第24頁（共24頁）第27張相似——相似三角形練習(xí)題一．選擇題（共17小題）1．（2009?濟(jì)寧）如圖，在長為8cm、寬為4cm的矩形中，截去一個(gè)矩形，使得留下的矩形（圖中陰影部分）與原矩形相似，則留下矩形的面積是（）A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm22．（2009春?寧波期中）如圖，將平行四邊形AEFG變換到平行四邊形ABCD，其中E，G分別是AB，AD的中點(diǎn)，下列敘述不正確的是（）A．這種變換是相似變換 B．對應(yīng)邊擴(kuò)大到原來的2倍C．各對應(yīng)角度數(shù)不變 D．面積擴(kuò)大到原來的2倍3．（2014?涼山州）如果兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，則它們的相似比為（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：4．（2014?佛山）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：15．（2008?貴陽）如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：16．（2009?綦江縣）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為1：2，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：7．（2014?南京）若△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：2，則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：18．（2014?肥東縣模擬）已知△ABC的三邊長分別為，，2，△A′B′C′的兩邊長分別是1和，如果△ABC與△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三邊長應(yīng)該是（）A． B． C． D．9．（2009?成都）已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：110．（2013?寧德）如圖，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，則∠C等于（）A．40° B．60° C．80° D．100°11．（2015?黔西南州）已知△ABC∽△A′B′C′且，則S△ABC：S△A'B'C′為（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：112．（2009?新疆）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．13．（2008?咸寧）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中正確的是（）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③14．（2009?濱州）如圖所示，給出下列條件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD?AB．其中單獨(dú)能夠判定△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．415．（2015?荊州）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=16．（2007?海南）如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED17．（2015?永州）如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．=二．填空題（共2小題）18．（2013?棗莊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，將△ABE沿AE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=．19．（2009?德州）將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B′，折痕為EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以點(diǎn)B′、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是．三．解答題（共11小題）20．（2013?益陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．21．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD為角平分線，DE⊥AB，垂足為E．（1）寫出圖中一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形；（2）選擇（1）中一對加以證明．22．（2013?泰安）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC2=AB?AD；（2）求證：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．23．（2013?巴中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．（1）求證：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長．24．（2014?永州）如圖，D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求線段CD的長．25．（2008?臨沂）如圖，?ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE=CD．（1）求證：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積．26．（2008?聊城）如圖，路燈（P點(diǎn)）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點(diǎn)）20米的A點(diǎn)，沿OA所在的直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？27．（2007?懷化）九年級（1）班課外活動(dòng)小組利用標(biāo)桿測量學(xué)校旗桿的高度，已知標(biāo)桿高度CD=3m，標(biāo)桿與旗桿的水平距離BD=15m，人的眼睛與地面的高度EF=1.6m，人與標(biāo)桿CD的水平距離DF=2m，求旗桿AB的高度．28．（2014?安徽）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）將△ABC向上平移3個(gè)單位得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；（2）請畫一個(gè)格點(diǎn)△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不為1．29．（2015秋?衡陽校級月考）如圖，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D．已知AC=6，AD=2，求AB？30．（2015春?江津區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，求證：AD2=CD?BD．

第27張相似——相似三角形練習(xí)題參考答案與試題解析一．選擇題（共17小題）1．（2009?濟(jì)寧）如圖，在長為8cm、寬為4cm的矩形中，截去一個(gè)矩形，使得留下的矩形（圖中陰影部分）與原矩形相似，則留下矩形的面積是（）A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm2【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】利用相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等分析．【解答】解：長為8cm、寬為4cm的矩形的面積是32cm2，留下的矩形（圖中陰影部分）與原矩形相似，相似比是4：8=1：2，因而面積的比是1：4，因而留下矩形的面積是32×=8cm2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形面積之比等于相似比的平方．2．（2009春?寧波期中）如圖，將平行四邊形AEFG變換到平行四邊形ABCD，其中E，G分別是AB，AD的中點(diǎn)，下列敘述不正確的是（）A．這種變換是相似變換 B．對應(yīng)邊擴(kuò)大到原來的2倍C．各對應(yīng)角度數(shù)不變 D．面積擴(kuò)大到原來的2倍【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊之比相等、對應(yīng)角相等，周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．【解答】解：平行四邊形AEFG變換到平行四邊形ABCD，則平行四邊形AEFG與平行四邊形ABCD相似，因而各對應(yīng)角度數(shù)不變，相似比是1：2，面積的比是1：4，即面積擴(kuò)大到原來的4倍．故選項(xiàng)D不正確．故選D．【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)和相似變換的概念．3．（2014?涼山州）如果兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，則它們的相似比為（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)相似多邊形的面積的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，∴它們的相似比為1：．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2014?佛山）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵兩個(gè)相似多邊形面積比為1：4，∴周長之比為=1：2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．5．（2008?貴陽）如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：1【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，∴（1：2）2=1：4．故選B．【點(diǎn)評】本題是一道考查相似三角形性質(zhì)的基本題目，比較簡單．6．（2009?綦江縣）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為1：2，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題．【分析】本題可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解：相似三角形的周長比等于相似比．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為1：2，∴△ABC與△DEF的周長比為1：2．故選B．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長比等于相似比．7．（2014?南京）若△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：2，則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方計(jì)算即可得解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：2，∴△ABC與△A′B′C′的面積的比為1：4．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．8．（2014?肥東縣模擬）已知△ABC的三邊長分別為，，2，△A′B′C′的兩邊長分別是1和，如果△ABC與△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三邊長應(yīng)該是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)先計(jì)算出兩相似三角形的相似比，則第三邊長可求．【解答】解：根據(jù)題意，易證△ABC∽△A′B′C′，且相似比為：：1，∴△A′B′C′的第三邊長應(yīng)該是=．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊成比例．9．（2009?成都）已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題．【分析】利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為1：2，∴其面積之比為1：4．故選B．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方．10．（2013?寧德）如圖，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，則∠C等于（）A．40° B．60° C．80° D．100°【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等．【解答】解：∵△ABC∽△AED，∴∠C=∠ADE=80°，故選C．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，題目比較簡單．11．（2015?黔西南州）已知△ABC∽△A′B′C′且，則S△ABC：S△A'B'C′為（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求出即可．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，，∴=（）2=，故選C．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．12．（2009?新疆）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】網(wǎng)格型．【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．【解答】解：根據(jù)題意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三邊之比為1：：2，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；B、三邊之比為：：3，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；C、三邊之比為1：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似；D、三邊之比為2：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似．故選C．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．13．（2008?咸寧）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中正確的是（）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③【考點(diǎn)】相似三角形的判定；全等三角形的判定；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】綜合題；壓軸題．【分析】由△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，由∠DAE=45°可判斷∠FAE=∠DAE，可證①△AED≌△AEF．由已知條件可證△BEF為直角三角形，則有④BE2+DC2=DE2是正確的．【解答】解：∵△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，∴AD=AF，∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=45°，∴∠DAE=∠FAE，AE為△AED和△AEF的公共邊，∴△AED≌△AEF∴ED=FE在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，又∵∠ACB=∠ABF，∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，∴在Rt△FBE中BE2+BF2=FE2，∴BE+DC=DE③顯然是不成立的．故正確的有①④，不正確的有③，②不一定正確．故選B【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)較多，由圖形的旋轉(zhuǎn)變換、圖形的全等、圖形的相似、勾股定理等知識點(diǎn)，通過判斷可知①④是正確的．14．（2009?濱州）如圖所示，給出下列條件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD?AB．其中單獨(dú)能夠判定△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】相似三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由圖可知△ABC與△ACD中∠A為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對應(yīng)邊成比例即可解答．【解答】解：有三個(gè)．①∠B=∠ACD，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定；③中∠A不是已知的比例線段的夾角，不正確④可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似來判定；故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定方法的掌握情況．15．（2015?荊州）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=【考點(diǎn)】相似三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．【解答】解：A、當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、當(dāng)=時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、無法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵．16．（2007?海南）如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED【考點(diǎn)】相似三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何綜合題．【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后答案．【解答】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE選項(xiàng)B中不是夾這兩個(gè)角的邊，所以不相似，故選B．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．17．（2015?永州）如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．=【考點(diǎn)】相似三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)有兩個(gè)角對應(yīng)相等的三角形相似，以及根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，分別判斷得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此選項(xiàng)不合題意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此選項(xiàng)不合題意；C、∵AB2=AD?AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此選項(xiàng)不合題意；D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定，利用了有兩個(gè)角對應(yīng)相等的三角形相似，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．二．填空題（共2小題）18．（2013?棗莊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，將△ABE沿AE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題．【分析】可設(shè)AD=x，由四邊形EFDC與矩形ABCD相似，根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：∵AB=1，設(shè)AD=x，則FD=x﹣1，F(xiàn)E=1，∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（不合題意舍去），經(jīng)檢驗(yàn)x1=是原方程的解．故答案為．【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式．19．（2009?德州）將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B′，折痕為EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以點(diǎn)B′、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是或2．【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由于折疊前后的圖形不變，要考慮△B′FC與△ABC相似時(shí)的對應(yīng)情況，分兩種情況討論．【解答】解：根據(jù)△B′FC與△ABC相似時(shí)的對應(yīng)關(guān)系，有兩種情況：①△B′FC∽△ABC時(shí)，=，又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，∴=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA時(shí)，=，AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，而BF+FC=4，即2BF=4，解得BF=2．故BF的長度是或2．故答案為：或2．【點(diǎn)評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解：（1）相似三角形周長的比等于相似比；（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方；（3）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．三．解答題（共11小題）20．（2013?益陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題；壓軸題．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明．【解答】證明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，比較簡單，確定出兩組對應(yīng)相等的角是解題的關(guān)鍵．21．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD為角平分線，DE⊥AB，垂足為E．（1）寫出圖中一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形；（2）選擇（1）中一對加以證明．【考點(diǎn)】相似三角形的判定；全等三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）利用相似三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)得出符合題意的答案；（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分別得出即可．【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD為角平分線，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD為角平分線，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵．22．（2013?泰安）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC2=AB?AD；（2）求證：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得AC2=AB?AD；（2）由E為AB的中點(diǎn)，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得的值．【解答】（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD；（2）證明：∵E為AB的中點(diǎn)，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．23．（2013?巴中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．（1）求證：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題．【分析】（1）利用對應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF與△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理三個(gè)知識點(diǎn)．題目難度不大，注意仔細(xì)分析題意，認(rèn)真計(jì)算，避免出錯(cuò)．24．（2014?永州）如圖，D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求線段CD的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題．【分析】由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD與三角形ACB相似，由相似得比例，將AB與AD長代入即可求出CD的長．【解答】解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴=，∵AB=6，AD=4，∴AC===9，則CD=AC﹣AD=9﹣4=5．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．25．（2008?臨沂）如圖，?ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE=CD．（1）求證：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；平行四邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何綜合題．【分析】（1）要證△ABF∽△CEB，需找出兩組對應(yīng)角相等；已知了平行四邊形的對角相等，再利用AB∥CD，可得一對內(nèi)錯(cuò)角相等，則可證．（2）由于△DEF∽△EBC，可根據(jù)兩三角形的相似比，求出△EBC的面積，也就求出了四邊形BCDF的面積．同理可根據(jù)△DEF∽△AFB，求出△AFB的面積．由此可求出?ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠A=∠C，AB∥CD∴∠ABF=∠CEB∴△ABF∽△CEB（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AB平行且等于CD∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF∵DE=CD∴，∵S△DEF=2S△CEB=18，S△ABF=8，∴S四邊形BCDF=S△BCE﹣S△DEF=16∴S四邊形ABCD=S四邊形BCDF+S△ABF=16+8=24．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．26．（2008?聊城）如圖，路燈（P點(diǎn)）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點(diǎn)）20米的A點(diǎn)，沿OA所在的直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】應(yīng)用題．【分析】如圖，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影變短了5﹣1.5=3.5米．【點(diǎn)評】解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解答問題．27．（2007?懷化）九年級（1）班課外活動(dòng)小組利用標(biāo)桿測量學(xué)校旗桿的高度，已知標(biāo)