教學重點：能利用歸納和類比等進行簡單的猜想和推理教學難點：用歸納和類比進行作出猜想.知識點一、歸納推理歸納推理的概念1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=161+3+5+7+9=25。。。。。。。由此猜想：1+3+5+7+。。。。。。（2n-1）=n2歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。觀察等式：，能得出怎樣的結論？思考：(i)統(tǒng)計學中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬歸納推理？(ii)歸納推理有何作用？(iii)歸納推理的結果是否正確？歸納推理的應用題型一、數(shù)列的歸納例題：1已知數(shù)列的第1項，且，試歸納出通項公式.A變式1猜想數(shù)列的通項公式是.A變式2.已知m＞0，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，可推廣為x＋eq\f(m,xn)≥n＋1，則m的值為________．解析x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)，x＋eq\f(27,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(27,x3)，易得其展開后各項之積為定值1，所以可猜想出x＋eq\f(m,xn)＝eq\f(x,n)＋eq\f(x,n)＋…＋eq\f(x,n)＋eq\f(m,xn)，也滿足各項乘積為定值1，于是m＝nn.A變式3eq\f(2,1)＋2＝4；eq\f(2,1)×2＝4；eq\f(3,2)＋3＝eq\f(9,2)；eq\f(3,2)×3＝eq\f(9,2)；eq\f(4,3)＋4＝eq\f(16,3)；eq\f(4,3)×4＝eq\f(16,3)；…，根據(jù)這些等式反映的結果，可以得出一個關于自然數(shù)n的等式，這個等式可以表示為______________________．A變式4在各項為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an))).(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項公式；B變式1已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，則a3＝________，a1·a2·a3·…·a2007＝________．B．變式2如圖是一個數(shù)表，第一行依次寫著從小到大的正整數(shù)，然后把每行相鄰的兩個數(shù)的和寫在這兩個數(shù)的下方，得到下一行，數(shù)表從上到下與從左到右均為無限項，則這個數(shù)表中的第13行，第10個數(shù)為________．eq\x(\a\al(1234567…,35791113…,812162024…,………))解析觀察數(shù)表可知，每行數(shù)分別構成公差為20,21,22,23，…的等差數(shù)列，所以第13行的公差為212.又每行第一個數(shù)分別為1,3＝2＋1×20,8＝22＋2×2,20＝23＋3×22,48＝24＋4×23,256＝25＋5×24，…故第13行第一個數(shù)為212＋12×211＝7×212，第10個數(shù)為7×212＋9×212＝16×212＝216.B變式3已知函數(shù)f（x）滿足：f（1）=3，f（2）=6，f（3）=10，f（4）=15，…，則f（12）的值為（）二．類比推理類比推理是由特殊到特殊的推理.題型二、從平面到空間的類比例題1(i)圓有切線，切線與圓只交于一點，切點到圓心的距離等于半徑.由此結論如何類比到球體？(ii)平面內不共線的三點確定一個圓，由此結論如何類比得到空間的結論？(iii)由圓的一些特征，類比得到球體的相應特征.圓的概念和性質球的類似概念和性質圓的周長圓的面積圓心與弦（非直徑）中點的連線垂直于弦與圓心距離相等的兩線相等；與圓心距離不等的兩弦不等距圓心較近的弦較長以點（a,b）為圓心，r為半徑的圓的方程為小結：平面→空間，圓→球，線→面，周長→面積，面積→體積，2維→3維內切圓內切球平方一般不變當不確定時可以計算出來檢驗一下A變式1在平面上，若兩個正三角形的邊長之比1：2，則它們的面積之比為1：4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長之比為1：2，則它的體積比為（）A．1：4B．1：6C．1：8D．1：9分析：由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合三角形的面積比的方法類比求四面體的體積比即可．解答：解：平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，得出：在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的底面積之比為1：4，對應高之比為1：2，所以體積比為1：8故選C．點評：本題主要考查類比推理．類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學對象的相似性，將已知的一類數(shù)學對象的性質類比遷移到另一類數(shù)學對象上去．A變式2對命題“正三角形的內切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出：正四面體的內切球切于各面正三角形的什么位置（）A．各正三角形的中心B．各正三角形的某高線上的點C．各正三角形內一點D．各正三角形外的某點考點：類比推理．專題：計算題．分析：立體幾何中的四面體，可以與平面幾何中的三角形類比，四面體的面可以與三角形的邊類比，因此可得結論解答：解：四面體的面可以與三角形的邊類比，因此三邊的中點也就類比成各三角形的中心，故選A．點評：本題主要考查類比思想的運用，有平面到空間，應注意相類比的元素，屬于基礎題．A變式3在平面幾何中有如下結論：正三角形ABC的內切圓面積為S1，外切圓面積為S2，則=，推廣到空間可以得到類似結論，已知正四面體P﹣ABC的內切球體積為V1，外接球體積為V2，則=（）A．B．C．D．考點：類比推理．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：平面圖形類比空間圖形，二維類比三維得到，類比平面幾何的結論，確定正四面體的外接球和內切球的半徑之比，即可求得結論．解答：解：從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，如圖，設正四面體的棱長為a，則AE=，DE=設OA=R，OE=r，則∴R=，r=∴正四面體的外接球和內切球的半徑之比是3：1故正四面體P﹣ABC的內切球體積為V1，外接球體積為V2之比等于故選C點評：本題考查類比推理，考查學生的計算能力，正確計算是關鍵．B.變式1.已知三角形的三邊分別為a，b，c，內切圓的半徑為r，則三角形的面積為s=（a+b+c）r；四面體的四個面的面積分別為s1，s2，s3，s4，內切球的半徑為R．類比三角形的面積可得四面體的體積為（）A．?=（s1+s2+s3+s4）RB．?=（s1+s2+s3+s4）RC．?=（s1+s2+s3+s4）RD．?=（s1+s2+s3+s4）R分析：根據(jù)三角形的邊應與四面體中的各個面進行類比，而面積與體積進行類比，進行猜想．解答：解：根據(jù)幾何體和平面圖形的類比關系，三角形的邊應與四面體中的各個面進行類比，而面積與體積進行類比：∴△ABC的面積為s=（a+b+c）r，對應于四面體的體積為V=（s1+s2+s3+s4）R．故選B．點評：本題考查了立體幾何和平面幾何的類比推理，一般平面圖形的邊、面積分別于幾何體中的面和體積進行類比，從而得到結論．B變式2平面幾何中，有邊長為a的正三角形內任一點到三邊距離之和為定值，類比上述命題，棱長為a的正四面體內任一點到四個面的距離之和為（）A．B．C．D．考點：類比推理．專題：規(guī)律型；空間位置關系與距離．分析：由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．固我們可以根據(jù)已知中平面幾何中，關于線的性質“正三角形內任意一點到三邊距離之和是一個定值”，推斷出一個空間幾何中一個關于面的性質．解答：解：類比在邊長為a的正三角形內任一點到三邊的距離之和為定值，在一個正四面體中，計算一下棱長為a的三棱錐內任一點到各個面的距離之和，如圖：由棱長為a可以得到BF=，BO=AO=a﹣OE，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把數(shù)據(jù)代入得到OE=a，∴棱長為a的三棱錐內任一點到各個面的距離之和4×a=a，故選B．點評：本題是基礎題，考查類比推理及正四面體的體積的計算，轉化思想的應用，考查空間想象能力，計算能力．B變式3在平面幾何里，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則|AB|2+|AC|2=|BC|2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設三棱錐A﹣BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則可得”（）A．|AB|2+|AC|2+|AD|2=|BC|2+|CD|2+|BD|2B．S2△ABC×S2△ACD×S2△ADB=S2△BCDC．S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2D．|AB|2×|AC|2×|AD|2=|BC|2×|CD|2×|BD|2分析：斜邊的平方等于兩個直角邊的平方和，可類比到空間就是斜面面積的平方等于三個直角面的面積的平方和，邊對應著面．解答：解：由邊對應著面，邊長對應著面積，由類比可得：SBCD2=SABC2+SACD2+SADB2．故選C．點評：本題考查了從平面類比到空間，屬于基本類比推理．小結：歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理.∴n＝－400.數(shù)列型的用求數(shù)列的通項公式題型三、等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比例題3設等差數(shù)列{}的前n項和為則成等差數(shù)列.類比以上結論有:設等比數(shù)列{}的前n項積為則,成等比數(shù)列.解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性,且等差數(shù)列與和、差有關,等比數(shù)列與積、商有關,因此當?shù)炔顢?shù)列依次每4項之和仍成等差數(shù)列時,類比到等比數(shù)列為依次每4項的積成等比數(shù)列.下面證明該結論的正確性:設等比數(shù)列{}的公比為q,首項為則∴即故成等比數(shù)列.答案小結：等差類比等比加乘減除算術平均數(shù)幾何平均數(shù)A變式1．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列．類比這一性質可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達式應為（）A．B．C．D．分析：利用等差數(shù)列的求和公式，等比數(shù)列的通項公式，即可得到結論．解答：解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴數(shù)列=也為等差數(shù)列∵正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，設首項為c1，公比為q∴==∴是等比數(shù)列故選D．點評：本題考查類比推理，解題的關鍵是掌握好類比推理的定義及等差等比數(shù)列之間的共性，由此得出類比的結論即可．A變式2在公差為d的等差數(shù)列{an}中，我們可以得到an=am+（n﹣m）d（m，n∈N+）．通過類比推理，在公比為q的等比數(shù)列{bn}中，我們可得（）A．bn=bm+qn﹣mB．bn=bm+qm﹣nC．bn=bm×qm﹣nD．bn=bm×qn﹣m考點：類比推理．專題：探究型．分析：因為等差數(shù)列{an}中，an=am+（n﹣m）d（m，n∈N+），即等差數(shù)列中任意給出第m項am，它的通項可以由該項與公差來表示，推測等比數(shù)列中也是如此，給出第m項bm和公比，求出首項，再把首項代入等比數(shù)列的通項公式中，即可得到結論．解答：解：在公比為q的等比數(shù)列{bn}中，設其首項為b1，則，所以．則．故選D．點評：本題考查了類比推理，類比推理就是根據(jù)兩個不同的對象在某些方面的相似之處，從而推出這兩個對象在其他方面的也具有的相似之處，是基礎題．A變式3在等差數(shù)列{an}中，也成等差數(shù)列，那么在等比數(shù)列{bn}中，下列推斷正確的是（）A．數(shù)列成等差數(shù)列B．數(shù)列成等比數(shù)列C．數(shù)列成等比數(shù)列D．數(shù)列成等比數(shù)列分析：在類比等差數(shù)列的性質推理等比數(shù)列的性質時，我們一般的思路有：由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等，故我們可以由數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則當時，數(shù)列{cn}也是等差數(shù)列．類比上述性質，若數(shù)列{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當時，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．解答：解：在類比等差數(shù)列的性質推理等比數(shù)列的性質時，我們一般的思路有：由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等，故我們可以由數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則當時，數(shù)列{cn}也是等差數(shù)列．類比推斷：若數(shù)列{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當時，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．故選D．點評：本題考查的知識點是類比推理，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．B變式1在等差數(shù)列{an}中，若an＞0，公差d＞0，則有a4?a6＞a3?a7，類比上述性質，在等比數(shù)列{bn}中，若bn＞0，q＞1，則b4，b5，b7，b8的一個不等關系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b8分析：類比等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}均為各項為正數(shù)的遞增數(shù)列，等差數(shù)列中的“和”運算類比等比數(shù)列中“積”運算，由此即可得到答案．解答：解：在等差數(shù)列{an}中，an＞0，公差為d＞0，所以{an}為各項為正數(shù)的遞增數(shù)列，由于4+6=3+7時有a4?a6＞a3?a7，而在等比數(shù)列{bn}中，bn＞0，q＞1，則{bn}為各項為正數(shù)的遞增數(shù)列，由于4+8=5+7，所以應有b4+b8＞b5+b7，∴b4+b8＞b5+b7．故選：A．點評：本題考查類比推理，考查學生的觀察、分析、類比能力，考查推理論證能力，屬中檔題．B.變式2若{an}是等差數(shù)列，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，有正確的結論：（m﹣n）ap+（n﹣p）am+（p﹣m）an=0，類比上述性質，相應地，若等比數(shù)列{bn}，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，有bpm﹣n×bmn﹣p×bnp﹣m=1．考點：類比推理；等比數(shù)列的性質．專題：壓軸題；探究型．分析：仔細分析題干中給出的不等式的結論：（m﹣n）ap+（n﹣p）am+（p﹣m）an=0的規(guī)律，結合等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關，等比數(shù)列與積商有關，因此等比數(shù)列類比到等差數(shù)列的：bpm﹣n﹣bmn﹣p﹣bnp﹣m=1成立．解答：解：等差數(shù)列中的（m﹣n）ap可以類比等比數(shù)列中的bpm﹣n等差數(shù)列中的（n﹣p）am可以類比等比數(shù)列中的bmn﹣p等差數(shù)列中的（p﹣m）an可以類比等比數(shù)列中的bnp﹣m等差數(shù)列中的“加”可以類比等比數(shù)列中的“乘”．故bpm﹣n×bmn﹣p×bnp﹣m=1故答案為bpm﹣n×bmn﹣p×bnp﹣m=1．點評：本題主要考查等差數(shù)列類比到等比數(shù)列的類比推理，類比推理一般步驟：①找出等差數(shù)列、等比數(shù)列之間的相似性或者一致性．②用等差數(shù)列的性質去推測物等比數(shù)列的性質，得出一個明確的命題（或猜