小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何話題一2011版課標(biāo)終于要公布了，新課標(biāo)修訂后有哪些變化。這一講主要講“圖形與幾何”這個領(lǐng)域的變化。新課標(biāo)在圖形與幾何領(lǐng)域有幾個核心概念。主要有空間觀念、幾何直觀、推理能力等。物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。更直觀的理解如下圖：幾何直觀主要是指利用圖形的描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果，探索思路預(yù)測結(jié)果。案例：《打電話》如果你是老師，有件緊急的事情要通知給同學(xué)，用打電話的方式，每分鐘通知1人，給你3分鐘的時間，能使多少人收到通知？大膽的猜測一下。下面是學(xué)生借助圖形研究的例子。這些學(xué)生都能夠利用線段、點以圖形的形式，來描述打電話來通知這件事情，設(shè)計方案。1/11身，就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，就是一分鐘通知一個人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍，否則你算是算不出來，看圖就看出來了。通過線段、點，以及圖形，把通知過程很簡捷的表現(xiàn)出來，把它們之間的關(guān)系，揭示得非常清楚，這就屬于典型的幾何直觀，就是圖形直觀。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。通過對一線教師的訪談，查閱資料，把老師們的困惑集中起來，歸結(jié)為四個大話題。討論話題：如何以“圖形的測量”為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，認(rèn)識度量單位生的空間觀念與推理能力？2/11何直觀能力和空間觀念，提高學(xué)生研究圖形性質(zhì)的興趣？話題一、圖形的認(rèn)識——抽象圖形特征，發(fā)展空間觀念問題一、新的課程標(biāo)準(zhǔn)在圖形的認(rèn)識方面有哪些變化？有哪些新的要求呢？這次新課標(biāo)修訂后圖形的認(rèn)識部分都包括哪些內(nèi)容？有什么新的變化？課標(biāo)修訂前后立體圖形的認(rèn)識部分內(nèi)容的對比：修訂前第 （1）通過實物和模

修訂后能通過實物和模型辨一 辨認(rèn)長方體、正方體、圓柱和認(rèn)長方體、正方體、圓柱和球球等立體圖形。學(xué)（2）辨認(rèn)從正面、側(cè)面段 上面觀察到的簡單物體的形狀。［參見例1］（3）辨認(rèn)長方形、正方

等幾何體。能根據(jù)具體事物、照察到的簡單物體（參見例形、三角形、平行四邊形、圓11）。等簡單圖形。（4）通過觀察、操作，能用自己的語言描述長方形、正方形的特征。（5）會用長方形、正方

能辨認(rèn)長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。形、三角形、平行四邊形或圓步認(rèn)識長方形、正方形的拼圖。 征。（6）結(jié)合生活情境認(rèn)識角，會辨認(rèn)直角、銳角和鈍角。（7）能對簡單幾何體和圖形進(jìn)行分類。

會用長方形、正方拼圖。結(jié)合生活情境認(rèn)識3/11能對簡單幾何體和圖形進(jìn)行分類（參見例20）第 （1）了解兩點確定 1．結(jié)合實例了解線段二 一條直線和兩條相交直線確定射線和直線。一個點。學(xué)（2）能區(qū)分直線、線段和 2．體會兩點間所有連線段 射線。（3）體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。（4）念及周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。（5）面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。（6）通過觀察、操作，認(rèn)

中線段最短，知道兩點間的距離。知道平角與周角，了銳角之間的大小關(guān)系。面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。通過觀察、操作，認(rèn)識平行四邊形、梯形和圓，會識平行四邊形、梯形和圓，用圓規(guī)畫圓。（7）認(rèn)識三角形，通過觀

知道扇形，會用圓規(guī)畫圓。察、操作，了解三角形兩邊之 6．認(rèn)識三角形，通過觀和大于第三邊、三角形內(nèi)角和察、操作，了解三角形兩邊是180°。（8）認(rèn)識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。（9）通過觀察、操作，認(rèn)識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識長方體、正方體和圓柱的展開圖。（10）能辨認(rèn)從不同方位看到的物體的形狀和相對位置。［參見例1］

和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是180°。認(rèn)識等腰三角形、等三角形、鈍角三角形。能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖（參見例32）。通過觀察、操作，認(rèn)4/11識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識長方體、正方體和圓柱的展開圖。幾何這一模塊原稱空間與圖形，變“空間與圖形”為“圖形與幾何”；重提幾何直觀、推理能力、運算能力、邏輯思維能力，用詞更加規(guī)范，體現(xiàn)了課標(biāo)的嚴(yán)肅。<標(biāo)準(zhǔn)>的”圖形與幾何”第一、二學(xué)段仍分為四部分，具體表示有所變動，（1）圖形的認(rèn)識，（2）測量，（3）圖形的運動（修改稿：圖形與變換），（4）動也是一種基本的數(shù)學(xué)思想。第二學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)刪除“兩點確定一條直線”和“兩條直線確定一個點”。識的現(xiàn)實背景，從第一學(xué)段開始使學(xué)生接觸豐富的幾何世界。新《標(biāo)準(zhǔn)》突出用觀察、描述、制作、從不同的角度觀察物體、認(rèn)識方向、制作模型等活動，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和圖形設(shè)計與推理（合情推理與演繹推理）的能力。新《標(biāo)準(zhǔn)》在第二學(xué)段還增加了知道扇形這一內(nèi)容。扇形的認(rèn)識，《大綱》（修訂版）教材作為選學(xué)內(nèi)容，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中沒有認(rèn)識扇形的要求。提出了通過實例認(rèn)識扇形統(tǒng)計圖的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，考慮到知識的系統(tǒng)性、邏輯性和連貫性，以及學(xué)生認(rèn)識扇形統(tǒng)計圖的需要，《課標(biāo)修訂稿》在認(rèn)識圓的基礎(chǔ)上，增加了初步認(rèn)識扇形。簡單說對圖形認(rèn)識的要求主要包括兩個方面：一是對圖形自身特征的認(rèn)識。二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識。在三個學(xué)段中，認(rèn)識同一個或同一類圖形的要求有明顯的層次性：從“辨認(rèn)”到“初步認(rèn)識”，再從“認(rèn)識”到“探索并證明”。例如，對于長方體、正方體、圓柱和球等幾何體，第一學(xué)段要求“辨認(rèn)”；第二學(xué)段要求“認(rèn)識”；第三學(xué)段要求了解其中一些幾何體的側(cè)面展開圖。5/11又如，對于平行四邊形，第一學(xué)段要求“辨認(rèn)”；第二學(xué)段要求“認(rèn)識”；第三學(xué)段要求“探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理”。再如，三角形內(nèi)角和的例子：關(guān)于“視圖”，第一學(xué)段要求“能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡單物體”；第二學(xué)段要求“能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖”；第三學(xué)段要求“會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體”。這種要求的層次性，既體現(xiàn)了從整體到局部的認(rèn)識過程；也符合學(xué)生的認(rèn)知特點，逐漸深入、循序漸進(jìn)。對圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關(guān)系的認(rèn)識，主要包括大小、位置、形狀之間關(guān)系的認(rèn)識。第一學(xué)段的“了解直角、銳角和鈍角”；第二學(xué)段的“體會兩點間所有連線中線段最短”；“了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系”；“了解三角形兩邊之和大于第三邊”；第三學(xué)段的“會比較線段的長短”，“能比較角的大小”等，都是對圖形大小關(guān)系的研究。關(guān)系等，是義務(wù)教育階段幾種主要的圖形位置關(guān)系；軸對稱、中心對稱、平移也反映了圖形與圖形之間的位置關(guān)系。圖形的全等、相似都是研究研究圖形之間關(guān)系的課程內(nèi)容，全等研究的是圖形的形6/11狀、大小關(guān)系；圖形的相似研究的是圖形的形狀之間的關(guān)系；而圖形的位似則還涉及到了圖形的位置關(guān)系。在兒童的不同學(xué)段上，形象思維的發(fā)展是有層次的，荷蘭范.希爾夫婦對學(xué)生幾何思維水平的研究說明了從直觀辨認(rèn)到探索特征是兒童的對圖形的形象思維規(guī)律。他們將學(xué)生的圖形認(rèn)知水平主要分為五級：水平1：直觀化；水平2：描述/分析；水平3：抽象/關(guān)聯(lián)；水平4：演繹/形式化推理；水平5：嚴(yán)密/元數(shù)學(xué)。一二三水平在小學(xué)體現(xiàn)，四五水平是在中學(xué)體現(xiàn)的。這和我們課標(biāo)的要求也是一致。圖形認(rèn)識的教學(xué)先明確兩點：一是這部分內(nèi)容屬于圖形認(rèn)識的哪個水平，前后繼知識各是什么；二是多數(shù)學(xué)生現(xiàn)在的形象思維處于一個什么階段，要通過你的教學(xué)達(dá)到什么階段。系的？第一，現(xiàn)在的教材，在圖形的認(rèn)識當(dāng)中，是先講立體，再講平面，再回到立體。從歷史發(fā)展過程上看，實際上我們中國小學(xué)的傳統(tǒng)教材，最初是按點、線、面、體的邏輯關(guān)系講的。到了上個世紀(jì)90年代以后，義務(wù)大綱出現(xiàn)就發(fā)生變化了，先講立體以后再講平面，然后又回到立體。為什么當(dāng)時要改？因為當(dāng)時很多老師都反映，高年級孩子，對幾何立體圖形，本身的識圖的能力比較低，認(rèn)識起來比較困難。這部分是個難點，分階段安排可以分散難點。西，看到的東西，實際上都是體，他的奶瓶，他玩的積木都是體，住的大大樓里，所有東西都是體，在這個過程中兒童積累了很多立體的物體，因此所有的幾何體，都具有直觀的實物的模型的。那在這種情況之下，低年級孩子，剛開始初步的認(rèn)識立體圖形是有可能的。反復(fù)的積累的過程，不能一次到位。所以當(dāng)時的義務(wù)大綱就打破了傳統(tǒng)的一步到位，先講立體圖形，要求直觀認(rèn)識，然后中間一段是平面圖形，最后再講立體圖形?，F(xiàn)在教材也一樣，先講立體，后講平面，再回到立體，但這兩次講立體層次不同，第一次要求辨認(rèn)，到第二學(xué)段要求是認(rèn)識。也就是現(xiàn)在教材是“體－形－體”的混合螺旋編排結(jié)構(gòu)問題三、怎樣通過圖形的認(rèn)識教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念？7/11第一、通過對實物的觀察與操作認(rèn)識圖形第一學(xué)段要求“能通過實物和模型辨認(rèn)長方體、正方體、圓柱和球等幾何體”、“通過觀察、操作，初步認(rèn)識長方形、正方形的特征”；第二學(xué)段要求“結(jié)合實例了解線段、射線和直線”、“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系”等，這些要求的共同特點是通過觀察與操作認(rèn)識圖形，直觀地、整體地認(rèn)識立體圖形和平面圖形。從對實物的觀察與操作過程中來認(rèn)識圖形的特征和性質(zhì)，既符合學(xué)生認(rèn)識事物的規(guī)律，也符合數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)要求。這樣的過程有助于學(xué)生發(fā)展能力，初步體會數(shù)學(xué)的思想方法，發(fā)展積極的情感與態(tài)度。方體、正方體、圓柱體、球體等直觀形象。基于這樣的生活經(jīng)驗，學(xué)生可以從認(rèn)識立體圖形開始，“通過實物和模型等辨認(rèn)長方體、正方體、圓柱和球等幾何體”?！氨嬲J(rèn)”是認(rèn)識的低級階段，但與以往的經(jīng)驗有所不同，它要經(jīng)歷從實物到幾何圖形的抽象過程。等平面圖形。像這樣從具體到抽象，從實物到圖形，從整體到局部的安排，揭示了立體圖形與平面圖形的關(guān)系，也符合學(xué)生的認(rèn)知特點。第二學(xué)段要求“結(jié)合實例了解線段、射線和直線”、“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系”。射線和直線涉及到了無限的概念，與長方體、正方體、長方形、正方形等相比，在現(xiàn)實中沒有“直線”的實物原型，這就需要學(xué)生進(jìn)行抽象與想象。認(rèn)識線段要容易一些，因為現(xiàn)實生活中有“線段”的實物原型。原型來描述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實，都揭示了平行線的本質(zhì)，但鐵軌無法總是筆直的延伸，所以在從實物到幾何圖形的抽象過程中還需要想象，這有助于學(xué)生發(fā)展抽象能力和空間觀念。第二、基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)換，發(fā)展空間觀念新教材內(nèi)容編排上增加了“視圖和投影、展開與折疊”等內(nèi)容。8/11視圖和投影，過去小學(xué)沒有，現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何和圖形當(dāng)中，增加了觀察物體，這部分在課標(biāo)上有兩個要求。的形狀，這是辨認(rèn)。很多教材里面是這樣，有的是拿個實物，有的是拿熊貓玩具等，讓孩子們從各種角度去看，看的時候，孩子們就發(fā)現(xiàn)，不同角度看到的熊貓不一樣。方向看到物體的形狀圖，這個形狀圖實際上就是一個平面圖，就是從水平方向?qū)ξ矬w所做的一個投影，也就是拍照。例如9/11間的一個轉(zhuǎn)化的過程，這是過去小學(xué)沒有的，現(xiàn)在有了，這兩個階段的目標(biāo)要達(dá)到，就為第三學(xué)段的正式的視圖和投影打下比較好的基礎(chǔ)。做法現(xiàn)在要加強，而且在進(jìn)行折疊和展開當(dāng)中，操作過程，必須要通過兒童的想象，這個過程本有什么實際意義呢？這是讓孩子們認(rèn)識到，立體圖形的結(jié)構(gòu)和展開圖之間的這種對應(yīng)關(guān)系。怎么讓他來認(rèn)識這個對應(yīng)關(guān)系呢？例如，“正方體展開圖”課例。我們提倡先想象，再動手驗證，這樣有利于發(fā)展學(xué)生的空間想象力，促進(jìn)空間觀念的形成。然后再通過操作，去驗證自己的想法，而這個過程，學(xué)生參與這個想象，包括動手操作，包括把這個過程表現(xiàn)出來，是非常重要的。讓學(xué)生的這種想象也好，操作也好，實際上進(jìn)一步理解，我們講三維和兩維之間的這樣一種關(guān)系，就是你講的對應(yīng)關(guān)系，是經(jīng)歷了下面過程?！罢J(rèn)識