第二章數(shù)學(xué)(shùxué)與人的開展第一頁，共五十四頁。第二章數(shù)學(xué)(shùxué)與人的開展第一頁，共五十四頁。人的開展(kāizhǎn)有兩層含義一是指身體的開展(kāizhǎn)；二是指心理的開展。第二頁，共五十四頁。人的開展(kāizhǎn)有兩層含義一是指身體的開展(kāi決定人開展(kāizhǎn)的因素遺傳因素環(huán)境因素教育因素個體(gètǐ)主觀能動性

第三頁，共五十四頁。決定人開展(kāizhǎn)的因素遺傳因素第三“數(shù)學(xué)(shùxué)使人聰穎、數(shù)學(xué)(shùxué)使人嚴(yán)謹(jǐn)、數(shù)學(xué)(shùxué)使人深刻、數(shù)學(xué)(shùxué)使人縝密、數(shù)學(xué)(shùxué)使人堅毅、數(shù)學(xué)(shùxué)使人勇敢、數(shù)學(xué)(shùxué)使人正直、數(shù)學(xué)(shùxué)使人美麗。〞———開普勒(Kepler)第四頁，共五十四頁。“數(shù)學(xué)(shùxué)使人聰穎、數(shù)學(xué)(通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練(xùnliàn)，可以使學(xué)生樹立明確的數(shù)量觀念，“胸中有數(shù)〞，認(rèn)真地注意事物的數(shù)量方面及其變化規(guī)律。提高學(xué)生的邏輯思維能力，使他們思路清晰，條理清楚，有條不紊地處理頭緒紛繁的各項工作。

第五頁，共五十四頁。通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練(xùnliàn)，可以使學(xué)生樹立明確的數(shù)量觀數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)要求每一個正負(fù)號、每一個小數(shù)點都不能模糊敷衍，有助于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)和習(xí)慣。數(shù)學(xué)上追求的是最有用〔廣泛〕的結(jié)論、最低的條件〔代價〕以及最簡明的證明，可以使學(xué)生形成(xíngchéng)精益求精的風(fēng)格，凡事力求盡善盡美。第六頁，共五十四頁。數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)要求每一個正負(fù)號、每一個小數(shù)點都不能模糊敷衍，有通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生和開展的淵源和過程，了解和領(lǐng)會由實際需要出發(fā)、到建立數(shù)學(xué)模型、再到解決實際問題的全過程，提高他們運用數(shù)學(xué)知識處理現(xiàn)實世界中各種復(fù)雜問題的意識、信念和能力(nénglì)。通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，可以使學(xué)生增強拼搏精神和應(yīng)變能力，能通過不斷分析矛盾，從外表上一團亂麻的困難局面中理出頭緒，最終解決問題。第七頁，共五十四頁。通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生和開展的可以調(diào)動學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造力，使他們更加靈活和主動，在改善所學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)論、改進證明的思路和方法、發(fā)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域或結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系、拓展數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用范圍以及解決現(xiàn)實問題等方面，逐步顯露出自己的聰明才智。使學(xué)生具有某種數(shù)學(xué)上的直覺和想象力，包括幾何直觀能力，能夠根據(jù)所面對的問題的本質(zhì)或特點，八九不離十地估計到可能的結(jié)論，為實際的需要提供借鑒(jièjiàn)?！獢?shù)學(xué)家李大潛院士第八頁，共五十四頁?？梢哉{(diào)動學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造力，使他們更加靈活和主動，在改善

一、訓(xùn)練(xùnliàn)人的思維數(shù)學(xué)素有“訓(xùn)練(xùnliàn)思維體操〞的美稱。它在訓(xùn)練(xùnliàn)人的思維方面有著其他學(xué)科所不可替代的獨特作用。第九頁，共五十四頁。一、訓(xùn)練(xùnliàn)人的思維(一)思維(sīwéi)與數(shù)學(xué)思維(sīwéi)思維是人腦對客觀事物的本質(zhì)屬性和事物內(nèi)在聯(lián)系的概括和間接的反映(fǎnyìng)。思維是智力的核心。思維有兩個最顯著的特征，一是概括性，二是間接性。第十頁，共五十四頁。(一)思維(sīwéi)與數(shù)學(xué)思維(sī數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對象，以數(shù)學(xué)語言和符號為載體，并以認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的(mùdì)的一種思維。數(shù)學(xué)思維主要具有概括性、整體性、相似性和問題性等特點。第十一頁，共五十四頁。數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對象，以數(shù)學(xué)語言和符1.求以下(yǐxià)圖中兩個正方形蓋住的面積。思維(sīwéi)的概括性舉例3212.某班有15個學(xué)生(xuésheng)有哥哥，9個學(xué)生(xuésheng)有姐姐，有哥哥又有姐姐的學(xué)生(xuésheng)有3個，問全班有哥哥或有姐姐的學(xué)生(xuésheng)共有多少個？第十二頁，共五十四頁。1.求以下(yǐxià)圖中兩個正方形蓋住的面積。(二)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的分類1數(shù)學(xué)思維方式按照思維活動的形式可以分成邏輯思維(luójísīwéi)、形象思維和直覺思維三類。邏輯思維的根本形式——概念、判斷、推理。形象思維的根本形式——表象、直感、想象。直覺思維的根本形式——直覺、靈感(頓悟)。第十三頁，共五十四頁。(二)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的分類1數(shù)學(xué)思

例：雞兔同籠，共有(ɡònɡyǒu)頭14只，足34條，雞兔各幾只？第十四頁，共五十四頁。例：雞兔同籠，共有(ɡònɡyǒu)頭1

例：父子兩人上班(shàngbān)，父親要走40分，兒子要走30分，父先走5分后，兒子多少分鐘追上父？第十五頁，共五十四頁。例：父子兩人上班(shàngbān)，父

例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的兩棵大樹間同時相向而行，白兔每秒鐘跳6m，黑兔每秒鐘跳4m。一只小花狗與白兔同時前進，每秒鐘跑10m。小花狗為了表示(biǎoshì)對兩只兔子都很親熱，因此當(dāng)它遇到黑兔時，馬上折回去迎接白兔；遇到白兔時，又迅速折回去迎接黑兔；這樣小花狗在白兔與黑兔之間來回奔跑，直到白兔與黑兔相遇。問小花狗來回奔跑了多少路？第十六頁，共五十四頁。例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的兩棵(二)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的分類2數(shù)學(xué)思維方式按照思維指向可以分成集中思維和發(fā)散思維兩類。集中思維又叫聚合思維、求同思維、收斂思維。定向思維(正向思維)和縱向思維是集中思維的兩種重要形式。發(fā)散思維又叫求異思維、分散(fēnsàn)思維、輻射思維。逆向思維和多向思維是發(fā)散思維的兩種重要形式。第十七頁，共五十四頁。(二)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的分類2數(shù)學(xué)思維方式

例：小華家離學(xué)校有800米遠(yuǎn)，小明(xiǎomínɡ)家離學(xué)校有500米遠(yuǎn)。問小華和小明(xiǎomínɡ)的家相隔多遠(yuǎn)？第十八頁，共五十四頁。例：小華家離學(xué)校有800米遠(yuǎn)，小明(xiǎo

例：對代數(shù)式3a作出解釋(jiěshì)。

說明：如葡萄的價格是3元/千克，買a千克的葡萄需3a元；或正三角形的邊長為a，這個三角形的周長是3a。第十九頁，共五十四頁。例：對代數(shù)式3a作出解釋(jiěshì)。第(二)數(shù)學(xué)(shùxué)思維的分類3數(shù)學(xué)思維方式按照智力品質(zhì)(pǐnzhì)可以分成再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維兩類。再現(xiàn)性思維是運用已獲得的知識和經(jīng)驗，按現(xiàn)成的方案和程序，用慣用的方法、固定的模式來解決問題的思維方式。創(chuàng)造性思維是指以新穎、獨創(chuàng)的方式來解決問題的思維，是在已有的知識和經(jīng)驗的根底上，對問題找出新答案、發(fā)現(xiàn)新關(guān)系或創(chuàng)造新方法的思維。第二十頁，共五十四頁。(二)數(shù)學(xué)(shùxué)思維的分類3數(shù)學(xué)思例：計算5+5+5+5+4=(1)5×4+4(按乘法意義算，屬再現(xiàn)性思維)(2)5×5-1(看到一個不存在的5，已有一點創(chuàng)造性成份了)(3)6×4(把一個“4〞分成四個“1〞，分別添加到前面的四個“5〞上，變成了四個“6〞，對信息(xìnxī)進行了整體改組，屬于創(chuàng)造性思維)第二十一頁，共五十四頁。例：計算5+5+5+5+4=第二十一頁，

例：長30cm，寬20cm的長方形鐵皮(tiěpí)做成深5cm的無蓋長方體鐵盒(焊接處不計)，求長方體鐵盒的容積。第二十二頁，共五十四頁。例：長30cm，寬20cm的長方形鐵皮(t(三)數(shù)學(xué)思維的一般(yībān)方法第二十三頁，共五十四頁。(三)數(shù)學(xué)思維的一般(yībān)方法第二十三頁，

有趣(yǒuqù)的練習(xí)7+9×9=6+9×98=5+9×987=4+9×9876=3+9×98765=2+9×987654=1.請同學(xué)們做好前面三道題；2.從這三道題中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？3.不用計算，你能寫出后面(hòumian)三道題的結(jié)果嗎？4.你還能寫出這樣的算式嗎？第二十四頁，共五十四頁。有趣(yǒuqù)的練習(xí)7+9×9=1.請同學(xué)們做好前(四)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的一般方法觀察與實驗比較與分類分析與綜合抽象與概括歸納(guīnà)與猜測類比與聯(lián)想第二十五頁，共五十四頁。(四)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的一般方法觀察與實

觀察(guānchá)與實驗觀察是人們對周圍事物和現(xiàn)象，在其自然條件(tiáojiàn)下，按照事物或現(xiàn)象的本身面目，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系的一種方法。實驗?zāi)敲词侨藗兏鶕?jù)一定的研究目的，人為地創(chuàng)設(shè)條件，控制和模擬客觀對象，在有利的條件下獲取資料的研究方法。第二十六頁，共五十四頁。

觀察(guānchá)與實驗觀察是人

比較(bǐjiào)與分類比較，是確定有關(guān)事物共同點和不同點的思維(sīwéi)方法。分類是以比較為根底，按照事物間性質(zhì)的異同，將相同性質(zhì)的對象歸入一類，不同性質(zhì)的對象歸入不同類別的思維方法。第二十七頁，共五十四頁。

比較(bǐj分析(fēnxī)與綜合

分析，是指把所研究或思維的數(shù)學(xué)(shùxué)對象的整體分成各個局部、方面、因素和層次，并分別對它們進行研究、考察、探究等的思維方法。綜合，是指把已有的關(guān)于研究對象的各個局部、方面、因素和層次等認(rèn)識聯(lián)結(jié)起來，形成對研究對象的統(tǒng)一的整體性認(rèn)識的思維方法。第二十八頁，共五十四頁。分析(fēnxī)與綜合

分析抽象(chōuxiàng)與概括抽象，是從假設(shè)干事物中，抽取其共同的本質(zhì)屬性，舍棄其非本質(zhì)屬性的思維方法(fāngfǎ)。概括，是把抽象出來的假設(shè)干事物的共同屬性聯(lián)結(jié)起來并推廣到同一類事物中去的思維方法。第二十九頁，共五十四頁。抽象(chōuxiàng)與概括抽象，是從歸納(guīnà)與猜測歸納是通過對同類事物(shìwù)中的假設(shè)干特殊情況的分析得出此類事物(shìwù)的一般性結(jié)論的思維方法。猜測是指人們根據(jù)某些事實和知識作出某種未經(jīng)證實的預(yù)測性推斷的思維方法。歸納與猜測可以導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)。第三十頁，共五十四頁。歸納(guīnà)與猜測歸納是通過對同類事物類比(lèibǐ)與聯(lián)想類比是根據(jù)兩個對象或兩類事物間存在著的某些(mǒuxiē)相同或相似屬性，推斷出它們的其它屬性也可能相同或相似的思維方法。聯(lián)想是由當(dāng)前感知或思考的事物，想到與其相關(guān)聯(lián)的另一個事物的思維方法。第三十一頁，共五十四頁。類比(lèibǐ)與聯(lián)想類比是根據(jù)兩個對(五)數(shù)學(xué)(shùxué)思維的品質(zhì)思維(sīwéi)的深刻性思維的靈活性思維的敏捷性思維的獨創(chuàng)性思維的批判性第三十二頁，共五十四頁。(五)數(shù)學(xué)(shùxué)思維的品質(zhì)思維(sīwé思維(sīwéi)的深刻性

是指思維活動的抽象程度和邏輯水平。數(shù)學(xué)思維的深刻性有如下特征：1．善于洞察數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)；2．善于把握數(shù)學(xué)知識的背景；3．善于認(rèn)識數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)及知識間的相互關(guān)系；4．善于揭示數(shù)學(xué)材料的思想、方法、原理、一般模式(móshì)；5．善于掌握數(shù)學(xué)材料間的邏輯結(jié)構(gòu)，形成恰當(dāng)?shù)耐评砗妥鞒稣_的推斷與猜測。第三十三頁，共五十四頁。思維(sīwéi)的深刻性

是思維(sīwéi)的靈活性

是指思維活動的靈活程度。數(shù)學(xué)思維的靈活性具有以下特征：1．善于從不同的角度思考問題；2.善于用不同的方法解決問題。3．善于隨機應(yīng)變，把問題加以(jiāyǐ)轉(zhuǎn)化。第三十四頁，共五十四頁。思維(sīwéi)的靈活性是指思維(sīwéi)的敏捷性是指思維活動的反響速度和熟練程度。數(shù)學(xué)思維的敏捷性有如下特征：1．在遇到新問題時，能迅速作出反響，進行有根有據(jù)、條理清楚地思考。2.在解題過程中，能較快地辨明解題思路，找到解題途徑。3.在遇到困難時，能迅速轉(zhuǎn)換思考方向(fāngxiàng)，另辟蹊徑。4.在解決數(shù)學(xué)問題時，善于一下抓住問題的本質(zhì)，使問題迎刃而解。第三十五頁，共五十四頁。思維(sīwéi)的敏捷性是指思維思維(sīwéi)的獨創(chuàng)性是指思維活動的創(chuàng)新程度。數(shù)學(xué)思維的獨創(chuàng)性具有如下特征：1．具有較強的個性特點；2．善于獨立思考、分析、綜合，找出數(shù)學(xué)問題的主要特性；3．善于通過觀察、類比、歸納，作出猜測；4．善于獨辟蹊徑，從方法上創(chuàng)新；5．善于通過(tōngguò)思維而獲得新穎的思維成果。第三十六頁，共五十四頁。思維(sīwéi)的獨創(chuàng)性思維(sīwéi)的批判性

是指思維活動中獨立分析(fēnxī)和批判的程度。數(shù)學(xué)思維的批判性具有以下特征：1．善于洞察解題過程中出現(xiàn)的錯誤與漏洞，并能對思維過程作出正確的評價。2．善于對已有的數(shù)學(xué)結(jié)果提出自己的看法。3.善于舉出反例，批判錯解。第三十七頁，共五十四頁。思維(sīwéi)的批判性

是指思維活動二、陶冶(táoyě)人的情操學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要情感投入,又可陶冶情操。數(shù)學(xué)中充滿美，絢麗多姿而又深邃含蓄的數(shù)學(xué)美給人們以精神享受，從而(cóngér)激發(fā)起學(xué)習(xí)研究的興趣，吸引著人們的注意力。第三十八頁，共五十四頁。二、陶冶(táoyě)人的情操學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要情感投入,

數(shù)學(xué)(shùxué)美及其特點音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上(yǐshàng)的一切。

——克萊因(Klein)第三十九頁，共五十四頁。數(shù)學(xué)(shùxué)美及其特點數(shù)學(xué)(shùxué)美及其特點統(tǒng)一性簡單(jiǎndān)性對稱性整齊性不變性恰當(dāng)性奇異性第四十頁，共五十四頁。數(shù)學(xué)(shùxué)美及其特點統(tǒng)一性第四

統(tǒng)一性所謂統(tǒng)一性，就是局部與局部、局部與整體之間的協(xié)調(diào)一致。在數(shù)學(xué)中，許多概念、公式、法那么，特別一些數(shù)學(xué)分支的誕生，以及近代(jìndài)數(shù)學(xué)中的重大成果都表達出數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。第四十一頁，共五十四頁。統(tǒng)一性所謂統(tǒng)一性，就是簡單(jiǎndān)性與統(tǒng)一性相聯(lián)系的是簡單性。數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的目的之一，就是盡可能地用簡單而根本的數(shù)學(xué)語言去描述世界，解釋世界。數(shù)學(xué)家對于數(shù)學(xué)簡單美的追求，是促進(cùjìn)數(shù)學(xué)開展的動力之一。第四十二頁，共五十四頁。簡單(jiǎndān)

對稱性在客觀世界中，對稱的形式是很多的。事物的對稱形式，能給人以審美的愉悅。在數(shù)學(xué)的開展中，由于對對稱美的追求與實際需要相結(jié)合，從而可引出新的概念(gàiniàn)和新的理論。第四十三頁，共五十四頁。對稱性在客觀世界中

整齊(zhěngqí)性所謂數(shù)學(xué)(shùxué)的整齊美是指各個數(shù)學(xué)(shùxué)符號按相同方式排列，同一形狀的一致的重復(fù)。對數(shù)學(xué)整齊美的追求，可以獲得新的數(shù)學(xué)成果。第四十四頁，共五十四頁。整齊(zhěngqí

不變性不變性也是一種美。在一個(yīɡè)數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，那些變化中的不變量和不變關(guān)系常常表現(xiàn)出美的神韻。第四十五頁，共五十四頁。不變性不變性也是一

恰當(dāng)(qiàdàng)性恰當(dāng)性也呈現(xiàn)一種數(shù)學(xué)美。在日常生活中，有些事物表現(xiàn)(biǎoxiàn)出數(shù)量上的適度，即我們常說的不多不少、正好，往往給人以美的愉悅。數(shù)學(xué)家追求最正確估計、最正確逼近、最優(yōu)值等都是數(shù)學(xué)美的恰當(dāng)性的表達。

第四十六頁，共五十四頁。恰當(dāng)(qiàdàng

奇異(qíyì)性在數(shù)學(xué)(shùxué)中出現(xiàn)一種新而不平常的關(guān)系結(jié)構(gòu)，能在人們的想象中誘發(fā)一種樂趣，在人們心靈深處產(chǎn)生出一種愉悅的驚奇，這就是數(shù)學(xué)(shùxué)美的奇異性。數(shù)學(xué)的開展就象精彩故事一樣地波瀾壯闊，此起彼伏，扣人心弦，令人陶醉。既在情理之中，又在意料之外，是和諧與奇異的統(tǒng)一體。第四十七頁，共五十四頁。奇異(qíyì)性在三、健全人的心理(xīnlǐ)

心理素質(zhì)是適應(yīng)環(huán)境、贏得學(xué)習(xí)和生活成功的必要條件，它在人的素質(zhì)形成(xíngchéng)中起著調(diào)節(jié)作用。心理健康的特征應(yīng)該包括樂觀向上，積極進取，能經(jīng)受挫折，具有耐心與恒心。第四十八頁，共五十四頁。三、健全人的心理(xīnlǐ)心理素數(shù)學(xué)是一門充滿神秘與奇趣的學(xué)科，著名的“七橋問題〞、“四色問題〞、“哥德巴赫猜測問題〞等，誘發(fā)了多少(duōshǎo)人的好奇心，激活了人們無盡的智慧。第四十九頁，共五十四頁。數(shù)學(xué)是一門充滿神秘與奇趣的學(xué)科，著名的“七橋問題數(shù)學(xué)的抽象性使得數(shù)學(xué)問題的解決經(jīng)常伴隨著困難；會使學(xué)生體驗挫折和失敗。而這正是磨煉意志，提高耐挫力的時機，愈挫愈奮、百折不撓的良好心理素質(zhì)不會(bùhuì)在一帆風(fēng)順中形成。第五十頁，共五十四頁。數(shù)學(xué)的抽象性使得數(shù)學(xué)問題的解決經(jīng)常伴隨數(shù)學(xué)高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較其它學(xué)科的學(xué)習(xí)困難更大。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要有堅強的毅力和堅決(jiānjué)的意志,需要聚精會神,需要學(xué)習(xí)者具有良好的心理素質(zhì),又可培養(yǎng)良好的心理素質(zhì)。第五十一頁，共五十四頁。數(shù)學(xué)高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?使數(shù)

四、完善(wánshàn)人格品質(zhì)數(shù)學(xué)教人老實和正直。經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人，能夠養(yǎng)成一種獨立思考而又客觀公正的品格。受過良好(liánghǎo)數(shù)學(xué)教育的人，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練中所形成的品質(zhì)，會對其工作產(chǎn)生積極影響。第五十二頁，共五十四頁。四、完善(wánshàn)人格品質(zhì)數(shù)學(xué)教人老實和六、思考題：1．試計算一系連續(xù)自然數(shù)的立方和，然后歸納猜測有什么結(jié)論。2．通過實際計算，觀察、歸納猜測要用多少個平方數(shù)來表示任何一個自然數(shù)。3、什么是數(shù)學(xué)思維(sīwéi)？數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的根本類型有哪些？4、如何進行數(shù)學(xué)思維方式的分類，各種數(shù)學(xué)思維方式的根本特征是什么？5、試結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程對數(shù)學(xué)思維的智力品質(zhì)的特點加以說明。第五十三頁，共五十四頁。六、思考題：第五十三頁，共五十四頁。內(nèi)容(nèiróng)總結(jié)第二章數(shù)學(xué)與人的開展?！皵?shù)學(xué)使人聰穎、數(shù)學(xué)使人嚴(yán)謹(jǐn)、數(shù)學(xué)使人深刻、數(shù)學(xué)使人縝密、數(shù)學(xué)使人堅毅、數(shù)學(xué)使人勇敢、數(shù)學(xué)使人正直、數(shù)學(xué)使人美麗。數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對象，以數(shù)學(xué)語言和符號為載體，并以認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種(yīzhǒnɡ)思維。例：雞兔同籠，共有頭14只，足34條，雞兔各幾只。例：計算5+5+5+5+4=。(2)5×5-1(看到一個不存在的5，已有一點創(chuàng)造性成份了)第五十四頁，共五十四頁。內(nèi)容(nèiróng)總結(jié)第二章數(shù)學(xué)與人的開展?！皵?shù)學(xué)使第二章數(shù)學(xué)(shùxué)與人的開展第一頁，共五十四頁。第二章數(shù)學(xué)(shùxué)與人的開展第一頁，共五十四頁。人的開展(kāizhǎn)有兩層含義一是指身體的開展(kāizhǎn)；二是指心理的開展。第二頁，共五十四頁。人的開展(kāizhǎn)有兩層含義一是指身體的開展(kāi決定人開展(kāizhǎn)的因素遺傳因素環(huán)境因素教育因素個體(gètǐ)主觀能動性

第三頁，共五十四頁。決定人開展(kāizhǎn)的因素遺傳因素第三“數(shù)學(xué)(shùxué)使人聰穎、數(shù)學(xué)(shùxué)使人嚴(yán)謹(jǐn)、數(shù)學(xué)(shùxué)使人深刻、數(shù)學(xué)(shùxué)使人縝密、數(shù)學(xué)(shùxué)使人堅毅、數(shù)學(xué)(shùxué)使人勇敢、數(shù)學(xué)(shùxué)使人正直、數(shù)學(xué)(shùxué)使人美麗。〞———開普勒(Kepler)第四頁，共五十四頁?！皵?shù)學(xué)(shùxué)使人聰穎、數(shù)學(xué)(通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練(xùnliàn)，可以使學(xué)生樹立明確的數(shù)量觀念，“胸中有數(shù)〞，認(rèn)真地注意事物的數(shù)量方面及其變化規(guī)律。提高學(xué)生的邏輯思維能力，使他們思路清晰，條理清楚，有條不紊地處理頭緒紛繁的各項工作。

第五頁，共五十四頁。通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練(xùnliàn)，可以使學(xué)生樹立明確的數(shù)量觀數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)要求每一個正負(fù)號、每一個小數(shù)點都不能模糊敷衍，有助于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)和習(xí)慣。數(shù)學(xué)上追求的是最有用〔廣泛〕的結(jié)論、最低的條件〔代價〕以及最簡明的證明，可以使學(xué)生形成(xíngchéng)精益求精的風(fēng)格，凡事力求盡善盡美。第六頁，共五十四頁。數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)要求每一個正負(fù)號、每一個小數(shù)點都不能模糊敷衍，有通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生和開展的淵源和過程，了解和領(lǐng)會由實際需要出發(fā)、到建立數(shù)學(xué)模型、再到解決實際問題的全過程，提高他們運用數(shù)學(xué)知識處理現(xiàn)實世界中各種復(fù)雜問題的意識、信念和能力(nénglì)。通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，可以使學(xué)生增強拼搏精神和應(yīng)變能力，能通過不斷分析矛盾，從外表上一團亂麻的困難局面中理出頭緒，最終解決問題。第七頁，共五十四頁。通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生和開展的可以調(diào)動學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造力，使他們更加靈活和主動，在改善所學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)論、改進證明的思路和方法、發(fā)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域或結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系、拓展數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用范圍以及解決現(xiàn)實問題等方面，逐步顯露出自己的聰明才智。使學(xué)生具有某種數(shù)學(xué)上的直覺和想象力，包括幾何直觀能力，能夠根據(jù)所面對的問題的本質(zhì)或特點，八九不離十地估計到可能的結(jié)論，為實際的需要提供借鑒(jièjiàn)。———數(shù)學(xué)家李大潛院士第八頁，共五十四頁?？梢哉{(diào)動學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造力，使他們更加靈活和主動，在改善

一、訓(xùn)練(xùnliàn)人的思維數(shù)學(xué)素有“訓(xùn)練(xùnliàn)思維體操〞的美稱。它在訓(xùn)練(xùnliàn)人的思維方面有著其他學(xué)科所不可替代的獨特作用。第九頁，共五十四頁。一、訓(xùn)練(xùnliàn)人的思維(一)思維(sīwéi)與數(shù)學(xué)思維(sīwéi)思維是人腦對客觀事物的本質(zhì)屬性和事物內(nèi)在聯(lián)系的概括和間接的反映(fǎnyìng)。思維是智力的核心。思維有兩個最顯著的特征，一是概括性，二是間接性。第十頁，共五十四頁。(一)思維(sīwéi)與數(shù)學(xué)思維(sī數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對象，以數(shù)學(xué)語言和符號為載體，并以認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的(mùdì)的一種思維。數(shù)學(xué)思維主要具有概括性、整體性、相似性和問題性等特點。第十一頁，共五十四頁。數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對象，以數(shù)學(xué)語言和符1.求以下(yǐxià)圖中兩個正方形蓋住的面積。思維(sīwéi)的概括性舉例3212.某班有15個學(xué)生(xuésheng)有哥哥，9個學(xué)生(xuésheng)有姐姐，有哥哥又有姐姐的學(xué)生(xuésheng)有3個，問全班有哥哥或有姐姐的學(xué)生(xuésheng)共有多少個？第十二頁，共五十四頁。1.求以下(yǐxià)圖中兩個正方形蓋住的面積。(二)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的分類1數(shù)學(xué)思維方式按照思維活動的形式可以分成邏輯思維(luójísīwéi)、形象思維和直覺思維三類。邏輯思維的根本形式——概念、判斷、推理。形象思維的根本形式——表象、直感、想象。直覺思維的根本形式——直覺、靈感(頓悟)。第十三頁，共五十四頁。(二)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的分類1數(shù)學(xué)思

例：雞兔同籠，共有(ɡònɡyǒu)頭14只，足34條，雞兔各幾只？第十四頁，共五十四頁。例：雞兔同籠，共有(ɡònɡyǒu)頭1

例：父子兩人上班(shàngbān)，父親要走40分，兒子要走30分，父先走5分后，兒子多少分鐘追上父？第十五頁，共五十四頁。例：父子兩人上班(shàngbān)，父

例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的兩棵大樹間同時相向而行，白兔每秒鐘跳6m，黑兔每秒鐘跳4m。一只小花狗與白兔同時前進，每秒鐘跑10m。小花狗為了表示(biǎoshì)對兩只兔子都很親熱，因此當(dāng)它遇到黑兔時，馬上折回去迎接白兔；遇到白兔時，又迅速折回去迎接黑兔；這樣小花狗在白兔與黑兔之間來回奔跑，直到白兔與黑兔相遇。問小花狗來回奔跑了多少路？第十六頁，共五十四頁。例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的兩棵(二)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的分類2數(shù)學(xué)思維方式按照思維指向可以分成集中思維和發(fā)散思維兩類。集中思維又叫聚合思維、求同思維、收斂思維。定向思維(正向思維)和縱向思維是集中思維的兩種重要形式。發(fā)散思維又叫求異思維、分散(fēnsàn)思維、輻射思維。逆向思維和多向思維是發(fā)散思維的兩種重要形式。第十七頁，共五十四頁。(二)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的分類2數(shù)學(xué)思維方式

例：小華家離學(xué)校有800米遠(yuǎn)，小明(xiǎomínɡ)家離學(xué)校有500米遠(yuǎn)。問小華和小明(xiǎomínɡ)的家相隔多遠(yuǎn)？第十八頁，共五十四頁。例：小華家離學(xué)校有800米遠(yuǎn)，小明(xiǎo

例：對代數(shù)式3a作出解釋(jiěshì)。

說明：如葡萄的價格是3元/千克，買a千克的葡萄需3a元；或正三角形的邊長為a，這個三角形的周長是3a。第十九頁，共五十四頁。例：對代數(shù)式3a作出解釋(jiěshì)。第(二)數(shù)學(xué)(shùxué)思維的分類3數(shù)學(xué)思維方式按照智力品質(zhì)(pǐnzhì)可以分成再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維兩類。再現(xiàn)性思維是運用已獲得的知識和經(jīng)驗，按現(xiàn)成的方案和程序，用慣用的方法、固定的模式來解決問題的思維方式。創(chuàng)造性思維是指以新穎、獨創(chuàng)的方式來解決問題的思維，是在已有的知識和經(jīng)驗的根底上，對問題找出新答案、發(fā)現(xiàn)新關(guān)系或創(chuàng)造新方法的思維。第二十頁，共五十四頁。(二)數(shù)學(xué)(shùxué)思維的分類3數(shù)學(xué)思例：計算5+5+5+5+4=(1)5×4+4(按乘法意義算，屬再現(xiàn)性思維)(2)5×5-1(看到一個不存在的5，已有一點創(chuàng)造性成份了)(3)6×4(把一個“4〞分成四個“1〞，分別添加到前面的四個“5〞上，變成了四個“6〞，對信息(xìnxī)進行了整體改組，屬于創(chuàng)造性思維)第二十一頁，共五十四頁。例：計算5+5+5+5+4=第二十一頁，

例：長30cm，寬20cm的長方形鐵皮(tiěpí)做成深5cm的無蓋長方體鐵盒(焊接處不計)，求長方體鐵盒的容積。第二十二頁，共五十四頁。例：長30cm，寬20cm的長方形鐵皮(t(三)數(shù)學(xué)思維的一般(yībān)方法第二十三頁，共五十四頁。(三)數(shù)學(xué)思維的一般(yībān)方法第二十三頁，

有趣(yǒuqù)的練習(xí)7+9×9=6+9×98=5+9×987=4+9×9876=3+9×98765=2+9×987654=1.請同學(xué)們做好前面三道題；2.從這三道題中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？3.不用計算，你能寫出后面(hòumian)三道題的結(jié)果嗎？4.你還能寫出這樣的算式嗎？第二十四頁，共五十四頁。有趣(yǒuqù)的練習(xí)7+9×9=1.請同學(xué)們做好前(四)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的一般方法觀察與實驗比較與分類分析與綜合抽象與概括歸納(guīnà)與猜測類比與聯(lián)想第二十五頁，共五十四頁。(四)數(shù)學(xué)思維(sīwéi)的一般方法觀察與實

觀察(guānchá)與實驗觀察是人們對周圍事物和現(xiàn)象，在其自然條件(tiáojiàn)下，按照事物或現(xiàn)象的本身面目，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系的一種方法。實驗?zāi)敲词侨藗兏鶕?jù)一定的研究目的，人為地創(chuàng)設(shè)條件，控制和模擬客觀對象，在有利的條件下獲取資料的研究方法。第二十六頁，共五十四頁。

觀察(guānchá)與實驗觀察是人

比較(bǐjiào)與分類比較，是確定有關(guān)事物共同點和不同點的思維(sīwéi)方法。分類是以比較為根底，按照事物間性質(zhì)的異同，將相同性質(zhì)的對象歸入一類，不同性質(zhì)的對象歸入不同類別的思維方法。第二十七頁，共五十四頁。

比較(bǐj分析(fēnxī)與綜合

分析，是指把所研究或思維的數(shù)學(xué)(shùxué)對象的整體分成各個局部、方面、因素和層次，并分別對它們進行研究、考察、探究等的思維方法。綜合，是指把已有的關(guān)于研究對象的各個局部、方面、因素和層次等認(rèn)識聯(lián)結(jié)起來，形成對研究對象的統(tǒng)一的整體性認(rèn)識的思維方法。第二十八頁，共五十四頁。分析(fēnxī)與綜合

分析抽象(chōuxiàng)與概括抽象，是從假設(shè)干事物中，抽取其共同的本質(zhì)屬性，舍棄其非本質(zhì)屬性的思維方法(fāngfǎ)。概括，是把抽象出來的假設(shè)干事物的共同屬性聯(lián)結(jié)起來并推廣到同一類事物中去的思維方法。第二十九頁，共五十四頁。抽象(chōuxiàng)與概括抽象，是從歸納(guīnà)與猜測歸納是通過對同類事物(shìwù)中的假設(shè)干特殊情況的分析得出此類事物(shìwù)的一般性結(jié)論的思維方法。猜測是指人們根據(jù)某些事實和知識作出某種未經(jīng)證實的預(yù)測性推斷的思維方法。歸納與猜測可以導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)。第三十頁，共五十四頁。歸納(guīnà)與猜測歸納是通過對同類事物類比(lèibǐ)與聯(lián)想類比是根據(jù)兩個對象或兩類事物間存在著的某些(mǒuxiē)相同或相似屬性，推斷出它們的其它屬性也可能相同或相似的思維方法。聯(lián)想是由當(dāng)前感知或思考的事物，想到與其相關(guān)聯(lián)的另一個事物的思維方法。第三十一頁，共五十四頁。類比(lèibǐ)與聯(lián)想類比是根據(jù)兩個對(五)數(shù)學(xué)(shùxué)思維的品質(zhì)思維(sīwéi)的深刻性思維的靈活性思維的敏捷性思維的獨創(chuàng)性思維的批判性第三十二頁，共五十四頁。(五)數(shù)學(xué)(shùxué)思維的品質(zhì)思維(sīwé思維(sīwéi)的深刻性

是指思維活動的抽象程度和邏輯水平。數(shù)學(xué)思維的深刻性有如下特征：1．善于洞察數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)；2．善于把握數(shù)學(xué)知識的背景；3．善于認(rèn)識數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)及知識間的相互關(guān)系；4．善于揭示數(shù)學(xué)材料的思想、方法、原理、一般模式(móshì)；5．善于掌握數(shù)學(xué)材料間的邏輯結(jié)構(gòu)，形成恰當(dāng)?shù)耐评砗妥鞒稣_的推斷與猜測。第三十三頁，共五十四頁。思維(sīwéi)的深刻性

是思維(sīwéi)的靈活性

是指思維活動的靈活程度。數(shù)學(xué)思維的靈活性具有以下特征：1．善于從不同的角度思考問題；2.善于用不同的方法解決問題。3．善于隨機應(yīng)變，把問題加以(jiāyǐ)轉(zhuǎn)化。第三十四頁，共五十四頁。思維(sīwéi)的靈活性是指思維(sīwéi)的敏捷性是指思維活動的反響速度和熟練程度。數(shù)學(xué)思維的敏捷性有如下特征：1．在遇到新問題時，能迅速作出反響，進行有根有據(jù)、條理清楚地思考。2.在解題過程中，能較快地辨明解題思路，找到解題途徑。3.在遇到困難時，能迅速轉(zhuǎn)換思考方向(fāngxiàng)，另辟蹊徑。4.在解決數(shù)學(xué)問題時，善于一下抓住問題的本質(zhì)，使問題迎刃而解。第三十五頁，共五十四頁。思維(sīwéi)的敏捷性是指思維思維(sīwéi)的獨創(chuàng)性是指思維活動的創(chuàng)新程度。數(shù)學(xué)思維的獨創(chuàng)性具有如下特征：1．具有較強的個性特點；2．善于獨立思考、分析、綜合，找出數(shù)學(xué)問題的主要特性；3．善于通過觀察、類比、歸納，作出猜測；4．善于獨辟蹊徑，從方法上創(chuàng)新；5．善于通過(tōngguò)思維而獲得新穎的思維成果。第三十六頁，共五十四頁。思維(sīwéi)的獨創(chuàng)性思維(sīwéi)的批判性

是指思維活動中獨立分析(fēnxī)和批判的程度。數(shù)學(xué)思維的批判性具有以下特征：1．善于洞察解題過程中出現(xiàn)的錯誤與漏洞，并能對思維過程作出正確的評價。2．善于對已有的數(shù)學(xué)結(jié)果提出自己的看法。3.善于舉出反例，批判錯解。第三十七頁，共五十四頁。思維(sīwéi)的批判性

是指思維活動二、陶冶(táoyě)人的情操學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要情感投入,又可陶冶情操。數(shù)學(xué)中充滿美，絢麗多姿而又深邃含蓄的數(shù)學(xué)美給人們以精神享受，從而(cóngér)激發(fā)起學(xué)習(xí)研究的興趣，吸引著人們的注意力。第三十八頁，共五十四頁。二、陶冶(táoyě)人的情操學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要情感投入,

數(shù)學(xué)(shùxué)美及其特點音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上(yǐshàng)的一切。

——克萊因(Klein)第三十九頁，共五十四頁。數(shù)學(xué)(shùxué)美及其特點數(shù)學(xué)(shùxué)美及其特點統(tǒng)一性簡單(jiǎndān)性對稱性整齊性不變性恰當(dāng)性奇異性第四十頁，共五十四頁。數(shù)學(xué)(shùxué)美及其特點統(tǒng)一性第四

統(tǒng)一性所謂統(tǒng)一性，就是局部與局部、局部與整體之間的協(xié)調(diào)一致。在數(shù)學(xué)中，許多概念、公式、法那么，特別一些數(shù)學(xué)分支的誕生，以及近代(jìndài)數(shù)學(xué)中的重大成果都表達出數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。第四十一頁，共五十四頁。統(tǒng)一性所謂統(tǒng)一性，就是簡單(jiǎndān)性與統(tǒng)一性相聯(lián)系的是簡單性。數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的目的之一，就是盡可能地用簡單而根本的數(shù)學(xué)語言去描述世界，解釋世界。數(shù)學(xué)家對于數(shù)學(xué)簡單美的追求，是促進(cùjìn)數(shù)學(xué)開展的動力之一。第四十二頁，共五十四頁。簡單(jiǎndān)

對稱性在客觀世界中，對稱的形式是很多的。事物的對稱形式，能給人以審美的愉悅。在數(shù)學(xué)的開展中，由于對對稱美的追求與實際需要相結(jié)合，從而可引出新的概念(gàiniàn)和新的理論。第四十三頁，共五十四頁。對稱性在客觀世界中

整齊(zhěngqí)性所謂數(shù)學(xué)(shùxué)的整齊美是指各個數(shù)學(xué)(shùxué)符號按相同方式排列，同一形狀的一致的重復(fù)。對數(shù)學(xué)整齊美的追求，可以獲得新