九年級相似三角形動點問題九上相似三角形中的動點題含答案一．選擇題（共1小題）1．如圖，小正方形的邊長均為1，每個小格的頂點稱為格點，以格點連線為邊的三角形叫格點三角形．在如圖5×5的方格中，作格點三角形和△ABC相似，則所作的格點三角形中，最小面積和最大面積分別為（）A．0.5，2.5B．0.5，5C．1，2.5D．1，5考點：相似三角形的性質(zhì)；勾股定理．專題：網(wǎng)格型．分析：作出面積最小和面積最大的格點三角形，因為相似三角形的面積比等于相似比的平方，所以此題只要求得兩三角形的一組對應(yīng)邊的比即可．根據(jù)格點三角形邊長的求解方法，易得AB，DE與GH的長．即可得出問題的解．解答：解：如圖所示，△DEF和△GHI分別是面積最小和面積最大的三角形．因為△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，所以它們的相似比為DE：AB=1：，GH：AB=：，又因為相似三角形的面積比等于相似比的平方，而△ABC的面積為2×1=1，故△DEF和△GHI面積分別為0.5，5．故選B．點評：此題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方．解此題還要注意格點三角形邊長的求解方法：用勾股定理求解．二．填空題（共10小題）2．（2013?平頂山三模）如圖，P是Rt△ABC斜邊AB上的動點（P異于A、B），∠C=90°，∠B=30°，過點P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，當(dāng)=或或時，截得的三角形面積為△ABC面積的．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得符合條件的直線有4條，再分別討論，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案，解題時注意不要漏解．解答：解：設(shè)P（lx）截得的三角形面積為S，S=S△ABC，則相似比為1：2，①第1條l1，此時P為斜邊AB中點，l1∥AC，∴，②第2條l2，此時P為斜邊AB中點，l2∥BC，∴，③第3條l3，此時BP與BC為對應(yīng)邊，且=∴，④第4條l4，此時AP與AC為對應(yīng)邊，且，∴=，∴=，∴當(dāng)=或或時，截得的三角形面積為Rt△ABC面積的，故答案為：或或．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．3．如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動點，N在CO上，且，若AB=1，設(shè)BM=x，當(dāng)x=或時，以A、B、M為頂點的三角形和以N、C、M為頂點的三角形相似．考點：相似三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．專題：分類討論．分析：根據(jù)正方形的四條邊都相等求出CN的長度，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，分①CN與BM是對應(yīng)邊，②CN與AB是對應(yīng)邊兩種情況列式求解即可．解答：解：∵，AB=1，∴CN=×1=，∵BM=x，∴CM=1﹣x，①當(dāng)CN與BM是對應(yīng)邊時，=，即=，解得x=，②當(dāng)CN與AB是對應(yīng)邊時，=，即=，解得x=．綜上所述，x的值是或．故答案為：或．點評：本題考查了正方形的四條邊都相等，相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，因為對應(yīng)邊沒有明確，注意要分情況討論求解，避免漏解而導(dǎo)致出錯．4．平面直角坐標(biāo)系中，已知點O（0，0）、A（0，2）、B（1，0），點P是反比例函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q．若以點O、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似，則點P的坐標(biāo)是（，﹣）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，）．考點：反比例函數(shù)綜合題．分析：由A（0，2）、B（1，0），可求得OA與OB的長，然后分別從當(dāng)，即OQ=2PQ時，△OPQ∽△ABO與當(dāng)，即PQ=2OQ時，△OPQ∽△BAO去分析求解即可求得答案．解答：解：∵A（0，2）、B（1，0），∴OA=2，OB=1，∵PQ⊥x軸，∴∠PQO=∠AOB=90°，當(dāng)，即OQ=2PQ時，△OPQ∽△ABO，設(shè)點P（x，﹣x），∴﹣x=﹣，解得：x=±，∴點P的坐標(biāo)是：（，﹣）或（﹣，）；當(dāng)，即PQ=2OQ時，△OPQ∽△BAO，設(shè)點P（x，﹣2x），∴﹣2x=﹣，解得：x=±，∴點P的坐標(biāo)是：（，﹣）或（﹣，）．綜上可得：點P的坐標(biāo)是：（，﹣）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，）．故答案為：（，﹣）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，）．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)上點的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．如圖，點A的坐標(biāo)為（1，1），點C是線段OA上的一個動點（不運動至O，A兩點），過點C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF．連接AF并延長交x軸的正半軸于點B，連接OF，若以B，E，F(xiàn)為頂點的三角形與△OFE相似，B點的坐標(biāo)是（，0）或（3，0）．考點：相似三角形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．專題：壓軸題；推理填空題．分析：根據(jù)點A坐標(biāo)是（1，1）可以確定∠AOB=45°，又四邊形CDEF是正方形，所以0D=CD=DE，即可證明△OFE的邊OE=2EF，再根據(jù)“以B，E，F(xiàn)為頂點的三角形與△OFE相似”分①EF=2EB，②EB=2EF兩種情況討論，根據(jù)△ACF與△AOB相似，相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列出比例式計算即可求出正方形的邊長，從而OB的長亦可求出．解答：解：過點A作AH⊥OB，∵點A的坐標(biāo)為（1，1），∴AH=OH=1，∠AOB=45°，∴OD=CD，設(shè)CF=x，∵四邊形CDEF是正方形，∴CF∥DE，CD=CF=EF=DE，∴CD=CF=EF=DE=x，∴OE=OD+DE=2EF，∵以B，E，F(xiàn)為頂點的三角形與△OFE相似，∴①EF=2EB，則EB=x，∴OB=OE+EB=2x+x=x，∵CF∥DE，∴△ACF∽△AOB，∴=，即=1﹣x，解得x=，OB=×=，∴點B的坐標(biāo)為（，0），②EB=2EF時，則EB=2x，∴OB=OE+EB=2x+2x=4x，∵CF∥DE，∴△ACF∽△AOB，∴=，即=1﹣x，解得x=，OB=4x=4×=3，∴點B的坐標(biāo)為（3，0）．綜上所述，點B的坐標(biāo)是（，0）或（3，0）．故答案為：（，0）或（3，0）．點評：此題考查了相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點A的坐標(biāo)（1，1）確定出OE=2EF，注意要分情況討論，避免漏解．6．（2012?泉州）在△ABC中，P是AB上的動點（P異于A、B），過點P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線，簡記為P（lx）（x為自然數(shù)）．（1）如圖①，∠A=90°，∠B=∠C，當(dāng)BP=2PA時，P（l1）、P（l2）都是過點P的△ABC的相似線（其中l(wèi)1⊥BC，l2∥AC），此外，還有1條；（2）如圖②，∠C=90°，∠B=30°，當(dāng)=或或時，P（lx）截得的三角形面積為△ABC面積的．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：（1）過點P作l3∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC，l3是第3條相似線；（2）按照相似線的定義，找出所有符合條件的相似線．總共有4條，注意不要遺漏．解答：解：（1）存在另外1條相似線．如圖1所示，過點P作l3∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC；故答案為：1；（2）設(shè)P（lx）截得的三角形面積為S，S=S△ABC，則相似比為1：2．如圖2所示，共有4條相似線：①第1條l1，此時P為斜邊AB中點，l1∥AC，∴=；②第2條l2，此時P為斜邊AB中點，l2∥BC，∴=；③第3條l3，此時BP與BC為對應(yīng)邊，且=，∴==；④第4條l4，此時AP與AC為對應(yīng)邊，且=，∴==，∴=．故答案為：或或．點評：本題引入“相似線”的新定義，考查相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的運算；難點在于找出所有的相似線，不要遺漏．7．以圖中的格點為頂點，畫一個與已知△ABC相似的三角形（相似比不為1）．考點：作圖—相似變換．專題：作圖題．分析：可讓相似比為1：，把原各邊長都乘以后畫出各邊即可．解答：解：△A′B′C′就是所求的三角形．點評：本題考查了相似作圖，得到相應(yīng)的相似比是解決本題的關(guān)鍵．8．如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點，A點的坐標(biāo)為（﹣1，0），過點C的直線與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH垂直O(jiān)B于點H，若PB=5t，且0＜t＜1，存在使P，H，Q為頂點的三角形與三角形COQ相似的t的值有．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：由于直線過C點，因此C點的坐標(biāo)為（0，﹣3），那么拋物線的解析式中c=﹣3，然后將A點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出b的值；根據(jù)CQ所在直線的解析式即可求出Q的坐標(biāo)，也就得出了OQ的長，然后求OH的長．利用拋物線的解析式，那么可求出B的坐標(biāo)．在直角三角形BPH中，可根據(jù)BP=5t以及∠CBO的正弦值（可在直角三角形COB中求出）．得出BH的長，根據(jù)OB的長即可求出OH的長．然后OH，OQ的差的絕對值就是QH的長；再分①當(dāng)H在Q、B之間．②在H在O，Q之間兩種情況進(jìn)行討論；根據(jù)不同的對應(yīng)角得出的不同的對應(yīng)成比例線段來求出t的值．解答：解：根據(jù)題意過點C的直線與x軸交于點Q，得出C點坐標(biāo)為：（0，﹣3），將A點的坐標(biāo)為（﹣1，0），C（0，﹣3）代入二次函數(shù)解析式求出：b=﹣，c=﹣3；得y=x2﹣x﹣3，它與x軸交于A，B兩點，得B（4，0）．∴OB=4，又∵OC=3，∴BC=5．由題意，得△BHP∽△BOC，∵OC：OB：BC=3：4：5，∴HP：HB：BP=3：4：5，∵PB=5t，∴HB=4t，HP=3t．∴OH=OB﹣HB=4﹣4t．由y=x﹣3與x軸交于點Q，得Q（4t，0）．∴OQ=4t．①當(dāng)H在Q、B之間時，QH=OH﹣OQ=（4﹣4t）﹣4t=4﹣8t．②當(dāng)H在O、Q之間時，QH=OQ﹣OH=4t﹣（4﹣4t）=8t﹣4．綜合①，②得QH=|4﹣8t|；①當(dāng)H在Q、B之間時，QH=4﹣8t，若△QHP∽△COQ，則QH：CO=HP：OQ，得=，解得：t=；若△PHQ∽△COQ，則PH：CO=HQ：OQ，得=，即t2+2t﹣1=0．解得：t1=﹣1，t2=﹣﹣1（舍去），②當(dāng)H在O、Q之間時，QH=8t﹣4．若△QHP∽△COQ，則QH：CO=HP：OQ，得=，解得：t=；若△PHQ∽△COQ，則PH：CO=HQ：OQ，得=，即t2﹣2t+1=0．∴t1=t2=1（舍去）．綜上所述，存在t的值，t1=﹣1，t2=，t3=，故答案為：﹣1，，．點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形相似等重要知識點，要注意要分Q的不同位置進(jìn)行分類討論，而在每種分類情況下又要根據(jù)不同的對應(yīng)相似三角形進(jìn)一步分類討論，不要漏解．9．（2004?棗莊）在方格紙中，每個小格的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖5×5的方格紙中，以A、B為頂點作格點三角形與△OAB相似（相似比不能為1），則另一個頂點C的坐標(biāo)為（5，2），（4，4）．考點：相似三角形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．專題：壓軸題；分類討論．分析：要求△ABC與△OAB相似，因為相似比不為1，由三邊對應(yīng)相等的兩三角形全等，知△OAB的邊AB不能與△ABC的邊AB對應(yīng)，則AB與AC對應(yīng)或者AB與BC對應(yīng)并且此時AC或者BC是斜邊，分兩種情況分析即可．解答：解：∵OA=2，OB=1，AB=∴當(dāng)AB與AC對應(yīng)時，有=或者=∴AC=或AC=5∵C在格點上∴AC=不合題意，則AC=5∴C點坐標(biāo)為（5，2）同理當(dāng)AB與BC對應(yīng)時，可求得BC=或者BC=5，也是只有后者符合題意，此時C點坐標(biāo)為（4，4）∴C點坐標(biāo)為（5，2）或者（4，4）．點評：本題結(jié)合坐標(biāo)系，重點考查了相似三角形的判定的理解及運用．10．（2006?荊門）在方格紙中，每個小格的頂點稱為格點，以格點連線為邊的三角形叫格點三角形．在如圖5×5的方格中，作格點△ABC和△OAB相似（相似比不為1），則點C的坐標(biāo)是（4，0）或（3，2）．考點：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；相似三角形的判定．專題：壓軸題；網(wǎng)格型．分析：△ABC和△OAB相似，并且AB=，OA=2，OB=1，△ABC和△OAB相似應(yīng)分兩種情況討論，當(dāng)△BCA∽△OAB時和當(dāng)△ABC∽△OBA時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AC，BC的值后，分別以A，B為圓心，AC，BC為半徑作圓，兩圓的交點即為C，易得到點C的坐標(biāo)．解答：解：△ABC和△OAB相似，并且AB=，OA=2，OB=1，△ABC和△OAB相似應(yīng)分兩種情況討論，當(dāng)△BCA∽△OAB時，==，即==，解得AC=5，BC=2，分別以A，B為圓心，5，2為半徑作圓，兩圓的交點C的坐標(biāo)是（3，2）；同理當(dāng)△ABC∽△OBA時，圓心坐標(biāo)是（4，0）．故本題答案為：（4，0）或（3，2）．點評：分兩種情況進(jìn)行討論，理解圓心是圓的弦的垂直平分線的交點是解決本題的關(guān)鍵．11．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動點D從A點出發(fā)到B點止，動點E從C點出發(fā)到A點止．點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒．如果兩點同時運動，那么當(dāng)以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是3秒或4.8秒．考點：相似三角形的性質(zhì)．專題：動點型；分類討論．分析：如果以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，由于A與A對應(yīng)，那么分兩種情況：①D與B對應(yīng)；②D與C對應(yīng)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別作答．解答：解：如果兩點同時運動，設(shè)運動t秒時，以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，則AD=t，CE=2t，AE=AC﹣CE=12﹣2t．①當(dāng)D與B對應(yīng)時，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB=AE：AC，∴t：6=（12﹣2t）：12，∴t=3；②當(dāng)D與C對應(yīng)時，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC=AE：AB，∴t：12=（12﹣2t）：6，∴t=4.8．故當(dāng)以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是3秒或4.8秒．點評：主要考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊成比例．本題分析出以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，有兩種情況是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題（共19小題）12．如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動點M從點A出發(fā)，以1cm∕秒的速度向點B運動，動點N從點C出發(fā)，以2cm∕秒的速度向點A運動，若兩點同時運動，是否存在某一時刻t，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．考點：相似三角形的性質(zhì)．專題：動點型．分析：首先設(shè)經(jīng)過t秒時，△AMN與△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），然后分別從當(dāng)MN∥BC時，△AMN∽△ABC與當(dāng)∠AMN=∠C時，△ANM∽△ABC去分析，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得答案．解答：解：存在t=3秒或4.8秒，使以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似（無此過程不扣分）設(shè)經(jīng)過t秒時，△AMN與△ABC相似，此時，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）當(dāng)MN∥BC時，△AMN∽△ABC，（1分）則，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）當(dāng)∠AMN=∠C時，△ANM∽△ABC，（6分）則，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值為3秒或4.8秒．（11分）點評：此題考查了平行線的性質(zhì)與判定．此題難度適中，解此題的關(guān)鍵是分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13．在如圖所附的格點圖中畫出兩個相似的三角形．考點：作圖—相似變換；相似三角形的性質(zhì)．專題：網(wǎng)格型；開放型．分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)只要對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等就行．所以在本題中我們可以把圖形的各邊都放大2倍．解答：解：點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊的相似比相等，對應(yīng)角相等，14．在如圖的正方形網(wǎng)格中有一個格點三角形ABC．請在圖中畫一個與△ABC相似且相似比不等于1的格點三角形，并寫出它們的相似比．考點：作圖—相似變換．分析：根據(jù)畫一個與△ABC相似且相似比不等于1的格點三角形，可以將三角形縮小變?yōu)樵瓉淼?，進(jìn)而得出它們的相似比．解答：解：如圖所示：將各邊縮小為原來的一半即可得出答案．相似比為：．點評：此題主要考查了相似三角形的畫法以及相似比的求法，根據(jù)題意畫出縮小為原來一半的三角形是解決問題的關(guān)鍵．15．（2003?紹興）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：（1）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點C，D．①在圖甲中，證明：PC=PD；②在圖乙中，點G是CD與OP的交點，且PG=PD，求△POD與△PDG的面積之比；（2）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，一直角邊與邊OB交于點D，OD=1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點C，E，使以P，D，E為頂點的三角形與△OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；直角三角形全等的判定；角平分線的性質(zhì)．專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論．分析：（1）①可通過構(gòu)建全等三角形來求解；②可根據(jù)相似比來求面積比．（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)C在OA上上時；②當(dāng)C在OA延長線上時；解答：解：（1）①證明：過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，得∠HPN=90°∴∠HPC+∠CPN=90°∵∠CPN+∠NPD=90°∴∠HPC=∠NPD∵OM是∠AOB的平分線∴PH=PN又∵∠PHC=∠PND=90°∴△PCH≌△PDN∴PC=PD②∵PC=PD∴∠PDG=45°∵∠POD=45°∴∠PDG=∠POD∵∠GPD=∠DPO∴△POD∽△PDG∴．（2）①若PC與邊OA相交，∵∠PDE＞∠CDO令△PDE∽△OCD∴∠CDO=∠PED∴CE=CD∵CO⊥ED∴OE=OD∴OP=ED=OD=1②若PC與邊OA的反向延長線相交過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，∵∠PED＞∠EDC令△PDE∽△ODC∴∠PDE=∠ODC∵∠OEC=∠PED∴∠PDE=∠HCP∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND∴HC=ND，PC=PD∴∠PDC=45°∴∠PDO=∠PCH=22.5°∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°∴OP=OC．設(shè)OP=x，則OH=ON=∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣∵HC=HO+OC=+x∴1﹣=+x∴x=即OP=點評：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，根據(jù)三角形相似或全等得出線段之間以及角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．（2012?鎮(zhèn)江模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，動點P從A出發(fā)以每秒2cm的速度向終點B運動，同時動點Q也從點A出發(fā)以每秒1cm的速度向終點E運動．設(shè)運動的時間為t秒．解答下列問題：（1）當(dāng)0＜t≤3時，以A、P、Q為頂點的三角形能與△ADE相似嗎？（不必說理由）（2）連接DQ，試求當(dāng)t為何值時？△ADQ為等腰三角形．（3）求t為何值時？直線PQ平分矩形ABCD的面積．考點：相似形綜合題．分析：（1）不能相似，因為相似時，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的銳角不能為30°；（2）分為三種情況：①當(dāng)AD=AQ=3cm時，②當(dāng)DA=DQ時，過D作DM⊥AE于M，③當(dāng)QA=QD時，求出AQ長即可；（3）連接AC，取AC中點O（即AO=OC），當(dāng)直線PQ過O時，直線PQ平分矩形ABCD的面積，根據(jù)△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，根據(jù)△RQE∽△PQA得出=，代入求出即可．解答：解：（1）不能相似；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，分為三種情況：①當(dāng)AD=AQ=3cm時，此時t=3；②當(dāng)DA=DQ時，過D作DM⊥AE于M，在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC﹣CE=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面積公式得：S△ADE=×AD×DE=AE×DM，∴DM=cm，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM==（cm），∵DM⊥AQ，AD=DQ，∴AQ=2AM=cm（三線合一定理），即t=；③當(dāng)QA=QD時，過Q作QN⊥AD于N，則AN=ND=，∵∠ADC=∠ANQ=90°∴QN∥DC，∵DN=AN，∴EQ=AQ=AE=×5cm=cm，即t=綜合上述，當(dāng)t為3秒或秒或秒時，△ADQ是等腰三角形．（3）連接AC，取AC中點O（即AO=OC），當(dāng)直線PQ過O時，直線PQ平分矩形ABCD的面積，∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠OCR=∠OAP，∵在△ROC和△POA中，，∴△ROC≌△POA（ASA），∴CR=AP=2t，∵CE=2，∴RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，∵DC∥AB，∴△RQE∽△PQA，∴=，=，解得：t1=3，t2=0（舍去）．即t=3秒時，直線PQ平分矩形ABCD的面積．點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點的綜合運用，用了分類討論思想和方程思想，難度偏大．17．已知：Rt△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，P（3，4）為OB的中點，點C為折線OAB上的動點，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分．在圖上畫出所有線段PC，使分割得到的三角形與Rt△OAB相似，并直接寫出點C的坐標(biāo)．考點：作圖—相似變換．專題：作圖題；分類討論．分析：根據(jù)平行于三角形一邊的直線分成的三角形與原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA時，分割得到的三角形與Rt△OAB相似，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)寫出此時點C的坐標(biāo)即可；又當(dāng)PC⊥OB時，分割得到的三角形與Rt△OAB也相似，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，利用勾股定理求出OB的長度，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BC的長度，再求出AC的長度，從而得到此時點C的坐標(biāo)．解答：解：如圖，PC∥AB時，△OCP∽△OAB，此時點C的坐標(biāo)為（3，0），PC∥OA時，△PCB∽△OAB，此時點C的坐標(biāo)為（6，4），PC⊥OB時，△CPB∽△OAB，根據(jù)勾股定理得，OB==10，∵P（3，4）為OB的中點，∴PB=OB=5，∴=，即=，解得BC=，AC=AB﹣BC=8﹣=，此時點C的坐標(biāo)為（6，），綜上所述，點C的坐標(biāo)為（3，0），（6，4），（6，）．點評：本題考查了利用相似變換作圖，相似三角形的判定，需要特別注意“PC⊥OB”的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯．18．在△ABC中，∠C=90°（1）如圖1，P是AC上的點，過點P作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似．例如：過點P作PD∥BC交AB于D，則截得的△ADP與△ABC相似．請你在圖中畫出所有滿足條件的直線．（2）如圖2，Q是BC上異于點B，C的動點，過點Q作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，直接寫出滿足條件的直線的條數(shù)．（不要求畫出具體的直線）考點：相似三角形的判定．分析：（1）根據(jù)平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似，可以作DP∥BC，PE∥AB；又由有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似，可以過點P作PG⊥AB交AC于點G，過點P作∠PFC=∠A即可；（2）本題需要根據(jù)BQ的取值范圍不同，所畫的直線條數(shù)不同討論即可．解答：解：（1）如圖所示：（2）當(dāng)0＜BQ≤時，滿足條件的直線有3條；當(dāng)＜BQ＜6時，滿足條件的直線有4條．點評：此題考查了三角形相似的判定方法：平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似，有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19．（2006?肇慶）如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm．某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：（1）經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．考點：相似三角形的判定；一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)．專題：壓軸題；動點型．分析：（1）關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的作為相等關(guān)系；（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在．解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的，則有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）經(jīng)檢驗，可知x1=1，x2=2符合題意，所以經(jīng)過1秒或2秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的．（4分）（2）假設(shè)經(jīng)過t秒時，以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）經(jīng)檢驗，t=或t=都符合題意，所以動點M，N同時出發(fā)后，經(jīng)過秒或秒時，以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似．（8分）點評：主要考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)和一元二次方程的運用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性質(zhì)，才會靈活的運用．注意：一般關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可．20．如圖是一個10×10格點正方形組成的網(wǎng)格．△ABC是格點三角形（頂點在網(wǎng)格交點處），請你完成下面問題，在圖中畫出與△ABC相似的格點△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1與△ABC的相似比是2，△A2B2C2與△ABC的相似比是．考點：作圖—相似變換；勾股定理；相似三角形的判定．分析：根據(jù)△A1B1C1與△ABC的相似比是2，△A2B2C2與△ABC的相似比是，分別得出三角形的邊長畫出圖形即可．解答：解：∵△A1B1C1與△ABC的相似比是2，△A2B2C2與△ABC的相似比是，∴A1C1=4，B1C1=4，A2C2=，B2C2=，即可得出圖象，如圖所示：點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理的應(yīng)用和相似變換，根據(jù)已知得出三角形的邊長是解題關(guān)鍵．21．（2006?防城港）在△ABC中，∠ACB=90°，O為AC上的動點．（1）當(dāng)OA=AC時，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的圓與AB交于D，連接CD（如圖），則圖中相似的三角形有3對；（2）當(dāng)OA滿足AC＜OA＜AC時，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的圓交AB于D，交AC的延長線于E（如圖）．①請你在圖中適當(dāng)添加一條輔助線，然后找出圖中相似三角形（注：相似三角形只限于使用圖中的六個字母），并加以證明；②若⊙O的半徑為5，AD=8，求tanB．考點：勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題；動點型；探究型．分析：（1）連接CD，易得OA=AC，且AC是圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角就得到∠CDB=90°，而∠ACB=90°，所以圖中就有三對相似三角形；（2）①當(dāng)OA滿足AC＜OA＜AC時，連接DE，則△ADE∽△ACB．AE是圓的直徑可以得到∠ADE=90°，再根據(jù)已知∠ACB=90°，就可以證明△ADE∽△ACB了．②首先利用勾股定理求出DE，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出tanB的值了．解答：解：（1）△ACD∽△ABC，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD．（3分）（2）①連接DE，則△ADE∽△ACB，理由如下：（5分）∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°．（6分）∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB．（7分）∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．（8分）②．（9分）由①知△ADE∽△ACB，∴．（10分）∴．（11分）∴．（12分）點評：此題是探究性試題，要理解OA滿足的限制條件，根據(jù)條件去探究才能正確得到結(jié)論．此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．22．已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連結(jié)MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO．（1）直接寫出點D的坐標(biāo)；（2）已知點B與點D在經(jīng)過原點的拋物線上，點P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連結(jié)OP．若以O(shè)、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標(biāo)．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）由矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)以及中點的定義可得DA=MB=AB=，OA=BC=2，∠DAO=∠B=90°，進(jìn)而求出點D的坐標(biāo)；（2）先由拋物線經(jīng)過原點，可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx（a≠0），再將B（3，2）與點D（﹣，2）代入，運用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式為y=x2﹣x，則點P的坐標(biāo)可設(shè)為（x，x2﹣x）．因為∠OQP=∠OAD=90°，所以當(dāng)以O(shè)、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似時，Q與A一定對應(yīng)，然后分兩種情況進(jìn)行討論：（i）△PQO∽△DAO；（ii）△OQP∽△DAO．根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，求解即可．解答：解：（1）∵四邊形OCBA是矩形，∴AB=OC=3，OA=BC=2，∠B=90°．∵M(jìn)是AB的中點，∴AM=MB=AB=．∵把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO，∴DA=MB=，∠DAO=∠B=90°，∴點D的坐標(biāo)為（﹣，2）；（2）∵OC=3，BC=2，∴B（3，2）．∵拋物線經(jīng)過原點，∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx（a≠0），又拋物線經(jīng)過點B（3，2）與點D（﹣，2），∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x．∵點P在拋物線上，∴設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x2﹣x）．分兩種情況：（i）若△PQO∽△DAO，則=，即=，解得：x1=0（舍去），x2=，∴點P的坐標(biāo)為（，）；（ii）若△OQP∽△DAO，則=，即=，解得：x1=0（舍去），x2=，∴點P的坐標(biāo)為（，6）．點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，矩形、平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．23．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6厘米，BC=8厘米，動點P從點A開始在線段AC上以1厘米/秒的速度向點C移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以2厘米/秒的速度向點A移動，當(dāng)一個動點先運動到終點時，整個運動過程結(jié)束．設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．（1）設(shè)△APQ的面積為y（厘米2），請你求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量t的取值范圍，并求出當(dāng)t為何值時，△APQ的面積最大；（2）在整個運動過程中，是否會存在以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請你求出此時t的值；若不存在，請你說明理由．考點：相似形綜合題．分析：（1）根據(jù)已知條件求出AB的長，再過點Q作QH⊥AC，交AC與點H，的長△QHA∽△BCA，求出，即可求出QH的值，最后求S△APQ的值；（2）存在在以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，此小題要分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)∠APQ=90°時，△APQ∽△ABC，求出t的值；②當(dāng)∠PQA=90°時，△APQ∽△ABC，求出t的值，經(jīng)檢驗它們都符合題意即可．解答：解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，∴AP=t，CP=6﹣t，BQ=2t，AQ=10﹣2t，過點Q作QH⊥AC，交AC與點H，∴△QHA∽△BCA，∴，∴，∴QH=8﹣t，∴S△APQ=AP?QH=t（8﹣t）=4t﹣t2；當(dāng)t==時，面積有最大值，是4×﹣×（）2=5﹣=；（2）①當(dāng)∠APQ=90°時，△APQ∽△ABC，則，∴，∴t=；②當(dāng)∠PQA=90°時，△APQ∽△ABC，則，則，解得t=，當(dāng)t為或時，經(jīng)檢驗，它們都符合題意，此時△AQP和△ABC相似，故存在以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；此題運用函數(shù)的思想，列出函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)列出表達(dá)式代入數(shù)值進(jìn)行求解，關(guān)鍵是第二問分兩種種情況進(jìn)行討論，不要漏掉．24．已知：如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1個單位，請在圖中畫出一個與格點△DEF相似但相似比不等于1的格點三角形．考點：作圖—相似變換；相似三角形的性質(zhì)．專題：作圖題；網(wǎng)格型．分析：利用相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊的相似比相等，對應(yīng)角相等，可以讓各邊長都放大一倍，得到新三角形．本圖形的答案不唯一，只要是相似三角形，都在格點上就正確．解答：解：∴△ABD就是所求．（9分）點評：本題主要考查了相似三角形的畫法，注意做這類題時的關(guān)鍵是對應(yīng)邊相似比相等，對應(yīng)角相等．25．如圖，在正方形網(wǎng)格上有若干個三角形，找出與△ABC相似的三角形．考點：相似三角形的判定．專題：計算題．分析：可利用正方形的邊把對應(yīng)的線段表示出來，利用三邊對應(yīng)成比例兩個三角形相似，分別計算各邊的長度即可解題．解答：解：觀察可以發(fā)現(xiàn)AC=AB，故該三角形中必須有一條邊與鄰邊的比值為．△EBF中，BF=，EF=，BF=5，△DIB中，DI=2，DB=2，BI=2，△HFE中，HF=，HE=2，EF=，△ABC中，AB=1，AC=，BC=，計算對應(yīng)邊比值即可求得△EBF∽△DIB∽△HFE∽△ABC．點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，三角形對應(yīng)邊比值相等判定三角形相似的方法，本題中根據(jù)勾股定理計算三角形的三邊長是解題的關(guān)鍵．26．如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm，某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動．（1）經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時刻t，使A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．專題：動點型．分析：（1）關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的作為相等關(guān)系；（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在．解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的，由題意得DN=2x，AN=6﹣2x，AM=x，∵矩形ABCD中AB=3，BC=6，∴AD=BC=6，CD=AB=3，矩形ABCD的面積為：AB?AD=3×6=18，△AMN的面積==×18，可得方程x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，答：經(jīng)過1秒或2秒，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的；（2）由題意得DN=2t，AN=6﹣2t，AM=t，若△NMA∽△ACD，則有=，即=，解得x=1.5，若△MNA∽△ACD則有=，即=，解得x=2.4，答：當(dāng)t=1.5秒或2.4秒時，以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似．點評：此題考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)和一元二次方程的運用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性質(zhì)，才會靈活的運用．注意：一般關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可．27．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=10，對角線AC=4，動點E從點B出發(fā)，以2cm/s的速度向點C運動，運動時間為t（s）（0≤t≤5）．那么當(dāng)t為何值時，以A、E、C為頂點的三角形與△ADC相似．考點：相似三角形的判定；梯形．專題：動點型．分析：由于AD∥BC，得∠DAC=∠BCA；若以A、E、C為頂點的三角形與△ADC相似，可得兩種情況：①△ADC∽△CEA，此時對應(yīng)邊AD=AD，則兩三角形全等，AD=EC=2；②△ADC∽△CAE，此時AD：AC=AC：CE，根據(jù)所得的比例式，即可求出CE的長；根據(jù)上述兩種情況所得出的CE的值，再除以B點的速度，即可求出時間t的值．解答：解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA；①當(dāng)△ADC∽△CEA時，，即EC=AD=2，t=2÷2=1s；②當(dāng)△ADC∽△CAE時，，即CE=AC2÷AD=8，t=8÷2=4s；故當(dāng)t為1s或4s時，以A、E、C為頂點的三角形與△ADC相似．點評：當(dāng)相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊不明確時，應(yīng)充分考慮到各種情況，分類討論，以免漏解．28．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AC向終點C移動，同時動點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，設(shè)移動時間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．當(dāng)t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．專題：動點型．分析：根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)相似得出兩種情況，根據(jù)相似得出比例式，代入比例式求出即可．解答：解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根據(jù)勾股定理，得AB==5cm，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：①當(dāng)△AMP∽△ABC時，=，即=，解得t=；②當(dāng)△APM∽△ABC時，=時，即=，解得t=，綜上所述，當(dāng)t=或t=時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似．點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意要進(jìn)行分類討論?。?9．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上，點A（6，0），∠BAO=30°．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）點P是線段AB上的動點，若使△POA為等腰三角形，求點P的坐標(biāo)；（3）在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得以Q、O、B為頂點的三角形與△OAB相似？若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點：一次函數(shù)綜合題．專題：綜合題．分析：（1）在直角三角形AOB中，由OA與tan30°的值求出OB的長，即可確定出B的坐標(biāo)；（2）P為線段AB上的動點，若使△POA為等腰三角形，則有OP=PA或PA=AO兩種情況，如圖1所示，①當(dāng)OP1=P1A時，連接OP1，作P1C1⊥OA，則C1為AO的中點，P1C1為△AOB的中位線，求出P1C1與OC1的長，確定出此時P1的坐標(biāo)；②當(dāng)P2A=AO時，連接OP2，作P2C2⊥OA，可得出P2A=AO=6，∠P2AO=30°，在Rt△P2AC中，求出P2C與AC2的長，進(jìn)而確定出OC2的長，確定出此時P2的坐標(biāo)即可；（3）分三種情況考慮：當(dāng)∠OBQ為直角時，如圖2所示，再分兩種情況考慮：①若△BQO∽△OAB；②若△BQO∽△OAB時，分別求出Q的坐標(biāo)；當(dāng)∠CQB為直角時，如圖3所示，再分兩種情況考慮：③過O作OQ⊥AB，此時△QOB∽△OAB，④若△QBO∽△OAB時