實(shí)驗(yàn)?zāi)康挠肦生成服從某些具體已知分布的隨機(jī)變量二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容在R中各種概率函數(shù)都有統(tǒng)一的形式，即一套統(tǒng)一的前綴 +分布函名:d表示密度函數(shù)(density)；p 表示分布函數(shù)(生成相應(yīng)分布的累積概率密度函數(shù))；q表示分位數(shù)函數(shù)，能夠返回特定分布的分位( quantile)；r表示隨機(jī)函數(shù)，生成特定分布的隨機(jī)數(shù)( random)。R中的各種概率統(tǒng)計(jì)分布漢文名稱英文名稱R対應(yīng)的乳字附加參數(shù)B分布betabetashapelyshape2,nep二項(xiàng)式分布binomialbinomsize,prob柯阿分布Cauchycauchylocation,scale忖方分布匚hi-squaredchisqelf#nep指數(shù)分布exponentialexprateF分布Ffdflfdfl,nepGamma(￥)分布gammagammashape,scale幾何分布geometricgeomprob超幾何分布hypergeometrichyperm,n,k對(duì)數(shù)幣態(tài)分布log-normmlInormmeanlog,sdlogLogistic分布logisticlogisIo匚ation,scale血二項(xiàng)式分布negativebinomialribinomsize,prob正態(tài)分布normalnormmean,sd泊松分布PoissonpoislambdaWilcoxonsignedranksignranknt分布Student'sttdf#nep|均勻分布uniformunifminfmax韋伯分布Weibullweibullshape,scale怯和分布Wilcoxonwilcoxm#n1、通過均勻分布隨機(jī)數(shù)生成概率分布隨機(jī)數(shù)的方法稱為逆變換法。對(duì)于任意隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)為 F,定義其廣義逆為：F-(u)=inf{x;F(x)>u}若u~u(0,1)，貝UF-(u)和X的分布一樣

Example1如果X~Exp(1)(服從參數(shù)為u~u(0,1)，則X=-logU~Exp(1)則可以解出x=-log(1-u)1的指數(shù)分布)，F(xiàn)(x)=1-e-x。若1的指數(shù)分布)，F(xiàn)(x)=1-e-x。若u=1-e-x并且ExpfromR通過隨機(jī)數(shù)生成產(chǎn)生的分布與本身的指數(shù)分布結(jié)果相一致R代碼如下：nsim=10A4U=runif(nsim)X=-log(U)Y=rexp(nsim)X11(h=3.5)Xpar(mfrow=c(1,2),mar=c(2,2,2,2))hist(X,freq=F,main="ExpfromUniform",ylab="",xlab="",ncl=150,col="grey",xlim=c(0,8))curve(dexp(x),add=T,col="sienna",lwd=2)hist(Y,freq=F,main="ExpfromR",ylab="",xlab="",ncl=150,col="grey",xlim=c(0,8))curve(dexp(x),add=T,col="sienna",lwd=2)2、某些隨機(jī)變量可由指數(shù)分布生成。若 Xi~Exp(1)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，那么從 Xi出發(fā)可以得到以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分布Example2生成自由度為6的X分布。chisqifromExpdens?ty.default(xsYJchisqifromExpdens?ty.default(xsYJR代碼如下:nsim=10A4U=matrix(data=U,nrow=3)X=-log(U)X=2*apply(X,2,sum)Y=rchisq(nsim,df=6)par(mfrow=c(1,2),mar=c(2,2,2,2))hist(X,freq=F,main="chisqfromExp",ylab="",xlab="",ncl=150,col="grey",xlim=c(0,8))d=density(Y)plot(d)3、一種正態(tài)分布隨機(jī)變量模擬使用 Box-Muller算法得到N(0,1)隨機(jī)變量。這種方法與基于中心極限定理的近似算法相比較， Box-Muller 算法是精確的，它由兩個(gè)均勻分布產(chǎn)生兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布，其僅有的缺點(diǎn)是必須計(jì)算 log，cos，sin。具體解釋如下：如果兩個(gè)隨機(jī)變量U1,U2獨(dú)立同分布于u(0,1)，那么由此可以產(chǎn)生兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布 X1,X2。蠱i=J—蠱i=J—珈(S)cos(27rt；2).兀2=J—21隅?[)血1(加[切Example3兩次產(chǎn)生相同的 10000個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，作其中一個(gè)的概率直方圖，并添加正態(tài)分布的密度函數(shù)線。4 ^2 (? 2 4x!nsim=10A4set.seed(22)x1<-rnorm(nsim,mean=0,sd=1)set.seed(22)x2<-rnorm(nsim,mean=0,sd=1)這里的x1,x2數(shù)值完全相同。P{p(i-4、設(shè)隨機(jī)變量X的分布列P{X=Xi}=pi,記p(0)=P{X<0}=0,…，p(i)=P{X<Xi}=l：設(shè)r是［0,1］區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng) pl<r<p①時(shí)，令X=xiP{p(i-1)<r<p(i)}=p(i)-p(i-1)Example4生成二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)-50elrdJno-$-0*-3-os_g-首先生成二點(diǎn)分布>size=1;p=0.5rbinom(10,size,p)[1]1000011010接下來生成服從B(10,0.5)的二項(xiàng)分布size=10;p=0.5rbinom(5,size,p)[1]66585由此可見，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù) n的增大，二項(xiàng)分布越來越接近正態(tài)分布。R代碼如下size=1;p=0.5rbinom(10,size,p)#生成5個(gè)服從B(10，0.5)的二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)size=10;p=0.5rbinom(5,size,p)par(mfrow=c(1,3))p=0.25for(ninc(10,20,50)){x<-rbinom(100,n,p)hist(x,prob=T,main=paste("n=”,n))xvals=0:npoints(xvals,dbinom(xvals,n,p),type="h",lwd=3)}par(mfrow=c(1,1))5.服從beta分布的隨機(jī)變量的一般算法可以基于 Accept-Rejectmethod來生成，用的工具分布為均勻分布U[0,1]，假設(shè)兩個(gè)參數(shù)都大于 1(通用的rbeta函數(shù)無此約束)。上界M為beta分布密度的最大值，Example5對(duì)于a=2.7,滬6.3，最大值M=2.67，求出beta分布R代碼Nsim=2500a=2.7;b=6.3M=2.67u=runif(Nsim,max=M)y=runif(Nsim)x=y[u<dbeta(y,a,b)]這里的x服從beta分布Accept-Rejectalgorithm的幾個(gè)關(guān)鍵要點(diǎn)：僅要求比率f/M，所有算法并不依賴于正則化常數(shù)。