高考新題型(四)情境應(yīng)用題數(shù)學(xué)應(yīng)用就是在實(shí)際問題情境中,發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,繼而選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍廣泛,在歷年高考中以不同的題型和形式進(jìn)行考查,?？汲Ｐ?極具創(chuàng)新性,特別是近年高考數(shù)學(xué)試題不斷貫徹落實(shí)新課標(biāo)對數(shù)學(xué)應(yīng)用的要求,貼近生活實(shí)際、關(guān)注社會熱點(diǎn),考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生由“解題”向“解決問題”方向轉(zhuǎn)變.[解題策略]數(shù)學(xué)應(yīng)用問題情景新,緊跟社會熱點(diǎn),信息量大,難就難在第一為審題,從比較長的題目中提取有效信息,第二為對情景問題的抽象建模上.數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括:在實(shí)際情況中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題.高中數(shù)學(xué)建模的一般流程:[類型例析]1.“五育并舉”問題從近年全國卷中的試題可以看出,高考落實(shí)“五育并舉”教育方針,因此有關(guān)體現(xiàn)德育、智育、體育、美育、勞動(dòng)教育的考題成為高考中亮麗的“風(fēng)景題”,這類問題常以數(shù)學(xué)文化或現(xiàn)實(shí)生活為背景,命制與核心考點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的題目,意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).典例1(2020·全國Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期間,某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù),每天能完成1200份訂單的配貨,由于訂單量大幅增加,導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難,許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨,預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨,為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者()A.10名 B.18名 C.24名 D.32名解析:由題意知超市第二天能完成1200份訂單的配貨,如果沒有志愿者幫忙,則超市第二天共會積壓超過500+(1600-1200)=900(份)訂單的概率為0.05,因此要使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,至少需要志愿者90050[名師點(diǎn)評]本題以新冠肺炎疫情期間,志愿者參加某超市配貨工作為背景設(shè)計(jì)問題,考查統(tǒng)計(jì)與概率知識,體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),弘揚(yáng)社會正能量.典例2(2020·新高考Ⅰ卷)某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn),B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn),四邊形DEFG為矩形,BC⊥DG,垂足為C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2解析:如圖,連接OA,作AQ⊥DE,交ED的延長線于Q,AM⊥EF于M,交DG于E′,交BH于F′,記過O且垂直于DG的直線與DG的交點(diǎn)為P,設(shè)OP=3m,則DP=5m,可得AQ=7,AM=7,于是AE′=5,E′G=5,所以∠AGE′=∠AHF′=π4,△AOH為等腰直角三角形,又AF′=5-3m,OF′=7-5m,AF′=OF′,所以5-3m=7-5m,得m=1,所以AF′=5-3m=2,OF′=7-5m=2,所以O(shè)A=22,則陰影部分的面積S=135360×π×(22)2+12×22×22-π2=答案:5π2[名師點(diǎn)評]本題立足學(xué)生勞動(dòng)實(shí)習(xí)的場景,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注勞動(dòng),運(yùn)用所學(xué)知識解決生產(chǎn)實(shí)踐中的問題,體現(xiàn)了勞動(dòng)教育的重要性.2.多學(xué)科的交叉與融合問題多學(xué)科交叉與融合的考題在近年高考中成為“新寵”,此類考題常與物理、化學(xué)、音樂等其他學(xué)科知識交匯呈現(xiàn),考查考生綜合應(yīng)用知識的能力和創(chuàng)新意識.典例3為了衡量星星的明暗程度,古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小,星星就越亮;星等的數(shù)值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度計(jì)在天體光度測量中的應(yīng)用,英國天文學(xué)家普森又提出了衡量天體亮度的單位.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述,兩顆星星的星等與亮度滿足m1-m2=2.5(lgE2-lgE1),其中星等為mi的星星的亮度為Ei(i=1,2).已知星星A的星等是1.00,星星B的星等是1.25,星星A的亮度是星星B的r倍,則與r最接近的是(當(dāng)|x|較小時(shí),10x≈1+2.3x+2.7x2)()A.1.24 B.1.25 C.1.26 D.1.27解析:設(shè)星星A的亮度為E1,星星B的亮度為E2.根據(jù)題意可得1.00-1.25=2.5(lgE2-lgE1),可得lgE1E2=1解得r=10110,根據(jù)參考公式可得r≈1+2.3×110+2.7故與r最接近的是1.26.故選C.[名師點(diǎn)評]本題以物理知識為載體考查對數(shù)運(yùn)算.解題的關(guān)鍵是理解兩顆星星的星等與亮度滿足的關(guān)系式m1-m2=2.5(lgE2-lgE1)中各個(gè)參數(shù)的意義,并會利用賦值法代入.典例4(2022·重慶巴蜀中學(xué)月考)已知C60是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子,它形似足球,因此又名足球烯,C60是單純由碳原子結(jié)合形成的穩(wěn)定分子,它有60個(gè)頂點(diǎn)和若干個(gè)面,各個(gè)面的形狀為正五邊形或正六邊形,結(jié)構(gòu)如圖所示.已知其中正六邊形的面為20個(gè),則正五邊形的面的個(gè)數(shù)為()A.10 B.12 C.16 D.20解析:由題圖知,每個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在3個(gè)面內(nèi),所以五邊形的面的個(gè)數(shù)為60×3-[名師點(diǎn)評]本題以化學(xué)分子為背景考查立體幾何模型,解題的關(guān)鍵是認(rèn)真讀題,構(gòu)建立體幾何模型.3.以社會、科技前沿?zé)狳c(diǎn)為背景的概率統(tǒng)計(jì)問題統(tǒng)計(jì)與概率試題已經(jīng)成為高考解答題的熱點(diǎn),求解這類問題的方法與思想都在提升,體現(xiàn)了較高的思維能力,難度一般為中檔,有時(shí)可能成為壓軸題.此類試題注重考查考生的應(yīng)用意識、閱讀能力及化歸與轉(zhuǎn)化能力.統(tǒng)計(jì)與概率的交匯試題常以現(xiàn)實(shí)生活中的前沿?zé)狳c(diǎn)問題為背景.典例5(多選題)近年來,某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾的分類投放情況,現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000t生活垃圾,經(jīng)分揀以后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表(單位:t).根據(jù)樣本估計(jì)本市生活垃圾的分類投放情況,則下列說法正確的是()“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060A.“廚余垃圾”投放正確的概率為2B.居民生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率為3C.該市三類垃圾中投放正確的概率最高的是“可回收物”D.“廚余垃圾”在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差為18000解析:由題意可得,“廚余垃圾”投放正確的概率為400400+100+100=23,“可回收物”投放正確的概率為240240+30+30=45,“其他垃圾”投放正確的概率為對于B,生活垃圾投放錯(cuò)誤的有100+100+30+30+20+20=300(t),故生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率為3001000對于D,“廚余垃圾”在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均數(shù)為400+100+1003=200,可得方差s2=13×[(400-200)2+(100-200)2+(100-200)[名師點(diǎn)評]破解以垃圾分類為背景的概率與方差相交匯的本題的關(guān)鍵:一是認(rèn)真讀題,讀懂題意;二是會觀察圖表,會利用數(shù)據(jù);三是會利用頻率估計(jì)概率,會利用公式求方差.典例6目前,青蒿素作為一線抗瘧藥得到大力推廣.某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對黃花蒿的青蒿素產(chǎn)量的影響,在山上和山下的試驗(yàn)田中分別種植了100株黃花蒿進(jìn)行對比試驗(yàn).現(xiàn)從山上和山下的試驗(yàn)田中各隨機(jī)選取了4株黃花蒿作為樣本,每株提取的青蒿素產(chǎn)量(單位:g)如表所示.編號位置①②③④山上5.03.83.63.6山下3.64.44.43.6(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)山下試驗(yàn)田中黃花蒿的青蒿素的總產(chǎn)量;(2)記山上與山下兩塊試驗(yàn)田中單株黃花蒿的青蒿素產(chǎn)量的方差分別為s12,s22,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)(3)從樣本中的山上與山下的黃花蒿中各隨機(jī)選取1株,記這2株黃花蒿的青蒿素的產(chǎn)量總和為n,求n>8的概率.解:(1)由山下試驗(yàn)田中4株黃花蒿樣本的青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù),得樣本平均數(shù)為3.6+4.(2)由樣本中山上、山下的單株黃花蒿的青蒿素產(chǎn)量的離散程度知s12>(3)記n>8為事件A,列表如下(單位:g).山上總和山下5.03.83.63.63.68.67.47.27.24.49.48.2884.49.48.2883.68.67.47.27.2由表可以看出,按題目要求抽取2株黃花蒿共有16種抽法,其中這2株黃花蒿的青蒿素的產(chǎn)量總和n>8的情況共有6種,故P(A)=616=3[名師點(diǎn)評]本題以青蒿素為背景考查古典概型,求解的關(guān)鍵是理解古典概型的兩個(gè)特征:①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件為有限個(gè);②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.4.新定義、新信息遷移問題新定義、新信息遷移問題是指在現(xiàn)有的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上定義一種新的概念或運(yùn)算或規(guī)則或性質(zhì)等的問題.新定義、新信息可能以文字的形式出現(xiàn),也可能以數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式出現(xiàn),有的甚至舉例說明.在高考卷中,有關(guān)新定義的考題偶爾會出現(xiàn),要么在小題壓軸題的位置出現(xiàn),要么在解答題中出現(xiàn),主要考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).典例7已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在閉區(qū)間[a,b]?D,使得f(x)滿足①f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù),②f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇2a,2b],則稱區(qū)間[a,b]為f(x)的“倍增區(qū)間”.下列函數(shù)存在“倍增區(qū)間”的是()A.f(x)=x+1(x∈R) B.f(x)=x2(x≥0)C.f(x)=x+1x(x>0) D.f(x)=3x解析:f(x)=x+1(x∈R)在[a1,b1](a1<b1)上單調(diào)遞增,但x+1=2x沒有兩個(gè)不同的解,所以A不正確;f(x)=x2(x≥0)在[a2,b2](0≤a2<b2)上單調(diào)遞增,可知x2=2x在x≥0時(shí)有兩個(gè)不同的解,解得x1=0,x2=2,符合題意,所以B正確;f(x)=x+1x(x>0)在[a3,b3](1≤a3<b3)上單調(diào)遞增,但x+1x=2x在x≥1時(shí)沒有兩個(gè)不同的解;同理得,f(x)=x+f(x)=3x(x∈R)在[a4,b4](a4<b4)上單調(diào)遞增,但曲線y=3x與直線y=2x沒有交點(diǎn),即3x=2x沒有兩個(gè)不同的解,所以D不正確.故選B.[名師點(diǎn)評]本題以函數(shù)的單調(diào)性和值域?yàn)楸尘啊鞍b”新概念——“倍增區(qū)間”,注意新概念需滿足的兩個(gè)條件都得驗(yàn)證,有一個(gè)條件不滿足,就不是“倍增區(qū)間”.典例8對于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定(a,b)=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d時(shí),等號成立.定義運(yùn)算“?”:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,b