.@:4.1__比例線段__比例中項1．三條線段a，b，c中，有c2＝ab，那么稱c是a，b的比例中項，假設(shè)a＝2，b＝8，那么a，b的比例中項c的值為〔A〕A．4 B．±4C．±16 D．16【解析】∵c2＝2×8，∴c1＝4，c2＝－4〔不合題意，舍去〕．應(yīng)選A.2．假設(shè)x是a，b的比例中項，那么以下式子錯誤的選項是〔D〕A．x2＝abB.eq\f〔a,x〕＝eq\f〔x,b〕C.eq\f〔b,x〕＝eq\f〔x,a〕 D．a(chǎn)b＝eq\r〔x〕3．假如a∶b＝12∶8，且b是a和c的比例中項，那么b∶c等于〔B〕A．4∶3 B．3∶2C．2∶3 D．3∶4【解析】∵a∶b＝12∶8，b是a和c的比例中項，即a∶b＝b∶c，∴b∶c＝12∶8＝3∶2.應(yīng)選B.4．如圖4－1－7，點C是線段AB的黃金分割點〔AC>BC〕，以下結(jié)論中正確的選項是〔C〕圖4－1－7A．AB2＝AC2＋BC2B．BC2＝AC·BAC.eq\f〔BC,AC〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕D.eq\f〔AC,BC〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕5．線段AB＝2cm，C是線段AB的黃金分割點〔AC＞BC〕，那么AC的長為〔C〕A．〔eq\r〔5〕－2〕cm B．〔3－eq\r〔5〕〕cmC．〔eq\r〔5〕－1〕cm D．〔2－eq\r〔5〕〕cm【解析】∵C是線段AB的黃金分割點〔AC＞BC〕，∴AC＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕AB，∵AB＝2cm，∴AC＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕×2＝〔eq\r〔5〕－1〕cm.應(yīng)選C.6．如圖4－1－8，扇子的圓心角為x°，余下扇形的圓心角為y°，x與y的比通常按黃金比來設(shè)計，這樣的扇子外形較美觀，假設(shè)黃金比取0.618，那么x為〔B〕圖4－1－8A．222 B．138C．139 D．108【解析】由題意，得eq\f〔x,y〕＝0.618，y＝360－x，∴x＝0.618〔360－x〕，解得x≈138.應(yīng)選B.7．[2019·奉賢區(qū)一模]線段AB長10cm，點P在線段AB上，且滿足eq\f〔BP,AP〕＝eq\f〔AP,AB〕，那么AP的長為__5eq\r〔5〕－5__cm.【解析】設(shè)AP＝xcm，那么BP＝〔10－x〕cm，∵eq\f〔BP,AP〕＝eq\f〔AP,AB〕，∴eq\f〔10－x,x〕＝eq\f〔x,10〕，∴x1＝5eq\r〔5〕－5，x2＝－5eq\r〔5〕－5〔不合題意，舍去〕，∴AP的長為〔5eq\r〔5〕－5〕cm.8．如圖4－1－9是一種貝殼的示意圖，點C分線段AB近似于黃金分割比．AB＝12cm，那么AC的長約為__7.4__cm〔結(jié)果準(zhǔn)確到0.1cm〕．圖4－1－9【解析】由圖可知AC＞BC，∴AC＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕×12≈0.618×12≈7.4〔cm〕．9．[2019·臺州模擬]如圖4－1－10，連結(jié)正五邊形ABCDE的各條對角線圍成一個新的五邊形MNPQR.圖中有很多頂角為36°的等腰三角形，我們把這種三角形稱為“黃金三角形〞，黃金三角形的底與腰之比為eq\f〔\r〔5〕－1,2〕.假設(shè)AB＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，那么MN＝__eq\r〔5〕－2__．圖4－1－10【解析】在△DAB中，∠ADB＝36°，AD＝BD，即△DAB是“黃金三角形〞，∴eq\f〔AB,BD〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，∴BD＝EC＝1，又∵EN＝MC＝AB＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，∴MN＝EN－〔EC－MC〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕－eq\b\lc\〔\rc\〕〔\a\vs4\al\co1〔1－\f〔\r〔5〕－1,2〕〕〕＝eq\r〔5〕－2.10．〔1〕a＝4，c＝9，假設(shè)b是a，c的比例中項，求b的值；〔2〕線段MN是AB，CD的比例中項，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的長，并考慮兩題有何區(qū)別．解：〔1〕∵b是a，c的比例中項，∴a∶b＝b∶c，∴b2＝ac，∴b＝±eq\r〔ac〕.又∵a＝4，c＝9，∴b＝±eq\r〔36〕＝±6；〔2〕∵線段MN是AB，CD的比例中項，∴AB∶MN＝MN∶CD，∴MN2＝AB·CD，∴MN＝±eq\r〔AB·CD〕.又∵AB＝4cm，CD＝5cm，∴MN＝±eq\r〔20〕＝±2eq\r〔5〕.又∵M(jìn)N不可能為負(fù)值，∴MN＝2eq\r〔5〕cm.通過解答〔1〕，〔2〕發(fā)現(xiàn)，b，MN同時作為比例中項出現(xiàn)，b可以取負(fù)值，而MN不可以取負(fù)值．11．[2019·江干區(qū)一模]〔1〕我們知道，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP，PB，使AP＞PB，點P把線段AB分成兩條線段AP和BP，且eq\f〔AP,AB〕＝eq\f〔BP,AP〕，點P就是線段AB的黃金分割點，此時eq\f〔AP,AB〕的值為__eq\f〔\r〔5〕－1,2〕__〔填一個實數(shù)〕；〔2〕如圖4－1－11，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，現(xiàn)以C為圓心、CB長為半徑畫弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD長為半徑畫弧交邊AB于E.求證：點E是線段AB的黃金分割點．圖4－1－11解：〔1〕設(shè)AB長為1，P為線段AB上符合題意的一點，AP＝x，那么BP＝1－x，根據(jù)題意得eq\f〔x,1〕＝eq\f〔1－x,x〕，解得x1＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，x2＝eq\f〔－\r〔5〕－1,2〕〔舍去〕，故eq\f〔AP,AB〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕；〔2〕證明：設(shè)BC＝a，那么AB＝2a，那么AC＝eq\r〔5〕a，由題意得CD＝BC＝a，∴AE＝AD＝eq\r〔5〕a－a，BE＝AB－AE＝3a－eq\r〔5〕a，∴eq\f〔AE,AB〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，eq\f〔BE,AE〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，∴eq\f〔AE,AB〕＝eq\f〔BE,AE〕，即點E是線段AB的黃金分割點．12．一般認(rèn)為，假如一個人的肚臍以上的高度與肚臍以下的高度符合黃金分割，那么這個人好看．如圖4－1－12是一個參加空姐選拔的選手的身高情況，那么她穿多高的鞋子比較好看？〔結(jié)果準(zhǔn)確到1cm，參考數(shù)據(jù)：黃金分割比為eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，eq\r〔5〕≈2.236〕圖4－1－12解：設(shè)應(yīng)該穿xcm高的鞋子．由題意，得eq\f〔65,95＋x〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，解得x≈10.答：她穿10cm高的鞋子比較好看．13．如圖4－1－13，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點，延長MD到點E，使ME＝MC，以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，那么DG的長為〔D〕圖4－1－13A.eq\r〔3〕－1B.3－eq\r〔5〕C.eq\r〔5〕＋1D.eq\r〔5〕－114．[2019·山西]寬與長的比是eq\f〔\r〔5〕－1,2〕〔約為0.618〕的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形蘊藏著豐富的美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：如圖4－1－14所示，作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點E，F(xiàn)，連結(jié)EF；以F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線于點G；作GH⊥AD，交AD的延長線于點H.那么圖中以下矩形是黃金矩形的是〔D〕圖4－1－14A．矩形ABFE B．矩形EFCDC．矩形EFGH D．矩形DCGH【解析】設(shè)正方形的邊長為2，那么CD＝2，CF＝1，在Rt△DCF中，DF＝eq\r〔5〕，∴FG＝eq\r〔5〕，∴CG＝eq\r〔5〕－1，∴eq\f〔CG,CD〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，∴矩形DCGH是黃金矩形．應(yīng)選D.15．如圖4－1－15，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2〔eq\r〔5〕－1〕，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于點D，試證明D是線段AC的黃金分割點．圖4－1－15證明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝eq\f〔180°－36°,2〕＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝36°，∴∠CDB＝180°－72°－36°＝72°＝∠C，∠A＝∠ABD＝36°，∴BC＝BD＝AD＝2〔eq\r〔5〕－1〕，∴eq\f〔AD,AC〕＝eq\f〔2〔\r〔5〕－1〕,4〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，∴D是線段AC的黃金分割點．16．如圖4－1－16，用紙折出黃金分割點：裁一張正方形的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落在線段EA上，折出點B的新位置B′，因此EB′＝EB.類似地，在線段AB上折出點B″，使AB″＝AB′，這時B″就是線段AB的黃金分割點．請你證明這個結(jié)論．圖4－1－16證明：設(shè)正方形ABCD的邊長為2.∵E為BC的中點，∴BE＝1，∴AE＝eq\r〔AB2＋BE2〕＝eq\r〔5〕.又∵B′E＝BE＝1，∴AB′＝AE－B′E＝eq\r〔5〕－1.又∵AB″＝AB′＝eq\r〔5〕－1，∴AB″∶AB＝〔eq\r〔5〕－1〕∶2，∴B″是線段AB的黃金分割點．17．假設(shè)一個矩形的短邊與長邊的比值為eq\f〔\r〔5〕－1,2〕〔黃金分割數(shù)〕，我們把這樣的矩形叫做黃金矩形．〔1〕操作：請你在圖4－1－17所示的黃金矩形ABCD〔AB>AD〕中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD；〔2〕探究：在〔1〕中得到的四邊形EBCF是不是黃金矩形？請說明理由；〔3〕歸納：通過上述操作及探究，請概括出具有一般性的結(jié)論〔不需要說明原因〕．圖4－1－17第17題答圖解：〔1〕在AB和DC上分別截取AE＝DF＝AD，連結(jié)EF，如答圖所示，那么四邊形AEFD就是所求作的正方形；〔2〕四邊形EBCF是黃金