操作探究型問(wèn)題操作探究型問(wèn)題1第41講┃操作探究型問(wèn)題操作探究型問(wèn)題是通過(guò)動(dòng)手測(cè)量、作圖(象)、取值、計(jì)算等實(shí)驗(yàn)，猜測(cè)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的研究性活動(dòng)，這類活動(dòng)完全模擬以動(dòng)手為根底的手腦結(jié)合的科學(xué)研究形式，需要?jiǎng)邮植僮?、合理猜測(cè)和驗(yàn)證．常見(jiàn)類型：(1)操作設(shè)計(jì)問(wèn)題；(2)圖形剪拼；(3)操作探究；(4)數(shù)學(xué)建模．解題策略：運(yùn)用觀察，操作，聯(lián)想，推理，概括等多種方法．第41講┃操作探究型問(wèn)題操作探究型問(wèn)題是通過(guò)動(dòng)2第41講┃操作探究型問(wèn)題例1[2021·北京]閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖41－1①所示，在邊長(zhǎng)為a(a>2)的正方形ABCD各邊上分別截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，當(dāng)∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積．探究一折疊剪拼操作探究型問(wèn)題圖41－1第41講┃操作探究型問(wèn)題例1[2021·北京]閱讀下面3第41講┃操作探究型問(wèn)題小明發(fā)現(xiàn)：分別延長(zhǎng)QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形(如圖41－1②)．請(qǐng)答復(fù)：(1)假設(shè)將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形(無(wú)縫隙，不重疊)，那么這個(gè)新的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______；(2)求正方形MNPQ的面積；a

第41講┃操作探究型問(wèn)題小明發(fā)現(xiàn)：分別延長(zhǎng)QE，MF，NG，4第41講┃操作探究型問(wèn)題圖41－2

第41講┃操作探究型問(wèn)題圖41－25第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析(1)△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形，拼成一個(gè)新的正方形怎么拼？邊長(zhǎng)多少？動(dòng)手試試．(2)要求正方形MNPQ的面積，可以利用轉(zhuǎn)化思想，外面的4個(gè)小三角形的面積和恰好等于正方形MNPQ的面積．(3)依圖41－1②的作法補(bǔ)全圖41－2，外面的三個(gè)“尖角三角形〞的面積之和恰為陰影三角形的面積！第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析6第41講┃操作探究型問(wèn)題解題方法點(diǎn)析此類問(wèn)題按照要求把一個(gè)圖形先分成假設(shè)干塊，然后拼接成一個(gè)符合條件的圖形，常常利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換進(jìn)行作圖．第41講┃操作探究型問(wèn)題解題方法點(diǎn)析7第41講┃操作探究型問(wèn)題第41講┃操作探究型問(wèn)題8第41講┃操作探究型問(wèn)題提示：模仿小明的操作，向正三角形外面補(bǔ)出三個(gè)“尖角三角形〞，如以下圖．這樣，外面的三個(gè)“尖角三角形〞的面積之和恰為陰影三角形的面積！第41講┃操作探究型問(wèn)題提示：模仿小明的操作，向正三角形外面9第41講┃操作探究型問(wèn)題例2[2021·陜西]問(wèn)題探究(1)請(qǐng)?jiān)趫D①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；(2)如圖②，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D②中作出兩條直線(要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M)，使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說(shuō)明理由．探究二中心對(duì)稱操作探究問(wèn)題圖41－3第41講┃操作探究型問(wèn)題例2[2021·陜西]問(wèn)題10第41講┃操作探究型問(wèn)題問(wèn)題解決(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩局部？假設(shè)存在，求出BQ的長(zhǎng)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．第41講┃操作探究型問(wèn)題問(wèn)題解決11第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析(1)如何利用一條直線把一個(gè)圓分成兩個(gè)面積相等的局部？利用兩條直線如何把一個(gè)圓分成四個(gè)相等的局部呢？利用了圓的什么性質(zhì)？(2)利用兩條直線如何把一個(gè)正方形分成四個(gè)相等的局部呢？利用了正方形的什么性質(zhì)？如果正方形內(nèi)有一點(diǎn)M，要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M，如何分割呢？(3)把正方形改為菱形呢？解題方法點(diǎn)析平行四邊形，矩形，菱形都是中心對(duì)稱圖形．過(guò)對(duì)稱中心的每一條直線都把這些圖形分成兩個(gè)全等的圖形．第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析12第41講┃操作探究型問(wèn)題(1)如下圖．(2)如圖，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，那么直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分．理由如下：解

第41講┃操作探究型問(wèn)題(1)如下圖．(2)如圖，連接AC、13第41講┃操作探究型問(wèn)題第41講┃操作探究型問(wèn)題14第41講┃操作探究型問(wèn)題第41講┃操作探究型問(wèn)題15第41講┃操作探究型問(wèn)題第41講┃操作探究型問(wèn)題16第41講┃操作探究型問(wèn)題例3[2021·山西改編]數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊局部的面積．問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖41－4，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G.求重疊局部(△DCG)的面積．探究三平移旋轉(zhuǎn)操作探究問(wèn)題圖41－4第41講┃操作探究型問(wèn)題例3[2021·山西改編17第41講┃操作探究型問(wèn)題求重疊局部(△DCG)的面積．(1)獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；(2)合作交流：“希望〞小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖41－5，你能求出重疊局部(△DGH)的面積嗎？請(qǐng)寫出解答過(guò)程．圖41－5第41講┃操作探究型問(wèn)題求重疊局部(△DCG)的面積．圖4118第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析(1)為求△DCG的面積，需要研究該三角形的邊角的特征；(2)當(dāng)將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，此時(shí)G點(diǎn)是AH的中點(diǎn)嗎？△DGH的面積與△DAH的面積之間是倍分關(guān)系嗎？解題方法點(diǎn)析此類問(wèn)題通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等動(dòng)態(tài)過(guò)程創(chuàng)立了一個(gè)探究問(wèn)題的情景和一個(gè)思維空間．解答中常常需要分類討論、自主探究、表達(dá)推理．關(guān)鍵是掌握好平移前后，旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等形．平移前后，每一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)的方向相同、距離相等；旋轉(zhuǎn)前后圖形上每一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度都相同．第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析19第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析(1)為求△DCG的面積，需要研究該三角形的邊角的特征；(2)當(dāng)將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，此時(shí)G點(diǎn)是AH的中點(diǎn)嗎？△DGH的面積與△DAH的面積之間是倍分關(guān)系嗎？解題方法點(diǎn)析此類問(wèn)題通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等動(dòng)態(tài)過(guò)程創(chuàng)立了一個(gè)探究問(wèn)題的情景和一個(gè)思維空間．解答中常常需要分類討論、自主探究、表達(dá)推理．關(guān)鍵是掌握好平移前后，旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等形．平移前后，每一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)的方向相同、距離相等；旋轉(zhuǎn)前后圖形上每一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度都相同．第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析20第41講┃操作探究型問(wèn)題解

第41講┃操作探究型問(wèn)題解21第41講┃操作探究型問(wèn)題第41講┃操作探究型問(wèn)題22第41講┃操作探究型問(wèn)題第41講┃操作探究型問(wèn)題23操作探究型問(wèn)題操作探究型問(wèn)題24第41講┃操作探究型問(wèn)題操作探究型問(wèn)題是通過(guò)動(dòng)手測(cè)量、作圖(象)、取值、計(jì)算等實(shí)驗(yàn)，猜測(cè)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的研究性活動(dòng)，這類活動(dòng)完全模擬以動(dòng)手為根底的手腦結(jié)合的科學(xué)研究形式，需要?jiǎng)邮植僮鳌⒑侠聿聹y(cè)和驗(yàn)證．常見(jiàn)類型：(1)操作設(shè)計(jì)問(wèn)題；(2)圖形剪拼；(3)操作探究；(4)數(shù)學(xué)建模．解題策略：運(yùn)用觀察，操作，聯(lián)想，推理，概括等多種方法．第41講┃操作探究型問(wèn)題操作探究型問(wèn)題是通過(guò)動(dòng)25第41講┃操作探究型問(wèn)題例1[2021·北京]閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖41－1①所示，在邊長(zhǎng)為a(a>2)的正方形ABCD各邊上分別截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，當(dāng)∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積．探究一折疊剪拼操作探究型問(wèn)題圖41－1第41講┃操作探究型問(wèn)題例1[2021·北京]閱讀下面26第41講┃操作探究型問(wèn)題小明發(fā)現(xiàn)：分別延長(zhǎng)QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形(如圖41－1②)．請(qǐng)答復(fù)：(1)假設(shè)將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形(無(wú)縫隙，不重疊)，那么這個(gè)新的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______；(2)求正方形MNPQ的面積；a

第41講┃操作探究型問(wèn)題小明發(fā)現(xiàn)：分別延長(zhǎng)QE，MF，NG，27第41講┃操作探究型問(wèn)題圖41－2

第41講┃操作探究型問(wèn)題圖41－228第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析(1)△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形，拼成一個(gè)新的正方形怎么拼？邊長(zhǎng)多少？動(dòng)手試試．(2)要求正方形MNPQ的面積，可以利用轉(zhuǎn)化思想，外面的4個(gè)小三角形的面積和恰好等于正方形MNPQ的面積．(3)依圖41－1②的作法補(bǔ)全圖41－2，外面的三個(gè)“尖角三角形〞的面積之和恰為陰影三角形的面積！第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析29第41講┃操作探究型問(wèn)題解題方法點(diǎn)析此類問(wèn)題按照要求把一個(gè)圖形先分成假設(shè)干塊，然后拼接成一個(gè)符合條件的圖形，常常利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換進(jìn)行作圖．第41講┃操作探究型問(wèn)題解題方法點(diǎn)析30第41講┃操作探究型問(wèn)題第41講┃操作探究型問(wèn)題31第41講┃操作探究型問(wèn)題提示：模仿小明的操作，向正三角形外面補(bǔ)出三個(gè)“尖角三角形〞，如以下圖．這樣，外面的三個(gè)“尖角三角形〞的面積之和恰為陰影三角形的面積！第41講┃操作探究型問(wèn)題提示：模仿小明的操作，向正三角形外面32第41講┃操作探究型問(wèn)題例2[2021·陜西]問(wèn)題探究(1)請(qǐng)?jiān)趫D①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；(2)如圖②，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D②中作出兩條直線(要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M)，使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說(shuō)明理由．探究二中心對(duì)稱操作探究問(wèn)題圖41－3第41講┃操作探究型問(wèn)題例2[2021·陜西]問(wèn)題33第41講┃操作探究型問(wèn)題問(wèn)題解決(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩局部？假設(shè)存在，求出BQ的長(zhǎng)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．第41講┃操作探究型問(wèn)題問(wèn)題解決34第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析(1)如何利用一條直線把一個(gè)圓分成兩個(gè)面積相等的局部？利用兩條直線如何把一個(gè)圓分成四個(gè)相等的局部呢？利用了圓的什么性質(zhì)？(2)利用兩條直線如何把一個(gè)正方形分成四個(gè)相等的局部呢？利用了正方形的什么性質(zhì)？如果正方形內(nèi)有一點(diǎn)M，要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M，如何分割呢？(3)把正方形改為菱形呢？解題方法點(diǎn)析平行四邊形，矩形，菱形都是中心對(duì)稱圖形．過(guò)對(duì)稱中心的每一條直線都把這些圖形分成兩個(gè)全等的圖形．第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析35第41講┃操作探究型問(wèn)題(1)如下圖．(2)如圖，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，那么直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分．理由如下：解

第41講┃操作探究型問(wèn)題(1)如下圖．(2)如圖，連接AC、36第41講┃操作探究型問(wèn)題第41講┃操作探究型問(wèn)題37第41講┃操作探究型問(wèn)題第41講┃操作探究型問(wèn)題38第41講┃操作探究型問(wèn)題第41講┃操作探究型問(wèn)題39第41講┃操作探究型問(wèn)題例3[2021·山西改編]數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊局部的面積．問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖41－4，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G.求重疊局部(△DCG)的面積．探究三平移旋轉(zhuǎn)操作探究問(wèn)題圖41－4第41講┃操作探究型問(wèn)題例3[2021·山西改編40第41講┃操作探究型問(wèn)題求重疊局部(△DCG)的面積．(1)獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；(2)合作交流：“希望〞小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖41－5，你能求出重疊局部(△DGH)的面積嗎？請(qǐng)寫出解答過(guò)程．圖41－5第41講┃操作探究型問(wèn)題求重疊局部(△DCG)的面積．圖4141第41講┃操作探究型問(wèn)題例題分層分析(1)為求△D