15/15【第4章曲線運動萬有引力與航天】第4課時萬有引力與航天考綱考情：5年29考開普勒定律(Ⅰ)萬有引力定律應用(Ⅱ)相對論簡介(Ⅰ)[基礎梳理]一、萬有引力定律1．開普勒行星運動定律(1)開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上．(2)開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積．(3)開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，表達式：eq\f(a3,T2)＝k.2．萬有引力定律(1)公式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫引力常量．(2)公式適用條件：此公式適用于質點間的相互作用．當兩物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點．均勻的球體可視為質點，r是兩球心間的距離．一個均勻球體與球外一個質點間的萬有引力也適用，其中r為球心到質點間的距離．二、宇宙速度1．第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度．推導過程為：由mg＝eq\f(mv2,R)＝eq\f(GMm,R2)得：v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s.(2)第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動時具有的速度．(3)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度．2．第二宇宙速度(脫離速度)：v2＝11.2km/s，使物體掙脫地球3．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7km/s，使物體掙脫太陽三、相對論簡介1．經典時空觀(1)在經典力學中，物體的質量是不隨速度的改變而改變的．(2)在經典力學中，同一物理過程發(fā)生的位移和對應時間的測量結果在不同的參考系中是相同的．2．相對論時空觀同一過程的位移和時間的測量與參考系有關，在不同的參考系中不同．3．經典力學有它的適用范圍只適用于低速運動，不適用于高速運動；只適用于宏觀世界，不適用于微觀世界．[小題快練]1.(2013·江蘇高考)火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據開普勒行星運動定律可知()A．太陽位于木星運行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時間內，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積[解析]太陽位于木星運行軌道的一個焦點上，A錯誤；不同的行星對應不同的運行軌道，運行速度大小也不相同，B錯誤；同一行星與太陽連線在相等時間內掃過的面積才能相同，D錯誤；由開普勒第三定律得：eq\f(r\o\al(3,火),T\o\al(2,火))＝eq\f(r\o\al(3,木),T\o\al(2,木))，故eq\f(T\o\al(2,火),T\o\al(2,木))＝eq\f(r\o\al(3,火),r\o\al(3,木))，C正確．[答案]C2．一名宇航員來到一個星球上，如果該星球的質量是地球質量的一半，它的直徑也是地球直徑的一半，那么這名宇航員在該星球上所受的萬有引力大小是它在地球上所受萬有引力的()A．0.25倍 B．0.5倍C．2.0倍 D．4.0倍[解析]由F引＝eq\f(GMm,r2)＝eq\f(\f(1,2)GM0m,\f(r0,2)2)＝eq\f(2GM0m,r\o\al(2,0))＝2F地，故C項正確．[答案]C3．一未知星體的質量是地球質量的eq\f(1,4)，直徑是地球直徑的eq\f(1,4)，則一個質量為m的人在未知星體表面的重力為(已知地球表面處的重力加速度為g)()A．16mg B．4mgC．mg D.eq\f(mg,4)[解析]在星體表面處有Geq\f(Mm,R2)＝mg，因此未知星體表面的重力加速度為4g，所以該人在未知星體表面的重力為4mg.[答案]B4．關于第一宇宙速度，下列說法正確的是()A．它是人造地球衛(wèi)星繞地球運行的最小速度B．它是近地圓形軌道上人造地球衛(wèi)星的運行速度C．它是使衛(wèi)星進入近地圓形軌道的最小發(fā)射速度D．它是衛(wèi)星在橢圓軌道上運行時在近地點的速度[解析]根據v＝eq\r(\f(GM,r))，在所有繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星中，靠近地面運行的衛(wèi)星，軌道半徑最小，所以環(huán)繞速度最大，即第一宇宙速度是最大環(huán)繞速度，同時也是把一個物體發(fā)射成為衛(wèi)星所必須具有的最小發(fā)射速度，所以選項A錯誤，選項B、C正確；當衛(wèi)星在橢圓軌道上運動時，在近地點時，它的速度最大但與第一宇宙速度無直接關系，選項D錯誤．[答案]BC考向一天體質量和密度的估算問題1．解決天體(衛(wèi)星)運動問題的基本思路(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．2．天體質量和密度的計算(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天體質量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r.①由萬有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天體質量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；②若已知天體半徑R，則天體的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．典例1(2015·江蘇單科，3)過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內，行星“51pegb”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕．“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的eq\f(1,20)，該中心恒星與太陽的質量比約為()A.eq\f(1,10) B．1C．5 D．10[解析]根據萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以恒星質量與太陽質量之比為eq\f(M恒,M太)＝eq\f(r\o\al(3,行)T\o\al(2,地),r\o\al(3,地)T\o\al(2,行))＝eq\f(83,80)≈1，故選項B正確．[答案]B天體質量及密度的估算方法[針對訓練]1．1798年，英國物理學家卡文迪許測出萬有引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質量的人．若已知萬有引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R，地球上一個晝夜的時間T1(地球自轉周期)，一年的時間T2(地球公轉周期)，地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽中心的距離L2.你能計算出()A．地球的質量m地＝eq\f(gR2,G)B．太陽的質量m太＝eq\f(4π2L\o\al(3,2),GT\o\al(2,2))C．月球的質量m月＝eq\f(4π2L\o\al(3,1),GT\o\al(2,1))D．可求月球、地球及太陽的密度[解析]對地球表面的一個物體m0來說，應有m0g＝eq\f(Gm地m0,R2)，所以地球質量m地＝eq\f(gR2,G)，選項A正確．對地球繞太陽運動來說，有eq\f(Gm太m地,L\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,T\o\al(2,2))L2，則m太＝eq\f(4π2L\o\al(3,2),GT\o\al(2,2))，B項正確．對月球繞地球運動來說，能求地球質量，不知道月球的相關參量及月球的衛(wèi)星運動參量，無法求出它的質量和密度，C、D項錯誤．[答案]AB考向二衛(wèi)星運行規(guī)律1．四個分析“四個分析”是指分析人造衛(wèi)星的加速度、線速度、角速度和周期與軌道半徑的關系．eq\f(GMm,r2)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r2))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))eq\a\vs4\al(越高,越慢)2．四個比較(1)同步衛(wèi)星的周期、軌道平面、高度、線速度、角速度繞行方向均是固定不變的，常用于無線電通信，故又稱通信衛(wèi)星．(2)極地衛(wèi)星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋．(3)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s.(4)赤道上的物體隨地球自轉而做勻速圓周運動，由萬有引力和地面支持力的合力充當向心力(或者說由萬有引力的分力充當向心力)，它的運動規(guī)律不同于衛(wèi)星，但它的周期、角速度與同步衛(wèi)星相等．典例2(2015·四川理綜，5)登上火星是人類的夢想，“嫦娥之父”歐陽自遠透露：中國計劃于2020年登陸火星．地球和火星公轉視為勻速圓周運動，忽略行星自轉影響．根據下表，火星和地球相比()行星半徑/m質量/kg軌道半徑/m地球6.4×1066.4×10241.5×1011火星3.4×1066.4×10232.3×1011A.火星的公轉周期較小B．火星做圓周運動的加速度較小C．火星表面的重力加速度較大D．火星的第一宇宙速度較大[解析]由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma知，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，軌道半徑越大，公轉周期越大，加速度越小，A錯誤，B正確；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得g＝Geq\f(M,R2)，eq\f(g地,g火)＝eq\f(M地,M火)·(eq\f(R火,R地))2＝2.6，火星表面的重力加速度較小，C錯誤；由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))，eq\f(v地,v火)＝eq\r(\f(M地,M火)·\f(R火,R地))＝eq\r(5)，火星的第一宇宙速度較小，D錯誤．[答案]BC1．黃金代換式“g＝Geq\f(M,R2)”可快速解決此類問題，但要注意的是M應為中心天體的質量．2．第一宇宙速度公式v＝eq\r(\f(GM,R))中的M亦應為中心天體的質量．[針對訓練]2．“馬航失聯(lián)”事件發(fā)生后，中國在派出水面和空中力量的同時，在第一時間緊急調動了21顆衛(wèi)星參與搜尋．“調動”衛(wèi)星的措施之一就是減小衛(wèi)星環(huán)繞地球運動的軌道半徑，降低衛(wèi)星運行的高度，以有利于發(fā)現(xiàn)地面(或海洋)目標．下面說法正確的是()A．軌道半徑減小后，衛(wèi)星的環(huán)繞速度減小B．軌道半徑減小后，衛(wèi)星的環(huán)繞速度增大C．軌道半徑減小后，衛(wèi)星的環(huán)繞周期減小D．軌道半徑減小后，衛(wèi)星的環(huán)繞周期增大[解析]由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，衛(wèi)星的環(huán)繞速度增大，B正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，所以軌道半徑減小后，衛(wèi)星的環(huán)繞周期減小，C正確．[答案]BC3．(2015·福建理綜，14)如圖，若兩顆人造衛(wèi)星a和b均繞地球做勻速圓周運動，a、b到地心O的距離分別為r1、r2，線速度大小分別為v1、v2，則()A.eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))B.eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r1,r2))C.eq\f(v1,v2)＝(eq\f(r2,r1))2D.eq\f(v1,v2)＝(eq\f(r1,r2))2[解析]由題意知，兩顆人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))，故A正確，B、C、D錯誤．[答案]A考向三衛(wèi)星變軌問題分析(1)圓軌道上的穩(wěn)定運行Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝m(eq\f(2π,T))2r(2)變軌運行分析①當v增大時，所需向心力meq\f(v2,r)增大，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，但衛(wèi)星一旦進入新的軌道運行，由v＝eq\r(\f(GM,r))知其運行速度要減小，但引力勢能、機械能均增加．②當衛(wèi)星的速度突然減小時，向心力eq\f(mv2,r)減小，即萬有引力大于衛(wèi)星所需的向心力，因此衛(wèi)星將做向心運動，同樣會脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，進入新軌道運行時由v＝eq\r(\f(GM,r))知運行速度將增大，但引力勢能、機械能均減少．(衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用了這一原理)．1．一切衛(wèi)星的軌道的圓心都與地心重合．2．地球同步衛(wèi)星的六個“一定”．(1)軌道平面一定：軌道平面與赤道面共面．(2)周期一定：與地球自轉周期相同，即T＝24h.(3)角速度一定：與地球自轉的角速度相同．(4)高度一定：離地面的高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R.(5)速率一定：v＝eq\r(\f(GM,R＋h))(6)向心加速度一定：a向＝eq\f(GM,R＋h2).典例32013年6月11日中國又成功發(fā)射了“神舟十號”飛船，飛船與“天宮一號”目標飛行器順利完成了自動和手動對接．“神舟十號”飛船與“天宮一號”目標飛行器在離地面343km的近圓形軌道上成功進行載人空間交會對接．對接軌道所處的空間存在極其稀薄的大氣．下列說法正確的是()A．為實現(xiàn)對接，兩者運行速度的大小都應介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間B．如不加干預，在運行一段時間后，“天宮一號”的動能可能會增加C．如不加干預，“天宮一號”的軌道高度將緩慢降低D．航天員在“天宮一號”中處于失重狀態(tài)，說明航天員不受地球引力作用[解題引路](1)圓軌道衛(wèi)星的運行速度與第一宇宙速度間的大小關系？(2)圓軌道運行的衛(wèi)星速度減小后做離心運動還是向心運動？[提示](1)圓軌道衛(wèi)星的運行速度小于第一宇宙速度．(2)圓軌道運行的衛(wèi)星速度減小后做向心運動．[解析]繞地球運行的飛船和“天宮一號”的速度小于第一宇宙速度，選項A錯；如不加干預，在運行一段時間后，空氣阻力對“天宮一號”做負功，使其速率減小而做向心運動，高度將緩慢降低，萬有引力又會對“天宮一號”做正功而使其動能增加，故選項B、C對；航天員在“天宮一號”中處于失重狀態(tài)是因為其重力提供向心力，并不是不受地球引力作用，所以選項D錯．[答案]BC(1)衛(wèi)星變軌時半徑的變化，要根據萬有引力與所需向心力的大小關系判斷．(2)衛(wèi)星穩(wěn)定在新軌道上的運行速度由v＝eq\r(\f(GM,r))決定．(3)衛(wèi)星通過不同軌道的同一點(切點)時的速度大小關系可根據離心或向心運動的條件分析得出．[針對訓練]4．如圖是“嫦娥三號”飛行軌道示意圖．假設“嫦娥三號”運行經過P點第一次通過近月制動使“嫦娥三號”在距離月面高度為100km的圓軌道Ⅰ上運動，再次經過P點時第二次通過近月制動使“嫦娥三號”在距離月面近地點為Q、高度為15km，遠地點為P、高度為100km的橢圓軌道Ⅱ上運動，下列說法正確的是()A．“嫦娥三號”在距離月面高度為100km的圓軌道Ⅰ上運動時速度大小可能變化B．“嫦娥三號”在距離月面高度100km的圓軌道工上運動的周期一定大于在橢圓軌道Ⅱ上運動的周期C．“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經過Q點時的加速度一定大于經過P點時的加速度D．“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經過Q點時的速度可能小于經過P點時的速度[解析]“嫦娥三號”在距離月面高度為100km的圓軌道上運動是勻速圓周運動，速度大小不變，選項A錯誤．由于圓軌道的軌道半徑大于橢圓軌道半長軸，根據開普勒定律，“嫦娥三號”在距離月面高度100km的圓軌道Ⅰ上運動的周期一定大于在橢圓軌道Ⅱ上運動的周期，選項B正確．由于在Q點“嫦娥三號”所受萬有引力大，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經過Q點時的加速度一定大于經過P點時的加速度，選項C正確．“嫦娥三號”在橢圓軌道上運動的引力勢能和動能之和保持不變，Q點的引力勢能小于P點的引力勢能，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動到Q點的動能較大，速度較大，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經過Q點時的速度一定大于經過P點時的速度，選項D錯誤．[答案]BC特色專題系列之(十四)宇宙中的雙星模型1．雙星模型(1)模型構建在天體運動中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點做周期相同的勻速圓周運動的行星稱為雙星．(2)模型條件①兩顆星彼此相距較近．②兩顆星靠相互之間的萬有引力做勻速圓周運動．③兩顆星繞同一圓心做圓周運動．(3)模型特點①“向心力等大反向”——兩顆星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分別作用在兩顆行星上，是一對作用力和反作用力．②“周期、角速度相同”——兩顆行星做勻速圓周運動的周期、角速度相等．③“半徑反比”——圓心在兩顆行星的連線上，且r1＋r2＝L，兩顆行星做勻速圓周運動的半徑與行星的質量成反比．2．三星模型系數(shù)三星系統(tǒng)(正三角形排列)三星系統(tǒng)(直線等間距排列)圖示向心力的來源另外兩星球對其萬有引力的合力另外兩星球對其萬有引力的合力范例(2013·山東卷，20)雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經過一段時間演化后，兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為()A.eq\r(\f(n3,k2))T B.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))T D.eq\r(\f(n,k))T[解析]雙星間的萬有引力提供向心力．設原來雙星間的距離為L，質量分別為M、m，圓周運動的圓心距質量為m的恒星距離為r.對質量為m的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝m(eq\f(2π,T))2·r對質量為M的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝M(eq\f(2π,T))2(L－r)得Geq\f(M＋m,L2)＝eq\f(4π2,T2)·L即T2＝eq\f(4π2L3,GM＋m)則當總質量為k(M＋m)，間距為L′＝nL時，T′＝eq\r(\f(n3,k))T，選項B正確．[答案]B我們通常研究衛(wèi)星繞地球或行星繞太陽運行問題時，衛(wèi)星到地球中心或行星到太陽中心間距與它們的軌道半徑大小是相等的，但在宇宙多星問題中，行星間距與軌道半徑是不同的，這點要引起重視．[遷移訓練]1．宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星．只受到彼此之間的萬有引力作用相互繞轉，稱之為雙星系統(tǒng)．在浩瀚的銀河系中，多數(shù)恒星都是雙星系統(tǒng)．設某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點做勻速圓周運動，如圖所示．若AO>OB，則()A．星球A的質量一定大于B的質量B．星球A的線速度一定大于B的線速度C．雙星間距離一定，雙星的質量越大，其轉動周期越大D．雙星的質量一定，雙星之間的距離越大，其轉動周期越大[解析]設雙星質量分別為mA、mB，軌道半徑分別為RA、RB，兩者間距為L，周期為T，角速度為ω，由萬有引力定律可知：eq\f(GmAmB,L2)＝mAω2RA ①eq\f(GmAmB,L2)＝mBω2RB ②RA＋RB＝L ③由①②式可得eq\f(mA,mB)＝eq\f(RB,RA)，而AO＞OB，故A錯誤．vA＝ωRA，vB＝ωRB，B正確．聯(lián)立①②③得G(mA＋mB)＝ω2L3又因為T＝eq\f(2π,ω)，故T＝2πeq\r(\f(L3,GmA＋mB))，可知C錯誤，B正確．[答案]BD2．宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質量均為m的星位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R，忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心O做勻速圓周運動，萬有引力常量為G，則()A．每顆星做圓周運動的線速度為eq\r(\f(Gm,R))B．每顆星做圓周運動的角速度為eq\r(\f(3Gm,R3))C．每顆星做圓周運動的周期為2πeq\r(\f(R3,3Gm))D．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關[解析]由圖可知，每顆星做勻速圓周運動的半徑r＝eq\f(\f(R,2),cos30°)＝eq\f(\r(3),3)R.由牛頓第二定律得：eq\f(Gm2,R2)·2cos30°＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma可解得v＝eq\r(\f(Gm,R))，ω＝eq\r(\f(3Gm,R3))，T＝2πeq\r(\f(R3,3Gm))，a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，故A、B、C均正確，D錯誤．[答案]ABC頻考一天體質量和密度的計算問題1．一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運動，其線速度大小為v.假設宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質量為()A.eq\f(mv2,GN) B.eq\f(mv4,GN)C.eq\f(Nv2,Gm) D.eq\f(Nv4,Gm)[解析]由題意知行星表面的重力加速度為g＝eq\f(N,m)，又在行星表面有g＝eq\f(GM,R2)，衛(wèi)星在行星表面運行時有m′g＝m′eq\f(v2,R)，聯(lián)立解得M＝eq\f(mv4,GN)，故選項B正確．[答案]B2．近年來，人類發(fā)射的多枚火星探測器已經相繼在火星上著陸，正在進行著激動人心的科學探究，為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星資源奠定了堅實的基礎．如果火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運動，并測得該運動的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達式為(k為某個常數(shù))()A．ρ＝kT B．ρ＝eq\f(k,T)C．ρ＝kT2 D．ρ＝eq\f(k,T2)[解析]火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運動時，eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，又M＝eq\f(4,3)πR3·ρ，可得ρ＝eq\f(3π,GT2)＝eq\f(k,T2)，故只有D正確．[答案]D頻考二宇宙星體運行規(guī)律3．(2016·贛州模擬)如圖所示，軌道Ⅰ是近地氣象衛(wèi)星軌道，軌道Ⅱ是地球同步衛(wèi)星軌道，設衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上都繞地心做勻速圓周運動，運行的速度大小分別是v1和v2，加速度大小分別是a1和a2則()A．v1＞v2a1＜a2 B．v1＞v2a1＞C．v1＜v2a1＜a2 D．v1＜v2a1＞[解析]根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝ma，可知v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，所以v1＞v2，a1＞a2.選項B正確．[答案]B4．截止到2014年2月全球定位系統(tǒng)GPS已運行了整整25年，是現(xiàn)代世界的奇跡之一．GPS全球定位系統(tǒng)有24顆衛(wèi)星在軌運行，每個衛(wèi)星的環(huán)繞周期為12小時．GPS系統(tǒng)的衛(wèi)星與地球同步衛(wèi)星相比較，下面說法正確的是()A．GPS系統(tǒng)的衛(wèi)星軌道半徑是地球同步衛(wèi)星半徑的eq\f(\r(2),2)倍B．GPS系統(tǒng)的衛(wèi)星軌道半徑是地球同步衛(wèi)星半徑的eq\r(3,2)倍C．GPS系統(tǒng)的衛(wèi)星線速度是地球同步衛(wèi)星線速度的eq\r(2)倍D．GPS系統(tǒng)的衛(wèi)星線速度是地球同步衛(wèi)星線速度的eq\r(3,2)倍[解析]萬有引力是衛(wèi)星圍繞地球轉動的向心力，Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，衛(wèi)星運動的周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，設GPS系統(tǒng)的衛(wèi)星半徑為r1，周期為T1，同步衛(wèi)星半徑為r2，周期為T2，根據周期公式解得eq\f(r1,r2)＝eq\r(3,\f(T1,T2)2)＝eq\f(\r(3,2),2)，A錯誤，B正確；eq\f(v1,v2)＝eq\f(2πr1/T1,2πr2/T2)＝eq\f(r1,r2)·eq\f(T2,T1)＝eq\r(3,2)，C錯誤，D正確．[答案]BD5．(2016·山東臨沂高三期中)2015年10月17日中國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“亞太九號”通訊衛(wèi)星，該衛(wèi)星運行的軌道示意圖如圖所示，衛(wèi)星先沿橢圓軌道1運行，近地點為Q，運地點為P.當衛(wèi)星經過P點時點火加速，使衛(wèi)星由橢圓軌道1轉移到地球同步軌道2上運行，下列說法中正確的是()A．飛船在軌道1和軌道2上運動時的機械能相等B．飛船在軌道1上運行經過P點的速度大于經過Q點的速度C．衛(wèi)星在軌道2上時處于超重狀態(tài)D．飛船在軌道1上運行經過P點的加速度等于在軌道2上運行經過P點的加速度[解析]飛船在兩軌道上運動的機械能不相等，A錯；在軌道上運行經過P點的速度應小于近地點Q的速度，固萬有引力做正功使動能增加，B錯；衛(wèi)星在軌道上應處于失重狀態(tài)，C錯；由萬有引力提供向心力可知：Geq\f(Mm,r2)＝ma，a＝eq\f(GM,r2)，在同一點P加速度相等，D對．[答案]D課時作業(yè)(十三)[基礎小題]1．兩個半徑均為r的實心鐵球靠在一起時，彼此之間的萬有引力大小為F.若兩個半徑為2r的實心鐵球靠在一起時，它們之間的萬有引力大小為()A．2F B．C．8F D．[解析]F＝Geq\f(m\o\al(2,1),2r2)，其中m1＝eq\f(4,3)πr3·ρ，F(xiàn)′＝Geq\f(m\o\al(2,2),4r2)，其中m2＝eq\f(4,3)π(2r)3·ρ.解得F′＝16F[答案]D2．(2016·保定模擬)中國首顆地球同步軌道高分辨率遙感衛(wèi)星“高分四號”衛(wèi)星于2015年12月29日0時04分在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征三號乙”運載火箭成功發(fā)射升空．如果該衛(wèi)星在月球上空繞月做勻速圓周運動，經過時間t，衛(wèi)星行程為s，衛(wèi)星與月球中心連線掃過的角度是1弧度，萬有引力常量為G，根據以上數(shù)據估算月球的質量是()A.eq\f(t2,Gs3) B.eq\f(s3,Gt2)C.eq\f(Gt2,s3) D.eq\f(Gs2,t2)[解析]由s＝rθ，θ＝1弧度，可得r＝s，由s＝vt可得：v＝eq\f(s,t)，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得：M＝eq\f(s2,Gt2)，B正確．[答案]B3．假設宇宙中有一顆未命名的星體，其質量為地球的6.4倍，一個在地球表面重力為50N的物體，經測定在該未知星體表面的重力為80N，則未知星體與地球的半徑之比為()A．0.5 B．2C．3.2 D．4[解析]由eq\f(GM星,R\o\al(2,星))＝80N，eq\f(GM地m,R\o\al(2,地))＝50N，可得：eq\f(R\o\al(2,星),R\o\al(2,地))＝eq\f(M星,M地)·eq\f(5,8)＝4，故eq\f(R星,R地)＝2，B正確．[答案]B4．設太陽質量為M，某行星繞太陽公轉周期為T，軌道可視作半徑為r的圓．已知萬有引力常量為G，則描述該行星運動的上述物理量滿足()A．GM＝eq\f(4π2r3,T2) B．GM＝eq\f(4π2r2,T2)C．GM＝eq\f(4π2r2,T3) D．GM＝eq\f(4πr3,T2)[解析]本題考查天體運動，意在考查考生對萬有引力定律的理解和應用．由萬有引力提供向心力可知，Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，對比各選項可知選A.[答案]A5．(2016·河南漯河二模)宇航員站在某一星球距離表面h高度處，以初速度v0沿水平方向拋出一個小球，經過時間t后小球落到星球表面，已知該星球的半徑為R，引力常量為G，則該星球的質量為()A.eq\f(2hR2,Gt2) B.eq\f(2hR2,Gt)C.eq\f(2hR,Gt2) D.eq\f(Gt2,2hR2)[解析]設該星球表面的重力加速度g，小球在星球表面做平拋運動，h＝eq\f(1,2)gt2.設該星球的質量為M，在星球表面有：mg＝eq\f(GMm,R2).由以上兩式得，該星球的質量為M＝eq\f(2hR2,Gt2)，A正確．[答案]A6．2014年8月11日，天空出現(xiàn)了“超級月亮”，這是月球運動到了近地點的緣故．然后月球離開近地點向著遠地點而去，“超級月亮”也與我們漸行漸遠．在月球從近地點到達遠地點的過程中，下面說法正確的是()A．月球運動速度越來越大B．月球的向心加速度越來越大C．地球對月球的萬有引力做正功D．雖然離地球越來越遠，但月球的機械能不變[解析]根據開普勒定律，近地點到達遠地點過程中，速度逐漸減小，萬有引力做負功，A、C錯誤；因為隨著地月之間距離變大，萬有引力減小，向心加速度也變小，B錯誤；月球運動過程只有萬有引力做功，機械能守恒，D正確．[答案]D7．(2016·廣西三校聯(lián)考)如圖所示，兩顆靠得很近的天體組合為雙星，它們以兩者連線上的某點為圓心，做勻速圓周運動，以下說法中正確的是()A．它們做圓周運動的角速度大小相等B．它們做圓周運動的線速度大小相等C．它們的軌道半徑與它們的質量成反比D．它們的軌道半徑與它們的質量的平方成反比[解析]它們做圓周運動的角速度大小相等，線速度大小不一定相等，選項A正確B錯誤；由eq\f(GmBmA,rA＋rB2)＝mAωeq\o\al(2,A)rA＝mBωeq\o\al(2,B)rB，它們的軌道半徑與它們的質量成反比，選項C正確D錯誤．[答案]AC[高考真題]8．(2015·重慶理綜，2)宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內進行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象．若飛船質量為m，距地面高度為h，地球質量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為()A．0 B.eq\f(GM,R＋h2)C.eq\f(GMm,R＋h2) D.eq\f(GM,h2)[解析]對飛船由萬有引力定律和牛頓第二定律得，eq\f(GMm,R＋h2)＝mg′，解得飛船所在處的重力加速度為g′＝eq\f(GM,R＋h2)，B項正確．[答案]B9．(2015·海南單科，6)若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶eq\r(7)，已知該行星質量約為地球的7倍，地球的半徑為R.由此可知，該行星的半徑約為()A.eq\f(1,2)R B.eq\f(7,2)RC．2R D.eq\f(\r(7),2)R[解析]平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，即x＝v0t，在豎直方向上做自由落體運動，即h＝eq\f(1,2)gt2，所以x＝v0eq\r(\f(2h,g))，兩種情況下，拋出的速率相同，高度相同，所以eq\f(g行,g地)＝eq\f(x\o\al(2,地),x\o\al(2,行))＝eq\f(7,4)，根據公式Geq\f(Mm,R2)＝mg可得R2＝eq\f(GM,g)故eq\f(R行,R地)＝eq\r(\f(M行,M地)·\f(g地,g行))＝2，解得R行＝2R，故C正確．[答案]C10．(2015·天津理綜，8)P1、P2為相距遙遠的兩顆行星，距各自表面相同高度處各有一顆衛(wèi)星s1、s2做勻速圓周運動．圖中縱坐標表示行星對周圍空間各處物體的引力產生的加速度a，橫坐標表示物體到行星中心的距離r的平方，兩條曲線分別表示P1、P2周圍的a與r2的反比關系，它們左端點橫坐標相同．則()A．P1的平均密度比P2的大B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小C．s1的向心加速度比s2的大D．s1的公轉周期比s2的大[解析]由題圖可知兩行星半徑相同，則體積相同，由a＝Geq\f(M,r2)可知P1質量大于P2，則P1密度大于P2，故A正確；第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，所以P1的“第一宇宙速度”大于P2，故B錯誤；衛(wèi)星