(shè)“1°數(shù)字杯在第6位置上則盤的分布列為：仁】一耳￡羨=與4=1)=工F4=Z^^=254=1于是*設(shè)匹配數(shù)為臬貝|J1，因而1。設(shè)4為取非負整數(shù)值的隨機變量，證明：方工產(chǎn)(4)1;34=25力戶(4之九)一石夕石4+1).TOC\o"1-5"\h\z-窈==證明(1)由于2存在，所以該級數(shù)絕對收斂。從而e4=??=⑷=玄￡尸("附)=閥)=￡產(chǎn)?訓(xùn)N-lX-12?1ZHJIcQ4存在，所以級數(shù)7也絕對收斂，從而口卜改2+再-吟+D=Ng=加一品回+】)=2京￡]尸?=/)一眥位&+1)=2^￡]產(chǎn)?=⑼-E4陽+1)*■1ji-利用上題的結(jié)論，2D+￡F(4)￡*+/“)=1+?-2￡42從一F有照個白球、“個黑球的袋中摸球，直至摸到白球時停止，如果（1）摸球是為返回的.（2）摸球是返回的，試對這兩種不同的摸球方式求。取出黑拜敷的教學期望.解略.對一批產(chǎn)品進行檢駿，如果檢查到第％件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認為這批產(chǎn)品合格，如在尚未抽到第九件時已檢查到不合格品即停止^續(xù)檢查，且認為這批產(chǎn)品不合格。設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，可以認為再次檢查到不合格品的概率都是尸，間平均每批要檢查多少件？解略.流水作業(yè)線上生產(chǎn)出的每個產(chǎn)品為不合格品的概率戶，當生產(chǎn)出上個不合格品時即停工檢修一次.求在兩次檢修之間產(chǎn)品施數(shù)的數(shù)學期望與方差.E=＞工解設(shè)第一1個不合格出現(xiàn)后到第i個不合格品出現(xiàn)時的產(chǎn)品數(shù)為白，'=12…代又在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)為仁則一…'因費獨立同分布，軟盤=月=/力*12產(chǎn)0=1-0,由此得，無生=￡應(yīng)…P=g晡二三二口JTP,"P,口蚤=e^一的套S六皂央=艮a巴=玄口羸=獨手1p,I戶#設(shè)隨機變量廣與平獨立，且方差存在，則有。建印二口餐小十修4尸3一口士空療（由此并可將口述哈2口夕。不）證明卬協(xié)=彩%—緲=—（■尸-Eg——電氣蹣L+四氣區(qū)4—遂勿“坳戶=總甲口再_［￡號y口號=口目口號+（宜第3口斗十口者（國7/在燃期到9中先后按下列兩種情況任取兩個數(shù)，記為4和九（1）第一m取后放回,再取第二個數(shù)I匕）第一個數(shù)取后不放回就取第二個數(shù).求在中=村0蘭上工幻的條件下4的分布列，朋＜i＞尸yi?=2=；口*=口」.…尸（2＞產(chǎn)（二=$i7=o=5存=0.1,…aiK/），不告=全1療=上）=口Z749隹也次貝弊里試筠中，牛啟出現(xiàn)的版率為它.令1在第i次試臉中/出現(xiàn)O翦弟際i式治中出現(xiàn)求在黨十務(wù)+…十鼻=L8=廠二冷的條件下鼻e小三小的分布列，j=X^=U［歲+%+…+4=ry=口;一門，％?'—一.++?---■一尸（c：2

〔事5A31-h向軍Tc：2

〔事5A31-h＞丈有L=Q帝+品=出）

廠工事十^3=Z.50設(shè)^初?金安：金】.當幣月互學史立r分另U月應(yīng)從備姿文為q1與具3的普口手棒分柞r.a3正?尸片=力克十名＞丈有L=Q帝+品=出）

廠工事十^3=F出=全I式十篇=r?證日月一￡打=無=代心=—一無＞由昔口圭檔分柞■的可力口性入口羌I島月員從拿-毅力以由昔口圭檔分柞■的可力口性入口羌I島月員從拿-毅力以11兄二的普口圭松分市，所以Z5L設(shè)步】*品.….當為產(chǎn)個:陽萬與蟲立隔磯室室.目當CWf月艮從同一7T何分加.RPWF4=的=鏟5收=12…＜1方,與）其中q=I-r.試證明在彘+備4…=N的條件.卜，（［？”「公）的分布是均勻分布，即產(chǎn)〔氤=算1，…，鼻=鼻I或I-21-,當=理=「內(nèi)_1、【尸一,其中段?+RaT卜/=f,?一一%:+“，+-一嘮證明鵬克-弗1.■，真一降I燈+空j+…+仁一代邕+…+＜=功_政&=F，---,4=■?二》我委+…+,鼻一身，由于右，另，…，身相互獨立且服從同一幾何分布，所以從而"冕二也F（《十心?|…t京=玻=耳（fj守產(chǎn)，-i）=（：_；卜產(chǎn)史［之從而"冕二也第三章連續(xù)型隨機變量3.1設(shè)隨機變數(shù)6的分布函數(shù)為尸（外9試以尸表示下列概率.（1）尸￥=。兀（2）產(chǎn)學Ma）;（3）戶（4）尸學>"）解*（1）聲（力=&）="（a+0）一尸（a）,（2）尸（MMa）=F（a+0）.F（4Na）=i-尸3）J（4）尸￥>。）=1一戶3+0）。戶O）=t3.2函數(shù)1+工2是否可以作為某一隨機變量的分布函數(shù)，如果（1）—8VXV87T（2）0VKV8,在其它場合適當定義，（3）角霜（3）角霜（2）⑶（1）尸（R在（-8,8）內(nèi)不單調(diào)，因而不可能是隨機變量的分布函數(shù),尸（於在（0,8）內(nèi)單調(diào)下降，因而也不可能是隨機變量的分布函數(shù);尸（R在（-8,0）內(nèi)單調(diào)上升、連線且尸（-8。，若定義fF（x）—oo<x<01x>0則砥於可以是某一隨機變量的分布函數(shù)。1.函數(shù)sinx是不是某個隨機變數(shù)力的分布雷度？如果力的取值范圍為解：3[0,-Jyr](3)2解：（1）當'e0和時，sinxNO且「sinxdx=i,所以知x可以是某個隨機變量的分布由度;因為Lsgk以=2w1,所以sinx不是隨機變量的分布由度，r3[X€[7T,—7t\當2時，sinxMO,所以sinx不是隨機變量的分布定度。3.4設(shè)隨機變數(shù)4具有對稱的分布密度函數(shù)P（x）,即P（x）=P（f），證明：對任意的a>°，有（1）”（一"）二】一"3）=5一]「⑴公；⑵P（圖<。）=2產(chǎn)⑷-1；（3）產(chǎn)的）"）=2（1-9⑷]。證:(證:(1)F(-a)=[p(x)dx=l-Jp(x)dxl+「p(-x)dx=1-pp{x)dx1-F(a)=1-J°p(x)dx-『p（x）dx=1-Q（x）右2j⑵叫l(wèi)“=f>（的=2j>（x）dx,由⑴知1r°FQ）=--JQp{x）dx1~4故上式右端=29⑷T；（3）尸的>a）=1-產(chǎn)（用<a）=l-[2F（a）-l]=2[1-F（d）]。3.5設(shè)耳⑶與尸2（x）都是分布函數(shù)，又田>°是兩個常數(shù)，且a+b=l。無明斤（x）=a瓦*）+8瑪（x）也是一個分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？證:因為瓦⑶與瑪8都是分布函數(shù)，當.<必時,瓦氏）￡耳（必）,鳥』i）M瑪（孫）,于是尸（句）=哂（々）+bF2（x1）<aF1（必）+b瑪（叼）=尸（叼）又limF（x）=lim[a^（x）+iF2（x）]=0XT—XT2limF（x）=lim[aF1（x）+^K（x）]=a+^=lXT9XT9F（x-0）=以片（彳-0）+8為（x-0）=a耳（x）+bF式x）=?（彳）所以，儀乃也是分布函數(shù)。工1。=6=—取2,又令

|0x<0|0x<04⑸=1X>。%8=0x<0x0<x<l

1x>1這時0x<0[+XF(x)=0<1X>1顯然，與肝(外對應(yīng)的隨機變量不是取有限個或可列個值，故尸(R不是高散型的，而砥X)不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。3.6設(shè)隨機變數(shù)4的分布函數(shù)為，一(1+幻尸xNO求相應(yīng)的密度函數(shù)，并求產(chǎn)—[1-(14-X)。-"]=解：公，所以相應(yīng)的密度函數(shù)為P(P(x)=xbx>02<1)=F(l)=1--3.7設(shè)隨機變數(shù)4的分布函數(shù)為0x<0戶⑸戶⑸=<Ax"0<x<11x>l求常數(shù)力及密度函數(shù)。解，因為尸0一°)=尸⑴，所以4=1,密度函數(shù)為0其它3.8解：隨機變數(shù)63.8解：隨機變數(shù)6的分布函數(shù)為"⑺=*+Bar。*求常數(shù)a與b及相應(yīng)的密度函數(shù)。lim因為一戶(X)=N+E(-石)=0limXT->-Ho所以A=-,B=—2TV因而F(x)=4+工《尸”曰,「。)=F9=J27T7T(14-X2)o3.9已知隨機變數(shù)的分布函數(shù)為x0<x1p(x)=<2—X1<x<20其它.求相應(yīng)的分布函數(shù)戶")；.求產(chǎn)4<0.5),尸￥>1.3),產(chǎn)(0.2<1.2)0-X2-11<X<22。曲+[(-X2-11<X<22解:解:FH<0.5)=F(0.5)=1OFQ&>1,3)=1-<1.3)=1一戶(1.3)=0.245產(chǎn)(0.2<&<1.2)=戶(1.2)一戶(0.2)=0.66

10確定下列函數(shù)中的常數(shù)力，使該函數(shù)成為一元分布的密度函數(shù)。(1)(2)力cosX林(2)力cosXMxM-22(3)解，AxAx02<x<3其它「Ae^dx=2AC^xdx=2A=^\>kA=-⑴J(3)解，AxAx02<x<3其它「Ae^dx=2AC^xdx=2A=^\>kA=-⑴J上23cosxdx=2A\2cosxdx=2A=1A°,所以A=2；CAx2dx+廣Axdx=—A=1A=—⑶身h6，所以29°(2)3.12在半徑為R,球心為0的球內(nèi)任取一點巳求4=。尸的分布函數(shù)。解，當oVkWK時尸(x)尸?vx)=4,一兀-~=分3所以x<0尸⑸=](1)0<x^R3.13某城市每天用電量不超過一百萬度，以號表示每天的耗電率(即用電量除以一萬度)，它具有分布密度為12x(1—x)0<x<10其它若該城市每天的供電量僅有80萬度，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量90萬度又是怎樣呢？解:產(chǎn)C>0,8)=「12x(1-解:JOB產(chǎn)(J>0.9)=^12x(1-x)2^x=0.0037因此，若該城東每天的供電量為80萬度，供電量不帔需要的概率為0.0272,若每天的供電量為90萬度，則供電量不夠需要的概率為0.0037。.設(shè)隨機變數(shù)《服從(0,5)上的均勻分布，求方程4，+4/+4+2=0有實根的概率。解：當且僅當(牝)2-16?+2)N0(1)成立時，方程4-+4夕+4+2=°有實根。不等式(1)的解為："2或"一1。因此，該方程有實根的概率。=尸&N2)+產(chǎn)GV—1)=P也>2)=J^x=|3.17某種電池的壽命《服從正態(tài)分布，其中［=300(小時)，。=35(小時)(1)求電池壽命在250小時以上的概率j(2)求x,使壽命在。-工與。+無之間的概率不小于0.9。P(4>250)=?-3"。>-1,43)TOC\o"1-5"\h\z解：(1)35尸($_3。。<143)=①(1.45打0.9236=35?t(.Dzx4一300xP{a一x<4<a+x)=產(chǎn)(一一<<—(2)353535_①囁)-①(一言=2畸-120.9ip

B（言之0.95所以—>1.6535即x>57,753.18設(shè)6(幻為"(°」)分布的分布函數(shù)，證明當大>。時,1-L11-二11-7=^2>1-<X>(X)>-7=^2(---)入/2kx。2無xx證.證.1一B8=1"卷*告"=志I）與砂工-宅心告「②一，、/27VJxy=、/告「②一，、/27VJxyTOC\o"1-5"\h\z1xA11、K—2(――+="27VKX后以1一丁1-7=&2-1一丁1-7=&2--、/2yrx3.21證明.>1-O(x)2(---)V2yrxx二元函數(shù)k+>>0k+yM0對每個變元單調(diào)非降，左連綾，且尸（-8,）=尸O，-8）=0,^（-00,400）=0,但是"&介并不是一個分布函數(shù)。證：（1）設(shè)Ax>0,若k+y>0,由于a+Ak+>>0,所以戶O，y）=戶O+△★》）=1,若x+?M0,貝|J9（x,?）=0。當x+Ax+'MO日寸，F(xiàn)（x+Ax,y）=O；當x+Ax+y>0時，F(xiàn)（k+Ax,?）=1。所以尸（k,?）MF（x+Ax,>）?？梢姡現(xiàn)（K。）對A非降。同理，尸（KJ）對I非降。）x+'MO時飄尸（x-△兀力=飄F50一△#=°=力，O°時，飄尸3-6,力=飄?（2-矽）=1二百（”），所以尸（K0）對k、'左連續(xù)。（3）戶（一8,y）=戶（X,—8）=0（4-00,4-00）=0o（4）P（0<^<2,0<??<2）=%（2,2）-聲（2,0）—7（。,2）+戶（0,0）=-1,所以尸（孤川不是一個分布函數(shù)。23設(shè)二維隨機變數(shù)（上斤）的密度,(")=5'1n,(")=5'1n(…

00<x<—,0<j/<—22其它求《晟冷的分布函數(shù)。0<x<—0<y<—解;當2,2時,Fg介=?(4<x,rfvy)[*sin(t+s)dsdt—j[cot—cos(Z+')]?2°

—[sinx+siny—sin(x+v)l,=2所以—[sinx+siny—sin(x+>)]—(sinx4-1—cosx)義(1+siny-cosy)1Ov0)j5OWxW等.OW，Ov0)j5OWxW等.OW，oMxM學》x咤QMyTVx>—,y4^X>0,^y>0其它1.2.3.求常1.2.3.角翠，所以上=12；(2)入A。」AO時，F(xiàn)(k.力=]^匚12點口-d￡ds=12(g-ds)=。一角翠，所以上=12；(2)入A?！笰O時，F(xiàn)(k.力=]^匚12點口-d￡ds=12(g-ds)=。一￡々”義1二￡一，)，所以。一夕f)Q—￡~)oK>0,，>0其它(3)尸(0v}vl.Ov7V2)戶。，2)-尸(0.2)-FQ,0)+產(chǎn)(0.0)3.25設(shè)二維隨機變數(shù)有宙度函數(shù)卬")=/(16+<(25+丹求常數(shù)/及(羨夕)的定度函數(shù)。PJ'P^y'ydxdyJ<}OJ—=「「-25-ydxdyJyJ-97r"16+/)(25+少2)AAr9dxp>dy__解：~164-X2*25+y2-20-所以，4=2。；斤(x,力=J『p[trs)dtdsJ-9J-dtds(16+尸)(25+7)"Idt\y2s五人1?77^」_925+$~=回ctg?+])(ap坦1+3)3.26設(shè)二維隨機變數(shù)?〃)的定度函數(shù)為P(x，V)=<”4個

00<x<1,0vyvl其它產(chǎn)(0vjv7vl);(2)產(chǎn)(力=不)；(3)尸9v叩)；(4)?(JM叩)求⑴24解：(1)F(O<^<1A<T)<1)=\iAxydxdy=4^xdx^ydy=Aj;/qaao^4

（3）戶（45）=口4號〃xQ=0的分=。2也一一）小=1;ic<y/（4）尸23.28設(shè)（短夕）的岳度函數(shù)為，、工0Mx￡l,0MyM2P（K?》）=120其它2求§與夕中至少有一個小于2的概率。解：v［）］=l-FeN1.7左1）乙乙乙乙=>］；］；P0,）小砂=1-￡￡京@=-|3.30一個電子器件包含兩個主要組件,分別以}和夕表示這兩個組件的壽命（以小時計），設(shè)（夕外的分布函數(shù)為+￡旬。式》“x>0,j/>00其它求兩個組件的壽命都超過120的概率。解：P超>120,7>120)inSM12。)]=1-產(chǎn)(JM120)一產(chǎn)SM120)+產(chǎn)dM120.7M120)=1-尸(120+0,8)一尸(8,120+0)+F(120+0,120+0)-2.43.31設(shè)外（*外5）都是一維分布的密度函數(shù)，為使P（K?》）=P1WP2W+方（3.31設(shè)外（*外5）都是一維分布的密度函數(shù)，為使P（K?》）=P1WP2W+方（X?》）成為一個二維分布的密度函數(shù)，問其中的次X，川必需且只需滿足什么條件？解：若「5，）為二維分布的雷度函數(shù)，則p（X,力N0,匚匚中（玄?以士=1所以條件⑴處3）工以5Ms⑵匚匚為3"心*=。得到滿足。反之，若條件（1）,（2）滿足，則p{x9y）>0,PFp（x9y）dxdy=1J-<X>?*—<￡>P（x，》為二維分布的密度函數(shù)。因此，為使。5。）成為二維分布的密度函數(shù)，次兀力必需且只需滿足條件（1）和（2）。3.32設(shè)二維隨機變數(shù)收，萬）具有下列密度函數(shù)，求邊際分布。，2c7+1——5-x>1J>1(1)其它(2)x>0,y<?；騲<0,y>0其它(3)尹5,力=1「囪）「（仁）

0x^\y-穴盧-0r0<x<y其它解:⑴…=「2。一》】2dy=—>1)P&。)=0,0工1)X22。一下dx=產(chǎn)】，。>1)乙(x)=0QM1)(2)x>°時，P勺O)=J°L—戶2)/=2—e~J—兀42tvxMO時，

乙。）=所以，1金PQ）=-^=e2。同理，質(zhì)P⑼=(3)乙。）=所以，1金PQ）=-^=e2。同理，質(zhì)P⑼=(3)P4(x)=O,(xWO)「（公）r32）「一”(??X盧"dx=--L-—y^\(y>0)*r囪+/)pQ）=O.OMO）證明，若隨機變數(shù)e只取一個值。，則^與任意的隨機變數(shù)“獨立。證，4的分布函數(shù)為%*)=0x<a1x>a設(shè)57的分布函數(shù)、4?）的聯(lián)合分布函數(shù)分別為紇。當xWa時，9（冗尸）=尸《＜%不。）=。二吊（用43）。當時，尸（蟲?）=尸（4＜,＜避＜尸）=尸（7＜尸）=々（乃%（?）。所以，對任意實數(shù)XJ,都有以％?=鼻⑸鳥8）,故4與7相互獨立。證明，若隨機變數(shù)4與自己獨立，則必有常數(shù)。，使P（4=c）=l。證,由于尸（4＜人）=夕4＜人/＜人）=尸（4＜人）尸（4＜人），所以尸（人）=【尸（人"，尸（人）=。或1。由于尸（-8）=0,尸（"o）=i,9（人）非降、左連續(xù)，所以必有常數(shù)。，使得0x<c0x>c故尸G=c）=i,3?36設(shè)二維隨機變量收⑼的密度函數(shù)為-?+/<17T0其它問4與不是否獨立？是否不相關(guān)？解,P⑼=圖與=X1-1）%⑶=。川力1）…pQ）=同理，7T川川§）；%8）=0,（3＞1）由于「區(qū)＞戶”《）巳8,所以6與7不相互獨立。又因P（"），A⑶，％8）關(guān)于礴關(guān)于y都是偶函數(shù)，因而眼=砌=醺攵）=0,故8啕,『）=0,4與7不相關(guān)。41設(shè)某類電子管的壽命（以小時計）具有如下分布密度：100x>100100x>100x<100一臺電子管收音機在開初使用的150小時申，三個這類管子沒有一個要替換的概率是多少？三個這類管子全部要替換的概率又是多少？（假設(shè)這三個管子的壽命分布是相互獨立的）解：設(shè)這類電子管的壽命為？，則依＞如［詈=：所以三個這類管子沒有一個要替換的概率為（%）-%?;三個這類管子全部要替換的概率是"%）"%。3.44環(huán)球的直徑作近似測量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間口力］內(nèi)，求球體積的密度函數(shù)。解：設(shè)球的直徑為九則其體積為‘一石"?！皇?的反函數(shù)x=，斷.=2田標^。由4的密度函數(shù)P網(wǎng)=1膽一/aWxl,得7的密度函數(shù)為￥少卓,

其它。設(shè)隨機變數(shù)4服從W°，D分布，求尚的分布密度。解：在心。時，所以因的分布密度,，尸間（力=舊云二:（X?0）,pM（x）=0,（x<0）設(shè)隨機變數(shù)6服從分布，求公的分布密度。解：的反函數(shù)工=必》以=1/尸力。由4服從加@/）分布，推得『=€’的分布密度為打8）/焉"P卜白伽尸"}3'［0”0.3.47隨機變數(shù)4在任一有限區(qū)間上引上的概率均大于0（例如正態(tài)分布等），其分布函數(shù)為々S）,又服從［°1］上的均勻分布。證明7"娓"①）的分布函數(shù)與&的分布函數(shù)相同。解：因為《在任一有限區(qū)間上回上的概率均大于0,所以外⑺是嚴格上升函數(shù)。日于上的均勻分布，所以,的分布函數(shù)"⑸=尸?<x）=產(chǎn)因％）<x）=尸（"々（x）=娓（x）,對任意的x都皿。所以，與4的分布函數(shù)相同。3.48設(shè)隨機變量《與鄉(xiāng)犯立，求<+不的分布密度。若（1）4與77分布服從3力）及（心向上的均勻分布，且<?。?）<與不分別服從（一/°）及9。）上的均勻分布，a>0°解（1）PgS）=l/（B-a）avx（瓦2（X）=°，其它*(x)=1/(/5-a),a<x<AO)=0其它。As(X)=匚乙S一丁)PR)。Cx-3)],*"?)(3—a)(尸—a)_[min(x-aQ-max(x-x>,a)]/[(2>-a)(內(nèi)-a)}a+a<x<b+￡(x)=0其它(2)P《(x)=<x<°；，g(x)=°,其它，)=1/30<才<a，%CO=0,其它。人對=匚尸式公>)pQ)*=￡：：：)】//的_[min(x+a,a)-max(x,0)]/a2a-x=W，"<x<a，A+8）=0,其它3.49設(shè)隨機變量4與為蟲立，服從相同的拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為P（x）=；eT*%3>0）2a求著不的密度函數(shù)。解:解:Pg(X)=%(x)=7~Za049（乃=［。式工一川,。辦當XNO時，r?>1九.s)=L彳w1ro-；1ro-；口的+Jca.+Jeady]1?y-yx-e1/x1/x、-%=—(l+->4aa當x<0時，乙")=彳[￡/addy+ke所以a*]=；Q一乙紜/

4aaP-5）=工（葉|工伽」%4a3.50設(shè)隨機變量與不獨立，服從相同的柯西分布，其密度函數(shù)為p(x)=p(x)=水1+X2)c=-（e+j?）證明：2也服從同一分布。證：心8)=

=」：—「[孚二2(…『表(y+4)-x2+1(x-j/)2+i=:J77〔必(N+1)+yarctgx-ln((x-^y)2+1)4-yarctg(x-y)]|工k>。+4)_2ttO2+4)所以r.21P拉r)⑵-m(2z>+4]水l+z')0=—(^+7)即2也服從相同的柯西分布。x>0x<03(x>0x<03(工)=<x>0x^O(其中4>0，〃>0),求4+〃的分布密度。解：工>0時，J%"""。"不為。田，2=〃xWO時，「"其用=。3.53設(shè)隨機變量。與不獨立，都服從(°刀上的均勻分布，求味一萬?的分布。解：T服從(一劃上的均勻分布,據(jù)3.48(2)知，fx+1-1<x<0W=〔3(x+1，D—max(x,O)J=?f11-x0<x<l在0<x<l時，"一勿的分布函數(shù)戶(工)=產(chǎn)(|4一力|v工)=尸(一入<4_百VX)=J0(E+T)dt+1(1—!)dZ=2x-x2所以1一〃I的分布密度為/f2(l-x)O^x<1?！?1o其它54設(shè)隨機變量力與〃獨立，分別服從參數(shù)為2與〃的指數(shù)分布，求。一〃的分布定度。解：由3>0得?(x)="\x<0,所以Pi(x)=匚ACy)Pp(x-?y)*在xMO時,P/?=「&交侔/5砂=+〃)在X>0時,Pi(x)=「%=3/(1+/Z)所以x<0x>0久侔戶/4+x<0x>0ML/4+〃).設(shè)隨機變量占與萬獨立，且分別具有密度函數(shù)為

P&（X）=<7T&一代??e|小1Z、工6一%X>0p^（y）=\TOC\o"1-5"\h\z10x<0證明々服從"CD分布。證：由乙⑸=x/Zx>0得，％（x）=PfO)=P^i8=11XI,4(泡％(x)dx令%-=〃+%叫，入3)=^一"「口鋸—必=Jj/6忑/Jo歷所以女服從"(61)分布。3.SR設(shè)隨機變量力與「獨立.都服從（°，"）上的均勻分布.求%的空度函數(shù)cP/O）=匚/（xz）p式z）INI必=，「孕當｛xzydz普屋工1時,。/x）=量;卷4當X>1時，%5）=.產(chǎn)/=+所以%的密度函數(shù)為0X<0pt/(x)=X0<x=l3.59設(shè)隨機變量與〃獨立，都服從參數(shù)為之的指數(shù)分布，求/7的密度函數(shù)。解：在五20時，x)=x)=匚外3)%83的巴/（X）=0在XV。時，％。60設(shè)二維隨機變量?））的聯(lián)合分布密度為+XV.,一，彳0其它證明：4與〃不獨立，但卻與代獨立。證：由于Hxj）w々（初冬⑶），所以4與不不獨立。由于1x>1產(chǎn)（于VX）=<匕（￡^^矽）成=0<X<10x<0V>10<^<1V>10<^<1<0尸(/。)="%￡三^常業(yè)=4y0產(chǎn)(42<y)=<0xj>1

0<x<\9y>1

x>1,0vyMl0v”M1其它所以對一切的兀兒都有尸<X，M<y)=F(￥VQFS?vy),故二與十相互獨立。3.61設(shè)隨機變量占具有密度函數(shù)227V,一?！狢OSX——<X<—7V220其它求必&。產(chǎn),=J^x^cos'xdx=0解**口&=E&*=J—cos2xdx=-^---13.62設(shè)隨機變量4具有定度函數(shù)0VxM11<x<2其它求必及a,。2窗翠=C/dx+fx(2-x)dx=1后卻=卜小+￡2x2(2-x)^x=7/6□4=^4?一(5J)?=”6o3.63設(shè)隨機變量^的分布函數(shù)為F(k)=oa+Z>arcsinx1x<-l-lMx<1試確定常數(shù)9㈤，并求網(wǎng)與0九解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性，.a+b-arcsin1=1,<a+barcsin0-0,故a=1/2,Z>=1/tfri11E&=Jix?<i(—Harcsinx)f1—「dx=0="1tfV1-x2八倉廠經(jīng)I4x,2rlx2dx2r”?.2D&==|廠dx——I—I==—Isintdt=1/2J-】tvE二F4JoJTK汗Jo1.隨機變量4具有電度函數(shù)A-x*x<00,x<0其中4>L4>0,求常數(shù)A.E&及D鼠解：1=「*X.產(chǎn)公=4/毋故，戶…T(a+1)?=.e^ffidx=A4"2T(4+2)=(a+1)尸,目J=1N.x**2e^,fidx=A4“3t(&+習=(a+l)(a+2)產(chǎn)2￡）4=名于一（/4）2=（。+1）尸2（」366設(shè)隨機變量〈服從2,2上的均勻分布，求〃=sin雨的數(shù)學期望與方差。2Er）=［彳sinTKdx=0,解：工1Dr）=Er）2=RjSin27Kdx=1/2-5o3.67地下鐵道列車的運行間隔時間為五分鐘，一個旅客在任意時刻進入月臺，求候車時間的數(shù)學期望與方差。解：設(shè)旅客候車時間為4（秒），則4服從［03。0］上的均勻分布，則&4=1：0°工工公=150（秒）J。300,港“=廣焉,"五=30000（秒2）口&=30000-1502=7500砂）.3.71設(shè)媒,2’…盤為正的且獨立同分布的隨機變量（分布為連續(xù)型或離散型），證明：對任意的雙1二'&編，有/費+…+<］=上di+…+盤1/◎證?』同分布（J=L…⑼，又』，所以』」都存在且相等0=1，…，⑷。由于『找家之小學久士g，一】」Z」，所以14+…+4jL>-1J?O設(shè)4是非負連續(xù)型隨機變量，證明：對工>0,有尸G<乃之1-毀X。證尸?<x）=［為（￡）=1-「2。）成之1一[:L.’gSd之1一)「，”4?/之1一E4xo若對連續(xù)型隨機變量外有囿*<0°（r<0）,證明有尸的證.尸的>￡）=K/回xL.a（x）dx“3口小外（乃=用耳_同4-%）.?「期）］

《E&-E幻尸-Et）Y解，3.75_同4-%）.?「期）］

《E&-E幻尸-Et）Y解，OC?COV(4⑼二同,底.H.廊acw=tacw=tpac>0_pac<03.81設(shè)隨機變量外芻，…，盤中任意兩個的相關(guān)系數(shù)都是Q,試證："‘一證：0工￡比、《一后對工D，2Pz曲.歷三2；J/+Q,二（必+%）

一?—二二界［i+Hh-叫i+p（?-i）>o,p>-—!—故&T3.84證明下述不等式(設(shè)“不都是連續(xù)型或離散型隨機變量)：(1)若彳與〃都有0之1階矩，則有團4+"產(chǎn)三闖式『產(chǎn)+［即'，叫碓+褶工2,7(磁『十喇，)(2)若4與不都具有，>°階矩，則由+加M2?此|*+即『)證?⑴。之1時，［m+"產(chǎn)工［旗『心+〔劭門”‘即所謂的明可夫斯基不等式，證明略。在時，,「是x的下凸函數(shù)，故『+"，<|x|FW即|才+”七27"0|*，故由+"M2f國”+即F(2)在尸>0時，Ix+WQxl+InD'+|2W=2，(|=F+|川，),故^+^<2*(￡|^+￡|7K)I計算機吧I3.88設(shè)二維隨機變量情，外的聯(lián)合分布密度為J-x>o,>o〃(")=，(l+x+y)380其它其中">2。求4=1條件下叩的條件分布密度。解:「9（九—1）（%—2）解:「9（九—1）（%—2）,/⑶，（i+0矽=。把3ID=[2"-1）/（2+獷0力一2百r.X>0…產(chǎn)y>0其它3.89設(shè)隨機變量4服從N(”V)分布，隨機變量萬在4=才時的條件分布為NS。?)，求〃的分布及J關(guān)于不的條件分布。（、，、，[、1J（人一次尸3一爐L、,1Cy-也）2f-fmcr2+yiP_1P^（y）=\p（xfy）dx=-?噂1一~二1J4。出斗一72?X———2,2曲一kV7/%-27VUO-2（cr+tt）J』[2-rcrb'+匯J27r（匯？+/）exp<-⑶一加?2（4+T2）故不?f（a2+t2）a2fn+'Py=P（x,y）/p<y）=&，+//（后^3）印[21，.NU…—JiT_L2_)故在不二V時，的條件分布為"+/'ar090設(shè)盤，備…，晟,…為具有數(shù)學期望的獨立隨機變量序列，隨機變量「只取正整數(shù)值，且與｛￡》之。獨立,證明:吃盤=￡e&『P5￡47X-1后￡&=￡］￡（￡金加）］證：zL1」=之羨］,尸（7=s）I。）=心后戰(zhàn)產(chǎn)⑦之上）3.91求下列連續(xù)型分布的特征函數(shù),（1）（一%"）上的均勻分布3>°）,（2）柯西分布，其超度函數(shù)為加幻=￡（大——（八。）7一分布,其密度函數(shù)為xmoy>0,尸>0)歹—15P（^歹—15P（^）=7X^）Xy0(2)由拉普拉斯積分rC；弋a(chǎn)=,3.尸>0）產(chǎn)⑷上4+/2c得岡）=6f（3）3.93若的）是特征函也證明下列函數(shù)也是特征函數(shù)，（1）火一。⑵“）「；⑶回）『（力為正整數(shù)）證：（1）著火力是隨機變量彳的特征函數(shù).則以7是隨機變量不=T的特征函數(shù)，（2）若乙與7獨立同分布，其特征函數(shù)為奴切。貝/奴'）『=.>火一'）是隨機變量7=4-7的特征函數(shù)；（3）若芻，…4獨立分布，其特征函數(shù)為必）。貝武加才是隨機變量"=的特征函數(shù)。94證明下列函數(shù)是特征函數(shù).并找出相應(yīng)的分布函數(shù)；][（1）證，cog%(2)c。/%(3)1+〃:(4)VJ;(5)（1）證，cosz22,所以89工是兩點分布4T1P工1/2土1/2的特征函數(shù)。COS2t=工+工.02”+—2244所以co/，是三點分布4-202PV41/21/4的特征函數(shù).[]（3）備度函數(shù)為75）=8-1刀豈0/5）=0瓜V0的指數(shù)分布的特征函數(shù)為匚爰，所以K工是定度函數(shù)為「5）=61刀二°力（於=°?刀>0的分布的特征函數(shù)。sin￡,sin￡、？,sin￡、？（4）[一】?1]上均勺分布的特征函數(shù)為丁，所以互相獨立且同為LU]上均勻分布住兩個隨機變量和的特征函數(shù)為丁，即丁是忠度函數(shù)為（2+%-2<x<0（2-吻0M/M20其它的分布的特征函數(shù)。41/]（5）次”-1-22,.所以井口是幾何分布P（82=/.k=123.…的特征函數(shù)。3.95試舉一個滿足（1）奴一0=奴￡）.（2）?融）區(qū)以°）=〔.但是次°不是特征瞰的例子。解：令火叼0…則只切滿足（1）,（2）,但R）在，=°點不連續(xù).故奴。不是特征函數(shù)。3.96證明函數(shù)火，）=/一丁"后。（a>0）0|/|>a是特征函數(shù),并求出它的分布函數(shù)。解，由于匚歐冰=訃一%=aV8所以奴工）為特征函數(shù)，其分布函數(shù)為所以奴工）為特征函數(shù)，其分布函數(shù)為故欲證可°是特征函數(shù)，僅須驗證1—cosax是密度函數(shù)由于HR之0,°⑸WW=/。*?1-軀=1—cosax是密度函數(shù)由于HR之0,“o=fL上等絲水j八ar益3.97設(shè)雙。是一個特征函數(shù)。卜>。,證明：乙、/八sinth①Q(mào)）=P（t）———th也是特征函數(shù)。sinthsinth證：設(shè)彳與不相互獨立，彳的特征函數(shù)為奴工），歹服從卜〃㈤上的均勻分布，不的特征函數(shù)為",則"是>7的特征函數(shù)。ly3.98設(shè)4】若2,…，盤為〃個獨立同柯西分布的隨機變量，證明“I與4有相同的分布。所以"I與同分布.證.柯西分布‘兀（x-32+白2的特征函數(shù)兇）所以"I與同分布.3?99設(shè)44,…4為獨立同7一分布的隨機變量，求占’的分布。,、八次￡）=卜-二）￡4解：T一分布73）,工>°；「3）=0,AKO的特征函數(shù)I8）。故z的特征函數(shù)為VAp（x）=—X"""?Q-壞a<0.所以Z也是7-分布，其密度函數(shù)為,x>0,P（x）=°a<0.3.100設(shè)二維隨機變量C具有聯(lián)合密度函數(shù)為H”）=；h+秋（—+/）][o其它證明，4+叩的特征函數(shù)等于或7的特征函數(shù)的乘積，但是4與7并不相互獨立。證，p-（z）=匚P（x，"K）dx（2+x）/4-2<x<0=（2-力/4O^x<20其它。e十^的特征函數(shù)為l'）Qp4（x）=1/2-1<x<l;p4（x）=0，k|NLpQ）=1/2-1<y<1;（y）=O,[y|>l故《與『的特征函數(shù)皆為丁,所以夕的特征函數(shù)等于數(shù)的乘積。由Hx,A=p,@）匕⑶），故6與夕不互相獨立。3.101設(shè)隨機變量《服從河西分布，其特征函數(shù)為。制，又令式°>0）,證明<+彳的特征函數(shù)等于《、〃的特征函數(shù)的乘積，但與很不獨立。證：由6的特征函數(shù)％?='制推得,"儲與"+夕的特征函數(shù)分別為.（℃則與“&）=/**）故叫?"M%?。倘若《與^相互獨立，令J的分布函數(shù)為尸⑸，則尸⑶=尸ev=不<以）=?（<<R?⑦<"）=尸（4<刀）?（<<x）=[尸⑸F,故"⑶=?；?,此與6月e從柯西分布相矛盾，故6與互不獨立。3.102判別下列函數(shù)是否為特征函數(shù)（說明理由）?1-/，12⑴sin%⑵1-廣；⑶歷（e+W）；⑷】一謂；（5）（1+尸）\解，（1）不是，因為sin°H】。1-Z-T>]（2）不是，因為當-1<￡<。時，1+J。（3）不是，因為1nd）工1不成立如=*一一。（4）不是，因為1一電。（5）是的，拉普拉斯分布“，）=5°的特征函數(shù)為幣7,所以（i+尸），也是特征函數(shù)。第四章大數(shù)定律與中心極限定理4.1設(shè)白3為退化分布I1x>008=<Q齊與0討論下列分布函數(shù)列的極限是否仍是分布困數(shù)T⑴（ZX五十比1}.Q）（□（%+；?；0）{DS-（0）.其中用=12…解?（1）⑵不是；?3）是.4.2設(shè)分布國數(shù)馬區(qū)1如下定義工K王一程居⑴二問F8=蚣乙⑶是分布函數(shù)嗎守解：不是。4?暇分布函數(shù)冽（凡⑸）弱收斂于分布函數(shù)肛的，且尸⑴為連續(xù)函數(shù).則{咒⑺）在（YM）上一致收斂于網(wǎng)行。證?對任意的取W充分大，使有E⑺2Vx之氟*5<￡1,對上述取定的虹，因為F&）在上一致連續(xù)，故可取它的比分點：/4啊父…‘五」<小=",使有尸（號+i）一尸（演）<止，再令詼=一0°M“i=00,則有尸（&+D—F（/）vM0三i0土+1（1）這時存在"，使得當雄>州時有|F<#J「尸（吊）|<弟0至i三巾+1⑵成立，對任意的能"TO㈤，必存在某個"°小名然使得一為",由⑵知當用>N時有,&㈤—/"升1）<+f（3）鳥3全尸"5）>Fgj3⑷由（1）,（3）,（4）可得與3-F8<FQQ-產(chǎn)g”M"小1”取Q+k28用。）一尸（幻打尸（石）一尸之門51一夕5淚）一h>-2」即有限⑴-F（x）|<25時結(jié)論得證.4.5設(shè)隨機變量序列閻同時依概率收斂于隨瞰型與周證明這時必有抬7）7證：對任意的日證：對任意的日,。有>_一2即時任意的”。有噬一*3=。威立，于是有1MT麗仙用F("辦二1MT麗仙用F("辦二FUh*EM從而打"制二】成立，結(jié)論得證，45設(shè)隨機變量序列閔，配）分別廨收斂于隨機變量看以證聊（1）品+%—+,（？）3飛*^~^叼*之一~2）—30*理一3co2)即盤+%—6+可成立，（fX/M-]^（2）先證明這時勢有磨―丁，對任給的仆°石>。取亂足夠大〔訝'I使有々眼:"丁下"成立，對取定的破，存在叫當唾,-晶世尸似r注目<豈―拜,"時有I成立這時有取?+曰>"）"以7|+"卜聞=Hfe?-4|+|24|>^）n（41-4|<ll|+P（（|；1-j|+|2f|>j/）nai-4|>1））EFQ2小加7+FQ金—ERIk2。從而有產(chǎn)（|歐-于的e）=尸（|荔一尋|虞+尋之月=p（（|備一eII盤+￡4=cq0+/■,）｝+產(chǎn)w盤一昌|a+e心月c（I女+4|>M））MP（］或一J|N焉）+尸（|荔|>M）<3J由的任意性知公—J”,同理可證琮7由前述（1）有2盤%=（￡